Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002

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1 Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere l equazione del diametro passante per A Determinare le equazioni ridotte della conica Trovare l equazione della quadrica Q che contiene la conica Γ e la retta r di equazioni: Γ : { x = 1 y + z 2 3 = 0 r : { y = 2z x = z è tangente nell origine al piano 2x y = 0 e passa per il punto (0, 4, 2) Studiare il fascio che contiene la quadrica x 2 z 2 + 2x y = 0 ed il cono y 2 = 4xz Consideriamo la matrice a coefficienti reali A = 0 0 h h 1 h h h + 1 dove h è un parametro reale Trovare le soluzioni del sistema lineare omogeneo di matrice A al variare del parametro h Posto h = 1 e interpretando A come la matrice di un endomorfismo f : R 4 R 4 rispetto alle basi canoniche dire se si può trovare una base di R 4 formata da autovettori

2 Compito di Geometria assegnato il 1 Marzo 2002 Trovare l equazione del fascio di coniche aventi la retta y 2 = 0 come asse di simmetria, la retta x y + 1 = 0 come diametro e passanti per il punto A(3, 1) Trovare i fuochi dell iperbole equilatera del fasciotrovare il luogo dei punti comuni alle coniche del fascio ed alla polare del punto ( 3, 2) Trovare e studiare il fascio di quadriche che contengono la conica { z = 2 y 2 xy + 1 = 0 e sono tangenti nell origine al piano y + z = 0 Consideriamo la funzione lineare f : R 3 R 4 definita, rispetto alle basi canoniche, dalla matrice h 2h 3h 1 2 h h al variare del parametro reale h Determinare le equazioni cartesiane dell immagine di f al variare di h Trovare i valori di h tali che (1, 0, 0, 0) / im f

3 Compito di Geometria assegnato il 16 Aprile 2002 Trovare l equazione della parabola Γ che ha nel punto A(2, 6) la stessa tangente della circonferenza di equazione x 2 +y 2 2x 6y = 0, direttrice parallela a tale tangente e passa per il punto B(2, 0) Trovare l equazione ridotta della parabola Studiare il fascio di coniche che contengono la circonferenza e la parabola Γ ; determinare in particolare i punti base Trovare l equazione della sfera che ha centro sulla retta x = 1, y = 3z, è tangente al piano y = 0, passa per il punto D(1, 6, 1) ed ha raggio 3 Scrivere le equazioni del cilindro 1 di vertice z = (0, 0, 1, 0) e del cono 2 di vertice l origine (0, 0, 0, 1) circoscritti alla sfera Studiare il fascio di quadriche determinato dal cilindro 1 e dalla quadrica z(z 2) = 0 Determinare la natura delle coniche sezione del cono 2 con i piani del fascio avente per asse la retta x = 1, y = 0 Consideriamo gli spazi vettoriali R 4 e R[x] 3 = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 a i R} Siano dati in R 4 i vettori v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1), v 4 = (0, 0, 0, 1) Giustificare il fatto che le assegnazioni: ϕ(v 1 ) = 1 + h + x ϕ(v 2 ) = hx + hx 2 ϕ(v 3 ) = (1 + h)x 2 + x 3 ϕ(v 4 ) = hx 3 definiscono una funzione lineare ϕ : R 4 R[x] 3 per ogni valore del parametro reale h Trovare nucleo ed immagine di ϕ al variare di h Scrivere la matrice di ϕ rispetto alla base canonica in R 4 ed alla base {1, x, x 2, x 3 } in R[x] 3

4 Compito di Geometria assegnato il 14 Giugno 2002 Trovare l equazione della circonferenza tangente nel punto A(0, 2) alla retta r di equazione 2x y 2 = 0 ed avente l asse x come asse di simmetria Studiare il fascio delle coniche tangenti ad r in A ed aventi x come asse di simmetria Determinare i fuochi dell iperbole equilatera del fascio Trovare la retta parallela al piano x z = 0, passante per il punto A(2, 2, 1) e perpendicolare alla retta di equazioni { x = 2t + 1 y = t z = 3t 2 Trovare il luogo dei punti equidistanti da A e dal piano x z = 0 Verificare che si tratta di una quadrica e dire di che tipo è Classificare le sezioni della quadrica con i piani del fascio avente per asse l asse z Sia data la funzione lineare f : R 3 R 3 definita dalla matrice M B,E (f) = h 1 2h h 1 10h + 3 rispetto alla base B = {v 1 = (1, 0, 2), v 2 = ( 1, 1, 0), v 3 = (0, 2, 1)} nel dominio ed alla base canonica E nel codominio Determinare nucleo ed immagine di f per ogni valore del parametro reale h Trovare equazioni cartesiane di nucleo ed immagine Trovare la matrice M E,E (f) nel caso h = 0 Per quale valore di h il vettore (1, 1, 3) sta nell immagine di f? Trovare un vettore che non appartiene all immagine per nessun h

5 Compito di Geometria assegnato il 5 Luglio 2002 Trovare il fascio di coniche che sono tangenti alla retta x 3y = 0 nel punto A(3, 1) e passano per i punti B(2, 1) e C(1, 1, 0) Classificare le coniche del fascio Verificare che c è una parabola e trovarne l asse di simmetria Verificare che c è un iperbole equilatera e disegnarne il grafico 1 Scrivere l equazione della sfera tangente al piano x z 2 = 0 nel punto A(2, 1, 0) ed avente il centro C sul piano α di equazione 2x y + z 2 = 0 2 Studiare la conica all infinito ed il tipo di punti della quadrica Γ di equazione x 2 2xy + y 2 + z 2 + x + z = 0 Determinare di che tipo di quadrica si tratta; scrivere le equazioni di uno dei due sistemi di rette che appartengono a Γ Classificare le coniche che sono intersezione di Γ con i piani del fascio avente per asse l asse z Nello spazio vettoriale R 4 sono dati i sottospazi V = L {( 1, 1, 2, 0), ( 1, 1, 0, 2)} ed U h = {(x, y, z, t) (h + 1)x + y + hz + t = 0}, dove h è un parametro reale Trovare basi ed equazioni cartesiane di V U h e V + U h al variare di h Verificare che la funzione lineare f : R 4 R 4 definita da f(x, y, z, t) = (z, x + 2t, y + z, y z t) si restringe ad un endomorfismo di U 0 Scelta una base B di U 0 trovare autovalori ed autospazi dell endomorfismo ϕ di U 0 che ha per matrice M B (ϕ) =

