Sistemi di Numerazione Binaria

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1 Sistemi di Numerazione Binaria ES.1

2 Numeri e numerali Numero: entità astratta Numerale : stringa di caratteri che rappresenta un numero in un dato sistema di numerazione Lo stesso numero è rappresentato da numerali diversi in diversi sistemi ES 156 nel sistema decimale CLVI in numeri romani Il numero di caratteri nel numerale determina l intervallo di numeri rappresentabili ES interi a 3 cifre con segno in notazione decimale: [-999,+999] ES.2

3 Numeri a precisione finita Numero finito di cifre Si perdono alcune proprietà: chiusura operatori ( +, -, x ) prop. associativa, distributiva,.. ES 2 cifre decimali e segno [-99,+99] 78+36=114 (Chiusura) 60+(50-40) (60+50)-40 (Associatività) Errori di arrotondamento Buchi nella rappresentazione dei reali ES usando numerali decimali con due sole cifre frazionarie: 0? ES.3

4 C1 Sistemi posizionali Il sistema di numerazione usuale e detto POSIZONALE o polimoniale in quanto il numero rappresentato e dato dal valore di un polinomio i cui coefficienti ( detti pesi ) sono le potenze intere e positive di 10 ( base del sistema di numerazione ) e percio ogni cifra da al valore del polinomio un contributo dipendente dalla propria posizione e dal proprio valore: 133 : 1x x x10 0 Ovvero 1x x10 + 3x1 Il sistema romano, per esempio, e invece additivo CXXXIII ES.4

5 Diapositiva 4 GC1 GREGORIO; 29/11/2007

6 Sistemi posizionali Ciascuna cifra rappresenta il coefficiente di una potenza della base L esponente è dato dalla posizione della cifra a m a m-1... a 0. a -1 a a -k m N=Σ a i b i i=-k 0 <= a i <= b-1 b = base Se la base è b occorrono b simboli: b = 10 {0,9} b = 2 {0,1} b = 8 {0,1,... 7} b = 16 {0,1,... 9,A,B,C,D,E,F} ES.5

7 Sistema decimale-binario L adozione, quasi universale, della base dieci è stata indubbiamente imposta dall anatomia delle mani, perché sulle dieci dita l uomo ha imparato a contare. Quando si debba costruire un calcolatore in base dieci occorre naturalmente disporre di elementi fisici capaci di rappresentare le cifre da 0 a 9. Per esempio nei vecchi calcolatori da tavolo questo e realizzato con ruote che hanno dieci posizioni angolari stabili, ciascuna rappresentante una cifra. ES.6

8 Sistema decimale-binario Nei calcolatori elettronici e invece necessario fare uso di elementi a due soli stati dispositivi bistabili, componenti elettronici che funzionano in on/off, cioè con le condizioni di acceso/spento oppure di si/no - per questo motivo e conveniente adottare un sistema con base due anzichè dieci. Un numerale sarà perciò una successione di zeri e di uni, ciascuno affetto da un peso che sarà una potenza intera di due. La cifra binaria si chiama bit da binary digit appunto cifra binaria. Nella memoria di un calcolatore si fa riferimento non ad un bit ma ad un ottetto di bit, chiamato byte. ES.7

9 Conversione decimale-binario ES.8

10 Conversione decimale-binario Si effettuano divisioni ripetute per 2 Il restodelle divisioni fornisce le cifre del numerale binario (a partire dalla meno significativa) ES (26) 10 =(11010) cifra meno significativa cifra più significativa Altrimenti si determina ad occhio quali potenze di 2 sono contenute nel numero ES (26) 10 = ES.9

11 Ordini di grandezza Il meccanismo è facilissimo, purchè si conoscano le potenze di due!!!!! Le potenze di 2 potenze di = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, = ~ K 2 20 = = ~ M 2 30 = = ~ G 2 40 =... = ~ T I prefissi Kilo,Mega, Giga, Tera, etc sono per convenzione associati a potenze di 10 ES 2 26 = = 64 M Il numero di bit di un indirizzo binario determina le dimensioni della memoria ES.10

