Impedenza Vascolare. Marcello Bracale. ξ i = Φ i - ψ i Q. Ancora possiamo rappresentare l impedenza come numero complesso:

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1 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca Marcello Bracale DEFINIZIONE DI RESISTENZA ED IMPEDENZA VASCOARE a resstenza vascolare può essere defnta come l'mpedmento che l sangue ncontra nello scorrere lungo un certo settore del crcolo. Tale settore può essere sa localzzato ad una regone, come un avambracco od un organo come l rene, sa generalzzato ad un ntero crcuto, come l crcuto polmonare o l crcuto sstemco. a resstenza vascolare trova la sua analoga nella teora delle ret elettrche. a legge d Poseulle afferma, nfatt, che, dato un condotto n cu crcol un lqudo n regme lamnare, coè n assenza d mot turbolent, la caduta d pressone attraverso due sezon del condotto è proporzonale al flusso d lqudo nel condotto. a legge d Ohm afferma, nvece, che, dato un crcuto elettrco, la dfferenza d potenzale tra cap del crcuto è proporzonale alla corrente elettrca che attraversa l crcuto. Nel prmo caso abbamo che: P A - P B = R F (1) dove P A è la pressone nella sezone A, P B è la pressone nella sezone B, ed F è l flusso d lqudo che passa nel condotto. Nel secondo caso abbamo che: V A -V B = RI (2) dove V A è la tensone nel punto A del crcuto, V B è la tensone nel punto B del crcuto, ed I è la corrente che crcola nel crcuto elettrco. Confrontando la (1) e la (2) abbamo che: la caduta d pressone fra l entrata e l uscta d un organo è rappresentata dalla caduta d tensone fra le due estremtà d un conduttore. Il flusso d sangue che attraversa l'organo consderato è rappresentato dall ntenstà d corrente che attraversa l conduttore. a resstenza emodnamca dell organo è rappresentata dalla resstenza ohmca del conduttore. Il concetto d resstenza vascolare non può essere usato, però, quando s prende n consderazone la natura pulsante della pressone e del flusso. Il rapporto tra la pressone oscllatora e l flusso oscllatoro è chamato mpedenza draulca o mpedenza vascolare d nuovo dalla analoga con l mpedenza delle ret elettrche. mpedenza vascolare è dunque una espressone dell'opposzone al flusso d sangue pulsatle nelle artere, ncludendo tale opposzone gl effett della elastctà, dell nerza e della vscostà così come gl effett della rflessone. mpedenza può essere calcolata come l rapporto d pressone e flusso snusodal entramb alla stessa frequenza. Se la frequenza camba, generalmente camba anche l valore dell mpedenza. Formalmente tal segnal sono: pressone p(t) = P cos(ω t + Φ ) flusso q(t) = Q cos(ω t + ψ ) dove: P = ampezza o modulo della pressone alla frequenza f Φ = fase della pressone Q = ampezza del flusso ψ = fase del flusso ω = pulsazone t = tempo Possamo, qund, defnre un modulo Z e una fase ξ dell mpedenza nel modo seguente: P Z ξ = Φ - ψ Q Ancora possamo rappresentare l mpedenza come numero complesso: P = P exp j(ω t + Φ ) Napol, 19 Marzo 2002 Pag. 1 d 10 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

