ISTITUTO ITALIANO DEGLI ATTUARI

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1 ISTITUTO ITALIANO DEGLI ATTUARI 9 Giugno 2009 Solvency II Modelli Interni per il Rischio Riservazione Salvatore Forte Salvatore.Forte@uniroma1.it Matteo Ialenti Matteo.Ialenti@uniroma1.it Marco Pirra Marco.Pirra@unical.it

2 Agenda 1. Solvency II 2. Il Rischio riservazione 3. Il Fisher-Lange Bayesiano 4. Il Risk Margin 5. Applicazione Numerica Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

3 1 Solvency II A partire dal 2012 l industria assicurativa europea sarà regolata da un nuovo sistema di vigilanza prudenziale. Il 22 aprile 2009 l'europarlamento ha votato con 593 voti a favore e 80 contro la direttiva sulle assicurazioni Solvency II: le nuove disposizioni si applicheranno a partire dal 1 novembre Solvency II segnerà per le compagnie e i gruppi assicurativi un cambiamento radicale nelle modalità di calcolo dei requisiti di capitale. Il nuovo regime comporterà sostanziali modifiche nelle modalità per il calcolo delle riserve tecniche e dei requisiti di solvibilità oltre che nei criteri di ammissibilità degli attivi a copertura delle riserve e degli elementi del patrimonio disponibile, nei principi generali in materia di governance, controllo interno e risk management, nell informativa al mercato e di vigilanza. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

4 1 Solvency II Art. 74: a) le attività sono valutate all'importo al quale potrebbero essere scambiate tra parti consapevoli e consenzienti in un operazione svolta alle normali condizioni di mercato; b) le passività sono valutate all'importo al quale potrebbero essere trasferite, o regolate, tra parti consapevoli e consenzienti in un operazione svolta alle normali condizioni di mercato. Art. 75: Il valore delle riserve tecniche corrisponde all importo attuale che le imprese di assicurazione e di riassicurazione dovrebbero pagare se dovessero trasferire le loro obbligazioni di assicurazione e di riassicurazione immediatamente ad un altra impresa di assicurazione o di riassicurazione. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

5 1 Solvency II Art. 76: Il valore delle riserve tecniche è pari alla somma di best estimate e risk margin. 1. La best estimate corrisponde alla media dei flussi di cassa futuri ponderata per la probabilità, tenendo conto del valore temporale del denaro (valore attuale atteso dei flussi di cassa futuri) sulla base della pertinente struttura per scadenza dei tassi di interesse privi di rischio. 2. Il margine di rischio è tale da garantire che il valore delle riserve tecniche sia equivalente all'importo di cui le imprese di assicurazione e di riassicurazione avrebbero bisogno per assumersi e onorare le obbligazioni di assicurazione e di riassicurazione. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

6 1 Solvency II 1. La best estimate è calcolata sulla base di informazioni aggiornate e credibili e su ipotesi realistiche utilizzando metodi attuariali e statistici adeguati, applicabili e pertinenti. 2. Il risk margin deve essere calcolato determinando il costo della costituzione di un importo di fondi propri ammissibili pari al requisito patrimoniale di solvibilità necessario per far fronte alle obbligazioni di assicurazione e di riassicurazione lungo tutta la loro durata di vita. Metodo del Costo del Capitale : il tasso utilizzato nella determinazione del costo della costituzione di tale importo di fondi propri ammissibili (tasso del costo del capitale) è lo stesso per tutte le imprese di assicurazione e di riassicurazione RM CoC SCR N t 0 = t+ 1 t= (1) ( t ) ( + i + ) 0 1 0, 1 Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

7 1 Solvency II Art. 101: Il requisito patrimoniale di solvibilità è calibrato in modo da garantire che siano presi in considerazione tutti i rischi quantificabili cui è esposta un'impresa di assicurazione o di riassicurazione. Esso copre l attività esistente nonché le nuove attività che si prevede vengano iscritte nel corso dei dodici mesi successivi. Per quanto riguarda l'attività esistente, esso copre unicamente le perdite inattese. Il requisito patrimoniale di solvibilità corrisponde al Valore a rischio (Value at risk) dei fondi propri di base dell'impresa di assicurazione o di riassicurazione soggetto ad un livello di confidenza del 99,5% su un periodo di un anno. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

