Analisi Funzionale Cap. 2: Spazi di Hilbert

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1 Analisi Funzionale Cap. 2: Spazi di Hilbert Gabriele H. Greco Dipartimento di Matematica Università di Trento POVO (Trento) Italia greco a.a : Appunti del corso di Analisi Matematica (6UD) Passando dalla dimensione finita a quella infinita, cosa cambia? E importante che gli spazi euclidei di dimensione infinita siano completi? In tutto il capitolo, H denoterà uno spazio dotato di prodotto scalare il prodotto sarà denotato con, e la norma indotta con. 1. Famiglie sommabili Spazi con prodotto scalare Convergenza debole e forte Proiezioni su convessi e su spazi vettoriali Basi hilbertiane famiglie ortonormali e totali Spazi di Hilbert: esempi basilari Struttura degli spazi di Hilbert Hilbert Omnibus (1 a, 2 a parte: Riesz, riflessività, ortogonalità e totalità) Hilbert Omnibus (3 a parte: convergenza e compattezza debole) Hilbert Omnibus (4 a, 5 a parte: proiezioni, dec. ort., basi e sommabilità)... 10

2 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 1 1 Famiglie sommabili Per tutto il paragrafo, (V, V ) sarà uno spazio normato e con (a i ) i si denoterà una famiglia di elementi di V 1. Si dirà che (a i ) i I è sommabile in V 2 se esiste un elemento a V, (denotato nel seguito con i I a i ), tale che ε > 0, F ε I finito tale che: (1) a i F a i V ε per ogni F F ε sottoinsieme finito di I. La sommabilità è conservata dalla mappe lineari e continue; cioè, se ϕ è una trasformazione lineare e continua da V in un altro spazio normato e se (a i ) i I è sommabile, allora ( ϕ(a i ) ) i I è sommabile e, inoltre ϕ( i I a ) i = i I ϕ(a i). Al- Teorema 1.1 (criterio di Cauchy per la sommabilità) Sia V di Banach. lora una famiglia (a i ) i è sommabile ssse (2) ɛ>0 F ε I finito i F a i V ε per ogni F I \ F ε finito. Dimostrazione. E evidente che la sommabilità della famiglia comporta (2). Verifichiamo dunque il viceversa. Basandosi su (2), si costruisca una successione crescente {F n } n di sottoinsiemi finiti di I tali che per ogni n N si abbia: a i V 1 per ogni F I \ F n finito. n i F Si osservi che la successione {b n } n definita da b n := i F n a i è chiaramente di Cauchy; quindi, per la completezza di V converge verso un elemento V che è proprio i I a i. Corollario 1.1 Sia V di Banach. Siano λ i numeri reali tali che a i V (λ i ) i è sommabile, allora anche (a i ) i è sommabile. λ i. Se Corollario 1.2{ Siano V di Banach. Per un I I si definisca la famiglia (b i ) i I V a i se i I mediante b i := 0 altrimenti. Allora (b i) i I è sommabile, se (a i ) i I lo è. La famiglia (a i ) i I si dice assolutamente sommabile in V se ( a i V ) i è sommabile in R. Val la pena osservare che in caso di assoluta sommabilità l insieme (3) {i I : a i V 0} è numerabile. Dal corollario 1.1 segue la seguente proprietà che caratterizza la completezza degli spazi normati. Teorema 1.2 In uno spazio di Banach ogni famiglia assol. sommabile è sommabile. Esercizio 1.1 Ogni sottofamiglia di una famiglia di Cauchy di Cauchy. 1 Una famiglia di elementi di V (indiciata su I) è una funzione a valori in V, definita su un insieme non vuoto I; sarà denotata con (a i ) i I, o, semplicemente, con (a i ) i, oppure, volendo sottolineare che gli elementi sono in V, si scriverà (a i ) i I V. 2 Sinonimi di (a i ) i I è sommabile in V sono P i I a i V e P i I a i è sommabile in V. Al di fuori di queste espressioni, il simbolo P i I a i denota, se esiste, l elemento a dato da (1).

