8) Sia Dato un mazzo di 40 carte. Supponiamo che esso sia mescolato in modo

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1 ESERCIZI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÁ ) Qual e la probabilita che laciado dadi a facce o esca essu? Studiare il comportameto asitotico di tale probabilita per grade. ) I u sacchetto vi soo 0 pallie biache; quate pallie ere devo mettere el sacchetto affiche la probabilita che estraedo seza rimpiazzo) pallie esse siao etrambe ere, sia maggiore di? 3) Sia Dato u mazzo di 40 carte. Suppoiamo che esso sia mescolato i modo tale che oguo dei possibili ordiameti sia equiprobabile. Qual e la probabilita che pescado le prime dieci carte essua di esse sia u asso? 4) Sia dato u mazzo di 5 carte 6 rosse e 6 ere). Suppoiamo che esso sia mescolato i modo tale che oguo dei possibili ordiameti sia equiprobabile. Qual e la probabilita che le carte siao ordiate i modo tale che ci sia u alteraza di carte rosse e ere o equivaletemete essua carta rossa o era sia vicia ad u altra rossa o era)? 5) Calcolare i quati modi e possibile alloggiare le famiglie A,B,C,D,E ei 5 piai di ua palazzia i modo tale che le famiglie A e B o siao allogiate su piai vicii. 6) I u sacchetto vi soo 4 pallie biache e 6 ere. Se e estraggoo 5 seza rimpiazzo). Calcolare la probabilita che la prima pallia estratta sia biaca codizioata al fatto che l ultima estratta e biaca. 7) Si lacia dieci volte ua moeta oesta. Calcolare la probabilita che al quito lacio si abbia ua testa codizioata al fatto che il umero di teste totale otteute e 3. 8) Sia Dato u mazzo di 40 carte. Suppoiamo che esso sia mescolato i modo tale che oguo dei possibili ordiameti sia equiprobabile. Dire se gli eveti A la prima carta e u asso) e B l ultima carta e u re) soo idipedeti. 9) Si effettua il seguete esperimeto: dapprima si lacia ua moeta oesta, se il risultato e testa allora si lacia u dado oesto), se il risultato e croce allora si laciao due dadi oesti). Calcolare la probabilita di otteere testa el lacio della moeta codizioata al fatto che il risultato del lacio deli) dadoi) e 4. 0) Sia dato lo spazio di probabilita Ω = {0, } 0 co la σ-algebra totale e misura di probabilita uiforme u elemeto ω Ω e ua sequeza luga dieci di 0 e ; ω = ω, ω,, ω 0 ) co oguo degli ω i che vale o 0). Trovare la fuzioe di distribuzioe di massa, il valor medio e la variaza delle segueti variabili casuali: 5 a) X = ω i ω i b) X = 5 ω i ) +ωi) 0 c) X = ω +ωi) i

2 d) X = 5 χ Ai ω) dove A i soo gli eveti A i = {ω Ω : ω i = ω 0 i }. ) I u sacchetto ci soo 5 pallie biache. Effettuo le segueti operazioi ripetutamete: aggiugo ua pallia rossa al sacchetto e estraggo a caso ua delle pallie preseti el sacchetto. Smetto di ripetere tali operazioi la prima volta che estraggo ua pallia rossa. Chiamo N la variabile casuale che corrispode al umero di estrazioi fatte, determiare la fuzioe di distribuzioe di massa. ) Sia Dato u mazzo di 40 carte. Suppoiamo che esso sia mescolato i modo tale che oguo dei possibili ordiameti sia equiprobabile. Numeriamo le carte cosi mescolate dall uo al quarata i modo che l uo corrispoda alla prima carta del mazzo ed il 40 all ultima. Descrivere la fuzioe di distribuzioe di massa della variabile casuale N = la posizioe del quarto asso quarto rispetto all ordiameto suddetto). 3) Date 5 ure A,B,C,D,E e tre pallie umerate dall uo al 3. Suppoiamo equiprobabile ogi possibile cofigurazioe i cui le pallie possoo essere disposte elle ure. Calcolare la fuzioe di distribuzioe di massa della variabile casuale S = somma dei umeri delle pallie preseti ell ura A. 4) Date 3 ure A,B,C e 5 pallie idistiguibili calcolare la fuzioe di distribuzioe di massa della variabile casuale N A = umero di pallie i A assumedo che ogua delle cofigurazioi possibili di pallie elle ure sia equiprobabile. 5) I u cassetto ci soo 5 paia di calzii, ogi paio di u colore diverso. Si predoo a caso calzii: si cosideri la variabila casuale N= umero di colori estratti. Si calcoli la fuzioe di distribuzioe di massa il valor medio e la variaza di N. 6) Sia dato lo spazio di probabilita fiito Ω = {,,, } co spazio degli eveti costituito da tutti i possibili sottoisiemi di Ω. Dire per quale valore del parametro c la fuzioe pi) = ci i =,,, defiisce ua misura di probabilita su Ω. Calcolare i valori di aspettazioe delle segueti variabili casuali: a) X i) = i b) X i) = χ A i) dove χ A e la fuzioe caratteristica dell isieme A = {,, 3}. c) X 3 i) = i 7) Si lacia u dado oesto a sei facce. Successivamete si lacia ua moeta oesta u umero di volte pari al risultato del lacio del dado. Sia D la variabile casuale che corrispode al risultato del lacio del dado e sia T la variabile casuale corrispodete al umero di teste otteute. a) Calcolare la distribuzioe di T. b) Calcolare P D = 3 T = ). c) Si scriva la rappresetazioe aturale di T come somma aleatoria di variabili casuali idipedeti.

