RICORSIONE. Informatica B - A.A. 2013/2014

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1 RICORSIONE Informatica B - A.A. 2013/2014

2 RICORSIONE Che cos è la ricorsione? Un sottoprogramma P richiama se stesso (ricorsione diretta) Un sottoprogramma P richiama un altro sottoprogramma Q che comporta un altra chiamata a P (ricorsione indiretta) A cosa serve? È una tecnica di programmazione molto potente Permette di risolvere in maniera elegante problemi complessi

3 RICORSIONE La soluzione ad un problema si dice ricorsiva (l algoritmo è ricorsivo) se è definita in termini di se stessa Il calcolo del fattoriale è la classica funzione ricorsiva Il fattoriale di un numero n è dato dal n moltiplicato per il fattoriale di n-1 n!=n*(n-1)! 2

4 RICORSIONE Per risolvere un problema attraverso la programmazione ricorsiva sono necessari alcuni elementi Caso base: caso elementare del problema che può essere risolto immediatamente Passo ricorsivo: chiamata ricorsiva per risolvere uno o più problemi più semplici Costruzione della soluzione: costruzione della soluzione sulla base del risultato delle chiamate ricorsive

5 ESEMPIO 1: FATTORIALE Definizione: f(n) = n! = n*(n-1)*(n-2)* *3*2*1, se n!=0 f(n) = 1, se n==0 Definizione ricorsiva: f(0)=1 f(n) = n*f(n-1) function [f]=(n) if (n==0) f=1; else f=n * (n-1); end

6 ESEMPIO 1: FATTORIALE #include <stdio.h> long int fatt(int n); int main (void) { int n; printf( Inserire n: ); scanf( %d, &n); printf( Il fattoriale di: %d ha valore: %ld\n, n, fatt(n)); long int fatt(int n) { int risultato; if (n==0) risultato=1; else risultato = n*fatt(n-1); return risultato; } } 3

7 ESECUZIONE DI CHIAMATE RICORSIVE n:0 f:.. n:1 f:.. n:1 f:.. n:2 f:.. n:2 f:.. n:2 f:.. n:3 f:.. (1) n:3 f:.. (2) n:3 f:.. (3) n:3 f:.. (4) time n:0 f:1 n:1 f:.. n:1 f:1 n:2 f:.. n:2 f:.. n:2 f:2 n:3 f:.. n:3 f:.. n:3 f:.. n:3 f:6 (5) (6) (7) (8) time Ogni chiamata corrisponde ad un ambiente locale. Ambienti locali gestiti in modo LIFO (Last In First Out): cancellati in ordine inverso a quello un cui sono stati creati: si usa una struttura di dati detta pila/stack

8 LA RICORSIONE 9

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11 FUNZIONI RICORSIVE Le funzioni ricorsive devono soddisfare due condizioni principali: Possono invocare la funzione stessa con un valore in ingresso diverso (es.: prima n, poi n-1, poi n-2) Devono avere una condizione di terminazione che conclude la ricorsione (es.: se n=0 allora restituisci 1) Per il teorema di Jacopini Bohem la ricorsione non è necessaria Sequenza, selezione e iterazione sono sufficienti Quindi per ogni algoritmo ricorsivo esiste sempre anche una 12

12 CALCOLO DEL FATTORIALE VERSIONE ITERATIVA #include <stdio.h> long int fatt(int n); int main (void) { int n; printf( Inserire n: ); scanf( %d, &n); printf( Il fattoriale di: %d ha valore: %d\n, n, fatt(n)); } long int fatt(int n) { int i, ris=n; if (n==0) return=1; for (i=n-1; i>=2; i--) ris=ris*i; return ris; } 13

13 ESEMPIO 2: PROGRESSIONE DI FIBONACCI Sequenza di numeri che gode delle seguenti proprietà: FN = FN 2 + FN 1 con F2 = 1, F1 = 1, F0 = 0 La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di popolazioni 15

14 ESEMPIO 2: PROGRESSIONE DI FIBONACCI 16

15 ESEMPIO 2: PROGRESSIONE DI FIBONACCI #include <stdio.h> long int fib(int n); void main () { int num; scanf( %d, &num); long int fib(int n) { if (n==0) return 0; else if ((n==1) (n==2)) return 1; printf( Fibonacci di: %d ha valore: %d\n, num, fib(num)); } else return fib(n-1)+fib(n-2); } 17

16 ESEMPIO 2: PROGRESSIONE DI FIBONACCI function [ f ] = fib (n) if n==0 f=0; elseif n==1 n==2 f = 1; else f = fib(n - 2) + fib(n - 1); end

17 ESEMPIO 3: MASSIMO COMUNE DIVISORE (RICORSIVO) - ALGORITMO DI EUCLIDE function [M]=MCDeuclidRic(m,n) if m==n M=m; else if m>n M = MCDeuclidRic(m-n,n); else m n end M = MCDeuclidRic(m,n-m); M= end

18 ESEMPIO 4: DI UN ARRAY Ideare un procedimento ricorsivo per calcolare il massimo di un array di interi Idea: max(vect[0 : N]) =max(vect[0],max(vect[1 : N])) 18

19 ESEMPIO 4: DI UN ARRAY int max(int array[], int n){ int maxs; if (n==1) return array[0]; if (n==2) if (array[0]>array[1]) return array[0]; else return array[1]; maxs = max(&array[1],n-1); if (array[0]>maxs) return array[0]; else return maxs; } 19

20 ESEMPIO 5: BINARIA Problema: dato un array di interi ordinato, determinare se un valore ELEMENTO appartiene all array 20

21 RICERCA BINARIA int binsearch(int vettore[], int n, int ELEMENTO){ if (n==1) if (vettore[0]==elemento) return 0; else return -1; else if (vettore[n/2]>elemento) return binsearch(&vettore[0], n/2, ELEMENTO); else return binsearch(&vettore[n/2], n-n/2,elemento); } 21