3 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 2 2 Spazi con prodotto scalare Uno spazio con prodotto scalare (detto anche spazio pre-hilbertiano) è una coppia (H,, ), dove H è uno spazio vettoriale e, : H H R è un prodotto scalare 3. H si atteggia a spazio normato con la norma : H R, definita da (norma indotta dal prodotto scalare) x := x, x ; cosicchè, come per la norma euclidea di R n, valgono la disuguaglianza di Cauchy e l uguaglianza del parallelogramma; rispettivamente: (1) x, y x y e x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. Allo spazio normato H corrispondono il duale H e il biduale H con le rispettive norme. Definiamo due applicazioni canoniche da H in H e in H : { { H H x x H ˆ H x ˆx (2) con x definita da x (y) := x, y con ˆx definita da ˆx(g) := g(x). Entrambe queste applicazioni sono isometrie (non necessariamente suriettive). Proposizione 2.1 (densità di H in H ) L immagine di H H è densa in H. Dimostrazione. Sia g H e g H = 1. L avere norma 1, comporta che dist (0, {g = 1}) = 1 (v. cap. 1 6). Quindi esiste una successione {x n } n H tale per ogni n N si abbia g(x n ) = 1 e lim n x n = 1. Dimostriamo che {x n} n converge verso g. 1 0 passo: {x n} n converge verso un f H. La successione {x n } n è di Cauchy, poichè ( 1) x n x m 2 = 2 x n x n 2 4 xn+xm x n x n e per il fatto che lim n x n = 1. Di conseguenza, anche {x n} n è di Cauchy, poichè l applicazione è un isometria (cioè: x n x m = x n x m ). Dunque {x n} n converge verso un f H, poichè H, come ogni duale (v. cap. 1 6), è di Banach. 2 0 passo: lim n f(x n ) = 1. Dalla continuità di f x n otteniamo f(x n ) x n 2 = f(x n ) x n(x n ) = (f x n)(x n ) f x n H x n. Quindi lim n (f(x n ) x n 2 ) = 0; perciò, essendo lim m x n = 1, si ha lim n f(x n ) = passo: ker g ker f. Supponiamo che l inclusione non valga. Allora esisterà un z H tale che g( z) = 0, f( z) 0 e z = 1. Dunque x n f( z) z {g = 1}; quindi ( 2) 1 x n f( z) z 2 = x n 2 + f( z) 2 2f( z) x n, z ; Tenuto conto che f( z) = lim n x n( z) = lim n x n, z, passando al limite in ( 2) per n si ottiene un assurdo: 1 lim n x n 2 + f( z) 2 2f( z) lim n x n, z = 1 f(z) 2 < passo: f = g. f e g sono forme lineari non nulle, aventi lo stesso nucleo, grazie al 3 0 passo. Quindi esiste c R tale che cf = g. Di conseguenza, passando al limite in cf(x n ) = g(x n ) si ottiene c = 1, grazie al 2 0 passo. Con ciò la dimostrazione è completa, poichè risulta lim x n g = 0. 3 Un prodotto scalare è un applicazione bilineare, simmetrica e definita positiva, cioè x, y, x 1, x 2 H e α, β R, valgono: (1) αx 1 + βx 2, y = α x 1, y + β x 2, y (2) x, y = y, x (3) x, x 0 (4) x, x = 0 x = 0. 4 L uguaglianza segue dalla uguaglianza del parallelogramma; mentre la disuguaglianza segue dalla combinazione di (x n + x m)/2 {g = 1} con dist (0, {g = 1}) 1.