3 d) Calcolare il valore medio di T ei segueti due modi: usado il teorema di partizioe e usado c). e) Usado c) calcolare la fuzioe geeratrice dei mometi di T. 8) Le 40 carte di u mazzo vegoo distribuite tra due giocatori i modo tale che ogua delle possibili divisioi del mazzo i due mazzi costituiti da 0 carte ciascuo sia equiprobabile. Il mazzo di 40 carte cotiee 4 assi. Sia N A = umero di assi i mao al giocatore A, N B = umero di assi i mao al giocatore B a) Si determii la fuzioe di distribuzioe della variabili casuali N A e N B b) Calcolare i valori medi di N A e di N B c) Si determii la fuzioe di distribuzioe cogiuta delle variabili casuali N A, N B ) d) Calcolare la fuzioe di distribuzioe della variabile N A quado il mazzo e costituito da carte > 4) ed il umero di assi rimae 4. Calcolare il limite quado tede ad ifiito. 9). Siao X,..., X > variabili aleatorie idipedeti ed ideticamete distribuite che assumoo valori i {0, } co fuzioe di distribuzioe i) Sia P X i = 0) = p, P X i = ) = p, p 0, ) ) S = X i Calcolare la fuzioe di distribuzioe, la media ES ) e la variaza VarS ). ii) Sia W =. Calcolare la fuzioe di distribuzioe, la media EW ) e la variaza VarW ). iii) Sia Y = X + X. Calcolare la fuzioe di distribuzioe, la media EY ) e la variaza VarY ). iv) Dire se S, Y e W soo idipedeti. v) Si assuma p = 4 e usado la disuguagliaza di Chebishev, si dica per quali valori di risulta P S 4 < ) e X i P W 4 < ) vi) Si discuta la covergeza della variabile aleatoria W quado. 3

4 0). Siao X ed Y due variabili aleatorie co valori i {0,, } la cui fuzioe di distribuzioe cogiuta e descritta dalla seguete tabella. Y \X ) i) Calcolare le fuzioi di distribuzioi margiali di X e di Y, le medie EX) ed EY ) e le variaze VarX), VarY ). ii) Dire se X ed Y soo idipedeti. iii) Calcolare la fuzioe di distribuzioe di W = X + Y e di Z = XY e calcolare le medie EZ) ed EW ). iv) Euciare la disuguagliaza di Cauchy Schwartz e verificarla per X e Y. ). Sia Ω = {0, } 6 l isieme di tutte le successioi lughe 6 di 0 e di. i) Calcolare la cardialita di Ω, ii) Calcolare il umero di successioi che iiziao co. iii) Calcolare il umero di successioi che cotegoo esattamete due. iv) Calcolare il umero di successioi che hao u umero di uguale al umero di v) Calcolare il umero di successioi che hao u umero di uguale al umero di 0 +. vi) Calcolare il umero di successioi cresceti prima appaioo tutti gli 0 e poi tutti gli ) vii) Calcolare il umero di successioi che cotegoo é due é due 0 cosecutivi. ) Siao X,... X > variabili aleatorie idipedeti che assumoo valori i {, 0, } co fuzioe di distribuzioe Sia P X i = 0) = p, P X i = ) = P X i = ) = p), p 0, ) S = i) Calcolare ES ) e V ars ). ii) Si assuma p = 3 e si dica per quali valori di risulta P 30 < S < ) iii) Idicado co Y 0 il umero di 0 fio ad e co Y ed Y il umero di ± fio ad, si calcoli al variare di p il maxp Y 0 = k), P Y = k), P Y = k)), k {,..., } iv) Si calcoli la distribuzioe del primo arrivo di 0. X i 4

5 3) I u sacchetto soo coteute 0 pallie, 6 biache e 4 ere. A) Si estraggoo successivamete pallie seza rimpiazzo, calcolare: A ) La probabilita che la secoda pallia estratta sia biaca. A ) La probabilita che la secoda pallia estratta sia biaca codizioata al fatto che la prima pallia estratta e era. La probabilita che la prima pallia estratta sia era codizioata al fatto che la secoda pallia estratta e biaca. A 3 ) Idicado co N B e co N N rispettivamete le variabili casuali umero di pallie biache estratte e umero di pallie ere estratte, se e calcolio le fuzioi di distribuzioe di massa, i valori medi, le variaze e la fuzioe di distribuzioe di massa cogiuta. B) Si estraggoo successivamete co rimpiazzo pallie, calcolare: B ) La probabilita che la secoda pallia estratta sia biaca. B ) La probabilita che la secoda pallia estratta sia biaca codizioata al fatto che la prima pallia estratta e biaca. B 3 )Idicado co N B ) e co N N ) rispettivamete le variabili casuali umero di pallie biache estratte dopo estrazioi e umero di pallie ere estratte dopo estrazioi, se e calcolio ivalori medi e le variaze, le fuzioi di distribuzioe di massa e la fuzioe di distribuzioe di massa cogiuta. Si discuta il comportameto asitotico per grade di NB) NN ) e. Si dia ua stima, usado la disuguagliaza di Cebychev, della probabilita che N B ) > ) Ua moeta oesta viee laciata 5 volte. Sia Ω = {0, } 5 lo spazio di probabilita usato per rappresetare i possibili risultati dell esperimeto. Determiare la distribuzioe delle variabili casuali ω i X i = + 5 j= ω j Dire se le variabili X i soo idipedeti. Nel caso i cui i laci siao, calcolare distribuzioe e valor medio della variabile casuale S = X i; calcolare lim ES ). 5) Sia dato u dado oesto a 6 facce. A) Calcolare la probabilità che laciado volte il dado si ottega come somma dei risultati 7. B) Calcolare la probabilità che al secodo lacio si ottega 3 codizioata al fatto che la somma dei risultati dei due laci è 7. C) Idicado co X ed X le variabili casuali associate ai risultati rispettivamete del primo e del secodo lacio, rappresetare tramite ua tabella la fuzioe di distribuzioe cogiuta di X ed X, dire se soo idipedeti e calcolare EX i ),), EX + X ), V arx i ),), V arx + X ). D) Si laci volte il dado e si discuta la covergeza quado della variabile casuale S = Xi ; dove X i è la variabile casuale associata al risultato del lacio i-esimo. E) Utilizzado la disuguagliaza di Chebysev si stimi quato deve essere grade affiché si abbia P S 7 > 6 ) < 0. F) Si lacia il dado più volte fio alla prima volta che si ottiee u 6. Idicado co N la variabile casuale associata al umero di laci effettuati, si calcoli la fuzioe di distribuzioe di N, il valor medio e P N > 0). 5

