LIBRO ADOTTATO. G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI LIBRI CONSIGLIATI

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1 LIBRO ADOTTATO G.M. PIACENTINI CATTANEO: MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI LIBRI CONSIGLIATI A. FACCHINI: ALGEBRA E MATEMATICA DISCRETA, ed. ZANICHELLI M.G. BIANCHI, A. GILLIO: INTRODUZIONE ALLA MA- TEMATICA DISCRETA, ed. McGRAW-HILL L. DI MARTINO, M.C. TAMBURINI: APPUNTI DI ALGE- BRA, ed. CLUED

2 INSIEMI NUMERICI insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4,..., } Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } insieme dei numeri relativi Q è l insieme dei numeri della forma p q, dove p e q sono numeri relativi e q è diverso da 0; Q si dice insieme dei numeri razionali con il simbolo R indicheremo l insieme dei numeri reali e definiremo anche l insieme C dei numeri complessi.

3 SIMBOLI FONDAMENTALI Il simbolo di appartenenza di un oggetto ad un insieme è: si legge: appartiene oppure è elemento di. Ad esempio: 3 N, 1 Z, 5 3 Q, 5 R

4 I simboli di inclusione sono: il primo indica l inclusione stretta o propria (che può essere anche scritta come ) tra insiemi e si legge: è incluso (oppure è contenuto) propriamente o strettamente o anche è sottoinsieme proprio, il secondo si legge è incluso (o uguale) oppure è contenuto (o uguale). Esempi: N Z, Z Q. Definizione 1 Si dice che due insiemi A e B sono uguali, e si scrive A = B, se essi hanno gli stessi elementi.

5 È chiaro, quindi, che A = B se e soltanto se A B e B A. osservazione 2 Quali che siano gli insiemi A, B, C si ha: 1. A A 2. se A B e B A allora A = B 3. se A B e B C allora A C

6 Naturalmente abbiamo le negazioni: non appartiene : / esempi: 3 / N, 1 3 / Z, π / Q non è contenuto : esempi: Z N, R Q. Insieme vuoto: è l insieme che non ha elementi. Si osservi che esso è sottoinsieme di qualunque insieme.

7 Si può assegnare un insieme enumerando i suoi elementi (nel caso questo sia possibile), oppure tramite una proprietà caratteristica, ovvero una proprietà che verificano tutti e soli gli elementi dell insieme che si vuole definire. Si scrive: A = {x U P(x)} oppure A = {x U : P(x)} Esempi: {x Z x > 3}, {3n n N}.

8 quantificatori: quantificatore universale quantificatore esistenziale il primo si legge per ogni, il secondo si legge esiste. Si usa anche il simbolo che vuol dire esiste ed è unico.

9 Esempi: ( n N) (3n N) Sia P l insieme dei numeri pari. Allora si può scrivere P = {n Z m Z tale che n = 2m}. L insieme D dei numeri dispari può essere scritto come D = {n Z h Z tale che n = 2h + 1}. ( x)(x / ) ( A insieme)( A)

10 Connettivi logici congiunzione: che si legge e disgiunzione: che si legge o. Esempi: (8 P) (8 è divisibile per 4) sia n Z allora: (n P) (n D).

11 Definizione 3 Dati due insiemi A e B si definiscono l unione A B e l intersezione A B come segue: A B = {x x A x B} A B = {x x A x B} Si osserva subito che per ogni insieme A A = A A = e che se A B allora si ha A B = B A B = A.

12 1. (A B) C = A (B C) proprietà associativa dell unione 2. (A B) C = A (B C) proprietà associativa dell intersezione 3. A B = B A proprietà commutativa dell unione 4. A B = B A proprietà commutativa dell intersezione 5. (A B) C = (A C) (B C), A (B C) = (A B) (A C) 6. (A B) C = (A C) (B C), A (B C) = (A B) (A C) 5. proprietà distributive dell intersezione rispetto all unione, 6. proprietà distributive dell unione rispetto all intersezione.

13 Definizione 4 Sia A insieme e B A si definisce il complementare di B rispetto ad A: A (B) = {x A x / B}. Si ha ovviamente: A (A) = ; A ( ) = A; B A (B) = A; B A (B) = Si dimostrano le LEGGI DI DE MORGAN: A (B C) = A (B) A (C); A (B C) = A (B) A (C) Definizione 5 L insieme: A B = {x A x / B} si dice insieme differenza tra l insieme A e l insieme B

14 Definizione 6 Sia A un insieme. Si dice insieme delle parti di A e si indica con P(A) l insieme formato da tutti i sottoinsiemi di A. In simboli: P(A) = {X X A} È ovvio che A P(A), P(A), se X P(A), Y P(A), allora X Y P(A) e X Y P(A). Definizione 7 Siano A e B insiemi. Si definisce il prodotto cartesiano: A B = {(a, b) a A, b B}. Naturalmente si ha: A = A =. Definizione 8 Siano A e B insiemi. Si dice relazione tra A e B un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano.