4 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 3 3 Convergenza debole e forte Siano {x n } n H e x H. Si dirà che la successione {x n } n converge debolmente verso x (si scriverà: x m x ), qualora lim m f(x m ) = f(x), per ogni f H. In contrapposizione lessicale alla convergenza debole, la convergenza rispetto alla norma è detta anche convergenza forte e si indicherà con x m x. E evidente che la convergenza forte implica la debole. Lemma 3.1 Sia x H e {x n } n H una successione limitata. Allora (1) W 1 := {f H : lim n f(x n ) = f(x)} e W 2 := {f H : lim n f(x n ) R)} sono sottospazi vettoriali chiusi di H. Dimostrazione. Chiaramente W 1 è un sottospazio vettoriale. Per provare che è chiuso, si prenda {f n } n W convergente verso una f H. Ora si osservi che nel secondo membro di questa ovvia disuguaglianza: ( 1) f(x n ) f(x) (f f m )(x n ) + f m (x n ) f m (x) + (f m f)(x) il primo ed il terzo addendo sono infinitesimi in m, grazie alla convergenza di f m f e alla limitatezza di x n, e che il secondo addendo lo è in n, perchè f m W. Quindi si ottiene f W. Analogamente si dimostra che W 2 è chiuso. Proposizione 3.1 (confronto tra convergenza debole e forte) Sia {x n } n H e x H. Valgono le seguenti equivalenze: (2) x n x sup n x n < e lim n x n, y = x, y per ogni y H, (3) x n x lim n x n = x e lim n x n, y = x, y, (4) x n x x n x e lim n x n = x, (5) x n x x n x e {x n } n è di Cauchy. (2) Dimostrazione. =. La successione debolmente convergente è debolmente limitata. Quindi per il teorema di Banach-Steinhaus è pure limitata, cioè sup n x n <. Direttamente dalla definizione di convergenza debole e da y H si ha: lim n x n, y = lim n y (x n ) = y (x) = x, y. (2) =. L insieme chiuso W 1, definito come nel lemma 3.1, contiene B := {y : y H}. In virtù della proposizione 2.1, B è denso in H. Perciò W 1 = H, cioè x n x. (3). Segue da x n x 2 = x n 2 + x 2 2 x n, x e dalla continuità della norma e del prodotto scalare rispetto alla convergenza forte. (4). Segue da (2) e dalla continuità della norma e del prodotto scalare rispetto alla convergenza forte. (5). Nella direzione = la dimostrazione è ovvia. Scriviamo x n x = x lim m x n x m, n x x. Quindi, da x x n x n x m, n x x x n x n x m, tenendo conto di lim m,n x n x m = 0, si conclude con x n x.

5 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 4 4 Proiezione su convessi e su spazi vettoriali Per tutto il paragrafo conveniano che C, W H siano sottoinsiemi non vuoti e x H. Un punto di C, denotato con P C (x), è detto proiezione di x su C, se (1) x P C (x) = min { x y : y C } =: distanza di x da C. Proposizione 4.1 (proiezione su convessi) Sia C convesso, non vuoto. La proiezione P C (x) (unica, quando esiste) è caratterizzata dalla disuguaglianza: (2) x P C (x), y P C (x) 0 per ogni y C. Dimostrazione. (1) = (2). Fissato y C, il segmento che unisce x e P C (x) è contenuto nel convesso C; quindi da (1) segue ( 1) 0 x ( P C (x) + t[y P C (x)] ) 2 x P C (x) 2 per ogni t R ++ con 0 t 1. Da cui sviluppando il primo quadrato si ha: ( 2) 0 t 2 y P C (x) 2 2t x P C (x), y P C (x) ; disuguaglianza che permette (semplificando t e mandandolo a 0 + ) di avere la (2). (2) = (1). Sia y C. Usando la (2) otteniamo (1) tramite la disuguaglianza: x P C (x) 2 = x P C (x), x y + x P C (x), y P C (x) x P C (x) x y. L unicità segue dalla (2). Infatti, se anche P C(x) fosse una proiezione, si ha: 0 P C(x) P C (x) 2 = [ x P C (x) ] [ x P C(x) ], P C(x) P C (x) x P C (x), P C(x) P C (x) + x P C(x), P C (x) P C(x) 0. Proposizione 