12 Intervalli rappresentati Rappresentando gli interi positivi e lo zero in notazione binaria con n cifre (bit) si copre l intervallo [0, 2 n -1] Si sfruttano tutte le 2 n disposizioni ES n=3 [0,7] Usando solo tre digit posso rappresentare 2 3 interi decimali, da zero incluso a sette incluso NB Anche gli 0 non significativi devono essere rappresentati ES.11

13 Alfabeto Esadecimale A causa del minor numero di simboli dell alfabeto binario rispetto a quello decimale, un numero codificato in notazione binaria richiede più cifre rispetto a quelle impiegate in notazione decimale. Per rendere più sintetica la scrittura dei numeri elaborati dai calcolatori, si sceglie di sovente di impiegare la base 16 - notazione esadecimale impiegando un alfabeto di sedici cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ) Conversione Decimale/Esadecimale 573/16 35 resto 13=D 35/16 2 resto 3=3 2/16 0 resto 2=2 573 Decimale = 23D esadecimale ES.12

14 Notazione in base 16 Per i numerali esadecimali occorrono 16 cifre {0,1,... 9,A,B,C,D,E,F} Conversione esadecimale-binario: ES Si fa corrispondere a ciascuna cifra esadecimale il gruppo di 4 bit che ne rappresenta il valore F = A = Conversione binario-esadecimale: Partendo da destra si fa corrispondere a ciascun gruppo di 4 o meno cifre binarie la cifra esadecimale che ne rappresenta il valore Si usano spesso stringhe esadecimali per rappresentare stringhe binarie ES.13

15 Il numero 2001 in binario, ottale, decimale ed esadecimale ES.14

16 Rappresentazione valori interi negativi Esistono diversi metodi di codifica Modulo e segno Complemento a uno (obsoleto) Complemento a due Eccesso 2 m-1 ES.15

17 Interi positivi e negativi 1) Modulo e segno (il piu vecchio, semplice e intuitivo) un bit per il segno 0= + 1= - i rimanenti n-1 bit valore assoluto del numero - intervallo [-2 n-1 +1, +2 n-1-1] Esempio per n= = (1111) 2-15 = (11111) = (1111) = (01111) 2 NB intervallo simmetrico doppia rappresentazione dello zero (00000,10000) necessario trattare in maniera esplicita il segno, per esempio nel caso di somma algebrica di due operandi, quindi dispositivi di calcolo più complessi quindi poco usata a vantaggio del complemento a due ES.16

18 2) Complemento a 1 ( Obsoleto) Per cambiare di segno si complementa il numerale bit a bit I numerali positivi iniziano per 0, i negativi per 1 Con n bit: [-2 n-1 +1, +2 n-1-1] È una notazione posizionale: Pesi: (-2 n-1 +1) 2 n ES n=4 bit ( 3+1 segno) intervallo [-7, +7] 5 = = 1010 Complementare = cambiare segno Doppia rappresentazione dello 0 ( +0 = 0000, -0 = 1111) ES.17

19 3) Complemento a 2 I positivi hanno la stessa rappresentazione che in complemento a 1 I negativi si ottengono sommando 1 alla loro rappresentazione in complemento a 1 Regola pratica per complementare: Partendo da destra nella rappresentazione binaria si lasciano invariati tutti i bit fino al primo 1 compreso, e poi si complementa bit a bit ES Intervallo con n bit: [-2 n-1, +2 n-1-1] n=4 bit ( segno ) intervallo [-8, +7] 5 = 0101 coincide con binaria -5 = 1011 ES.18