6 Compito di Geometria assegnato il 19 Luglio 2002 Trovare l equazione dell ellisse avente per assi di simmetria ortogonale le bisettrici degli assi coordinati e semiassi di lunghezza 2 e 3 sulla prima e seconda bisettrice rispettivamente Trovare le coordinate dei fuochi Studiare il fascio di coniche che contengono l ellisse di equazione 13x xy + 13y 2 = 72 e la conica spezzata negli assi coordinati Sono date le coniche Γ : { y = 0 x 2 z 2 2x = 0 Γ : { z = 0 x 2 2y 2 2x = 0 Studiare il fascio di quadriche che contengono le coniche Γ e Γ Trovare in particolare la quadrica del fascio passante per (0, 1, 1) e un sistema di rette in essa contenuto Sia f h : R 4 R 3 la funzione lineare determinata dalla matrice M = 1 0 h 1 2 h h h rispetto alle basi canoniche, h un parametro reale Trovare nucleo ed immagine di f h al variare di h, indicandone una base ed equazioni cartesiane n particolare determinare ker f 1 ker f 2 e im f 1 im f 2

7 Compito di Geometria assegnato il 13 Settembre 2002 Sono dati la retta r: x y + 1 = 0 ed i punti A(2, 0), B(4, 0) Determinare la circonferenza Γ 1 e la parabola Γ 2 che passano per A, B ed hanno la retta r come asse di simmetria Studiare il fascio determinato da Γ 1, Γ 2 Detto M un punto della retta x = y trovare il luogo descritto dal punto di intersezione tra le polari di M rispetto a Γ 1 e Γ 2 al variare di M sulla retta Sono dati il piano α di equazione x 2z +1 = 0, la retta r di equazioni x = z 1, y = 3z +2 ed il punto A(1, 0, 0) Trovare la retta parallela ad α, incidente r e passante per A Determinare il luogo dei punti equidistanti da α e da A; dette 1 l intersezione di con z = 0 e 2 l intersezione di con x = 0, studiare il fascio delle quadriche che contengono 1 e 2 Nello spazio vettoriale reale R 3 = {(x, y, z) x, y, z R} consideriamo il sottospazio W definito dall equazione x + y + 2z = 0 ed il sottospazio U generato dal vettore (1, 1, 0) Verificare che risulta R 3 = U W Verificare che è lineare l applicazione f : R 3 W definita da f(v) = w, dove w è l unico vettore di W tale che v = u + w, u U Trovare l espressione analitica di f Trovare la matrice di f rispetto alla base canonica di R 3 e ad una base di W scelta a piacere

8 Compito di Geometria assegnato il 4 Ottobre 2002 Trovare l equazione della conica Γ avente per asintoto la retta x 2y 5 = 0, passante per i punti A(1, 1), B(2, 2) e avente centro in C(1, 2) Studiare il fascio contenente la conica Γ ed il cerchio di centro l origine e raggio nullo Determinare il luogo dei centri delle coniche del fascio Scrivere l equazione della sfera tangente nel punto A(2, 0, 0) all asse x, tangente nel punto B(0, 2, 0) all asse y e tangente nel punto C(0, 4, 2) alla retta di equazioni Studiare il fascio di quadriche di equazione: al variare del parametro reale λ { x y + 4 = 0 y + z 2 = 0 x 2 + y 2 + z 2 4x 4y + 4z λxy = 0 Sia f : R 4 R 3 la funzione lineare definita, rispetto alle basi canoniche, dalla matrice M(f) = h 0 h h 2 h 1 1 dove h è un parametro reale Trovare nucleo ed immagine di f al variare di h specificando, quando opportuno, una base e le equazioni cartesiane Per h = 2 determinare il sottospazio di R 4 immagine inversa di W = {(X, Y, Z) R 3 X = Z}

9 Compito di Geometria assegnato il 14 Dicembre 2002 Consideriamo la retta r di equazione 2x + y 7 = 0 ed il suo punto A(2, 3) Trovare le circonferenze tangenti ad r in A ed il cui centro dista 4 dall origine Scrivere l equazione della parabola tangente ad r in A, passante per x e tangente all asse y Trovare le coordinate del fuoco di tale parabola Sono dati il punto A(3, 0, 0) e le rette r : { x = 1 2y z = 0 s : { x = 0 y = 0 Trovare la retta a che passa per A ed è complanare sia con r che con s Dire perché ogni quadrica che contiene r, s ed A deve contenere anche la retta a Trovare e studiare il fascio di quadriche che contengono le rette r, s e sono tangenti in A al piano di equazione 2y 3z = 0 Trovare le sezioni del paraboloide del fascio che sono parabole Sia data la funzione lineare f : R 3 R 4 definita dalla matrice M(f) = h h 2 h rispetto alle basi canoniche Determinare nucleo ed immagine di f per ogni valore del parametro reale h equazioni cartesiane di nucleo ed immagine quando f non è iniettiva Trovare i valori di h per i quali il vettore (1, 1, 2, 1) sta nell immagine Trovare