4.2 (proiezione ortogonale su spazi vettoriali) Sia W un sottospazio vettoriale di H. Un elemento x W è la proiezione di x su W ssse x x W ; inoltre la proiezione P W (x) esiste ssse x W + W. Infine (3) la proiezione P W : W + W W è lineare e continua. Dimostrazione. Per la prima parte, si validino le seguenti equivalenze x W +W x W x x W, x x, z = 0 z W x x, y x = 0. y W Per verificare (3), si osservi che se x 1 e x 2 sono le proiezioni di x 1 e x 2 (cioè: x 1 x 1, x 2 x 2 W ), allora ogni loro combinazione lineare t 1 x 1 + t 2 x 2 è la proiezione di t 1 x 1 + t 2 x 2, poichè t 1 (x 1 x 1 ) + t 2 (x 2 x 2 ) W. La continuità segue da (2). Infatti per y := 0, si ha x P W (x), P W (x) 0; da cui P W (x) x. Proposizione 4.3 (proiezioni su spazi vettoriali di dimensione finita) Sia W un sottospazio vettoriale di H di dimensione finita ed (a i ) i F una sua base ortonormale. Qualunque sia x H, la proiezione P W (x) esiste e (4) P W (x) = i F x, a i a i e x P W (x) 2 = x 2 i F x, a i 2. Dimostrazione. E chiaro che x i F x, a i a i è ortogonale ad ogni a i ; quindi appartiene a W. Perciò, grazie alla proposizione 4.2, l elemento i F x, a i a i di W è proprio P W (x). La seconda uguaglianza in (4) segue dal teorema di Pitagora.

6 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 5 5 Basi hilbertiane famiglie ortonormali e totali Una famiglia (a i ) i I H si dice ortonormale (in breve: ortofamiglia), se i suoi elementi hanno norma 1 e sono a due a due ortogonali. Si dice totale, se (1) H = Lin({a i : i I}), cioè ogni elemento di H è limite di combinazioni lineari finite, di elementi di (a i ) i. Una famiglia ortonormale e totale in H è detta base hilbertiana di H. Necessariamente, una base hilbertiana è massimale tra le famiglie ortonormali. Viceversa le famiglie ortonormali massimali (che esistono in virtù del lemma di Zorn) non sono necessariamente basi hilbertiane. Teorema 5.1 (da famiglie ortonormali a basi hilbertiane) Sia (a i ) i I una famiglia ortonormale di H e x H. Sono equivalenti le seguenti proprietà: (2) x Lin({a i : i I} (3) x = i I x, a i a i (4) (uguaglianza di Parseval) x 2 = i I x, a i 2. Quindi (a i ) i I è una base hilbertiana di H se e solo se, x H, valgono (3) e/o (4). Dimostrazione. Grazie alla proposizione 4.3, qualora (λ i ) i I R e F, G I sono insiemi finiti con F G, si ha: ( 1) x i F x, a i a i 2 = x 2 i F x, a i 2 ( 2) x i G x, a i a i x i F x, a i a i x i F λ ia i. Dalla ( 1) segue immediatamente l equivalenza di (3) con (4). E pure ovvio che (3) implica (2). Infine l implicazione (2) = (3), segue da ( 2). Corollario 5.1 (dalle famiglie ortonormali al calcolo della proiezione) Sia (a i ) i I una famiglia ortonormale di H, x H. Posto W := Lin({a i : i I}, si ha ( (5) x, ai a i è sommabile x W + W )i Inoltre per ogni x W + W risulta (6) P W (x) = i I x, a i a i e x P W (x) 2 = x 2 i I x, a i 2. Proposizione 5.1 (famiglie totali, convergenza forte e debole) Sia (a i ) i I una famiglia totale in H. Per ogni successione {x n } n H e x H valgono le seguenti equivalenze: (7) x n x sup n x n < e lim n x n, a i = x, a i per ogni i I, (8) x n x lim n x n = x e lim n x n, a i = x, a i per ogni i I. Dimostrazione. (7) (8) = : Si usi la proposizione 3.1. (7) (8) = : Ricordando il lemma 3.1, è immediato osservare che l insieme W := {y H : lim n x n, y = x, y } è un sottospazio vettoriale chiuso di H che contiene la famiglia totale (a i ) i ; quindi W contiene tutto H. Con ciò la proposizione 3.1 permette di concludere la dimostrazione.