15 Sia A un insieme ed R una relazione tra gli elementi di A, cioè R A A. Definizione 9 Si dice che R è riflessiva se è verificata la sequente condizione: ( a A) ((a, a) R). osservazione 10 Ovviamente, perchè R non sia riflessiva basta che esista un solo elemento x A tale che (x, x) / A. Definizione 11 Si dice che R è antiriflessiva se è verificata la sequente condizione: ( a A) ((a, a) / R).

16 Esempi Delle relazioni sull insieme A = {α, β, γ} R 1 = {(α, α), (β, β), (γ, γ), (α, β), (α, γ)} R 2 = {(α, α), (β, β), (α, β), (β, γ)} R 3 = {(α, β), (β, α), (γ, β), (β, γ), (γ, γ)} R 4 = {(α, β), (β, α), (α, γ)} R 5 = {(α, α), (β, β), (γ, γ), (α, β), (β, α)} sono riflessive R 1 e R 5, è antiriflessiva R 4 mentre R 2 e R 3 non sono riflessive (ne antiriflessive).

17 Definizione 12 Si dice che R è simmetrica se è verificata la sequente condizione: ( a, b A) (se (a, b) R allora (b, a) R). osservazione 13 Naturalmente è sufficiente che esista una sola coppia (x, y) R, x y, tale che (y, x) / R perchè R non sia simmetrica. Definizione 14 Si dice che R è antisimmetrica se è verificata la sequente condizione: ( a, b A) (se ((a, b) R (b, a) R) allora a = b). Esempi Si ha: R 1 e R 2 sono antisimmetriche, R 3 e R 5 sono simmetriche, R 4 non è simmetrica ne antisimmetrica.

18 Definizione 15 Si dice che R è transitiva se è verificata la sequente condizione: ( a, b, c A) (se ((a, b) R (b, c) R) allora (a, c) R). osservazione 16 Anche in questo caso è sufficiente che esistano (x, y), (y, z) R tali che (x, z) / R perchè R non sia transitiva. Esempi sono. Si ha: R 1 e R 5 sono transitive, R 2, R 3 e R 4 non lo

19 osservazione 17 Si osservi che spesso si usa la notazione arb in luogo di (a, b) R. Definizione 18 Si dice che R è una relazione d ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva. La coppia ordinata (A, R) (ovvero l insieme A munito della relazione d ordine) si chiama insieme ordinato. Esempio 19 R 1 è d ordine.

20 Esempio 20 Sia X un insieme. Allora la relazione è una relazione d ordine su P(X). Infatti dall osservazione 2 si ha che per ogni A, B, C sottoinsiemi di X 1. A A 2. se A B e B A allora A = B 3. se A B e B C allora A C

21 Esempio 21 L ordinamento naturale sull insieme Z dei numeri relativi è la relazione definita come segue: m, n Z, si dice che m n se e solo se h N tale che n = m+h. Si verifica che è una relazione d ordine su Z. Definizione 22 Siano m, n Z, m 0. Si dice che m divide oppure è un divisore di n (ovvero che n è un multiplo di m) e si scrive se esiste h Z tale che n = mh. m n Si osserva subito che un qualunque numero intero divide 0.

22 Esempio 23 La relazione sull insieme N := N {0} dei numeri naturali non nulli è una relazione d ordine. Esempio 24 Per ogni n N si indica con D n l insieme dei divisori di n. Di particolare interesse è la relazione d ordine indotta sull insieme D n.

23 Definizione 25 Sia (A, ) un insieme ordinato, X un sottoinsieme di A, x 0 X. Si dice che x 0 è minimo di X se: x X x 0 x. Si dice che x 0 è massimo di X se x X x x 0. Proposizione 26 Sia (A, ) un insieme ordinato, X un sottoinsieme di A. Se esiste un massimo (o un minimo) di X, esso è unico.

24 Dimostrazione Siano, infatti, x 0 e x 1 due massimi di X. Allora, poichè x 0 è massimo e x 1 X, si ha x 1 x 0 e, scambiando i ruoli di x 0 e x 1, si ha x 0 x 1. Per la proprietà antisimmetrica delle relazioni d ordine deve essere x 0 = x 1. (Analoga la dimostrazione dell unicità del minimo.) È quindi lecito scrivere x 0 = min(x) se x 0 è il minimo (che si dice anche il più piccolo elemento) di X, oppure x 0 = max(x) se x 0 è il massimo (che si dice anche il più grande elemento) di X.

