Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

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1 G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero che varia nell insieme dei numeri naturali (o, più generalmente in sottoinsiemi del tipo {n Z n a}, dove a Z è un fissato numero intero) Ad esempio: () per ogni n N, la somma dei primi n numeri naturali è uguale a n(n + )/, oppure: () ogni numero naturale maggiore o uguale a è prodotto di numeri naturali primi Nel caso () l enunciato è: P(n): la somma dei primi n numeri naturali è uguale a n(n + )/, o, in simboli, n n(n + )/ Tale enunciato dipende dalla variabile n, che varia nell insieme dei numeri naturali N Nel secondo caso, l enunciato è P(n): ogni numero naturale n è prodotto di numeri primi o, in simboli, n N, n, h N e p,, p h N, primi, tali che n = p p h Anche in questo caso l enunciato dipende da n, che varia nell insieme {n N n } Parlando informalmente, il Principio di Induzione è il Principio della scala infinita Supponiamo di avere un scala infinita, i cui gradini corrispondono ai numeri naturali In questo contesto il Principio di Induzione si potrebbe enunciare così: supponiamo di sapere che una data persona: (a) è in grado di salire il primo gradino; (b) se è ad un certo gradino, diciamo n, allora è in grado di salire sul gradino successivo (diciamo n + ) Allora questa persona è in grado di salire ogni gradino della scala all infinito (cioè per ogni n) Passiamo alle formulazioni rigorose e alle corrispondenti dimostrazioni Proposizione (Principio di Induzione) Sia a Z e sia P {n Z n a} Se l insieme P verifica le seguenti condizioni: (a) a P ; (b) sia n a Se n P allora n + P ; allora P = {n Z n a} Proof Dimostrazione per assurdo Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme {n Z n a} Consideriamo cioè l insieme Q = {n Z n a e n P } Dobbiamo dimostrare che, se valgono le proprietà (a) e (b), allora Q = Supponiamo che Q non sia vuoto Osserviamo che Q è un sottoinsieme dell insieme dei numeri interi limitato inferiormente (perchè Q un sottoinsieme dell insieme {n Z n a}) Allora Q possiede certamente un elemento minimo q 0 Certamente q 0 > a, per la proprietà (a) Ne segue che anche () q 0 Q Insiemi X dotati di una relazione d ordine (vedi lezioni successive) con la proprietà seguente: ogni sottoinsieme A X limitato inferiormente possiede un elemento minimo sono detti insiemi ben ordinati Quindi, nella dimostrazione, stiamo usando il fatto che Z è ben ordinato Ad esempio, R non è ben ordinato (esistono sottoinsiemi di R, ad esempio la seniretta aperta (0, + ), che non hanno elemento minimo)

2 (altrimenti, per la proprietà (b), se non fosse così, q 0 = (q 0 ) + apparterebbe a P, e quindi non a Q) La () è in contrasto con il fatto che q 0 sia il minimo di Q Quindi, l ipotesi che Q non sia vuoto ci porta ad una contraddizione Dunque Q deve essere necessariamente vuoto Caso particolare Sia P N Se P verifica le seguenti condizioni: (a) P ; (b) sia n N Se n P allora n + P ; allora P = N Proof È la Proposizione precedente con a = Come anticipato sopra, il Principio di Induzione si usa spesso nella forma seguente Versione 3 Sia a Z e n a, sia P(n) una proposizione (ossia un enunciato che o è vero o è falso) Se (a) P(a) è vera; (b) n a, se P(n) è vera allora P(n + ) è vera; allora P(n) è vera n a Proof Si applica la Proposizione all insieme P = {n Z n a, e P(n) è vera} Esempio 4 Torniamo all esempio () dell introduzione: dimostriamo, per induzione, che, n N, la somma dei primi n numeri naturali è n(n + )/ In simboli, n(n + ) n N In questo caso l enunciato dipendente da n N è () P(n) : Cominciamo con il verificare il Passo base: P() è vera In altre parole ( + ) n(n + ) che è ovvio Compiamo ora il passo induttivo, cioè la dimostrazione dell implicazione P(n) P(n + ) In questo caso, dobbiamo dimostrare la seguente proposizione (3) Ipotesi induttiva: Se allora (4) Tesi: n+ Dimostrazione : Si ha che n+ n (n + )(n + ) i + (n + ) = = = n(n + ) (n + )(n + ) i + (n + ) Per ipotesi induttiva, n(n + ) + (n + )