7 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 6 6 Spazi di Hilbert: esempi basilari Uno spazio H con prodotto scalare è detto completo o spazio di Hilbert oppure spazio euclideo completo, se le sue successioni di Cauchy sono convergenti, cioè per una qualsiasi succesione {x n } n H: (H1) lim x m x n = 0 = x H tale che lim x n x = 0. m,n n Ogni spazio di Hilbert è di Banach rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare. Quindi agli spazi di Hilbert si può applicare tutto ciò che si conosce sugli spazi di Banach. 1) Spazi di Hilbert di dimesione finita. Gli spazi R n con l usuale prodotto scalare euclideo (o con un qualsiasi altro prodotto scalare) sono spazi di Hilbert. In questo caso tutte le loro basi ortonormali sono hilbertiane. 2) Spazi di Hilbert separabili. Lo spazio l 2 (N) con il prodotto scalare e relativa norma: ( ) 1/2 x, y := x i y i con x = x 2 := x i 2 n=1 è uno spazio di Hilbert, perchè il corripondente spazio normato è di Banach, come abbiamo visto nel capitolo precedente. Una base hilbertiana di l 2 (N) è data dalla famiglia numerabile degli e n. Rispetto a questa base hilbertiana numerabile, abbiamo (1) x = n N x(n)e n, (2) n N λ ne n è sommabile ssse n λ n 2 < +, (3) x n x sup x n 2 < + e lim n x n (i) = x(i) per ogni i, dove x l 2 (N), {x n } n l 2 (N) e {λ n } n R. Uno spazio H con prodotto scalare si dice separabile, se un suo sottoinsieme numerabile è denso in H. 3) Spazi di Hilbert con basi di cardinalità arbitraria. Sia I un insieme non vuoto qualsiasi. Definiamo n=1 l 2 (I) := { x R I : i I x(i) 2 sommabile }. Lo spazio vettoriale l 2 (I) è uno spazio di Hilbert, se dotato del prodotto scalare x, y := i I ( x(i)y(i), la cui norma è x = x(i) 2) 1/2. Gli elementi e i l 2 (I) definiti da e i (j) = 1 (risp. = 0), se j = i (risp. j i) costituiscono una base hilbertiana di cardinalità I. i I

8 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 7 7 Struttura degli spazi di Hilbert A meno di isometrie, tutti gli spazi di Hilbert sono del tipo l 2 (I). Vediamo come dimostrare questo fatto fondamentale, che è conseguenza dei seguenti teoremi. Teorema 7.1 (struttura degli spazi di Hilbert) Sia H uno spazio di Hilbert e (a i ) i I una sua base hilbertiana. Allora la seguente applicazione è ben definita (1) H l 2 (I) x ( x, a i ) i ed è un isometria tra He l 2 (I). La sua inversa è l 2 (I) H, λ i I λ(i)a i. Dimostrazione. Chiamata ϕ l applicazione in questione, dobbiamo dimostare che è un isometria suriettiva. In virtù del teorema 5.1, ϕ è ben definita ed è un isometria lineare. Inoltre, ϕ mappa la base hilbertiana di H nella base hilbertiana di l 2 (I); quindi ϕ(h) è denso in l 2 (I), cioè: ( 1) ϕ(h) = l 2 (I), poichè le basi hilbertiane sono totali. Essendo H completo, l immagine ϕ(h) è un sottospazio vettoriale completo di l 2 (I), quindi chiuso, cioè ( 2) ϕ(h) = ϕ(h). In conclusione, mettendo assieme ( 1) e ( 2) si ha ϕ(h) = l 2 (I); perciò l isometria ϕ è suriettiva. Teorema 7.2 (rappresentazione di Riesz) Per ogni forma lineare continua f : H R su uno spazio di Hilbert, esiste un y H tale che (2) f(x) = x, y per ogni x H. Dimostrazione. Ricordiamo che l applicazione H H è un isometria ad immagine densa in H (v. proposizione 2.1). Perciò sarà sufficiente verificare la sua suriettività per avere quanto richiesto da (2). Poichè H è completo, l immagine H := {x : x H} è un sottospazio vettoriale completo di H ; quindi chiuso. Dunque, essendo H denso in H si ha che H è proprio H ; quindi l isometria ϕ è suriettiva. Teorema 7.3 (esistenza del basi hilbertiane) Ogni spazio di Hilbert H contiene basi hilbertiane. Più in generale, ogni famiglia ortonormale di H è contenuta in una base hilbertiana; in particolare ogni famiglia ortonormale massimale è una base hilbertiana. Dimostrazione. In virtù del lemma di Zorn, esistono tra tutte le famiglie ortonormali quelle che sono massimali. Indicata con (a i ) i una di queste famiglie, dobbiamo dimostrare che è totale. Se per assurdo non lo fosse, si avrebbe che lo spazio vettoriale chiuso Lin((a i ) i ) H; quindi in virtù del teorema di Hahn-Banach (versione geometrica), esisterebbe un iperpiano chiuso H contenente Lin((a i ) i ). Essendo H nucleo di una forma lineare continua, dal teorema precedente si avrebbe che esiste ȳ H con ȳ = 1 tale che x, ȳ = 0 per ogni x Lin((a i ) i ). Ciò è in contrasto con la massimalità di (a i ) i, poichè con l aggiunta di ȳ tale famiglia rimarrebbe ancora ortonormale.

9 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 8 8 Hilbert Omnibus: riflessività, rappresentazione, ortogonalità e totalità Ricordiamo che possiamo vedere gli elementi di x H come forme lineari, mediante l isometria x x da H in H e l isometria x ˆx da H in H definite, rispettivamente, da x (y) := x, y e da ˆx(f) := f(x). Teorema 8.1 (HO 1 a parte: riflessività e rappresentazione di Riesz) Sono equivalenti le proprietà: (H1) [completezza] H è uno spazio di Hilbert. (H2) [rappresentazione di forme lineari] f H, x H tale che f = x (H3) [riflessività] H è riflessivo (i.e. h H, x H tale che h = ˆx) Dimostrazione. (H1) = (H2). E stata vista nel teorema 7.2. (H2) = (H3). Sia h : H R lineare e continua. Dobbiamo dimostrare che esiste un v H tale che si abbia h(f) = f(v) per ogni f H. La forma lineare da H in R definita da x h(x ) è continua; infatti h(x ) h x = h x. Quindi, da (H2) segue che esiste v H tale che h(x ) = v, x per ogni x H; cioè h(x ) = x (v). Dunque h(f) = f(v) per ogni f H. (H3) = (H1). L isometria x ˆx da H in H è suriettiva, grazie a (H3). Quindi H è completo, perchè H lo è. Teorema 8.2 (HO 2 a parte: ortogonalità, totalità) Sono equivalenti le proprietà: (H1) [completezza] H è uno spazio di Hilbert. (H4) [ vettori ortogonali] V H sottospazio vettoriale chiuso si ha V {0}. (H5) [famiglie totali] S H non vuoto è totale (i.e. H = Lin S), se S = {0}. (H6) [bi-ortogonale] S = Lin S, per ogni S H non vuoto. Dimostrazione. Ricorda che (H1) (H2). (H2) = (H4). In virtù del teorema di Hahn-Banach (forma geometrica), ogni sottospazio vettoriale chiuso V H è contenuto in un iperpiano chiuso, che chiamiamo H. H è il nucleo di una f H. Da (H2) segue che esiste un y H non nullo tale che f = y. Quindi, per ogni x H, si ha che 0 = f(x) = x, y ; perciò y H e, di conseguenza, V {0}. (H4) = (H5). Sia S H non vuoto tale che S = {0}. Da cui segue LinS = {0}. Quindi da (H4) si ha LinS = H, cioè S è totale. (H5) = (H2). Sia f H non nulla. Si applichi (H5) a S := ker f; cosicchè esiste un v S con v = 1. Posto ȳ := f(v)v, si ha f(x) = x, ȳ, per ogni x H. (H2) = (H6). Se LinS = H, è chiaro che S = 0 = H. Se LinS H, dal teorema di H.-B. si ha che LinS è l intersezione degli iperpiani chiusi contenenti LinS. Perciò da (H2) si ha LinS = y S ker y ; da cui LinS = y S {y} = S. (H6) = (H5). Sia S = {0}. Si ha S = H. Quindi (H6) dà LinS = H.