20 3) Complemento a 2 Intervallo più esteso Una sola rappresentazione dello 0 ma intervallo con n bit: [-2 n-1, +2 n-1-1],cioè asimmetrico in pratica si vede che il valore rappresentato dal numero si può ottenere associando alla cifra più significativa un peso negativo, mentre tutte le altre cifre mantengono il peso originario positivo Peso delle cifre: -2 n-1 2 n = -0x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = = -1x2 3 +0x2 2 +0x2 1 +0x2 0 = -8 facilità di eseguire le somme algebriche dei numeri ES.19

21 4) Eccesso 2 n-1 I numeri vengono rappresentati come somma fra il numero dato e una potenza di 2. Con n bit si rappresenta l eccesso 2 n-1 Intervallo come CP2: [-2 n-1,+2 n-1-1] Regola pratica: I numerali si ottengono da quelli in CP2 complementando il bit più significativo ES n=4 bit: eccesso 8, intervallo [-8,+7] =5 : =12 : 1100 Intervallo asimmetrico Rappresentazione unica dello 0 ES.20

22 Numeri negativi di otto bit nei quattro diversi sistemi ES.21

23 Rappresentazioni a confronto Decimale M&S CP1 CP2 Ecc U G U A L I D I V E R S I Positivi preceduti da zero Negativi Preceduti da 1 ES.22

24 Esercizio La conversione del numero decimale 712 con 16 bit in complemento a due è: a) b) c) Motivare brevemente la risposta (massimo tre righe) ES.23

25 Esercizio Si determinino le rappresentazioni in modulo e segno e in complemento a 2 su 6 bit dei seguenti numeri decimali interi: ES.24

26 Rappresentazioni a confronto Limite Si vorrebbe un sistema di codifica che esibisca le due proprietà seguenti: Una sola rappresentazione dello zero Uguale numero d interi positivi e interi negativi rappresentati Ma non ci si è riusciti ES.25

27 Numerali e numeri Un numerale è solo una stringa di cifre Un numerale rappresenta un numero solo se si specifica un sistema di numerazione Lo stesso numerale rappresenta diversi numeri in diverse notazioni ES il numerale rappresenta: Centodiecimilacento in base 10 (+52) 10 in binario naturale (-11) 10 in complemento a 1 (-12) 10 in complemento a 2 (+20) 10 in eccesso 32 In esadecimale un numero dell ordine di vari milioni ES.26

28 Aritmetica Binaria Le regole che caratterizzano l aritmetica binaria sono analoghe alle regole ben conosciute che valgono nel sistema decimale, con il necessario adattamento derivante dall uso limitato ai due simboli 0 e 1. ES.27

29 Addizioni binarie Le addizioni fra numerali si effettuano cifra a cifra (come in decimale) portando il riporto alla cifra successiva = = = = 0 con il riporto di 1 ES = = 0101 Se il numero di cifre non permette di rappresentare il risultato si ha un trabocco nella propagazione del riporto ES.28

30 Addizioni binarie ES.29

31 Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Se il numero di cifre non permette di rappresentare il risultato si ha un trabocco nella propagazione del riporto Per la somma di due numeri positivi di lunghezza K possono essere necessari K+1 bit. Se sono disponibili solo K cifre si genera un errore di overflow (o trabocco). Esempio con K=5: A = =27 10 B = = = = ES.30

32 Esercizio Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Effettuare la seguente operazione tra numeri binari, ipotizzando di lavorare con un elaboratore con lunghezza di parola (word) pari a un byte (8 bit): ES.31

33 Esercizio Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Effettuare le seguenti operazioni tra numeri binari, ipotizzando di lavorare con un elaboratore con lunghezza di parola (word) pari a un byte (8 bit): Soluzione = Svolgendo i calcoli, si trova: = =73 10 ES.32

34 Esercizi Addizioni binarie = = = = 0 con il riporto di 1 Eseguire le seguenti somme nel sistema binario: = = = = ES.33

35 Rappresentazione valori interi positivi e negativi Perché usare la rappresentazione in complemento? Semplifica le operazioni aritmetiche La differenza X Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) Semplificazione dei circuiti elettronici che eseguono le operazioni ES.34