3 Ma, portando a denominatore comune, n(n + ) n(n + ) + (n + ) (n + )(n + ) + (n + ) = = In definitiva abbiamo dimostrato che, se vale l ipotesi induttiva (3) allora n+ (n + )(n + ) Abbiamo quindi stabilito il passo induttivo, cioè che (3) implica (4) A volte è utile usare la seguente leggera variante del Principio di Induzione Variante 5 (Variante del Principio di Induzione) Sia a Z e sia P {n Z n a} Se l insieme P verifica le seguenti condizioni: (a) a P ; (b) Sia n a Se {m Z a m n} P allora n + P ; allora P = {n Z n a} Proof La dimostrazione è del tutto simile a quella della Proposizione Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme {n Z n a} Consideriamo cioè l insieme Q = {n Z n a e n P } Dobbiamo dimostrare che, se valgono le proprietà (a) e (b), allora Q = Osserviamo che Q è limitato inferiormente, poichè Q un sottoinsieme dell insieme {n Z n a} Supponiamo che Q non sia vuoto Allora, poichè Q è un sottoinsieme limitato inferiormente dell insieme dei numeri interi, Q possiede un elemento minimo q 0 Certamente q 0 > a, per la proprietà (a) Ne segue anche che esiste un m Q tale che a m q 0 (altrimenti, per la proprietà (b), se non fosse così, q 0 apparterebbe a P, e quindi non a Q) Ciò è in contrasto con il fatto che q 0 sia il minimo di Q Quindi Q deve essere necessariamente vuoto Versione 6 Sia a Z e n a, sia P(n) una proposizione (ossia un enunciato che o è vero o è falso) Se (a) P(a) è vera; (b) n a, se P(m) è vera m tale che a m n, allora P(n + ) è vera; allora P(n) è vera n a Proof Come quella della Versione 3 La differenza dalla Versione sta nell ipotesi induttiva Mentre nella Versione tale ipotesi è che P(n) è vera, nella versione è che P(m) è vera per ogni m tale che a m n Esempio 7 Cerchiamo di apprezzare la leggera differenza tra le due versioni nell esempio () dell introduzione: dimostriamo, per induzione, che ogni numero naturale maggiore o uguale a due è prodotto di numeri primi (non necessariamente distinti, chiaramente) In simboli, n, h N e p,, p h, numeri naturali primi, tali che n = p,, p h In questo caso l enunciato dipendente da n {n N n } è P(n) : h N e p,, p h, numeri naturali primi, tali che n = p,, p h Passo base: P() è vera In altre parole, il numero è prodotto di numeri primi Questo è ovvio perchè è primo (in simboli = p p h con h = e p = ) Passo induttivo: P(m) vera, m tale che m n, P(n + ) vera In questo caso dobbiamo dimostrare la seguente Proposizione: 3

4 4 (5) Ipotesi induttiva: Se m tale che m n h N e p,, p h numeri primi tali che m = p p h allora (6) Tesi: k N e p,, p k numeri primi tali che n + = p p k Dimostrazione : Se n + è primo allora la Tesi è ovvia Se invece n + non è primo, si ha che che n + = a b, con a, b n Per ipotesi induttiva, a e b sono prodotti di primi Quindi anche n + = a b lo è In simboli: per ipotesi induttiva h a N e p,, p ha numeri primi tali che a = p p ha e h b N e p,, p hb numeri primi tali che b = p p hb Dunque n + = a b = p p ha p p hb Raccolta di alcuni esercizi d esame sul principio di induzione Attenzione: questi sono alcuni esercizi d esame, sugli argomenti di questa dispensa Non sono una selezione di quelli che ritengo più significativi, ma solamente quelli tratti daglia appelli di cui sono in possesso del file sorgente Siete quindi invitati a cercare di risolvere gli esercizi, su questi argomenti, tratti dai TUTTI gli esami degli anni passati (oltre agli esercizi assegati, naturalmente) Esercizio Sia a R tale che 0 < a < Dimostrare per induzione che ( a) n < +na, per ogni n Soluzione Sia a (0, ) Passo base: Per n = la disuguaglianza da dimostrare e : a < +a, che si verifica osservando che, moltiplicando e dividendo il primo membro per + a, essa è equivalente a a +a < +a, e quindi a Passo induttivo: l ipotesi e : ( a) n < +na La tesi e : ( a)n+ < +(n+)a Per dimostrare la tesi, si scrive il primo membro ( a) n+ = ( a) n ( a) Per ipotesi induttiva (e usando che a > 0), si ha che ( a) n+ = ( a) n ( a) < a +na Dunque, per a dimostrare la tesi, e sufficiente dimostrare che: +na +(n+)a, per ogni n Portando i membri di quest ultima disuguaglianza a comune denominatore, si vede che essa e equivalente a ( a)( + (n + )a) ( + na)( + (n + )a + na ( + na)( + (n + )a), e quindi a: ( a)( + (n + )a) < + na, cioé: + na (n + )a < + na, che è banalmente vera per ogni n a < Esercizio Sia h un numero reale diverso da a) Dimostrare per induzione che n i=0 h hn+ h per ogni n 0 b) Verificare esplicitamente tale formula per h = e n = SOLUZIONE Verifichiamo l uguaglianza per n = 0: 0 =0 h h 0 =, h h = Supponiamo ora che l uguaglianza sia vera per un n N e dimostriamo che la stessa uguaglianza è vera per n + : n+ h h i + h n+ = hn+ + h n+ = hn+ + (h )h n+ = h h i=0 i=0