10 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco 9 9 Hilbert Omnibus: convergenza debole e compattezza debole Teorema 9.1 (HO 3 a parte: convergenza e compattezza debole) Sia (a i ) i I una base hilbertiana di H. Sono equivalenti le seguenti proprietà: (H1) [completezza] H è uno spazio di Hilbert. (H7) [convergenza debole] Una successione {x n } n H converge debolmente verso un elemento di H, qualora lim n x n, y R per ogni y H. (H8) [convergenza debole] Una successione {x n } n H converge debolmente, qualora sup n x n < e lim n x n, a i R per ogni i I. (H9) [compattezza debole della sfera] Ogni successione limitata di H ha una sottosuccessione debolmente convergente. (H10) [compattezza debole delle successioni di Cauchy] Ogni successione di Cauchy di H ha una sottosuccessione debolmente convergente. Dimostrazione. (H1) = (H7). Si definisca f : H R mediante f(y) := lim n x n, y. Dal corollario 10.1 del teorema di Banach-Steinhaus, segue che f è lineare continua. Quindi, da (H2) segue che x H tale che f = x. Perciò x n x. (H7) = (H10). Sia {x n } n H una successione di Cauchy. Si osservi che la disuguaglianza x n, y x m, y x n x m y, unitamente all essere {x n } n una successione di Cauchy, comporta che lim n x n, y R per ogni y Y. Quindi da (H7) segue che {x n } n converge debolmente verso qualche x H. (H10) = (H1). La proposizione 3.1 ci dice ogni successsione di Cauchy che è debolmente convergente, è fortemente convergente. Quindi ogni successione di Cauchy di H, avendo, grazie a (H10), una sottosuccessione debolemente convergente, ha pure una sottosuccessione fortemente convergente. Dunque è essa stessa convergente. (H1) = (H8). Per il lemma 3.1 W := {y H : lim n x n, y R} è uno spazio vettoriale chiuso. D altra parte W contiene la famiglia (a i ) i, che è una base hilbertiana (v. Teor. 7.3). Quindi W = H, perchè una base hilbertiana è totale. Dunque da (H1) tramite la (H7) segue la convergenza debole di {x n } n. (H8) = (H10). Si dimostri come si è fatto per (H7) = (H1). (H1) = (H9). Sia {x n } n H una succcessione limitata. La famiglia (a i ) i è totale (vedi Teorema 7.3); quindi ogni x n è limite di una successione contenuta in Lin({a i : i I}); perciò esiste I 0 := {i n : n N} I numerabile tale che x n, a i = 0, per ogni n e per ogni i I \ I 0. Ora sarà sufficiente determinare A N infinito t. c. ( 2) lim x n, a i R per ogni i I 0, n n A per concludere con quanto richiesto, via (H8). Procediamo! La limitatezza di {x n } n comporta che le successioni numeriche { x n, a i } n sono limitate, qualunque sia i I 0. Quindi esiste una successione decrescente {A m } m di sottoinsiemi infiniti di N, rispetto ai quali il limite lim n Am x n, a im esiste finito per ogni m. Dunque, indicato con k m l emmesimo elemento di A m, l insieme A := {k m : m N} verifica ( 2). (H9) = (H10). Ovvio, perchè ogni successsione di Cauchy è limitata.

