1. Dati i tensori: { L = 3ex e y + 2e y e z + 3e z e x

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1 1 Univrsità di Pavia Facoltà di Inggnria Corso di Laura in Inggnria Edil/Architttura Corrzion prova scritta Esam di Mccanica Razional 30 gnnaio Dati i tnsori: { L = 3x y + y z + 3 z x M = x x y y + 4 z z d il vttor v = 4 y + 3 z, dtrminar il valor di (LM ML)v x. Occorr riptutamnt applicar la rgola (a b)(c d) = (b c)a d pr ottnr LM = 3 x y + 6 z x + 8 y z da cui sgu ML = 6 x y y z + 1 z x (LM ML)v x = 36..Trovar la curvatura dlla curva p(t) O = t x + 3t y + t z nl punto corrispondnt a t = 0. Drivando risptto al paramtro t du volt, ottniamo ṗ(t) = t x + 6t 3t y t z p(t) = t x + (6 + 36t ) 3t y + 4 t z. da cui si ricava, pr sostituzion dirtta, ṗ(0) = x z p(0) = x + 6 y + 4 z : usando la dfinizion di curvatura, si ha κ = Un corpo rigido piano è formato da un asta AB di lunghzza 16l massa m/, da un quadrato di massa m lato 4l da un un rttangolo di massa m/4 lati 4l 8l disposti com in Figura, con un vrtic dl

2 y x A M π 4 B quadrato saldato in A d una sua diagonal sul prolungamnto di AB con il lato maggior dl rttangolo ortogonal ad AB punto mdio coincidnt con B. Dtrminar pr il sistma il momnto di inrzia risptto all ass passant pr il punto mdio di AB, nlla dirzion n inclinata di π 4 risptto ad AB. Calcoliamo sparatamnt i contributi dll asta, dl rttangolo dl quadrato al momnto di inrzia richisto. Pr quanto riguarda l asta, indicato con M il suo punto mdio, poiché n forma un angolo di π/4 con l asta stssa, abbiamo I M,n (AB) = 1 m 1 56l ( ) = 16 Pr il rttangolo, ossrviamo anzitutto ch il suo cntro di massa dista 10l dal punto mdio dll asta pr cui i du assi parallli ad n, uno passant pr il cntro di massa dl rttangolo, l altro pr M, distano d = 5 l. Dai dati dl problma sappiamo ch il tnsor cntral di inrzia dl rttangolo è II (R) = ml 3 [4 x x + y y + 5 z z ] pr cui, ssndo n = ( x + y ), abbiamo ch il momnto cntral di inrzia dl rttangolo lungo n val 5 6 ml dunqu, grazi al torma di Huygns-Stinr, il contributo al momnto richisto è I (R) M,n = ml ( ) = 40 Siccom il momnto cntral di inrzia dl quadrato risptto ad una dirzion, com è n, giacnt nl suo piano di appartnnza è 8ml 3, mntr la distanza di du assi parallli ad n, uno passant pr M, l altro pr il cntro di massa dl quadrato, è d = 6 l, abbiamo sommando i tr contributi ottnuti ottniamo I M,n (Q) = ml ( ) = 3 3 ml : I M,n = 80 4.In un piano vrtical, un disco omogno di massa m raggio R rotola snza strisciar su una guida orizzontal d ha il cntro C attratto vrso un punto O fisso d alla sua stssa quota da una molla idal di costant lastica mg/r. Lungo un diamtro AB dl disco è mobil un punto matrial P di massa m attratto vrso C da una molla idal di costant lastica 3mg/R. Introdott l coordinat s ϑ indicat in figura supponndo ch ϑ = 0 quando C è sovrapposto ad O, dtrminar l sprssion dll nrgia cintica