6 6) Sia dato u sacchetto coteete 0 pallie umerate dall uo al dieci. ESTRAZIONI SENZA RIMPIAZZO: A) Quati soo i possibili risultati di 3 estrazioi successive seza rimpiazzo cosiderado l ordie importate)? B) Cosiderado ogi estrazioe equiprobabile, qual è la probabilità che tutti i umeri estratti siao 5? C) Qual è la probabilità che i tre umeri estratti siao tre umeri cresceti cosecutivi? D) Quati soo i possibili risultati delle tre estrazioi se o si cosidera l ordie di estrazioe? ESTRAZIONI CON RIMPIAZZO: A ) Quati soo i possibili risultati di tre estrazioi successive co rimpiazzo cosiderado l ordie importate)? B ) Cosiderado ogi risultato equiprobabile qual è la probabilità che i tre umeri estratti siao tutti e tre uguali? qual è la probabilità che siao tutti e tre diversi? 7) Siao X i variabili casuali di Beroulli idipedeti ed ideticamete distribuite che assumoo il valore co probabilità p ed il valore 0 co probabilità -p 0 < p < ). A) Calcolare la fuzioe di distribuzioe, il valore medio e la variaza delle segueti variabili casuali: A = X i ; B = X i) + ; C = X i ) Xi ; D = max{x,, X } ; E = mi{x,, X }. B) Calcolare la fuzioe geeratrice dei mometi per A. C) Mostrare che D coverge i media quadratica ed i probabilità ad e che E coverge i media quadratica ed i probabilità a 0. D) Rappresetare i ua tabella la fuzioe di distribuzioe cogiuta delle variabili casuali X ed Y = X X. Dire se X ed Y soo idipedeti. 8) Siao X i, i N, variabili casuali idipedeti ed ideticamete distribuite co distribuzioe PX i = ) = p ; PX i = 0) = p e sia S = X i. Si discutao i segueti puti: A) Calcolare ES ) e VarS ). Determiare la distribuzioe di S e la fuzioe geeratrice dei mometi G S y) = Ee ys ). B) Calcolare P {X = ) X = 0} S = 0, 0. C) Dimostrare che le variabili casuali S i costituiscoo ua catea di Markov e calcolare PS = k S = j) al variare di k e j. D) Sia M = max {,,} X i ; determiare la distribuzioe di M e mostrare che quado diverge M coverge ad i media quadratica ed i probabilitá. E) Sia T = if{i : S i = }, determiare la distribuzioe della variabile casuale T. F) Utilizzado la disuguagliaza di Jese dare ua stima dal basso ) di E log +S )). G) Dare ua stima dall alto ) di P S p > 0). H) Calcolare il seguete limite lim P S + p > ) 0 6

