Unità Didattica N 35 I sistemi lineari

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1 Uità Didttic N 5 Uità Didttic N 5 ) Sistem liere di equioi i icogite: teorem di Crmer ) Sistem liere di m equioi i icogite ) Teorem di ouchè-cpelli 4) Sistem di m equioi lieri omogeee i icogite 5) isoluioe di u sistem liere col metodo delle elimiioi successive o metodo di Guss 6) Determite di u mtrice qudrt col metodo di Guss 7) isoluioe di u sistem liere di equioi i icogite col metodo dell mtrice ivers

2 Uità Didttic N 5 Sistem liere di equioi i icogite: teorem di Crmer Dicesi equioe liere elle icogite,,,, u equioe del tipo : b [] i i dove,,..., soo umeri dti detti coefficieti delle icogite ; il umero b è il termie oto. Qudo è b l equioe dicesi omogee. Dicesi sistem liere di equioi i icogite u sistem del tipo : i ( ) A i b b b [] A [] mtrice dei coefficieti mtrice dell icogit i mtrice otteut dll mtrice A medite l sostituioe dell colo dei coefficieti dell icogit i co l colo dei termii oti Form mtricile di u sistem liere di equioi i icogite Il sistem [], scritto i form mtricile, ssume l seguete form : b b b ovvero, i form comptt, A X B dove : A, X, B b b b

3 Uità Didttic N 5 Teorem di Crmer C.N.S. perché il sistem liere [] mmett u sol soluioe è che risulti. I questo cso il vlore di ciscu icogit è ugule l rpporto tr il determite dell mtrice dell icogit ed il determite dell mtrice dei coefficieti. ( ) A det, ( ) A det, ( ) A det,..., ( ) A det [4] Se risult llor si pplic il teorem di ouchè-cpelli. U sistem di equioi lieri i icogite dicesi sistem di Crmer se h diverso d ero il determite dell mtrice dei coefficieti. Esso mmette sempre u sol soluioe che si ricv pplicdo il teorem di Crmer. Applichimo il teorem di Crmer per risolvere il seguete sistem liere: A 5 4 Det A () 5 4 Det A ( ) 5 4 Det A ( ) Det A ( ) ( ) 5 5 L ter ordit di umeri ( 58,, ) è l uic soluioe del sistem proposto. ( ) 8 8 OSSEVAZIONE Se risult, per vedere se il sistem dto è comptibile ( cioè mmette soluioi ) o icomptibile ( cioè o mmette soluioi ) bisog pplicre il teorem di ouchè-cpelli.

4 Uità Didttic N 5 Sistem liere di m equioi i icogite Cosiderimo u sistem di m equioi lieri elle icogite,,,, Le due mtrici [6] [5] A b b b m m m m m m m B b b m m m m b l prim formt coi coefficieti delle icogite e l secod coi coefficieti delle icogite e dei termii oti, si dicoo rispettivmete mtrice icomplet ( o mtrice dei coefficieti ) e mtrice complet del sistem [4]. (*) Il sistem [4] può vere essu soluioe ( sistem icomptibile o sistem impossibile ), u soluioe ( sistem determito ), ifiite soluioi ( sistem comptibile m idetermito ). Teorem di ouché-cpelli i [7] C.N.S. perché il sistem [5] mmett soluioi è che l mtrice icomplet A e l mtrice complet B bbio l stess crtteristic r ( r m, r EGOLA ) : r( A) r( B) PATICA Per risolvere u sistem liere di m equioi i icogite si procede come segue : ) Si clcol il rgo r( A ) dell mtrice icomplet A e quello rb ( ) dell mtrice complet B ) Se risult r( A) r( B) il sistem dto o mmette soluioi ) Se risult r( A) r( B) r il sistem dto mmette soluioi. Si clcol u qulsisi miore di ordie r diverso d ero ; suppoimo che si M r 4) Si cosider il sistem formto dlle r equioi i cui coefficieti figuro el miore M r ( ) (*) L mtrice icomplet A è u mtrice m m ( ) L crtteristic dell mtrice complet B o può mi risultre miore dell crtteristic dell mtrice icomplet A. Si potro, pertto, presetre due soli csi : ) l crtteristic di B è mggiore dell crtteristic di A ; il sistem o mmette soluioi b) r(a) r(b) il sistem mmette soluioi, metre l mtrice complet B è u mtrice ( ) 4