2 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca q = Q exp j(ω t + ψ ) P p Z exp j(φ Q - ψ ) = q Z come numero complesso ha una parte reale e una parte mmagnara: P parte reale: cos( ) resstenza Q parte mmagnara P Q sn ) ( reattanza a resstenza è sempre zero o postva (coè s perde energa); qund l angolo d fase dell mpedenza non può essere pù grande d 90 o pù pccolo d -90. a reattanza può essere postva o negatva. Quando l flusso precede la pressone, come n una camera elastca, allora (Φ - Ψ) <0. Notare che Z, cos come calcolata sopra, è relatva a due segnal alla partcolare pulsazone ω. Il calcolo deve essere rpetuto per tutte le frequenze che nteressano, e l'mpedenza è calcolata come una funzone della frequenza. S può allora parlare d spettro d mpedenza. Il valore dell mpedenza alla frequenza zero è, naturalmente la resstenza perferca poché l mpedenza è una funzone della frequenza, le component d frequenza della pressone e del flusso d sangue possono essere determnate con l anals d Fourer. Fg. 1 - (a) Quanttes characterzng snusodal pressure and flow sgnals need to compute mpedance. Ampltudes (P,Q) and phases (Φ,Ψ) must be determned from whch the magntude or mpedance Z = P/Q and ts phase ξ = Φ - ψ follow. In the case shown t s assumed that flow leads pressure and ξ s a negatve angle. The snusods may be the Fourer components, at frequency ω of compound pressure and flow pulses. (b) Phasor representaton or Snusods. The snusod M(cos ωt.+φ) s represented as a complex number. Its real part s Mcos φ (.e real part of exp (jωt+ φ ) at t=0) and ts magnary part s Msnφ. The phasors n the upper two dagrams represent the same pressure and flow waves as shown n (a). The mpedance can be obtaned by formng the quotent or the two complex numbers. The dagram at the bottom shows the result. Z s Pag. 2 d 10 Napol, 19 Marzo 2002 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

3 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca a complex number whose real part s resstance, ts complex part s reactance (.e. elastance or nterance). Note that Z s a functon or frequency. The unts n the dagrams are arbtrary. In the example shown, ξ, s negatve snce pressure lags flow. ONDE DI RIFESSIONE Abbamo detto che l valore dell'mpedenza vascolare dpende oltre che dall elastctà delle artere, dall nerza e dalla vscostà del sangue, anche da fenomen d rflessone. Coè, n generale, segnal msurat n una artera rsultano da onde che vaggano smultaneamente sa n senso dretto, coè verso la perfera, sa n senso retrogrado, coè verso l cuore, e l'mpedenza dpende da quest due tp d onde. a forma generale d un'onda d pressone dretta ad una partcolare frequenza ω è: p f (x, t) = p f exp j(ω t - Φ ) - γx dove: x = dstanza dall nzo del vaso al punto generco x γ = costante d propagazone In questo modo esprmamo l fatto che sa l'ampezza che la fase della pressone varano al varare della dstanza x. a costante d propagazone γ è, nfatt, un numero complesso. a sua parte reale determna l cambamento dell ampezza dell'onda con la dstanza percorsa. Essa è una msura logartmca della attenuazone, pochè la varazone dell ampezza d p(x,t) è data da exp(-x Re γ ) dove Re γ = parte reale d γ. a parte mmagnara d γ (Imγ) determna l cambamento d fase, o rtardo dell onda sulla dstanza percorsa ed è dovuta al fatto che l onda vagga con una veloctà fnta c. a mγ è legata alla veloctà dalla relazone: Im c Alla fne del segmento arteroso n consderazone, se è la sua lunghezza, la pressone dovuta all onda dretta è: P f (, t) = P f exp j(ω t - Φ ) - γ Se l punto x= è un punto d rflessone, se per esempo, l vaso presenta una bforcazone, una certa frazone dell onda dretta dal punto x= vagga n drezone retrograda. Chamamo Γ questa frazone, allora la pressone dovuta all onda rflessa nel punto x= è data da: P r (, t) = Γ P f exp j(ω t - Φ ) - γ Allora la pressone dovuta all'onda rflessa ad una generca dstanza x è: P r (x, t) = Γ P f exp j(ω t - Φ ) - γ - γ (-x) Qund l'onda d pressone totale, somma delle onde dretta e retrograda, dventa: P (x, t) = P f exp j(ω t - Φ ) γx {1+ Γ exp -2 γ (-x) } (**) Questa equazone esprme l onda d pressone totale n termn d onda dretta e Γ Γ, la frazone rflessa nel punto d rflessone, è chamato coeffcente d rflessone termnale. Qund un coeffcente d rflessone generale Γ(x) può essere defnto come: Napol, 19 Marzo 2002 Pag. 3 d 10 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

