DISTRIBUZIONI SINGOLARI E FUNZIONE DENSITÀ

Transcript

1 2/3 DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC 0/ DISTRIBUZIONI SINGOLARI E FUNZIONE DENSITÀ Consideriamo una distribuzione continua di una data quantità Q ad esempio la carica elettrica o la massa). Introdotta la corrispondente densità ϱx) l ammontare QV ) della quantità Q contenuto nel volume V è dato da QV ) = dx ϱx) V e la quantità Q totale è data da Q tot = dx ϱx) Supponiamo ora che la distribuzione della quantità Q, anziché essere continua, sia ovunque nulla tranne che per un ammontare finito q 0 concentrato nel punto x 0 negli esempi fatti sopra una carica puntiforme o una particella di data massa poste nel punto x 0 ). Se vogliamo descrivere tale situazione ancora per mezzo di una densità ϱx) dovrà essere se il punto x 0 giace entro il volume V ) QV ) = dx ϱx) = q 0 V e Q tot = dx ϱx) = q 0. Ma la distribuzione ϱx) deve essere ovunque nulla tranne che nel punto x 0 e non esiste alcuna funzione con tale proprietà il cui integrale non sia nullo. Il problema, nell ambito della matematica, è risolto dalla teoria delle distribuzioni. Noi introdurremo, in modo intuitivo, una particolare distribuzione, la chiameremo impropriamente funzione e useremo la simbologia molto efficace comunemente adottata in fisica.

2 2/3 DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC 0/ 2 LA FUNZIONE DELTA La "funzione" delta di Dirac δx) è definita formalmente da ) + dx fx) δx) = f0) per ogni fx) ben definita in x = 0. Un immagine intuitiva, da prendere con cautela, della funzione δx) di Dirac è fornita dalla definizione { 0 per x 0, 2) δx) = + per x = 0, con + dx δx) =. Principali proprietà della funzione delta La funzione delta gode delle seguenti proprietà: 3) 4) 5) 6) 7) δx) = δ x), + dx fx) δx x ) = fx ), δax) = a δx), δgx)) = n x δx) = 0, g x n ) δx x n) [ gxn ) = 0, g x n ) 0 ], 8) fx) δx x ) = fx ) δx x ), 9) 0) + dy δx y) δy a) = δx a), + dx expikx) = δk). Le proprietà 3) 9) seguono facilmente dalla definizione ). La proprietà 0) traduce il teorema sulla trasformata inversa di Fourier.

3 2/3 DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC 0/ 3 Nota La proprietà 4) costituisce una generalizzazione al caso di variabili continue della proprietà i f i δ ij = f j Analogamente per le proprietà 8) e 9). del simbolo δ di Kronecker. Anche la proprietà 0) corrisponde, per una variabile a valori discreti, a una proprietà esprimibile in termini del simbolo di Kronecker. Imponiamo alla funzione esponenziale expikx) di essere periodica in x con periodo l, cioè restringiamo k ai valori discreti k n = l Allora, come subito si trova, n, con n intero. l integrale esteso a un periodo della funzione expik n x) ha la proprietà x0 +l dx expik l n x) = δ n0. x 0 Nota La proprietà 5), ovvero δax ax ) = / a ) δx x ), discende dalla relazione tra dax) e dx ed è diversa dalla corrispondente proprietà del simbolo di Kronecker. Analogamente per la proprietà 6). Nota La relazione 0) non contraddice i "valori" dell immagine intuitiva di δk) espressa dalla 2). Infatti, per ogni k 0, la funzione expikx) è periodica con periodo l = k e quindi prescrizione integrale su un periodo = {}}{ x0 +m+)l dx expikx) = dx expikx) = 0, m mentre per k = 0, x 0 +ml + dx = +, inesorabilmente.