5 Uità Didttic N 5 Se risult m > r ( le equioi soo i umero mggiore del rgo) llor m r equioi soo superflue ( soo cioè combiioi lieri delle r equioi i cui coefficieti figuro el miore M r e quidi possoo essere elimite. 5) Si risolve il sistem otteuto pplicdo l regol di Crmer ricorddo di cosiderre come prmetri ( d trsportre secodo membro ) quelle icogite i cui coefficieti o figuro i M r. < m Il umero delle equioi super il umero delle icogite. ) r( A) r( B) ) r( A) r( B) Si possoo presetre i segueti csi : Il sistem o mmette soluioi. Nel sistem c è qulche equioe icomptibile co le ltre. Il sistem mmette soluioi. Nel sistem esistoo delle equioi superflue i quto combiioi lieri delle ltre equioi idipedeti. Elimite le equioi superflue secodo il criterio illustrto precedetemete si possoo presetre due csi : r < m Il sistem dto è equivlete d u sistem di equioi lieri i icogite Il sistem, che mmette u sol soluioe, si risolve co l regol di Crmer r < < m Il sistem dto è equivlete d u sistem di r equioi i icogite ; r icogite diveto prmetri. Il sistem che mmette ifiite ( r ) soluioi si risolve co l regol di Crmer > m Il umero delle icogite super il umero delle equioi. Si possoo presetre i segueti csi : ) r( A) r( B) Il sistem o mmette soluioi. Nel sistem c è qulche equioe icomptibile co le ltre. ) r( A) r( B) Si elimio le evetuli equioi superflue e si ottiee u sistem di r equioi i icogite ; r icogite diveto prmetri. Si ottiee u sistem di r equioi i icogite. Il sistem che mmette ifiite ( r ) soluioi si risolve co l regol di Crmer 5

6 Uità Didttic N 5 isolvere il seguete sistem formto d 4 equioi i tre icogite : A B r( A), rb ( ) 4, det B, L mtrice B o può vere rgo 4. M r( A) r( B) Il sistem dto è comptibile e risult equivlete : Si trtt di u sistem liere di tre equioi i tre icogite vete il determite dei coefficieti ugule d M. Esso si risolve pplicdo l regol di Crmer. C mtrice dei coefficieti delle icogite det C M ( ) det C ( ) det C ( ) det C 6 4 ( ) det C 8 5, ( ) det C 6 5, ( ) det C 5 6

7 Uità Didttic N 5 isolvere e discutere il seguete sistem liere k k k A k k, B k k k, r( A), rb ( ) k k k 4k k k k 6k 5 k k 4 ( ) ( ) ( k )( k 5 ) k k k k 6k 5 k, k 5 ) det A k e k 5 r( A) r( B) Il sistem proposto mmette u sol soluioe che si ottiee pplicdo il teorem di Crmer k ( ) k ( k )( k 5) () ( k )( k 5) ( k )( k 5) ( ) k k k due coloe soo uguli () ( k )( k 5) ( ) k k due coloe soo uguli k () ( k )( k 5) ) k B Tutti i miori del tero ordie estribili dll mtrice B soo ulli i quto i vettori rig liermete idipedeti soo due. I primi due vettori rig soo uguli. r ( A), r ( B) Se come miore del secodo ordie diverso d ero sceglimo : llor il sistem dto è equivlete l seguete sistem : i quto risult ( B) r( B) r. 7