36 La differenza X Y può essere calcolata mediante la somma dei complementi: C(x-y)=C(x)+C(-y) Fermiamoci per semplicità a quattro digit X Y = C(X) + C(-Y); X=5 Y=3 >>>>>X-Y = 2 C(5) = 0101 C(-3)= 1101 Sum = 0010 >>>>>>>>> 2 ES.35

37 Rapresentazione di numeri reali Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito, come π = 3, I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono, come casi particolari, i numeri interi (come 42), i numeri razionali (come -22/7) ed i numeri irrazionali algebrici (come la radice quadrata di 2) e trascendenti (come π od e). Un numero reale razionale presenta uno sviluppo decimale finito o periodico. Ad esempio, 1/3=0, è razionale.. ES.36

38 Rapresentazione di numeri reali Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Rappresentazione della retta reale I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, detta retta numerica o retta reale. ES.37

39 Rapresentazione di numeri reali Con un numero finito di cifre è solo possibile rappresentare un numero razionale che approssima con un certo errore il numero reale dato Vengono usate due notazioni: A) Notazione in virgola fissa Dedica parte delle cifre alla parte intera e le altre alla parte frazionaria + XXX.YY -> + 25,33 B) Notazione in virgola mobile Dedica alcune cifre a rappresentare un esponente della base che indica l ordine di grandezza del numero rappresentato ES.38

40 Rappresentazione di numeri reali Prendiamo il numero 1653: Peso: Cifra: Per determinare il valore della sequenza basta moltiplicare il peso delle cifre per quello della cifra stessa e sommare il tutto. Valore: 1000*1+100*6+10*5+1*3=1653 Ora se volessimo rappresentare i numeri reali, avremmo bisogno di estendere i pesi verso destra, continuando a decrementare l esponente : 10-1, 10-2, 10-3,... ottenendo tutte le cifre decimali che vogliamo. ES.39

41 Rappresentazione di numeri reali Nel sistema binario: Peso: Cifra: Valore: 8*1+4*0+2*1+1*1 + (Intero) 0.5*0+0.25* *0 (Decimale) =11,25 E una rappresentazione a 7 bit, dove tra il quarto e il quinto bit è posta la virgola. Questa è quella che viene chiamata una rappresentazione a virgola fissa. Si può notare che la precisione massima è di 1/8 ( 2-3 ), ma basta aggiungere altri bit a destra per aumentarla, o in alternativa spostare la virgola verso sinistra, ma facendo in questo modo riduciamo il numero massimo rappresentabile. ES.40

42 Notazione in virgola mobile Estende l intervallo di numeri rappresentati a parità di cifre, rispetto alla notazione in virgola fissa Con questa rappresentazione si possono codificare numeri molto grandi e numeri molto piccoli La formula che sta alla base della rappresentazione in virgola mobile è la stessa della notazione scientifica dei numeri, ossia: N=Mx e dove N èil numero da rappresentare, M la frazione o mantissa, x la base numerica(che nel nostro caso sarà 2, visto che il numero è rappresentato in binario), ed e è l esponente. ES.41

43 Notazione in virgola mobile Numeri reali n rappresentati tramite una coppia di numeri <m,e> N = mant. base e M : mantissa o frazione e : esponente intero con segno Sia M che e hanno un numero fissato di cifre, per cui: Intervalli limitati Errori di arrotondamento ES.42

44 Notazione in virgola mobile L intervallo è determinato dal numero di cifre che compongono l esponente La precisione è determinata dal numero di cifre della mantissa/frazione N = mant. base e Le prime 64 cifre decimali di π sono: 3, Fin dove approssimo? ES.43

45 Esempio in base 10 +/-0.m*10 e (dieci) x *10-5 Esempio in base x(10) due (uno zero) ES.44

46 Esempio in base 10 Numerali a 5 cifre +.XXX + EE Mantissa : 3 cifre con segno <= m <= Esponente:2 cifre con segno -99 <= e <= Overflow negativo { Underflow Overflow positivo ES.45