4 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca Γ(x) = Γ exp -2 γ (-x) dove (-x)= dstanza percorsa dall'onda retrograda. S p uò dmostrare che l'onda d flusso, nel punto x, è descrtta da una equazone smle alla (**): q (x, t) = Q f exp j(ω t - Φ ) γx {1- Γ exp -2 γ (-x) } mpedenza è l rapporto tra pressone e flusso, qund essa è una funzone d x. Alla frequenza ω : dove ξ 0 = ψ - Φ Pf 1 exp 2 ( x) Z ( x) exp j 0 Q 1 exp 2 ( x) f Da questa espressone possamo trarre alcune concluson. Se non c sono dscontnutà nel punto x=, non c è rflessone e qund Γ =0. 'mpedenza Z allora dventa uguale a: P Q f f exp( j ) o che è ndpendente da x. Questa partcolare mpedenza, msurata se nel punto esstente solo onde drette, è chamata mpedenza caratterstca Zo. Possamo esprmere allora Z n funzone d γ e Zo : 1 exp 2 ( x) 1 ( x) Z ( x) Z 0 Z 0 (1) 1 exp 2 ( x) 1 ( x) mpedenza nel punto x= dventa: Z Z 1 ( ) 0 oppure 1 Z ( ) / Z 0 1 (2) Z ( ) / Z 1 0 Queste due equazon mostrano come l mpedenza e l coeffcente d rflessone termnale sono collegat. Per esempo, se un vaso fosse aperto alla sua estremtà, la pressone n questo punto sarebbe zero, qund Z ()=0 e dalla (2) : Γ = -1 vceversa se un vaso è occluso nel punto x=, Z ()= (flusso nullo), qund Γ = +1. In questo caso, l onda rflessa è uguale n ampezza e n fase all onda dretta. In effett, nella crcolazone, le rflesson da punt perferc sono generalmente del secondo tpo. Γ può essere d crca 0,6 e l mpedenza verso la perfera percò aumenta. Usando la (1) possamo msurare Z n qualsas punto x. In partcolare c nteressa l mpedenza d ngresso (x=0). Allora: 1 Z ( 0) Z0 1 exp 2 exp 2 Pag. 4 d 10 Napol, 19 Marzo 2002 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

5 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca Può verfcars l caso n cu, ad una certa frequenza, Γ exp(-2γ) sa un numero negatvo. Questo accade quando 2Imγ =π. Ne segue qund che 2ω/C= ovvero 4π/ =π (dove =lunghezza d onda = c/frequenza); e così = /4. Questa può essere chamata la condzone a /4 per cu Z (0) è pù pccola della mpedenza caratterstca Z o ed nfatt Z (0) assume un mnmo anche se alla perfera Z () è molto pù grande d Z o. ERRORI NE MISURA DE IMPEDENZA VASCOARE Per ottenere l'mpedenza d ngresso, la pressone ed l flusso devono essere msurat contemporaneamente e nello stesso punto. Utlzzando le attual tecnche è dffcle ottenere le due msure nello stesso punto. D conseguenza alcun rcercator hanno scelto la msura della pressone prossmale al flusso, mentre altr la dstale. 'mpedenza d'ngresso è descrtta per mezzo del valore assoluto Z e della fase. Queste quanttà sono rportate n un grafco n funzone della frequenza. I rsultat mostrano che l valore assoluto dell mpedenza alla frequenza zero è alta e può essere consderata uguale alla resstenza perferca del letto n consderazone. Per frequenze pù alte d 3Hz crca l mpedenza rmane su lvell molto pù bass del valore alla frequenza zero. Crca l valore della fase dell'mpedenza esstono maggor dsaccord. Per basse frequenze la fase è stata trovata sempre negatva. Per valor della frequenza da 3 a l0 Hz alcun rcercator hanno trovato angol d fase postv, altr negatv, altr ancora hanno trovato valor prossm a zero da 3 a 8 Hz. Come s può vedere, tutt rcercator che hanno msurato la pressone dstale al flusso hanno trovato angol d fase negatv, mentre quell che hanno msurato la pressone prossmale al flusso hanno trovato angol postv nel campo delle frequenze compreso tra 3 e 8 Hz. a dversa poszone de punt d msura della pressone e del flusso è, appunto, la causa d queste dfferenze. Defnamo, qund, matematcamente questo errore, e, qund troveremo l modo per correggere rsultat. Quando l'mpedenza è determnata nel modo deale, coè pressone e flusso sono msurat nello stesso punto, possamo scrvere p( ) = P( ) exp j( t + ) q( ) = Q( ) exp j( t + Ψ) dove P e Q sono le ampezze delle armonche della pressone e del flusso; =2 f; f =frequenza; e Ψ sono gl angol d fase delle armonche. Il valore assoluto Z e la fase dell'mpedenza sono defnt come Z = P/Q = - Ψ Assumamo ora che la pressone p'( ) sa msurata dstale al flusso n un punto z=z p. In generale vareranno sa l ampezza p' che la fase '. ampezza d molte armonche della pressone aumenta verso la perfera, ma su una dstanza relatvamente breve come quella che stamo consderando, questo aumento sarà pccolo e possamo, qund, consderare p=p'. Se s conosce la veloctà apparente dell onda, l rtardo d fase sulla dstanza Z p può essere calcolato nel seguente modo: d ( ) 360 f z c app ( ) p dove d ( ) è l rtardo d fase della armonca della pressone e c app è la veloctà apparente dell'onda, che è funzone della frequenza. Come rsultato ottenamo per la pressone nel punto Z=Z p Napol, 19 Marzo 2002 Pag. 5 d 10 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