8 Uità Didttic N 5 L mtrice dei coefficieti di questo sistem è : M det M ( ) det M ( ) det M 4 Il sistem proposto è comptibile ed idetermito i quto mmette dte dl vettore [ ; ]. ) k 5 B Tutti i miori del tero ordie estribili d quest mtrice soo ulli, quidi risult : 5 5, 5 5 5, 5 5, 5 5, ( A) r, r ( B) Se come miore del secodo ordie diverso d ero sceglimo : llor il sistem dto è equivlete l seguete sistem : 5 L mtrice dei coefficieti di questo sistem è : N, detn 5 det N ( ) 5 4 ( ) ( ) 5 det N 5 Il sistem proposto è comptibile ed idetermito i quto mmette vettore [ ; ]. dte dl 8

9 A Uità Didttic N 5 Sistem di m equioi lieri omogeee i icogite E u sistem ricoducibile ll seguete form : [8] co m m m m Il sistem [8] mmette sempre l soluioe ull o ble Se il sistem [8] mmette l soluioe propri o utosoluioe,,,, mmette che tutte le ltre ifiite soluioi che si ottegoo d quest moltiplicdol per il fttore o ullo ρ, cioè : ρ, ρ, ρ,, ρ. TEOEMA C.N.S. perché il sistem [8] mmett soluioi proprie è che l crtteristic r dell mtrice dei coefficieti si miore del umero delle icogite. Se risult r il sistem [8] o mmette soluioi proprie. Se risult r < il sistem [8] si risolve pplicdo prim il teorem di ouchè-cpelli e poi quello di Crmer. Per l ricerc delle soluioi proprie si procede come segue : ) Si clcol l crtteristic r dell mtrice ) Se risult r il sistem è impossibile, cioè o mmette soluioi proprie ) Se risult r < si cosider u uovo sistem formto d r equioi scelte i modo che i loro coefficieti pprtego l miore M di ordie r cosiderto 4) Assumoo il ruolo di prmetri r icogite i cui coefficieti o figuro el miore M di ordie r 5) I suddetti prmetri vegoo trsferiti l secodo membro 6) Il sistem otteuto è, così, formto d r equioi i r icogite e si risolve pplicdo l regol di Crmer. 9

10 Uità Didttic N 5 U cso prticolrmete importte è il seguete : << Il sistem [8] h equioi, icogite e l mtrice A dei coefficieti h rgo r >> Dett A i l mtrice qudrt otteut dll mtrice A sopprimedo l colo di posto i, le soluioi del sistem [8] soo : k A, k A, k A,..., ( ) k A dove k è u qulsisi coefficiete di proporiolità diverso d ero. Ache i questo cso prticolre possimo risolvere il sistem [8] pplicdo prim il teorem di ouchè-cpelli e poi ricorredo l teorem di Crmer. isolvere il seguete sistem liere omogeeo : Il sistem dto mmette soluioi proprie. M 4 r( A) A r( A ) < 4 < 4. Poiché il rgo dell mtrice dei coefficieti è miore del umero delle icogite, il sistem omogeeo proposto mmette soluioi proprie. Il sistem dto è equivlete l seguete sistem : 4 4 det N 4 4 ( ) 4 N 4 mtrice dei coefficieti det N ( ) det N 4 N det 5 det N ( ) 4 ( ) det N det N det N ( ) ( ) det N 6 det N 8 5

11 Uità Didttic N 5 isoluioe di u sistem liere col metodo di Guss Operioi elemetri sulle righe di u mtrice ) scmbio di due righe ) moltiplicioe o divisioe di u rig per uo sclre o ullo ) somm lgebric di u rig co u ltr rig moltiplict per uo sclre E quidi possibile : ) moltiplicre tutti gli elemeti di u rig per u stess costte divers d ero : questo equivle moltiplicre etrmbi i membri dell corrispodete equioe per u stess costte o ull ) sostituire, d u dt rig, quell che si ottiee sommdole u ltr rig, dopo vere evetulmete moltiplicti tutti gli elemeti per u stess costte divers d ero ; ciò equivle sostituire u equioe del sistem co u combiioe liere di equioi del sistem stess ) cmbire l ordie delle righe dell mtrice complet ; ciò equivle mutre l ordie delle equioi del dto sistem 4) cmbire l ordie delle coloe dell mtrice, eccetto l ultim ( colo dei termii oti ), perché ciò equivle cmbire l ordie delle icogite del sistem. Voglimo risolvere il seguete sistem liere utilido il metodo di Guss.Si scrive l mtrice complet del sistem ell seguete form : sigific sostituire l secod rig co l differe tr l prim e l secod rig Applicdo le opportue operioi elemetri sulle righe dell mtrice complet del sistem proposto trsformimo quest mtrice i u mtrice trigolre lt. E questo ci cosete di risolvere fcilmete il sistem.