3 3 g s C P ϑ y x O total T, dll nrgia potnzial total V dl sistma d il valor di ϑ(0) s(0) s all istant inizial il sistma part in quit dalla configurazion ϑ(0) = 0, s(0) = R, ϑ(0) = 0 ṡ(0) = 0. Il lgam tra s ϑ prsntato nl tsto impon ch sia C O = Rϑ. Grazi al vincolo di puro rotolamnto, l nrgia cintica dl disco si riduc a 3 4 mr ϑ, dov abbiamo ossrvato ch, grazi al torma di Huygns- Stinr il momnto di inrzia dl disco risptto al punto di contatto con il trrno è 3 mr. Il contributo dl punto P si ottin scrivndo P O = Rϑ x + s 1 dov 1 = P C P C. S è un altro vrsor solidal alla lamina, ortogonal ad 1 tal ch 1 = z, grazi all formul di Poisson, ottniamo quindi v P = R ϑ x + ṡ 1 + s ϑ T p = mv P = m[r ϑ + ṡ + s ϑ R ϑṡ cosϑ + sr ϑ sin ϑ, siccom x 1 = cosϑ x = cos( π + ϑ) = sinϑ. L nrgia cintica complssiva è allora T = 7 4 mr ϑ + m[ṡ + s ϑ R ϑṡ cosϑ + sr ϑ sin ϑ]. Pr il calcolo dll nrgia potnzial, ossrviamo ch ssa consta di tr trmini non costanti: mgs sin ϑ rlativo alla forza pso agnt su P, 3mg R s, corrispondnt alla molla PC mg R C O = 1 mgrϑ, rlativo alla molla CO. In dfinitiva V = mgs sinϑ + 3mg R s + 1 mgrϑ. Pr rispondr all ultimo qusito, scriviamo l quazioni di Lagrang, a partir dalla Lagrangiana L = T V = 7 4 mr ϑ + m[ṡ + s ϑ R ϑṡ cosϑ + sr ϑ sinϑ] mgs sinϑ 3mg R s 1 mgrϑ. Abbiamo dt ϑ = d dt dt ṡ = d dt ( mṡ mr ϑcosϑ ) = m[ s R ϑ cosϑ + R ϑ sin ϑ], L s = m[s ϑ + R ϑ sin ϑ g sin ϑ] 3mg R s, [ 7 mr ϑ + m(s ϑ Rṡ cosϑ + Rs ϑsin ϑ) ] = 7 mr ϑ + m[sṡ ϑ + s ϑ R s cosϑ + Rṡ ϑ sin ϑ + R(ṡ ϑ sinϑ + s ϑ sin ϑ + s ϑ cosϑ)] L ϑ = m[rṡ ϑ sin ϑ + Rs ϑ cosϑ mgs cosϑ 1 grϑ]

4 4 da cui si possono scrivr l quazioni di Lagrang S ora insriamo l condizioni iniziali, ottniamo dt ṡ = L s d dt L L = ϑ ϑ. s(0) R ϑ(0) = 3 4 g s(0) + 4R ϑ(0) = g quindi, risolvndo, 5 g s(0) = g ϑ(0) = 4 R. 5.La struttura articolata in figura è formata da du ast omogn: AB, smicircolar, di massa m raggio l BC, rttilina, di massa 3m, lunghzza l. La struttura è vincolata a trra da du crnir cilindrich in A C d in B vi è un ultrior crnira cilindrica intrna. S A B sono alla stssa quota BC è inclinata di π/4 sull orizzontal, dtrminar l componnti lungo y d x dlla razion vincolar in A; la componnt dlla razion vincolar in C lungo y ; il modulo dl momnto flttnt alla sommità dll arco AB; g y x A B C Isoliamo l asta AB richidiamo l quilibrio di momnti risptto al polo B, cosicché l unica razion vincolar a contribuir è Φ Ay y ch soddisfa l quazion 4Φ Ay l mgl = 0. pr cui Φ Ay = 1 mg. Ora ch conosciamo Φ Ay, pr trovar Φ Ax possiamo imporr l quilibrio di momnti pr l intra struttura risptto al polo C, ottnndo 3mgl Φ Ax l + 4mgl + 3mgl = 0 cioè Φ Ax = mg quindi, in dfinitiva, Φ A = mg( x + 1 y).

5 5 Pr trovar Φ Cy è sufficint chidr l quilibrio nlla dirzion y dll forz agnti sul sistma, ricavando Φ Cy 4mg + 1 mg = 0, ovvro Φ Cy = 7 mg. Dtta M la sommità di AB, sull asta AM agiscono la razion vincolar Φ A, il pso 1 mg y, pari a mtà dl pso di AB d applicato in un punto sulla bisttric dl sttor AB, distant 4l/π da AB dalla vrtical pr M, pr il torma di Pappo-Guldino. Abbiamo dunqu, chidndo l quilibrio di momnti risptto ad M 4mgl mgl + mg l π + M f = 0 in cui i primi du contributi sono dovuti all componnti di Φ A lungo x d y, rispttivamnt. Dunqu ( M f = 3 + ) mgl. π