5 h n+ h + h n+ h n+ h Quindi l uguaglianza è vera per ogni n 0 = hn+ h Esercizio 3 Si definisca: w 0 =, w = 3 e, per ogni n, w n = w n + w n Dimostrare che w 0 + w + + w n = w n w n+ per ogni n Si dimostra l asserzione richiesta per induzione Per n = è vera: w 0 + w = 3 e w w = 3 5 = 3 Passo induttivo: assumiamo per ipotesi che w + + w n = w n w n+ e dimostriamo che Per l ipotesi induttiva abbiamo w + + w n + w n+ = w n+ w n+ w + + w n + w n+ = w n w n+ + w n+ = w n+ (w n + w n+ ) Poiché per definizione vale w n+ = w n + w n+, l espressione (*) è uguale a w n+ w n+, come richiesto Esercizio 4 Dimostrare per induzione che n 3 +5n è divisibile per 6, per ogni numero naturale n Per n = abbiamo = 6 Dunque P () è vera Facciamo vedere che P (n) P (n + ): assumendo n 3 + 5n divisibile per 6, anche (n + ) 3 + 5(n + ) risulta divisibile per 6 Scriviamo (n + ) 3 + 5(n + ) = n 3 + 3n + 3n + + 5n + 5 = n 3 + 5n + 3n(n + ) + 6 e osserviamo che, poiché n(n+) è sempre divisibile per due (uno fra n ed n+ è pari), 3n(n+) è sempre divisibile per 6 Ne segue che n 3 +5n divisibile per 6 implica (n+) 3 +5(n+) divisibile per 6, come richiesto Esercizio 5 Sia F : N R la funzione definita ricorsivamente definita da F () =, F (n) = n + F (n ), per n (a) Calcolare F (), F (), F (3), F (4) (b) Dimostrare per induzione che F (n) = n +n (a) F () =, F () = + F () = 3, F (3) = 3 + F () = 6, F (4) = 4 + F (3) = 0 (b) P () : F () = + (vera) Ipotesi induttiva: Tesi: P (n) : F (n) = n + n P (n) P (n + ) : F (n + ) = (n + ) + (n + ) = n + 3n + Per definizione F (n + ) = n + + F (n) Per ipotesi induttiva F (n) = n +n Da cui come richiesto F (n + ) = n + + n + n = n + 3n +, Una funzione, definita su N (o, più generalmente, su un insieme del tipo {n Z n a}), è definita ricorsivamente, o induttivamente se si definisce f(), e poi, dato n N, si defisce f(n) in funzione di f(),, f(n ) 5 ( )

