Integrale di sin t/t e varianti
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- Giustina Masini
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1 Ingral di sin / variani Annalisa Massaccsi dicmbr Ingral di sin / In rifrimno all s. 7 dl VII gruppo di srcizi, com già viso ad srciazion, vogliamo dimosrar ch sin / d R. Ossrvazion. Ossrviamo innanziuo ch sin lim = ssndo la drivaa dl sno in =. Dunqu sin / non è un ingral improprio d ora in avani ci occuprmo sclusivamn di sin Smplifichiamo l ingral con un passaggio pr pari, con la scla f( = sin (la primiiva sarà F ( = cos g( = /, onndo: D alra par sin d = d. ( cos =+ + cos = d = cos d. cos d R pr il cririo di assolua convrgnza (infai cos d d < + posso concludr ch sin d R. Nlla sconda par dll appndic vin fornia un alra soluzion, più complssa dal puno di visa dlla formalizzazion mamaica - dunqu più psan alla lura! - ma (fors gomricamn più inuiiva. La sconda soluzion è anch adaabil al caso più gnral di ingrali dl ipo sin g( d, con g( dcrscn infinisima. Ricordo ch nll ingral pr pari abbiamo fissao la sgun noazion: f(, g( sono l funzioni ingrand, F ( è una primiiva di f(, cioè F ( = f( il passaggio si riassum in f(g( d = F (g( F (g ( d.
2 Ingral di sin / Vogliamo dimosrar ch Ricordiamo ch la primiiva di f( = sin è sin d = +. F ( = (sin cos, prciò, crcando di calcolar pr pari sin / d oniamo sin d = (sin cos + Dunqu, siccom ( (sin cos / =+ = sin d = =, allora ( sin cos d. + d sin cos d. Di nuovo, sin cos d convrg pr il cririo dlla convrgnza assolua 3, dunqu sin d d = + Nlla prima par dll appndic ho insrio una sconda soluzion, con una dimosrazion gomrica con l argomno ch si usa pr calcolar l ingral di sin x. 3 Ingral di sin / Grazi al lavoro fao nlla szion, risolvr sin / d divna molo facil. Infai: sin R, moliplicando ad ambo i mmbri pr sin, oniamo A quso puno è immdiao concludr ch sin d sin sin R. sin d In caso di vuoi di mmoria, la primiiva di sin si calcola pr pari. 3 Infai è smpr vro ch sin cos. sin d = +.
3 4 Appndic I: ingral di sin / mor gomrico L ida ch vorri sprimr è la sgun: vdiamo sin / com un pzzo dll quazion cos + sin =, ch è una mra uguaglianza rigonomrica. Pr una sora di fiducia nlla simmria ra sni cosni inuiamo ch sin / d cos / d dovranno ssr quasi uguali, in paricolar vdrmo ch si comporano alla sssa manira. Quindi, poiché la loro somma / d = +, anch ssi dvono ssr infinii; in paricolar, sin / d = +. Di sguio formalizzo qusa ida. Andiamo a vdr cosa accad pr il cosno 4 : cos d = = sin ( + d = sin ( + + d + sin ( sin ( + d + d quindi con il cambio di variabil x = + / si oin: cos d = = sin 3 x x sin x x dx + dx 3 sin ( + + sin x x dx + d sin ( + + d. Pr confrono asinoico con l ulimo addndo è convrgn ad un numro, il scondo addndo è un ingral ordinario; da C R la loro somma si ha: Concludndo cos d = sin d + C. sin d = [ sin d + cos ] d C = d C = + 5 Appndic II: ingral di sin / con l sri Divido il dominio di ingrazion [, + (in bas all ossrvazion, posso rascurar l inrvallo inorno a in ani domini di ampizza, pr calcolar 4 Ricordiamo ch cos = sin( + /. sin d = k= (k+ (k sin d. 3
4 Simo dall alo dal basso (k+ (k sin d k =,, 3,.... Essnzialmn sfrurò solano il fao ch / è dcrscn su (, +. Lo ssso procdimno può ssr applicao ad una gnrica funzion dcrscn g( con lim + g( =, infai mi inrssano solano l disuguaglianza sguni: k (k (k + k Noiamo ch ( ( sono un caso paricolar di [(k, k] ( [k, (k + ]. ( g(k g( g((k [(k, k] (3 g((k + g( g(k [k, (k + ]. (4 Ngli inrvalli in cui sin è ngaivo, grazi a ( posso simar Quindi k (k sin k (k d sin (k k (k (k sin d = (k, d k sin d = k (k k. k (k sin Analogamn, ngli inrvalli in cui sin è posiivo, grazi a ( simiamo Prciò (k+ k sin (k+ k d sin Sommando l sim (5 (6 ongo (k + d k (k+ k (k+ k d k. (5 sin d = (k +, sin d = k. (k+ (k + sin d k k. (6 (k + (k+ (k sin d (k k k, 4
5 cioè Siccom k 4 (k (k + (k(k+ < +, ongo ch sin d = + k= ( (k+ (k sin d (k+ (k 4 sin + k= d. (k (k + >. Nl caso dlla gnrica funzion dcrscn infinisima g( sarbb sao sufficin sosiuir ( con (3 in (5 sosiuir ( con (4 in (6. 5
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