7 I) Calcolare il seguete limite lim P S p > ) + 0 9) Siao date due ure A e B. L ura A cotiee 5 pallie ere e 5 biache; l ura B cotiee 3 pallie ere e 7 biache. Si procede all estrazioe di ua pallia el seguete modo: dapprima si sceglie ua delle due ure i modo equiprobabile e poi si procede all estazioe di ua delle pallie coteute ell ura prescelta scegliedo co uguale probabilitá tra tutte quelle preseti. i) Calcolare la probabilitá che la pallia estratta sia era. ii) Calcolare la probabilitá che l ura prescelta sia la B codizioata al fatto che la pallia estratta e era. iii) Sia X ua variabile casuale che vale se la pallia estratta e era e zero altrimeti, ed Y ua variabile casuale che vale se l ura prescelta e la A e zero altrimeti. Dire se le variabili X ed Y soo idipedeti e rappresetare i ua tabella la loro distribuzioe di probabilitá cogiuta. Si procede ora ivece estraedo ua pallia dall ura A ed ua pallia dall ura B. i) Calcolare la probabilitá che le pallie estratte siao diverse. ii) Procededo ad estrazioi co rimpiazzo successive di questo tipo dire qual é la distribuzioe di probabilitá della variabile casuale T=umero di estrazioi ecessarie per otteere ua coppia di pallie uguali. 30) I ua fabbrica c è ua macchia che è soggetta ad aleatorie cadute di tesioe ella poteza erogata. Queste cadute si verificao ogi ora idipedetemete co probabilità p. a). Si calcoli la distribuzioe del umero di cadute di tesioe avveute elle 4 ore di u gioro i cui la macchia è rimasta sempre accesa. b). Usado la distribuzioe del umero di cadute, si calcoli la distribuzioe del tempo i cui avviee ua caduta di tesioe per la prima volta. Si dica quato deve essere p affichè i media la prima caduta di tesioe o avvega etro le 4 ore. c). Si calcoli la probabilità che la prima caduta di tesioe avvega alle 3 sapedo che la secoda avviee dopo ore dalla prima. d). Si calcoli la distribuzioe del tempo i cui avviee la secoda caduta di tesioe. e). Si calcoli la probabilità che la prima caduta di tesioe avvega alle 3 sapedo che la secoda avviee alle 0. 3) U ura cotiee 0 pallie umerate da a 0: si effettua l estrazioe di ua pallia. Il giocatore A vice euro se esce u umero pari altrimeti rimae co i soldi che ha. Ivece il giocatore B vice euro se esce u umero pari miore o uguale a 6, perde euro se esce u umero dispari e rimae co i soldi che ha egli altri casi. a). Idicado co V A e V B rispettivamete le vicite/perdite dei giocatori A e B, calcolare la distribuzioe cogiuta di V A e V B. Dire se soo idipedeti. b) Calcolare la probabilità che V A sia strettamete) maggiore di V B. 7

8 c). Calcolare la distribuzioe di Z V A + V B, Calcolare la media e la variaza di Z. 3) U sacchetto cotiee 0 pallie biache e 6 ere. Se e estraggoo seza rimpiazzo. a). Calcolare la probabilità che siao etrambe ere. Calcolare la probabilità che la prima sia biaca e la secoda sia era. Calcolare la probabilità che siao ua biaca ed ua era. b). Calcolare la probabilità che la prima pallia estratta sia biaca codizioata al fatto che la secoda estratta è biaca. c). Idicado co N B e co N N rispettivamete il umero di pallie biache e di pallie ere estratte, si calcoli la distribuzioe cogiuta e dire se soo idipedeti. 33) Due compagie aree partoo per la stessa destiazioe ogi gioro alla stessa ora. Ogi gioro 000 passeggeri scelgoo co probabilità / ua delle due compagie. Dire quati posti ogi compagia deve forire per avere almeo il 95 per ceto di cofideza di o dover rifiutare dei passeggeri. 34) Sia α > e sia { α ) fx) = x se x >, α 0 altrimeti. Verificare che f è ua desità. i) Calcolare la fuzioe di ripartizioe. ii) Dimostrare che per < α la media o esiste e si calcoli la media per ogi α >. iii) Dimostrare che per < α 3 la variaza o esiste e si calcoli la variaza per ogi α > 3. 35) Si illustri co esempi la ozioe di covergeza i media quadratica e di covergeza i probabilità. 36) I u sacchetto vi soo dieci pallie umerate dall uo al dieci. A) Se e estraggoo due seza rimpiazzo; calcolare la probabilitá che: i) la somma dei risultati sia maggiore di tre ii)la somma dei risultati sia 0 iii) il umero della secoda pallia estratta sia maggiore di quello della prima. iiii) o vega estratta la pallia co il umero 5 B) Se e estraggoo due co rimpiazzo; calcolare la probabilitá che i) la somma dei risultati sia maggiore di tre ii)la somma dei risultati sia 0 iii) il umero della secoda pallia estratta sia maggiore di quello della prima. iiii) o vega estratta la pallia co il umero 5 C) Si effettuao estrazioi successive co rimpiazzo. Idichiamo co X i la Xi. variabile casuale associata all estrazioe i-esima e co S = i) Calcolare E S ) e Var S ) Idicare co σ = Var X )). ii) Stimare quato deve essere grade affiché P S E S ) )