8 1 Solvency II Art : Il requisito patrimoniale di solvibilità comprende moduli di rischio individuali aggregati considerando opportuni coefficienti di correlazione: a) il rischio di sottoscrizione per l'assicurazione non vita; b) il rischio di sottoscrizione per l'assicurazione vita; c) il rischio di sottoscrizione per l'assicurazione malattia; d) il rischio di mercato; e) il rischio di inadempimento della controparte. f) il rischio operativo* Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

9 1 Solvency II Art. 110: Gli Stati membri garantiscono che le imprese di assicurazione e di riassicurazione possano calcolare il requisito patrimoniale di solvibilità utilizzando un modello interno completo o parziale approvato dalle autorità di vigilanza. Art. 111: Un modello interno parziale è approvato dalle autorità di vigilanza se : a) il suo ambito limitato di applicazione è adeguatamente motivato dall'impresa; b) il requisito patrimoniale di solvibilità che ne risulta riflette meglio il profilo di rischio dell'impresa. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

10 2 Il Rischio di Riservazione Il rischio di riservazione rappresenta il rischio che le riserve sinistri possedute dalla compagnia possano non essere sufficienti rispetto agli impegni assunti verso assicurati (e danneggiati). Tale rischio si origina da due fonti distinte: 1. il valore assoluto della riserva può risultare errato a causa di procedure inadeguate nella stima; 2. il valore della riserva, stante la natura stocastica delle liquidazioni future dei sinistri, può oscillare intorno al valore medio. La compagnia deve possedere un capitale a fronte di tale rischio (Reserve Risk Capital RRC) determinato con: metodologia VaR orizzonte di tempo annuale probabilità di rovina pari a 0,5% Standard QIS 4 : RRC ( ) = ρ σ V Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

11 2 Il Rischio di Riservazione Il rischio di riservazione dovrebbe tener conto sia degli eventi avversi che possono avvenire nell orizzonte temporale di un anno (shock period), sia delle loro conseguenze finanziarie sulle riserve tecniche fino alla loro completa estinzione (effect period). Development years Underwriting years UW N-11 UW N-10 UW N-9 UW N-8 UW N-7 UW N-6 UW N-5 UW N-4 UW N-3 UW N-2 UW N-1 UW N A N B C N+1 D A. Dati disponibili B. Shock period C. Effect period D. Costi ultimi La maggior parte dei metodi stocastici proposti in letteratura non sono però consistenti con tale struttura perchè considerano la variabilità su tutto il triangolo run-off dei pagamenti futuri, e quindi è come se prendessero in considerazione i possibili eventi avversi non soltanto nello shock period ma anche durante l effect period. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

12 3 Il Fisher-Lange bayesiano CHAIN LADDER BAYES FISHER LANGE BAYES DETERM BF BAYES Best Estimate PROXIES OTHER BAYES OTHER STOCH MACK BF ODP Approcci bayesiani: si combina l expert knowledge o le informazioni precedentemente esistenti con le osservazioni ottenendo come risultato una stima del costo ultimo dei sinistri Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

13 3 Il Fisher-Lange bayesiano Il modello deterministico Fisher-Lange ( average cost per claim method ) consente di determinare i pagamenti futuri, e di conseguenza la riserva sinistri, come prodotto tra la stima del numero di sinistri da pagare in futuro (np ij ) ed il costo medio (cm ij ) corrispondente: ( 1 ) i j n 1 Pij = npij cmij + ir + (2) dove: sinistri da liquidare np = nr aliq ij ij 1 ij 1 n v k= j ij v aliquote dei sinistri a riserva con seguito ik (3) velocità di liquidazione Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

14 3 Il Fisher-Lange bayesiano Estensione al caso stocastico del modello deterministico Fisher-Lange Impostazione bayesiana - distribuzioni a priori relative a: 1. aliquote dei sinistri con seguito: 2. velocità di liquidazione: 3. costi medi: ij ij ij ( Aliq Aliq, ) j Aliq N ϑ ω ( V V, ) j v N ϑ ω CM CM ( j, ) CM N ϑ ω Distribuzioni a posteriori dei parametri e distribuzione previsiva del modello costruite mediante metodologie Monte Carlo Markov Chain (MCMC) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

