Statistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016

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1 Statistica Sociale e Criminale (1 CFU) A.A. 015/016 CdL Sociologia e Criminologia Simone Di Zio

2 Dove siamo MODULO 3. L Inferenza statistica 3.1 Probabilità e variabili casuali 3. Le tecniche di campionamento 3.3 Inferenza da Esperimento statistico 3.4 Inferenza da Popolazioni finite

3 La popolazione finita ha un insieme finito di unità elementari, numerabili ed identificabili, quindi etichettabili. P Y popolazione di N unità variabile oggetto di studio Y 1, Y,, Y N valori che la variabile assume nelle N unità. Un campione di dimensione n di P, è un sottoinsieme s = {i 1, i,, i n } di P che contiene n unità statistiche. {i 1, i,, i n } sono le etichette delle unità estratte. Il campione ordinato è quello in cui le etichette delle unità estratte vengono registrate secondo l ordine in cui appaiono Il campione non ordinato l ordine di estrazione non conta.

4 I dati campionari sono rappresentati da copie di valori: d = [(i 1 ; Y i1 ), (i ; Y i ),, (i j ; Y ij ),, (i n ; Y in )] In forma tabellare Osservazioni Campionarie 1 3 j n Intensità della variabile Y 1 Y Y 3 Y j Y n

5 Il piano di campionamento indica il procedimento con cui viene formato il campione. p(s) Ω probabilità di estrarre il campione s spazio campionario (tutti i possibili capioni) Piano di campionamento: p(s) 0 { p(s) = 1 Ω

6 La probabilità di inclusione del primo ordine π i è data dalla somma delle probabilità dei campioni contenenti l unità i-esima. π i = p(s) A i : ci chiediamo la probabilità di inclusione dell unità 5, cioè π p(s) = 1 5 per tutti i campioni π i = = 3 5

7 La probabilità di inclusione del secondo ordine π ij è la probabilità che due unità (i, j) appartengano al campione. : ci chiediamo la probabilità di inclusione di 5 e, cioè π 5, p(s) = 1 5 per tutti i campioni π 5, = = 5

8 Campionamento casuale semplice senza ripetizione: estrazione di singole unità, accordando alle unità rimanenti la stessa probabilità di essere estratte. Ad ogni estrazione si ricalcola la probabilità da assegnare alle unità rimanenti, ma tale probabilità è uguale per tutte Alla 1 estrazione ciascuna unità ha una probabilità pari a 1 N Alla estrazione la probabilità di estrazione è pari a 1 (N 1), e così via. Numerosità dello spazio campionario: tramite il coefficiente binomiale Ω = ( N ) nel caso di campioni non ordinati. n La probabilità di estrarre un campione s è: p(s) = 1 ( N n )

9 Variabile ausiliaria Per assegnare delle probabilità variabili di essere estratte alle unità della popolazione, è necessario avere una variabile che funga da indicatore d importanza relativa per le N unità della popolazione. Y variabile oggetto di studio X variabile ausiliaria caratterizzata da una proporzionalità con la variabile oggetto di studio Disponendo di una determinata informazione supplementare su tutte le unità della popolazione, si assegnano probabilità di estrazione differenti alle N unità, proporzionali all informazione supplementare fornita da X.

10 Il valore che X assume nella generica i-esima unità della popolazione si chiama misura di ampiezza (X i ). Da questa si ricava la misura di ampiezza normalizzata (per i = 1,,, N): P i = X i X

11 1. Si calcolano per ogni i le misure di ampiezza cumulate che chiamiamo T i : i T i = X j j=1 i = 1,,, N T N = X ammontare complessivo della variabile ausiliaria.. Si estrae un numero M compreso tra 1 e T N. Si fa un confronto fra il numero M e le misure di ampiezza cumulate. 3. Se risulta che: T i 1 < M T i allora l unità estratta è la i-esima. (è simile al procedimento per individuare la mediana). Questa tecnica serve per estrarre una sola unità della popolazione. Se si devono estrarre altre unità si applica in maniera iterativa il metodo, dovendo però prima ricalcolare tutte le ampiezze cumulate T i.

12 Popolazione: X max N unità statistiche dimensione dell unità più grande secondo la variabile ausiliaria. Si scelgono due numeri casuali: Un numero casuale s contenuto nell intervallo che va da 1 a N; Un numero casuale k contenuto nell intervallo 0 e X max. 1 s k k N 0 X max accetto s rifiuto s X s Se k > X s si rifiuta l unità s estratta se k X s si accetta s come elemento del campione.

13 Nel caso di popolazioni finite le proprietà necessitano di alcune specifiche. Correttezza Uno stimatore T = t(d) del parametro incognito θ della popolazione (d sono i dati campionari) si definisce corretto, o non distorto, se il suo valore atteso è uguale al parametro vero della popolazione: E(T) = θ Nel caso in cui E(T) è diverso da θ si dice che lo stimatore è distorto. La distorsione è: D(T) = E(T) θ

14 Consistenza Uno stimatore T = t(d) di θ è consistente se all aumentare di n converge al valore vero del parametro. Nel caso di popolazioni finite è necessario ipotizzare anche la crescita della popolazione, purché il rapporto fra n e N non raggiunga mai l unità. La proprietà della consistenza nel caso di popolazioni finite è la seguente: Si controlla questo rapporto in modo da avere, al crescere di n, un corrispondente adeguato valore di N lim P( T n n θ < ε) = 1 N n N <t<1 Si ipotizza una successione di popolazioni con N crescente

15 Efficienza La proprietà dell efficienza riguarda la capacità di uno stimatore di avere il più possibile valori addensati intorno al valore incognito del parametro. Si valuta tramite l Errore Quadratico Medio o Mean Squared Error: MSE(T) = E[(T θ) ] = [t(d) θ] p(c) In termini relativi, date due variabili casuali T 1 e T, entrambi stimatori del parametro θ, diremo che T 1 è più efficiente di T se e solo se Ω per ogni valore di θ. MSE(T 1 ) < MSE(T )