9 37) Dare la defiizioe di variabile casuale cotiua e forire degli esempi. Calcolare valore di aspettazioe e variaza degli esempi proposti quado possibile). 38) I u sacchetto vi soo 0 pallie umerate dall uo al dieci. A)Se e estraggoo due seza rimpiazzo. Calcolare la probabilitá che etrambe abbiao u umero maggiore di 5. Calcolare la probabilitá che il umero della secoda sia maggiore del umero della prima. B) Se e estraggoo co rimpiazzo. Sia X i la variabile casuale associata al risultato dell estrazioe i-esima. Euciare e dimostrare la legge dei gradi umeri per le variabili casuali X i. 39) Siao X i variabili casuali i.i.d. tali che P X i = ) = e P X i = ) =. Defiiamo S = X i. A) Dimostrare che P S = 0) = π + ɛ ) dove ɛ e ua successioe tale che lim + ɛ = 0 Si ricordi che la formula di Stirlig dice che! = e π + δ ) co lim δ = 0). + B) Dimostrare, utilizzado le fuzioi geeratrici dei mometi, il teorema del limite cetrale per le variabili X i. 40) Siao X,, X variabili i.i.d co distribuzioe uiforme ell itervallo [0, 0]. Defiiamo la variabile casuale Y come Y = mi{x,, X }. A) Trovare la fuzioe di distribuzioe di Y e la corrispodete desitá. B) Calcolare il valore medio. 4) Siao date le segueti fuzioi di variabile reale: { c x si x x [0, π] f x) = 0 altrimeti 3) { c e f x) = x x [0, π] 0 altrimeti { c3 x f 3 x) = x [0, π] 0 altrimeti Determiare i valori delle costati c, c, c 3 affiché f, f ed f 3 possao essere iterpretate come desitá di probabilitá. Siao X, X ed X 3 delle variabili casuali co desita rispettivamete f, f ed f 3, calcolare E[X ], E[X ] ed E[X 3 ]. Siao Y i cariabili casuali i.i.d. co desitá f 3. Utilizzado la disuguagliaza di Chebysev dare ua stima dall alto ) della seguete probabilitá ) 50 P Y i E[Y ] 50 > 6) 0 4) I u sacco coteete 0 pile scariche cadoo 5 pile cariche. Calcolare la probabilitá che estraedoe seza rimpiazzo queste siao etrambe cariche. Calcolare la probabilitá che estredoe due seza rimpiazzo almeo ua delle due sia carica. Quate pile cariche e ecessario aggiugere al sacco affiché la probabilitá che,estredoe due seza rimpiazzo queste siao etrambe cariche, sia maggiore di? 4) 5) 9

10 Ogi gioro ua pila viee estratta dal sacco coteete 5 pile di cui solo 5 cariche, viee iserita all itero di u apparecchio elettrico ed a fie giorata viee rimessa all itero del sacco. Calcolare la distribuzioe della variabile casuale T = primo gioro di fuzioameto dell apparecchio. Idicado co N) la variabile casuale associata al umero di giori i cui l apparecchio ha fuzioato i giori complessivi, si calcoli la distribuzioe della variabile casuale N), il suo valore medio e la sua variaza. Si discuta il comportameto asitotico della variabile casuale N) per grade. SOLUZIONI ) Idichiamo co A i l eveto il dado i-esimo o da come risultato. Allora P A i ) = ). Gli eveti A i soo idipedeti, quidi P A i ) = P A i ) = ) ) Chiamiamo x il umero di pallie ere. Idichiamo co X ed X le variabili casuali associate alla prima ed alla secoda estrazioe. P x = N) = x 0+x ; P X = N X = N) = x 9+x. P X = N X = N) = P x = N)P X = N X = N) = e xx ) 0 + x)9 + x) > Si ottiee quidi la disuguagliaza x x 90 > 0 ed i defiitiva x 5. 3) I possibili ordiameti soo 40!. Quelli che o cotegoo assi fra le prime dieci soo I defiitiva la probabilitá cercata e ) I possibili ordiameti delle carte soo 5!. I possibili ordiameti alterati soo 6! 6! ; questo si ottiee separado le carte rosse dalle ere, cosiderado i possibili ordiameti dei due mazzi da 6 carte e poi rimettedoli isieme alterado rosse e ere e comiciado ua volta co le rosse ed ua volta co le ere. Quidi la probabilitá cercata e 6!) 5!. 5) Alloggiamo dapprima la famiglia A ell appartameto del primo piao. I seguito la famiglia B, che puo essere posta i tre diversi appartameti. Poi le rimaeti 3 famiglie possoo essere alloggiate i 3! modi diversi. Quidi il umero di possibili disposizioi delle famiglie co la famiglia A allogiata al primo piao e 3 3!. Lo stesso umero si ottiee co la famiglia A al quito piao. Il umero di alloggiameti co la famiglia A i piai differeti dal primo e quito si ottiee el modo seguete: allogiamo dapprima la famiglia A e questo lo si puo fare i tre modi diversi, poi la famiglia B che puo scegliere tra opzioi solamete ed ifie le rimaeti tre famiglie i 3! modi possibili. I totale il umero di alloggiameti che soddisfao il vicolo richiesto e 4 3 3! = 7. 6) Vi soo vari modi di risolvere l esercizio. Uo elegate e il seguete. Chiaramete la probabilita o viee modificata se ivece di fermarmi alla quita estrazioe prosegua ad estrarre pallie fio a che il sacchetto o rimae vuoto. 0