15 3 Il Fisher-Lange bayesiano I vantaggi principali che presenta il Fisher-Lange Bayesiano sono: supera i noti limiti del Chain Ladder (nelle sue varianti stocastiche come ad esempio il modello di Mack o l Over Dispersed Poisson), e più in generale delle metodologie di tipo link ratio consente di rappresentare in maniera esplicita le politiche di liquidazione della Compagnia (attraverso la velocità di liquidazione); consente di rappresentare in maniera esplicita le politiche di riservazione della Compagnia (attraverso le aliquote dei sinistri con seguito che permettono di considerare anche i sinistri chiusi senza seguito e i sinistri riaperti); permette di considerare e di trattare separatamente eventuali avvenimenti anomali che caratterizzano una particolare generazione o un particolare anno di calendario consente di modellizzare il costo medio dei sinistri pagati e l inflazione futura autonomamente e indipendentemente rispetto al numero dei sinistri. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

16 4 Una proposta per valutare il Risk Margin L approccio del Costo del Capitale per calcolare il Risk Margin, presenta alcune problematiche tuttora oggetto di dibattito tra gli organismi internazionali che si occupano della materia: 1. Proiezione dei requisiti di capitale futuri: RM CoC RRC N t 0 = t+ 1 t= ( t ) ( + i + ) 0 1 0, 1 (4) (5) Formula CEIOPS QIS 4 (6) = BE t RRCt RRC0 BE 0 Proposta Autori BE max 1;ln 1 ( t ) ( ) cv R t RRCt = RRC0 + BE 0 cv R 0 2. Circolarità e doppio conteggio del Risk Margin: 99,5% ( ) RRC = VaR R BE RM 0 1year (7) Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

17 4 Una proposta per valutare il Risk Margin La formula proposta per valutare il Risk Margin è la seguente: RM 0 = ( ) ( 99,5% ) 1year 0 0 VaR R BE CoC prod 1+ CoC prod (8) dove: prod = BE BE t ( t ) ( 1+ i 0, + 1 ) ( t ) ( ) cv R max 1;ln 1+ cv R n 0 0 t+ 1 (9) t= 0 Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

18 4 Una proposta per valutare il Risk Margin I vantaggi della formula proposta sono i seguenti: il Reserve Risk Capital segue l andamento nel tempo dell underlying driver, i.e. best estimate; la formula tiene conto del fatto che con il passare del tempo la variabilità aumenta e quindi dovrebbe aumentare il capitale da detenere; tale aspetto viene preso in considerazione attraverso l utilizzo dei coefficienti di variazione. la variabilità futura delle riserve residue risulta sovrastimata alla data di valutazione a causa delle poche informazioni sui fattori che influiscono sulla stima dei pagamenti più lontani nel tempo: tale incremento è attenuato sfruttando l apposita funzione: max 1;ln ( 1+ x) ; la formula permette di superare al tempo stesso sia il problema della circolarità sia quello del doppio conteggio; il Risk Margin così calcolato tiene conto dell effettiva variabilità della riserva sinistri nel tempo. Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

19 5 Applicazione Numerica - RCA Nell applicazione numerica è stato usato il modello Fisher-Lange bayesiano per calcolare la Best Estimate, il Risk Margin e il Reserve Risk Capital della riserva sinistri relativa al ramo RCA con i seguenti approcci: a) modello interno orizzonte di tempo annuale per stimare il RRC b) modello interno orizzonte di tempo intero run-off per stimare il RRC c) formula standard proposta nel QIS 4 I risultati ottenuti sono stati confrontati con i valori determinati usando i seguenti modelli stocastici già noti in letteratura: I. Modello di Mack II. Over Dispersed Poisson con Bootstrapping III. Chain Ladder bayesiano IV. Borhuetter-Ferguson bayesiano Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

20 5 Applicazione Numerica - Input Triangolo pagamenti incrementali (dati in migliaia di euro) Y[i,j] Anno di Sviluppo Avvenimento Struttura dei tassi risk free al (fonte CEIOPS) t (anni) i(0,t) 4,07% 4,12% 4,12% 4,13% 4,12% 4,13% 4,14% 4,16% 4,18% 4,21% 4,23% Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

21 5 Applicazione Numerica Modello interno 1 Y Internal 1Y Mack ODP Boot CL Bayes BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 1,25% 1,26% 1,80% 1,84% 1,68% Reserve Risk Capital (% CE) 6,83% 7,77% 10,16% 10,12% 10,31% Sigma (1 year) 3,04% 3,28% 4,56% 4,21% 5,27% Internal Model - 1 Year FL Bayes BF Bayes CL Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