11 Cap. 2: Spazi di Hilbert-Analisi Mat. 6 ud (a.a.06-07) a 1 greco Hilbert Omnibus: proiezioni, decomposizioni ortogonali, basi hilbertiane e sommabilità Teorema 10.1 (HO 4 a parte: proiezioni e decomposizioni ortogonali) Sono equivalenti le proprietà: (H1) [completezza] H è uno spazio di Hilbert. (H11) [proiezione su convessi chiusi] Per ogni convesso C chiuso di H, la proiezione P C (x) esiste, qualunque sia x H. (H12) [decomposizioni ortogonali] H = W + W, W H sottosp.vett.chiuso. Dimostrazione. (H11) = (H12). Ovvia, perchè ogni sottosp.vett. è convesso. (H1) = (H11). Fissato il convesso chiuso C ed il punto x, si ponga δ := inf y C x y e si prenda una successione {x n } n C tale che lim n x x n = δ. Il punto xm+xn 2 appartiene al convesso C; perciò x m + x n 2x = 2 xm+xn 2 x 2δ. Applicando l uguaglianza del parallelogramma ai vettori (x m x) e (x n x), si ottiene: x m x n 2 = 2 x m x 2 +2 x n x 2 x m +x n 2x 2 2 x m x 2 +2 x n x 2 4δ 2 Da cui, poichè lim n x x n = δ, si ha che {x n } n è di Cauchy; quindi, grazie a (H1), converge verso un x C. Ma lim n x x n = x x = δ. Perciò x = P C (x). (H12) = (H1). Sia W H un iperpiano vettoriale chiuso. Da (H12) segue che H = W + W. Perciò, essendo H W, si ha W {0}. Quindi (H1) vale, perchè vale la sua equivalente (H4). Teorema 10.2 (HO 5 a parte: sommabilità) Sono equivalenti le seguenti proprietà: (H1) [completezza] H è uno spazio di Hilbert. (H13) [sommabilità] j J λ(j)b j H, (b j ) j J ortofamiglia e λ l 2 (J). (H14) [sommabilità] j J x, b j b j H, per ogni x H e ogni ortofamiglia (b j ) j. (H15) [l 2 piccolo] H è isometricamente isomorfo a l 2 (I). Dimostrazione. (H1) = (H13). Segue dal teorema 7.1 applicato allo spazio di Hilbert Lin({b j : j J}. (H13) = (H14). Posto λ(j) := x, b j, dalla disuguaglianza di Bessel si ha che j j λ(j) 2 x 2 (vedi es. 4.9). Quindi λ l 2 (J). Da cui segue quanto richiesto (H14) = (H1). Sia W H uno spazio vettoriale chiuso di H. Per il lemma di Zorn esiste un ortofamiglia (b j ) j W massimale in W. Si prenda un arbitrario x W. L elemento x j J x, b j W è ortogonale ad ogni b j ; quindi dalla massimalità di (b j ) j in W, si ha necessariamente che x j J x, b j = 0. Perciò x Lin({b j : j J}. Dall arbitrarietà di x in W, segue che W = Lin({b j : j J}. Ora si prenda un x H \ W ; allora ȳ := x j J x, b j 0 ed è ortogonale ad ogni b j. Quindi W {0}. In conclusione, avendo verificato (H4), abbiamo (H1). (H1) (H15). In un verso è il teorema 7.1. Nell altro senso, H è di Hilbert, perchè il suo isometrico l 2 (I) lo è.