11 I possibili risultati di tale estrazioe soo tutte le possibili sequeze lughe dieci di B ed N, ogua di queste equiprobabile. A questo puto il coteggio e semplice: le sequeze che hao ua B ella prima posizioe ed ua ella quita soo 8 ) ; le sequeze che hao ua B ella quita posizioe soo 9 3) ; otteiamo quidi che la probabilitá richiesta e 8 ) 9 ) = 3 3 Da tale argometo si deduce ache che la probabilitá la prima sia biaca codizioata al fatto che la -esima sia biaca e sempre la stessa qualuque sia 0 i particolare ache per = che riduce i calcoli). Il risultato puó essere cosi iterpretato: si sa che i ua estrazioe successiva, o importa quale, uscirá ua pallia biamca quidi alla prima estrazioe tale pallia o potrá essere scelta e di cosegueza abbiamo ua estrazioe co ove pallie di cui tre biache ed il risultato 3 e immediato. 7) I risultati possibili soo 0 oguo equiprobabile. Sia A l eveto il umero di teste otteute e 3 e sia B l eveto al quito lacio si ottiee ua testa.il umero di risultati coteeti esattamete 3 teste e {B} = 0 3 ).Il umero di risultati coteeti esattamete tre teste ed ua di queste otteuta al quito lacio e {A B} = 9 ). Quidi P A B) = {A B} {B} = 3 0 8) Chiamiamo A e B i due eveti. Chiaramete P A) = 4 39! 40! = P B). Metre ivece P A B) = 4 38! 40!. E facile verificare che P A)P B) P A B) quidi gli eveti o soo idipedeti. 9) Chiamiamo X la variabile casuale associata al risultato del lacio della moeta ed Y la variabile casuale associata al risultato totale deli) lacio) deli) dadoi). P X = T Y = 4) = P X = T, Y = 4) P Y = 4) = = 3 0) a) X = 5 Y i co Y i = ω i ω i. Le Y i soo i.i.d. Beroulli di parametro 4 ; quidi X e ua variabile Bi5, 4 ) biomiale di parametri 5 ed 4 ). EX) = ; V arx) = 6. b) X = 5 Y i, co le Y i i.i.d. di Beroulli di parametro ;quidi X e ua variabile Bi5, ) biomiale di parametri 5 ed ). EX) = 5 ; V arx) = 5 4. c) La variabile X vale se e solo se tutte le ω i soo uo e zero altrimeti. Quidi X e ua variabile di Beroulli di parametro. EX) = 0 ; V arx) = 0 0 ). 0 d) Le variabili χ Ai soo variabili i.i.d di Beroulli di parametro ;quidi X e ua variabile Bi5, ) biomiale di parametri 5 ed ). EX) = 5 ; V arx) = 5 4.

12 ) Chiamiamo X i la variabile casuale associata all estrazioe i-esima. Chiaramete P N = ) = P X = R) = 6 P N = ) = P X = B, X = R) = P X = R X = B)P X = B) = P N = 3) = P X = B, X = B, X 3 = R) = P X 3 = R X = B, X = B) P N = ) P N = )) = 5 8 Co calcoli aaloghi si ottiee P N = 4) = 5 5 7, P N = 5) = 34, P N = 6) = 5! 6. 5 ) Poiche il quarto asso partedo dall alto e il primo asso partedo dal basso, per motivi di simmetria si ha la seguete relazioe Si calcola facilmete P pos. 4 o asso = k) = P pos. o asso = 40 k + ) P pos. o asso = m) = 36) m 4 40) m Abbiamo usato la otazioe ) m = m + ). quidi ifie otteiamo P pos. 4 o asso = k) = 36) 40 k 4 40) 40 k+ 3)Lo spazio di probabilitá opportuo e Ω = {ω = ω, ω, ω 3 ), ω i = A, B, C, D, E} Ω = 5 3 la misura e quella uiforme. Idichiamo co N ua geerica ura diversa da A. Le cofigurazioi che si possoo avere soo del tipo: A, N, N); S vale ; i totale soo 4 N, A, N); S=; 4 N, N, A); S=3; 4 A, A, N); S=3; 4 A, N, A); S=4; 4 N, A, A); S=5; 4 A, A, A); S=6; Da questa tabella e immediato calcolare la fuzioe di distribuzioe di massa. 4) La cardialitá dello spazio di probabilitá e 7 ). Ifatti le cofigurazioi di particelle possoo essere mappate uo ad uo su sequeze di lughezza 7 di pallii biachi e eri coteeti esattamete due pallii eri. I pallii eri dividoo i pallii biachi i tre gruppi che corrispodoo rispettivamete al umero di particelle elle ure A, B e C. Ad esempio la sequeza

13 corrispode alla cofigurazioe N A =,N B =,N C =. Allo stesso modo si puó quidi otteere che il umero di cofigurazioi corrispodeti ad N A = k k = 0, 5) e ) 7 k = 7 k quidi P N A = k) = 7 k 7 ) k = 0, 5 5) Idichiamo co X i le variabili casuali associate alla prima ed alla secoda estrazioe ed idichiamo co C i, i =,, 5 i 5 colori. P N = ) = 5 P X = C i )P X = C i X = C i ) = Chiaramete P N = ) = P N = ) = 9 EN) = = 7 9 6) Deve essere quidi a) b) c) Eχ A ) = V arn) = = EX ) = + ) ) = 3 + ) pi) = c i = c + ) c = + ) ) 7 9 i i = + ) = + iχ A i) = + ) EX 3 ) = + ) i i Per calcolare la somma si osserva che per ogi x 3 i = x i = x x = x x+ x Calcolado la derivata rispetto ad x i etrambi i membri si ha ix i = + )x + x + x) + ) 7) 3

14 Quidi Per x = si ottiee ix i = x + )x + x + x) i i = + + ) Quidi EX 3 ) = 4 + ) + ) 7) Poiche il dado e oesto, P D = i) = 6 per ogi i =,..., 6, a) Per calcolare la distribuzioe della variabile casuale T si osserva che P T = k) = 6 P T = k/d = i)p D = i) = 6 i=k 6 P T = k/d = i) 8) i=k Poiche testa e croce soo equiprobabili, Quidi b) Per defiizioe si ha che P T = k/d = i) = i i k P T = k) = 6 6 i=k i ) ) i k 9) 0) P D = 3/T = ) = P {D = 3, T = }) P T = ) ) Poiche da a) per k = segue P {D = 3, T = }) = 6 3 ) 3 P D = 3/T = ) = 3 3 ) [ 6 i= i i ) ) ] 3 [ 6 = i= 3 i ) i ] ) c) La variabile casuale T é la somma aleatoria di variabili aleatorie X i {0, },idipedeti ed idipedeti da D, co distribuzioe di Beroulli di parametro /, T = D X i, P X i = ) =, i =,... D 4

