Sommario. Calcolo della massima clique. Componenti completamente connesse (o clique) Definizioni. Esempio. Esempio

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Laura Vinci
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1 Sommario Calcolo della massima clique Fulvio Corno, Matteo Sonza Reorda Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino Definizione del problema Algoritmo base Soluzione Branch & Bound Soluzione Greedy A.A. 2001/2002 APA-Clique 2 Componenti completamente connesse (o clique) Dato un grafo non orientato G(V,E), si definisce componente completamente connessa o clique un sottografo G (V,E ) che sia un grafo completo sui vertici V. Formalmente: G (V,E ) è dato da V V E = { archi e E che insistono su V } v i,v j V (vi, vj) E Definizioni Una clique si dice massimale se non è contenuta in nessuna altra clique Una clique si dice massima se è una clique massimale di dimensione massima A.A. 2001/2002 APA-Clique 3 A.A. 2001/2002 APA-Clique 4 {a,b} clique di dimensione 2, massimale. A.A. 2001/2002 APA-Clique 5 A.A. 2001/2002 APA-Clique 6 1

2 {b,c,e} clique di dimensione 3, non massimale. {b,c,e,f} clique di dimensione 4, massimale. A.A. 2001/2002 APA-Clique 7 A.A. 2001/2002 APA-Clique 8 {b,c,f,g} non è una clique: manca (b,g). {d,e,h,i,j} clique di dimensione 5, massimale e massima. A.A. 2001/2002 APA-Clique 9 A.A. 2001/2002 APA-Clique 10 Applicazioni La determinazione della massima clique è necessaria ogniqualvolta si voglia verificare la completezza di un sottografo: Quali sono le città tra le quali si può viaggiare con voli diretti (senza scalo)? Quanti sono i calzini liberamente accoppiabili tra di loro? Quali sono i gruppi di amici tra i quali non sono necessarie presentazioni? Proprietà Data una clique C di dimensione k, tutti i vertici v C hanno grado(v) k-1 A.A. 2001/2002 APA-Clique 11 A.A. 2001/2002 APA-Clique 12 2

3 Independent Vertex Set {d,e,h,i,j} IVS di dimensione 5, massimale e massima. Un problema equivalente alla massima clique è quello dell insieme massimo di vertici indipendenti (max-ivs). Un IVS è un insieme di vertici V V tale per cui tutti i vertici di V siano disgiunti (ossia non adiacenti). Il problema del max-ivs è equivalente al calcolo della max-clique sul grafo complementare. A.A. 2001/2002 APA-Clique 13 A.A. 2001/2002 APA-Clique 14 Sommario Principio di risoluzione Definizione del problema Algoritmo base Soluzione Branch & Bound Soluzione Greedy La soluzione più diretta al problema della clique è un algoritmo ricorsivo, in cui si costruisce la clique massima un nodo ad ogni livello di ricorsione. Ad ogni livello di ricorsione si ha una clique parziale di k nodi, e si cerca quale/i nodo/i annettere per realizzare una clique di k+1 nodi. A.A. 2001/2002 APA-Clique 15 A.A. 2001/2002 APA-Clique 16 Algoritmo (I) Algoritmo (I) Data una clique iniziale C di dimensione k for (all v V-C) if (v is connected to all v C) for (all v V-C) if (v is connected to all v C) A.A. 2001/2002 APA-Clique 17 A.A. 2001/2002 APA-Clique 18 3

4 Algoritmo (I) for (all v V-C) Data una clique iniziale C di dimensione k Aggiorna il max visto finora if (v is connected to all v C) A.A. 2001/2002 APA-Clique 19 Algoritmo (I) for (all v V-C) Data una clique iniziale C di dimensione k Aggiorna il max visto finora if (v is connected to all v C) Iverticiv candidati alla ricorsione sono solo quelli adiacenti a tutti iverticidi C A.A. 2001/2002 APA-Clique 20 Algoritmo (I) for (all v V-C) if (v is connected to all v C) Iverticiv candidati alla ricorsione sono solo quelli adiacenti a tutti iverticidi C Data una clique iniziale C di dimensione k Aggiorna il max visto finora Prova ad annettere v a C A.A. 2001/2002 APA-Clique 21 Algoritmo (II) find_clique() k = 0 for( all v in V ) clique( {v}, 1 ) return max_clique A.A. 2001/2002 APA-Clique 22 Algoritmo (II) (1) find_clique() k = 0 for( all v in V ) clique( {v}, 1 ) return C Inizia la ricerca da tutti i possibili verticidipartenza A.A. 2001/2002 APA-Clique 23 A.A. 2001/2002 APA-Clique 24 4

5 (2) C={a} k=1 (3) C={a,b} k=2 b, d nessuno A.A. 2001/2002 APA-Clique 25 A.A. 2001/2002 APA-Clique 26 (4) C={a,d} k=2 (5) C={b} k=1 nessuno a,c,e,f A.A. 2001/2002 APA-Clique 27 A.A. 2001/2002 APA-Clique 28 (6) C={b,a} k=2 (7) C={b,c} k=2 nessuno e,f A.A. 2001/2002 APA-Clique 29 A.A. 2001/2002 APA-Clique 30 5