6 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca p exp {j t + ( ) }=p exp {j t + ( )- d ( )} In questo caso, la fase dell'mpedenza sarà pù pccola della quanttà d ( ) rspetto al valore effettvo. Per basse frequenze c app è grande, qund f/c app è pccolo e l'errore sarà pccolo. Per frequenze pù alte (maggor d 3Hz) la veloctà d fase apparente è prossma alla veloctà d fase c ph e questa nelle grand artere tende ad essere ndpendente dalla frequenza. Il valore della veloctà d fase nell aorta calcolato tenendo conto delle propretà del sangue e delle paret del vaso è c ph = 500 cm sec -1 Qund, per frequenze maggor d 3Hz possamo scrvere: c app = c ph = 500 cm sec -1 suppoendo che Z p sa d 4 cm avremo: 360 f 4 ( ) 2, 500 d 9 f Qund a 10Hz l errore sarà d crca 30. In fgura sono rportat valor dell mpedenza d ngresso, ottenut msurando la pressone e l flusso nello stesso punto (a), msurando la pressone 4 cm dstale al flusso (h) e msurando l flusso 4 cm dstale alla pressone (c). Pag. 6 d 10 Napol, 19 Marzo 2002 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

7 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca SPETTRI D IMPEDENZA In Fg.1 è rappresentato lo spettro dell mpedenza vascolare dell artera femorale d un cane, n condzone d controllo ottenuto da O Rourke e Taylor. Come s vede l modulo dell mpedenza cade rapdamente da un alto valore nzale alla frequenza zero ad un mnmo verso gl 8-14 Hz prma d aumentare d nuovo gradualmente. a fase precede la pressone, e rmane negatva prma d passare puttosto rapdamente per l valore zero e dventare a 8-14 Hz. o scarto consderevole alle alte frequenze è dovuto al fatto che quest punt sono rcavat dalla ottava, nona e decma armonca delle onde d pressone e d flusso che sono molte pccole e qund soggette ad un notevole errore spermentale. Alla frequenza alla quale corrsponde l mnmo del modulo e l valore nullo della fase, stanza tra l punto d regstrazone e le determnazon vascolar è uguale ad un quarto della lunghezza d onda. Assumendo una veloctà dell'onda d 10m/sec ne consegue che questo punto d rflessone s trova subto al dsotto del gnoccho. Il valore della frequenza crtca dpende, qund, tra l altro, anche dalle dmenson dell anmale. Aumentando la pressone meda per mezzo d una nezone d noradrenalna, la frequenza crtca aumenta. Questo effetto è dovuto ad un aumento della veloctà dell onda, per cu aumenta la frequenza n corrspondenza della quale la dstanza tra l punto d msura e l punto d rflessone è par ad un quarto d lunghezza d onda. Pochè l aumento della pressone del sangue è dovuto ad una generale vasocostrzone, l modulo dell mpedenza alla frequenza zero, coè la resstenza perferca, Napol, 19 Marzo 2002 Pag. 7 d 10 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