47 Standard IEEE 754 (1985) Institute of Electrical and Electronic Engineers Formato non proprietario cioè non dipendente dall architettura, definisce quindi in modo standard la lunghezza di mantissa e esponente. Semplice precisione a 32 bit: esp mantissa Doppia precisione a 64 bit 1 +/- +/ esp mantissa Alcune configurazioni dell esponente sono riservate ES.46

48 Standard IEEE 754 (1985) Institute of Electrical and Electronic Engineers Semplice precisione a 32 bit: esp mantissa Si possono rappresentare numeri compresi tra e e e 1038 Doppia precisione a 64 bit: 1 +/- +/ esp mantissa Si possono rappresentare numeri compresi tra e e e ES.47

49 Codice Regola che associa ai simboli o sequenze di simboli di un insieme A, simboli o sequenze di simboli di un nuovo insieme B. Un codice può essere rappresentato da una tabella, in cui ai caratteri di A (es. numeri, lettere e altri simboli) corrispondono sequenze di simboli in B (es. 0 e 1)( come nel codice ASCII ). Esistono dei codici in cui alcune corrispondenze non sono univoche tra i simboli dei due insiemi (rappresentazioni). Ad esempio nel codice con complemento a 1, ci sono due codifiche per lo zero. ES.48

50 Codice ASCII La sigla "ASCII" sta per: "American Standard Code for Information Interchange", cioe' "Standard americano per lo scambio di informazioni". È un codice che sfrutta 7 bit quindi vengono codificati 2 7 caratteri cioè 128 caratteri (la numerazione va quindi da 0 a 127). il codice ASCII e' la rappresentazione numerica di un carattere in quanto il computer puo' solo capire numeri e codici. Per esempio il carattere "@" e' rappresentato dal codice ASCII "64", "Y" dall'"89", "+" dal "43", ecc. Pero' un codice ASCII puo' anche rappresentare una specifica azione, come "vai a capo", codice ASCII "10", oppure "cancella", codice "127", ecc. ES.49

51 Codice ASCII Il codice ASCII fu inventato molti anni fa per le comunicazioni fra telescriventi (infatti ci sono dei codici di comandi specifici che sono quasi incomprensibili, ma al tempo avevano la loro funzione), poi man mano e' diventato uno standard mondiale. Parlando di un caso piu' pratico, quando qualcuno richiede un testo in formato ASCII, per esempio il vostro curriculum, oppure un articolo, ecc, significa che richiede un testo nel formato standard in modo che possa facilmente riutilizzarlo nei propri programmi. Infatti il formato ASCII e' universalmente riconosciuto da tutti i computer, cosa che non e' vera nel caso di testi "formattati", cioe' con sottolineature, stili, grassetti, ecc. Un file in formato ASCII puo' essere creato utilizzando il Blocco Note di Windows, oppure salvando in formato "solo testo" da un qualsiasi programma di videoscrittura, come Word o simili. ES.50

52 Codice ASCII ES.51

53 Codice ASCII I primi 32 caratteri non sono stampabili o visualizzabili e servono per il controllo della visualizzazione a video, della stampa, ecc.; ES.52

54 Codice ASCII I rimanenti caratteri sono visualizzabili e comprendono le cifre, i caratteri, la punteggiatura e i simboli particolari. ES.53

55 Codice UNICODE Il Codice ASCII è a 7 bit, poi esteso a 8 Codice UNICODE a 16 bit, nuova proposta di standard: code points Semplifica la scrittura del software 336 code points: alfabeti latini 112 accenti e simboli diacritici Greco, cirillico, ebraico, ecc ideogrammi cinesi sillabe coreane La versione 3.0 di UNICODE (Febbraio 2000) definisce caratteri. Un consorzio assegna quello che resta, ma durerà poco. ES.54