4 2/3 DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC 0/ 4 Derivata della funzione delta È possibile definire le derivate di ogni ordine della funzione delta. In particolare la derivata prima ha le seguenti proprietà: + dx fx) δ x) := f 0), δ x) = δ x), + dy δ x y) δy a) = δ x a), x δ x) = δx), x 2 δ x) = 0, i + dk k expikx) = δ x). Funzione delta e distribuzioni singolari Definiamo la funzione delta tridimensionale δ 3) x x ) = δx x ) δy y ) δz z ) con la proprietà ) dx fx) δ 3) x x ) = fx ). Allora, se la distribuzione della quantità Q è costituita da quantità Q puntiformi di valori q i nei punti x i e da una distribuzione continua descritta dalla funzione ordinaria ϱ c x) la densità ϱx) definita da ϱx) = q i δ 3) x x i ) + ϱ c x) i ha tutte le proprietà volute.

5 2/3 DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC 0/ 5 Relazioni tra funzioni delta in tre dimensioni In R 3 siano r il modulo e Ω = {ϑ, ϕ} gli angoli di x. Se δ 2) Ω Ω ) è la funzione delta angolare definita da 2) dω fx) δ 2) Ω Ω ) = fr, Ω ) vale anche la relazione 3) dr dω fx) δr r ) δ 2) Ω Ω ) = fx ). D altra la proprietà ) si può riscrivere r 2 dr dω fx) δ 3) x x ) = fx ). Il confronto di questa con la 3) stabilisce la relazione 4) δ 3) x x ) = r 2 δr r ) δ 2) Ω Ω ). In modo analogo il confronto tra la relazione dϑ dϕ fx) δϑ ϑ ) δϕ ϕ ) = fr, Ω ) e la definizione 2) riscritta come sin ϑ dϑ dϕ fx) δ 2) Ω Ω ) = fr, Ω ) stabilisce la relazione 5) δ 2) Ω Ω ) = sin ϑ δϑ ϑ ) δϕ ϕ ). Nello spazio R 3 dei vettori k = {k, Ω k } = {k, ϑ k, ϕ k } valgono le relazioni analoghe 6) δ 3) k k ) = k 2 δk k ) δ 2) Ω k Ω k ), 7) δ 2) Ω k Ω k ) = sin ϑ k δϑ k ϑ k ) δϕ k ϕ k ).

6 2/3 DISTRIBUZIONI SINGOLARI E "FUNZIONE" DELTA DI DIRAC 0/ 6 LA FUNZIONE DELTA COME LIMITE DI FUNZIONI ORDINARIE La funzione delta può essere considerata il limite di opportune funzioni ordinarie. La tabella che segue elenca alcune funzioni di x x 0 che presentano un picco positivo in x = x 0, integrate da a + danno, dipendono da una variabile a che determina la larghezza e conseguentemente l altezza del picco. Le seconde espressioni sono ottenute dalle corrispondenti prime espressioni evidenziando il fattore a e ponendo l argomento nella forma adimensionale x x 0 a Tabella δ a Ch x x 0 ) = 2a χ a,a) = a 2 χ,) x x0 )/a ), δ G a x x 0 ) = a π exp x x 0 ) 2/ a 2) = a π exp δ L ax x 0 ) = a π δ S2 a x x 0 ) = a π δ S ax x 0 ) = π δ C a x x 0 ) = a π x x 0 ) 2 + a 2 = a π sin 2 x x 0 )/a ) x x 0 ) 2 = a π sin x x 0 )/a ) x x 0 = a π cos x x 0 )/a ) x x 0 ) 2 = a π x x0 )/a ) 2 +, sin 2 x x 0 )/a ) x x0 )/a ) 2 sin x x 0 )/a ), x x 0 )/a x x 0 )/a ) 2 ), cos x x 0 )/a ) x x0 )/a ) 2, La funzione δx x 0 ) può essere considerata come il limite per a 0 di una qualsiasi di queste funzioni, δx x 0 ) = lim a 0 δ a x x 0 ).