15 d) Per le somme aleatorie di variabili aleatorie idipedeti co uguale distribuzioe ed idipedeti da D, vale la seguete proprieta Quidi D E X i ) = ED)EX ) 6 6 ET ) = i 6 = i = 7 4 Usado il teorema di partizioe si ottiee lo stesso risultato ET ) = 6 ET/D = i)p D = i) = 6 i 6 = 7 4 e) Per u teorema dimostrato a lezioe la fuzioe geeratrice G T s) e data da: G T s) = G D G X s)) Si ha che e Quidi G D s) = 6 s k 6 = 6 k= s s 7 s G X s) = + s s = + s) G T s) = 6 + s +s)7 6 s 8) I modi possibili di distribuire le 40 carte tra i due giocatori e 40 0). Quidi 4 36 ) P N A = k) = k) 0 k ) La seguete idetita 4 k= ) ) 4 36 = k 0 k ) 40 0 permette di cotrollare che la somma su k di P N A = k) fa. b) La variabile N B ha la stessa distribuzioe di N A, quidi EN A ) = EN B ), ioltre N A + N B = 4. Quidi 4 = EN A + N B ) = EN A ) = EN A ) = EN B ) = c) Poiche se N A = k allora N B = 4 k, la fuzioe di distribuzioe cogiuta di N A, N B ) e { P N A = k, N B = k 0 se k + k ) = 4, 3) P N A = k) altrimeti. 5

16 d) Quado il umero di carte e si ha che ) 4 ) ) 4 k 4 k)!!! P N A = k) = k ) = 4) k k)! + k 4)!)! ) 4 )... k + ) )... + k 3) = 5) k ) ) 3) Sia el umeratore che el deomiatore c e u poliomio di quarto grado i. Il coefficiete del grado massimo e al umeratore e 4 al deomiatore, quidi lim P N A = k) = ) 4 k k Si ottiee pertato ua ditribuzioe biomiale di parametri 4 e /. 9) ) P S = k) = p k p) k, k = 0,..., ES ) = p, vars ) = pq k ) P W = k) = p k p) k, k = 0,...,, EW ) = p, varw ) = pq k P Y = 0) = p), P Y = ) = p p), P Y = ) = p, EY ) = p, vary ) = pq Le variabili o soo idipedeti. Ad esempio P S = 0, W = ) = 0 P S = 0)P W = ) P S = 0, Y = ) = 0 P S = 0)P Y = ) P W = 0, Y = ) = 0 P W = 0)P Y = ) Per Chebisev: P S 4 ) 40) ) Che permette di dedurre P S quado Per Chebisev: P W 4 ) 40) ) Che permette di dedurre P S quado 53. Per la legge dei gradi umeri W coverge i media quadratica ed i probabilita a p. 0) P X = 0) = 5 P X = ) = 5 P X = ) = 5 EX) = = 6

17 EX ) = = 9 5 ; V arx) = EX ) EX)) = 4 5 P Y = 0) = 5 ; P Y = ) = 5 ; P Y = ) = 5 EY ) = = 4 5 EY ) = = 6 5 ; V ary ) = EY ) EY )) = 4 5 Essedo P X = k, Y = k ) P X = k)p Y = k ) le variabili o soo idipedeti. EW ) = EX) + EY ) = 9 5. Ioltre ImW ) = {0,,, 3, 4} e P W = 0) = 3 0 ; P W = ) = 0; P W = ) = 5 ; P W = 3) = 5 ; P W = 4) = 0. ImZ) = {0,,, 4} ioltre P Z = 0) = ; P Z = ) = 5 ; P Z = ) = 5 ; P Z = 4) = 0. EZ) = = EX)EY ) La disuguagliaza di Cauchy-Schwartz dice EXY )) EX )EY ) per verificarla basta iserire i valori calcolati ) i) ii) Ω = 6 5 iii) ) 6 iv) Se U e il umero di e Z e il umero di 0 allora U + Z = 6 ioltre si deve avere U = Z + 3. Questo implica Z = 3 impossibile; quidi il umero di tali sequeze e 0. v) Se U e il umero di e Z e il umero di 0 allora U + Z = 6 ioltre si deve avere U = Z +. Questo implica Z = e U = 4. Il umero di tali successioi e 6 4). vi) Esiste ua successioe crescete per ogi umero itero il umero di o del blocco iiziale) compreso tra zero e sei. Quidi il umero totale di successioi cresceti e 7. vii) Esistoo solo due sequeze co tale proprieta: soo sequeze alterate di 0 ed ua che comicia co uo 0 ed ua che comicia co u. 7