22 5 Applicazione Numerica Modello interno Run off Internal Run Off Mack ODP Boot CL Bayes BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 1,59% 1,59% 2,54% 2,30% 3,06% Reserve Risk Capital (% CE) 8,65% 9,84% 14,38% 12,63% 18,82% Sigma (run off) 3,82% 4,15% 6,47% 5,79% 5,49% Internal Model - Run Off FL Bayes BF Bayes CL Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

23 5 Applicazione Numerica Standard QIS 4 Standard QIS4 Mack ODP Boot CL Bayes BF Bayes FL Bayes Current Estimate Risk Margin (% CE) 5,40% 5,40% 5,40% 5,45% 5,46% Reserve Risk Capital (% CE) 35,10% 35,10% 35,10% 35,10% 35,10% Sigma (QIS4) 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% 12,00% Standard Formula QIS4 FL Bayes BF Bayes CL Bayes ODP Boot Mack Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

24 5 Applicazione Numerica Risultati Fisher-Lange Fisher Lange Internal - 1 Y Internal - Run off QIS 4 Current Estimate Risk Margin (% CE) 1,68% 3,06% 5,46% Reserve Risk Capital (% CE) 10,31% 18,82% 35,10% Sigma 5,27% 5,49% 12,00% Bayesian Fisher Lange QIS 4 Internal Run off Internal 1 Y Current Estimate Risk Margin Reserve Risk Capital Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

25 5 Applicazione Numerica Osservazioni I risultati del case study oggetto di analisi sembrerebbero portare alle seguenti conclusioni: la stima della Best Estimate è particolarmente influenzata dalla metodologia deterministica che sta alla base del modello stocastico; le misure di variabilità (σ) e di rischio (RRC) dipendono in maniera significativa dalla struttura probabilistica ipotizzata nel modello. Criticità approccio standard QIS4: Reserve Risk Capital proporzionale alla Best Estimate coefficiente di variazione σ uguale per tutte le Compagnie criteri di scelta del modello stocastico da utilizzare in qualità di partial internal model Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

26 Conclusioni Sviluppi futuri Applicazione modelli a Compagnie di diverse dimensioni Applicazione modelli a Compagnie che esercitano rami diversi Analisi di sensitività dei risultati forniti dai modelli al variare della struttura probabilistica ipotizzata, test di bontà del modello, backtesting. Determinazione del Reserve Risk Capital di una Compagnia multiramo (analisi della dipendenza tra i rami e relativo impatto sul requisito di capitale). Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

27 Riferimenti Bibliografici [1] AISAM-ACME, 2007, Study on non-life long tail liabilities. Reserve risk and risk margin assessment under Solvency II, (pdf available on web). [2] CEIOPS, 2008, QIS4 Technical Specifications, (pdf available on web). [3] European Commission, 2009, Solvency II directive, (pdf available on web). [4] England P., 1999, Analytic and bootstrap estimates of prediction errors in claims reserving, Insurance: Mathematics & Economics Elsevior Science Publishers - New York. [5] Fisher W., Lange J., 1973, Loss Reserve Testing: A Report Year Approach, Casualty Actuarial Society Proceedings. [6] Forte S., Ialenti M., Pirra M., 2008, Bayesian Internal Models for the reserve risk assessment, Giornale dell Istituto Italiano degli Attuari, Volume LXXI, Roma. [7] Forte S., Ialenti M., Pirra M., 2008, A reserve risk model for a non-life insurance company, MAF Venice (pdf available on web). [8] Gilks, W.R., Richardson S., Spiegelhalter D. J.,1995, Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman and Hall). [9] IAA Risk Margin Working Group, 2008, Measurement of liabilities for insurance contracts: current estimates and risk margins, (pdf available on web). [10] Mack, T. 1993, Distribution-free calculation of the standard error of chain ladder reserve estimates, Astin Bulletin, Vol. 23, No.2. [11] Scollnik, D. P.M., Actuarial Modelling with MCMC and BUGS, North American Actuarial Journal 5:2, 2001, pp Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno

28 GRAZIE! Salvatore Forte Matteo Ialenti Marco Pirra Forte, Ialenti, Pirra Istituto Italiano degli Attuari Roma, 9 Giugno