6 (8) C={b,c,e} k=3 (9) C={b,c,e,f} k=4 f nessuno A.A. 2001/2002 APA-Clique 31 A.A. 2001/2002 APA-Clique 32 (10) C={b,c,f} k=3 (11) C={b,c,e,f} k=4 e nessuno A.A. 2001/2002 APA-Clique 33 A.A. 2001/2002 APA-Clique 34 (12) C={b,e} k=2 c,f A.A. 2001/2002 APA-Clique 35 Albero di ricerca (I) a ab b ba bc bce bcef bcf bcfe be bec becf bef befc bf bfe bfec bfc bfce c cb cbe cbef cbf cbfe ce ceb cebf cef cefb A.A. 2001/2002 APA-Clique 36 6

7 Albero di ricerca (II) Complessità cf cfb cfbe cfe cfeb cfg cg cgf d da de deh dehi dehij dehj dehji dei deih deihj deij deijh dej dejh dejhi deji dejih dh dhe dhei dheij A.A. 2001/2002 APA-Clique 37 La soluzione ricorsiva al problema della clique richiede un numero di chiamate più che polinomiale alla procedura clique(). Il caso peggiore (grafo completo) richiede O(V!) passi. A.A. 2001/2002 APA-Clique 38 Sommario Ottimizzazioni Definizione del problema Algoritmo base Soluzione Branch & Bound Soluzione Greedy L algoritmo base spende molto tempo a: Esplorare permutazioni di clique già viste Analizzare porzioni dello spazio di ricerca che non hanno nodi sufficienti a creare una clique più grande della migliore vista fino a quel momento A.A. 2001/2002 APA-Clique 39 A.A. 2001/2002 APA-Clique 40 Condizione di Bound #1 Data una clique parziale C con k= C nodi Definiamo P = {v v C v C:(v,v ) E} (insieme dei vertici candidati) Se P max_k k, allora è inutile esaminare ricorsivamente gli elementi di P Giustificazione: nel caso migliore tutti gli elementi di P saranno adiacenti tra loro e con i vertici in C. In tal caso si ottiene una clique data da C P, la cui dimensione è k+ P max_k. Algoritmo B&B #1 P = {v V-C : v connected to all v C } if( k+ P > max_k ) for (all v P) A.A. 2001/2002 APA-Clique 41 A.A. 2001/2002 APA-Clique 42 7

8 Condizione di Bound #2 Algoritmo B&B #2 Datiiverticiin P, se P > max_k k, vi saranno possibilità di costituire una clique di dimensione >k. In realtà la massima dimensione della clique ottenibile è limitata dal grado dei nodi scelti in P Prima di annettere un vertice v in P, occorre verificare che il suo grado non sia troppo basso P = {v V-C : v connected to all v C } if( k+ P > max_k ) for (all v P) if( k+grado(v)+1 > max_k ) A.A. 2001/2002 APA-Clique 43 A.A. 2001/2002 APA-Clique 44 Altre ottimizzazioni Considerare i vertici in P in ordine di grado decrescente Riconoscere se P costituisce un sottografo completo (in tal caso una clique è C P e non occorre enumerare tutte le permutazioni) Una volta trovata una clique di dimensione max_k, eliminare dal grafo tutti i vertici il cui grado è <max_k Complessità La soluzione branch & bound è ancora esatta (è in grado di trovare la max clique) La sua complessità nel caso peggiore continua ad essere O(V!) Nei casi pratici può essere notevolmente più efficiente A.A. 2001/2002 APA-Clique 45 A.A. 2001/2002 APA-Clique 46 Sommario Approccio greedy Definizione del problema Algoritmo base Soluzione Branch & Bound Soluzione Greedy Si costruisce una clique promettente, cercando di partire da un nodo di elevato grado e di annettervi i nodi con miglior connettività. A.A. 2001/2002 APA-Clique 47 A.A. 2001/2002 APA-Clique 48 8

9 Algoritmo (1) C = { vertice v con grado(v) max } do { P={vertici connessi a tutti i vertici di C} v = vertice di P di grado max C = C + { v } } while(esiste un v ) A.A. 2001/2002 APA-Clique 49 A.A. 2001/2002 APA-Clique 50 (2) (3) A.A. 2001/2002 APA-Clique 51 A.A. 2001/2002 APA-Clique 52 (4) (5) A.A. 2001/2002 APA-Clique 53 A.A. 2001/2002 APA-Clique 54 9

10 (6) (7) A.A. 2001/2002 APA-Clique 55 A.A. 2001/2002 APA-Clique 56 Controesempio (1) Controesempio (2) z a 3 b5 c5 z8 d7 e7 f5 g4 h i5 j h4 i5 j7 A.A. 2001/2002 APA-Clique 57 A.A. 2001/2002 APA-Clique 58 Controesempio (3) Controesempio (4) a 3 b5 c5 z8 a 3 b5 c5 z8 d7 e7 f5 g4 d7 e7 f5 g4 h4 i5 j7 h4 i5 j7 A.A. 2001/2002 APA-Clique 59 A.A. 2001/2002 APA-Clique 60 10

11 Controesempio (5) z8 a 3 b5 c5 d7 e7 f5 g4 h4 i5 j7 A.A. 2001/2002 APA-Clique 61 11

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