25 Esempi 1. considerato l insieme ordinato (A, R 1 ), dove A = {α, β, γ} e R 1 = {(α, α), (β, β), (γ, γ), (α, β), (α, γ)}. Si ha α = min(a) ma non esiste il massimo di A 2. 0=min(N), ma non esiste il massimo considerando su N la relazione d ordine naturale 3. 1 = min(n ) ma non esiste il massimo considerando su N la relazione d ordine

26 4. considerando il sottoinsieme X = {2, 3, 9, 18} come sottoinsieme dell insieme ordinato (N, ), esiste max(x) = 18 ma non esiste il minimo di X 5. considerando l insieme ordinato (D n, ) si ha min(d n ) = 1, max(d n ) = n

27 Definizione 27 Sia (A, ) un insieme ordinato, A X. Un elemento y A si dice minorante di X se ( x X)(y x). Se X è dotato di minoranti si dice minorato o limitato inferiormente. Definizione 28 Sia (A, ) un insieme ordinato, X un sottoinsieme di A, minorato, α A. Si dice che α è estremo inferiore di X se è il più grande dei minoranti.

28 In altri termini α è estremo inferiore di se verifica le seguenti condizioni: 1. ( x X) (α x) 2. β A tale che ( x X) (β x) si ha β α. Si vede che se esiste un estremo inferiore, esso è unico, per cui è lecito scrivere α = inf(x). Inoltre, se inf(x) X, allora inf(x) = min(x).

29 Definizione 29 Sia (A, ) un insieme ordinato, A X. Un elemento y A si dice maggiorante di X se ( x X)(x y). Se X è dotato di maggioranti si dice maggiorato o limitato superiormente. Definizione 30 Sia (A, ) un insieme ordinato, X un sottoinsieme di A, maggiorato, α A. Si dice che α è estremo superiore di X se è il più piccolo dei maggioranti.

30 In altre parole α è estremo superiore verifica le seguenti condizioni: 1. ( x X) (x α) 2. β A tale che ( x X) (x β) si ha α β. Si vede che se esiste un estremo superiore di X, esso è unico, per cui è lecito scrivere α = sup(x). Inoltre, se sup(x) X, allora sup(x) = max(x).

31 osservazione 31 Nel caso X = {x, y}, α = sup(x, y) vuol dire 1. x α, y α 2. β A tale che x β, y β si ha α β. Analogamente α = inf(x, y) si scrive 1. α x, α y 2. β A tale che β x, β y si ha β α.

32 Definizione 32 Sia (A, ) un insieme ordinato. Si dice che è una relazione di ordine totale ovvero che (A, ) è totalmente ordinato se e soltanto se ( x, y A) (x y y x). Nel caso contrario, cioè se x, y tali che x y y x, si dice che è una relazione di ordine parziale oppure che (A, ) è parzialmente ordinato. Esempi Sono totalmente ordinati (N, ), (Z, ); sono parzialmente ordinati (N, ), (D n, ), (P(X), ), (A, R 1 ).

33 Definizione 33 Siano A, B insiemi non vuoti, R una relazione tra elementi di A ed elementi di B. Si dice che R è una relazione funzionale se e soltanto se a A b B tale che (a, b) R Se R è una relazione funzionale tra A e B, la terna ordinata f = (A, B, R) si dice applicazione o funzione tra A e B. A si dice dominio o insieme di partenza di f, B si dice insieme di arrivo di f. La relazione R si chiama grafico di f. Quando ci si riferirà ad applicazioni, si supporrà implicitamente che l insieme di partenza e l insieme di arrivo siano non vuoti.

34 Esempi: Siano A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c, d, e} allora R = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d), (4, e)} non è funzionale, R = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)} è funzionale R = {(1, a), (2, b)(4, c)} non è funzionale.

35 D ora in avanti si userà la notazione f : A B per indicare un applicazione dall insieme A all insieme B. Se, inoltre, R f è la relazione funzionale tale che f = (A, B, R f ), si porrà b = f(a) se e solamente se (a, b) R f. In questo caso si dice che b è l immagine di a mediante f o il valore assunto da f in a. Pertanto il grafico dell applicazione f è: R f = {(a, f(a)) a A}.

36 Quindi l applicazione f = (A, B, R ) precedentemente introdotta si scriverà nel modo seguente: f : A B tale che f (1) = a, f (2) = a, f (3) = b, f (4) = c. Chiaramente due applicazioni f : A B, g : C D sono uguali se e soltanto se A = C, B = D e a A f(a) = g(a). Si osservi che un applicazione è una particolare relazione, mentre non è vero che una qualsiasi relazione è un applicazione.

37 Esempi 1. Siano X e Y insiemi, c Y. Allora l applicazione f c : X Y tale che x X f c (x) = c si dice applicazione costante di costante valore c 2. sia X un insieme. Allora l applicazione id X : X X tale che x X id X (x) = x si dice applicazione identica di X 3. f 1 : Z Z tale che n Z f 1 (n) = 2n

38 4. f 2 : Z Z tale che x Z f 2 (x) = x 2 non è un applicazione 5. f 3 : P Z tale che x P f 3 (x) = x 2 6. f 4 : Q Q tale che x Q f 4 (x) = 1 x 7. f 5 : Z Z tale che a Z f 5 (a) = a 2.