6 6 Esercizio 6 Dimostrare per induzione che n 3 + 3n + 5n è divisibile per 3, per ogni n Chiamiamo P (n) la proposizione n 3 + 3n + 5n è divisibile per 3 P () è vera: infatti = 9 è divisibile per 3 Dimostriamo che se P (n) è vera (ipotesi induttiva), anche P (n + ) è vera: (n + ) 3 + 3(n + ) 3 + 5(n + ) = = (n 3 + 3n + 5n) + 3n + 9n + 9 È evidente che 3n + 9n + 9 è divisibile per 3; dunque assumendo n 3 + 3n + 5n divisibile per 3, anche (n + ) 3 + 3(n + ) 3 + 5(n + ) è divisibile per 3, come richiesto Esercizio 7 Dimostrare per induzione che n n Per n =, l enunciato è P () :, ed è vero n, per ogni numero naturale Facciamo vedere che dall enunciato ennesimo P (n) : n n, segue l enunciato (n + )-simo P (n + ) : (n+) n+ Se P (n) è vero, abbiamo intanto la stima n + (n + ) n + (n + ) Se facciamo vedere che n + (n + ) n +, abbiamo dimostrato l enunciato P (n + ) La disequazione (*) è equivalente a n + (n + ) n + (n + ) n n + = n(n + ), che è soddisfatta per ogni numero naturale n La dimostrazione è completa Esercizio 8 Trovare una formula generale per la somma n Dimostrare per induzione che la formula trovata è quella giusta Si tratta di una serie geometrica Per n =,, 3, 4, si trova che la somma è uguale rispettivamente a 3, 7, 5, 3, e si riconoscono le potenze di meno La formula cercata è quindi n = s n = n+ Dimostriamo la validità della formula per induzione: per n = abbiamo che + = s = + Questo è corretto Supponendo che la formula valga per n, abbiamo che s n+ = s n + n+ = ( n+ ) + n+ = n+ Vediamo che la formula vale anche per n +, come richiesto Esercizio 9 Dimostrare per induzione che n k= k n per ogni n Per n = l affermazione è vera Supponendo l affermazione vera per n N facciamo adesso vedere che vale anche per n + Abbiamo che n+ k= = n k k= + Dobbiamo k (n+) dimostrare che questo è n+ Per l ipotesi d induzione abbiamo che n k= k n Basta quindi dimostrare che n + (n+) n+ Questo segue dal fatto che (n+) n(n+) = n n+ Esercizio 0 I numeri di Fibonacci F n sono definiti da F 0 =, F = e induttivamente da F n = F n + F n per n (a) Calcolare F 5 ( )

7 7 (b) Dimostrare per induzione che mcd(f n, F n ) = per ogni n (a) F = F 0 + F =, F 3 = F + F + = 3, F 4 = F + F 3 = 5, F 5 = F 3 + F 4 = 8 (b) n = : mcd(f 0, F ) = mcd(, ) = Passo induttivo: supponiamo che mcd(f n, F n ) = Si deve dimostrare che mcd(f n, F n+ ) = Sia m un numero naturale che divide sia F n che F n+ = F n + F n Allora m divide anche la differenza F n+ F n = F n Quindi m divide sia F n che F n e dunque, per l ipotesi induttiva, m = L asserzione è dimostrata Esercizio Dimostrare per induzione che divide 4 n+ + 5 n per ogni n N formula vale per n =, perché abbiamo che = Per dimostrare la formula per n +, scriviamo 4 n+ + 5 (n+) = 4(4 n+ + 5 n ) 4 5 n + 5 (n+) = = 4(4 n+ + 5 n ) 5 n ( 4 + 5) = 4(4 n+ + 5 n ) + 5 n Siccome per ipotesi la formula vale per n, il fattore 4 n+ +5 n è divisibile per Concludiamo che l ultima espressione è divisibile per e quindi che la formula vale per n + Esercizio Siano G n Z definiti ricorsivamente da G =, G = e G n = G n + 3G n per n 3 (a) Calcolare G 5 (b) Dimostrare per induzione che G n+ G ng n+ = ( 3) n per ogni n N (a) Abbiamo che G 3 = + 3 = 4, G 4 = = 7 e quindi G 5 = = 9 (b) Siccome abbiamo che G G G 3 = 3 =, l affermazione è corretta per n = Supponiamo adesso che la formula valga per n e dimostriamola per n + Abbiamo che G n+ G n+ G n+3 = G n+ (G n+ + 3G n ) G n+ (G n+ + 3G n+ ) = = 3(G n+ G n G n+) = 3( 3) n = ( 3) n+ Nell ultimo passaggio usiamo l ipotesi induttiva, ossia l uguaglianza G n+ G ng n+ = ( 3) n Esercizio 3 Dimostrare per induzione che n k=0 (k+)(k+3) = n n+ La per ogni n Per n =, la somma ha solo il termine con k = 0 ed è uguale a /3 = n/(n + ) Supponiamo adesso che la fomula valga per n e cerchiamo di dimostrarla per n + Per induzione abbiamo che k=0 n (k + )(k + 3) = come richiesto k=0 (k + )(k + 3) + (n + )(n + 3) = n n + + (n + )(n + 3) = = n(n + 3) + (n + )(n + 3) = n + n + 3

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