12 Uità Didttic N 5 Applicdo le predette operioi elemetri ll mtrice complet del sistem proposto otteimo l mtrice equivlete : Il sistem liere proposto è equivlete l seguete sistem liere : Il sistem proposto mmette soluioi che possimo esprimere medite il vettore,, isolvere il seguete sistem liere : Questo sistem è impossibile i quto le equioi ed soo fr loro icomptibili o potedo l espressioe essere cotemporemete ugule ed. Proseguedo co l elimiioe delle ltre icogite bbimo : che è l mtrice complet del sistem che è impossibile i quto cotiee l seguete ugugli o ver. isolvere il seguete sistem liere : () ( )

13 Uità Didttic N 5 Il sistem dto è equivlete : 9 8 OSSEVAZIONI ) Nell esecuioe del procedimeto di elimiioe coviee utilire l mtrice complet, trscurdo di trscrivere le icogite. ed che, più semplicemete ) Se, d u certo puto, perveimo d u ugugli o ver come l seguete, vuole dire che il sistem è impossibile i quto c è lmeo u equioe del sistem icomptibile co le ltre. L comprs di u tle rig st d idicre che l itero sistem è impossibile. ) Se ivece trovimo u idetità, l equioe corrispodete può essere elimit i quto è combiioe liere delle ltre 4) Se ell ultim equioe trovimo due o più icogite il sistem è idetermito ed lcue icogite diveto prmetri 5) Il metodo di Guss può essere pplicto i modo d trsformre l mtrice complet del sistem dto i u mtrice trigolre lt Tutte le operioi che, eseguite su u sistem liere lo trsformo i u ltro d esso equivlete,corrispodoo d operioi eseguibili direttmete sull mtrice complet del sistem. E quidi possibile : ) moltiplicre tutti gli elemeti di u rig per u stess costte divers d ero : questo equivle moltiplicre etrmbi i membri dell corrispodete equioe per u stess costte o ull ) sostituire, d u dt rig, quell che si ottiee sommdole u ltr rig, dopo vere evetulmete moltiplicti tutti gli elemeti per u stess costte divers d ero ; ciò equivle sostituire u equioe del sistem co u combiioe liere di equioi del sistem stess ) cmbire l ordie delle righe dell mtrice complet ; ciò equivle mutre l ordie delle equioi del dto sistem

14 Uità Didttic N 5 4) cmbire l ordie delle coloe dell mtrice, eccetto l ultim ( colo dei termii oti ), perché ciò equivle cmbire l ordie delle icogite del sistem. ( ) ( ) 9 8 Il sistem dto è equivlete : 9 8 Determite di u mtrice qudrt col metodo di Guss Il determite di u mtrice qudrt trigolre o digole è ugule l prodotto degli elemeti dell digole priciple. Guss si serviv di questo teorem per clcolre il determite di u mtrice qudrt. clcolre il determite dell mtrice qudrt A mtrice trigolre lt, bss, digole. Trsformimo l mtrice A i u mtrice trigolre lt A ~ 6 7 ~ 6 Trsformimo l mtrice A i u mtrice trigolre bss dopo verl trsformt i u ( )( )( ) A ~ ~ ( ) 4 8 Trsformimo l mtrice A i u mtrice digole 4

15 Uità Didttic N 5 A ~ 6 ~ 6 ~ 5

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