8 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca aumenta. Qund n condzon d alta pressone del sangue dovuta a vasocostrzone, l modulo dell'mpedenza decresce da un pù alto valore nzale ad un mnmo che corrsponde ad una frequenza pù elevata. Quando la pressone sstemca dmnusce, la frequenza crtca s rduce; questo fatto è attrbuto ad una dmnuzone della veloctà dell onda. Durante una potensone l modulo della mpedenza alla frequenza zero dmnusce. a Fg. 2 mostra le modfcazon del modulo dell mpedenza vascolare dopo una nezone d acetlcolna. Con l tempo gl effett del farmaco tendono a scomparre e l'andamento tende a quello nzale. effetto sulla fase è mostrato n Fg.3. a massma vasodlatazone s ha dopo crca 10 second. osservazone che n queste condzon l modulo dell mpedenza dventa quas costante a tutte le frequenze, e la fase dell mpedenza tende a zero, sgnfca che durante la vasodlatazone l letto femorale s comporta prevalentemente come un carco resstvo. Fg. 1 a Fg.4 mostra cambament del modulo dell mpedenza dopo un nezone d noradrenalna. mpedenza è una espressone della opposzone totale al flusso d sangue pulsatle nel letto vascolare. Il letto vascolare femorale nza dal punto d msura del flusso e termna nella vena femorale dove l flusso d sangue non è nfluenzato dalle pulsazon arterose e dove la Pag. 8 d 10 Napol, 19 Marzo 2002 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

9 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca pressone è all'ncrca atmosferca. a funzone d ngresso per questo letto è l flusso d sangue che entra e la pressone oscllante all'ngresso dpende dalle nterazon degl effett della elastctà, ella vscostà e dell'nerza, nonchè degl effett della rflessone. Teorcamente, l mpedenza del letto può essere calcolata; msurando la pressone all'ngresso quando l sstema è sollectato da un flusso snusodale a vare frequenze. a stessa nformazone può essere ottenuta sotto dverse condzon fsologche per mezzo delle armonche corrspondent delle onde d pressone e d flusso all'ngresso. Il modulo dell mpedenza alla frequenza zero è la resstenza del letto al flusso costante e dpende solo dagl effett dell attrto. Fg. 2 Come l flusso dventa oscllatoro assumono maggore mportanza l nerza e le propretà elastche de vas. In assenza d rflesson, l mpedenza è uguale all'mpedenza caratterstca e può essere calcolata da valor del raggo del vaso, della vscostà del sangue, dal modulo elastco delle paret del vaso e della frequenza. Quando l letto vascolare totale s comporta come se avesse un unco punto d rflessone, l modulo dell mpedenza dmnusce sno ad un mnmo al dsotto dell'mpedenza caratterstca, quando la lunghezza del sstema rappresenta un quarto della lunghezza d onda, qund aumenta al dsopra dell'mpedenza caratterstca fno ad un massmo al quale corrsponde una lunghezza del sstema par a mezza lunghezza d onda. Alla frequenza zero l angolo d fase dell'mpedenza è zero, coè pressone e flusso sono n fase. Fg. 3 In un sstema deale (tubo perfettamente elastco, fludo non vscoso) senza rflesson, la pressone ed l flusso sono quas n: fase. In presenza d rflesson nvece la dfferenza d fase dpende dal coeffcente d rflessone. Napol, 19 Marzo 2002 Pag. 9 d 10 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1

10 Prof. Marcello Bracale Appunt del corso d Elettronca Bomedca Fg. 4 Pag. 10 d 10 Napol, 19 Marzo 2002 Rf. Int.:.doc/MR - Rev 1