18 4) Chiaramete le variabili X i soo ideticamete distribuite.e facile vedere che P X i = 0) = e poi P X i = + k ) = ) 5 ) 4 k k = 0,, 4 Le variabili o soo idipedeti, ifatti vale P X = 6, X = 0, X 3 = 0, X 4 = 0, X 5 = 0) = 0 che e diverso dal prodotto delle probabilitá. La distribuzioe di S e P S = L espressioe di ES ) e k k + ) = ES ) = k=0 Dalla formula del biomio di Newto k=0 x + y) = ) ) k k k + k=0 k ) k = 0,, ) ) x k y k k co derivazioi itegrazioi moltiplicazioi e divisioi per x si arriva alla formula k )x k y k = x + y) x + y)+ k + k x + ) che calcolata per x = y = da ES ) = + che coverge ad quado diverge. 5) A) P X + X = 7) = 6 k= P X = k, X = 7 k) = 6 k= P X = k)p X = 7 k) = 6 k= 6 6 = 6. B) P X = 3 X + X = 7) = P X=3,X+X=7) P X +X =7) = 6P X = 3)P X = 4) = 6. C) È ua tabella co etrate tutte pari a 36. P X = k, X = k ) = P X = k)p X = k ) quidi soo idipedeti. EX ) = EX ) = 6 k= k 6 = 7. EX + X ) = EX ) + EX ) = 7. EX ) = 6 k= k 6 = 9 6. V arx ) = V arx ) = EX ) EX ) = 35. V arx + X ) = V arx ) + V arx ) = D) S coverge i media quadratica ed i probabilità a 7 per la legge dei gradi umeri. E) P S 7 > 6 ) 6 V ars ) = 6 V arx ) = 05 < 0 > 050. F) P N = k) = 5 k 6) 6 Distribuzioe geometrica di parametro 6. EN) = 6. P N > 0) = 0 5 ) k k= 6 6 = ) 6) A) = 70. La prima pallia può essere scelta tra 0 la secoda tra le ove rimaeti e laterza tra le 8 rimaeti. B) = 6. La prima pallia può essere scelta tra 6 la secoda tra cique e la terza tra le 4 rimaeti, ogi possibile estrazioe ha probabilità uo sulla cardialità dello spazio. 8

19 8 C) = 90 Le possibili estrazioi di questo tipo soo solo 8 ogua idividuata dal primo umero estratto che può essere solo miore od uguale ad 8. D) ! = 0 I questo caso bisoga dividere il risultato del puto A per tutti i possibili ordiameti di tre oggetti. A ) 0 3. La cardialità del prodotto cartesiao tre volte dell isieme dei umeri aturali miori od uguali a 0. B ) 0 0 = 3 00 uguali = diversi. k ) 7) A) A è ua biomiale di parametri, p). P A = k) = p k p) k. EA ) = p. V ara ) = p p). P B = ) = p, P B = ) = p. EB ) = p + p = p. EB) = 4 p + p = 3 4 p. V arb ) = 3 4 p p ) = 4 p p ). k ) C è ua biomiale di parametri, p). P C = k) = p k p) k. EC ) = p). V arc ) = p p). P D = 0) = p), P D = ) = p). ED ) = p). V ard ) = p) ) p). P E = 0) = p, P E = ) = p. EE ) = p. V are ) = p p ). B) Es A ) = Es Xi ) = ) = + ps )). EsXi C) E[D ) ] = p) 0. E[E ) ] = p 0. La covergeza i media quadratica implica poi quella i probabilità. D) P X = 0, Y = 0) = P X = 0)P Y = 0 X = 0) = p P X = 0)P Y = 0) = p) p ). Questo implica che le due variabili o soo idipedeti. P X = 0, Y = ) = P X = 0)P Y = X = 0) = 0 P X =, Y = 0) = P X = )P Y = 0 X = ) = p p) P X =, Y = ) = P X = )P Y = X = ) = p 8) A) Per la liearitá del valore di aspettazioe ES ) = EX ) = p. Poiché le X i soo i.i.d VarS ) = VarX ) = p p). La distribuzioe di S e B, p): biomiale di parametri e p, ) PS = k) = p k p) k k ifatti k) e il umero di modi possibili di scegliere k variabili che assumoo il valore tra,p k p) k e la probabilitá di ogi realizzatioe di variabili co k uo e k) 0). G S y) = Ee ys ) = Ee yx ) ) = + pe y )) La secoda uguagliaza e dovuta all idipedeza delle X i. B) { P X = X = 0} ) S = 0 = 9 0 ) p 0 p) 0 ) = p 0 p) 0 0 0) ) 9

20 C) PS = k S = j, S = l) = PS = k S = j S = l) PS = j S = l) = PS = l)px = j l)px = k j) PS = l)px = j l) = PX = k j) E u calcolo aalogo vale per ulteriori codizioameti su variabili S i, i <. Quidi, quado j [0, ], PS = k S = j) = p se k = j + ; PS = k S = j) = p se k = j. D) La variabile casuale M assume solamete i valori e 0. Assume il valore 0 solamete se tutte le X i i =,, soo zero; quidi PM = 0) = p) e di cosegueza PM = ) = p). E M ) ) = PM = 0) = p) che coverge a zero quado diverge. La covergeza i media quadratica implica quella i probabilita. E) PT = k) = PX i = 0, i =, k X k = ) = p) k p la distribuzioe e ua geometrica di parametro p. F) La disuguagliaza di Jese dice: data f ua fuzioe covessa ed X ua variabile casuale X allora E fx)) f E X)). Applichiamo la disuguagliaza co fx) = log +x ed X = S ; otteiamo E G) log )) +S S P p > ) S ) ) P 0 p > 0 Applicado Chebysev S ) ) P p > 0 log +p. 0 Var S ) = 0 p p) Ua secoda possibilitá e : S P p > ) 0 = P e t S p) ) > e t 0 t > 0. Applicado la disuguagliaza di Markov si ottiee P e t S p) ) ) > e t 0 e t t 0 GS 0

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