1 Risoluzione di sistemi lineari

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1 Risoluzione di sistemi lineari La presente nota è in parte ripresa dal testo D Bini M Capovani O Menchi Metodi numerici per l algebra lineare Zanichelli Editore Siano A una matrice non singolare di ordine n e b un vettore di ordine n Il sistema lineare Ax = b, () ammette una e una sola soluzione Si vuole qui studiare il metodo di Gauss, noto anche come metodo di sostituzione, che è il metodo più usato per risolvere i sistemi lineari Il metodo di Gauss è un metodo diretto : se non ci fossero errori di rappresentazione dei dati e di arrotondamento nei calcoli, la soluzione del sistema verrebbe calcolata esattamente In pratica però la soluzione è affetta da un errore inerente, dovuto agli errori di rappresentazione dei dati, e da un errore algoritmico, dovuto all arrotondamento nei calcoli Nel caso dei sistemi lineari, lo studio dell errore inerente, e quindi del condizionamento del problema, viene fatto perturbando i dati del problema, cioè gli elementi della matrice A e del vettore b, ed esaminando gli effetti indotti da queste perturbazioni sulla soluzione Per semplicità si analizza il caso in cui il solo vettore b è perturbato Si suppone che b 0 per cui x 0 Indichiamo con δb il vettore delle perturbazioni dei termini noti del sistema () e con x + δx la soluzione del sistema perturbato A (x + δx) = b + δb Tenendo conto della () si ha A δx = δb, da cui δx = A δb Passando alle norme si ottiene δx = A δb A δb (2) D altra parte per la () è Da (2) e (3) si ottiene b = A x A x (3) δx x δb µ(a) b, dove µ(a) = A A (4) µ(a) è il numero di condizionamento della matrice A ed è sempre maggiore o uguale a, infatti µ(a) = A A AA =

2 Indichiamo con ɛ b = δ b / b la perturbazione relativa del vettore b e con ɛ x = δx / x la perturbazione relativa indotta sul vettore x La (4) viene così riformulata ɛ x µ(a) ɛ b Quindi se µ(a) assume valori piccoli, piccole perturbazioni sui dati inducono piccole perturbazioni sulla soluzione e il problema è ben condizionato: in questo caso la matrice del sistema si dice ben condizionata; se µ(a) assume valori grandi, allora piccole variazioni sui dati possono indurre grandi perturbazioni nella soluzione e il problema può essere mal condizionato: in questo caso la matrice del sistema si dice mal condizionata Se ad esempio µ(a) = 000, l errore ɛ x può essere 000 volte quello presente nei dati Se A è una matrice simmetrica non singolare, utilizzando la norma 2, si ha che µ 2 (A) = A 2 A 2 = λ max λ min, in cui λ max e λ min sono rispettivamente il massimo e il minimo modulo degli autovalori di A Quindi A è tanto meglio condizionata quanto più vicini sono fra loro i suoi autovalori Esempio Un esempio classico di matrice mal condizionata è la matrice A (n) di Hilbert i cui elementi sono a ij =, i, j =,, n i + j Per n = 5 si ha A (5) = [A (5) ] = /2 /3 /4 /5 /2 /3 /4 /5 /6 /3 /4 /5 /6 /7 /4 /5 /6 /7 /8 /5 /6 /7 /8 / La matrice [A (n) ] ha elementi interi, che per ogni i e j sono crescenti con n Nella tabella che segue vengono riportati i valori del numero di condizionamento µ 2 (A (n) ) = A (n) 2 [A (n) ] 2, in norma 2, e µ (A (n) ) = A (n) [A (n) ], in norma, della matrice di Hilbert per valori di n da 2 a 0 Asintoticamente il numero di condizionamento in norma 2 di A (n) risulta essere una funzione crescente di n dell ordine di e 35n 2

3 n µ 2 (A (n) ) µ (A (n) ) Oltre che del condizionamento di A, quando si applica un metodo per risolvere il sistema () si deve tener conto anche del suo costo computazionale, cioè del numero di operazioni aritmetiche richieste per ottenere la soluzione Come misura di questo costo si considera solo il numero delle operazioni moltiplicative (moltiplicazioni e divisioni), in quanto il numero delle operazioni additive (addizioni e sottrazioni) è generalmente dello stesso ordine Il costo computazionale è dato come funzione della dimensione n della matrice A Di tale funzione si riportano solo i termini di ordine più elevato in n, usando il simbolo che si legge appunto uguale a meno di termini di ordine inferiore Sistemi lineari con matrice triangolare La risoluzione del sistema () è particolarmente semplice quando la matrice A è triangolare Se, ad esempio, A è triangolare superiore, il sistema () è n a ii x i + a ij x j = b i, i =,, n, j=i+ a nn x n = b n Si è supposto che A fosse non singolare, quindi a ii 0, per i =,, n, e si ha x n = b n a nn, x i = a ii [ b i n j=i+ a ij x j ], i = n,,, (5) La risoluzione procede calcolando nell ordine x n, x n,, x : all i-esimo passo, per calcolare x i, vengono utilizzate le componenti di indice maggiore di i, già calcolate Si tratta cioè di una sostituzione all indietro Se la matrice del sistema fosse triangolare inferiore, la risoluzione avverrebbe in modo analogo, con il semplice scambio dell ordine in cui svolgere i calcoli: dalla prima componente di x verso l ultima (sostituzione in avanti) 3

4 Per le (5) il costo computazionale è determinato tenendo conto del fatto che la componente x i viene calcolata con n i moltiplicazioni e divisione, per cui risulta n (n i + ) = i= n i= i n2 2 Un procedimento analogo può essere utilizzato per calcolare la matrice inversa di una matrice A non singolare e triangolare Infatti la matrice X, inversa di A, è tale che AX = I, e quindi la k-esima colonna di X è un vettore x k che verifica la relazione Ax k = e k, k =, 2,, n, (6) dove e k è la k-esima colonna di I Poiché la matrice A è triangolare, anche la matrice X risulta triangolare: in particolare, se A è triangolare superiore, il vettore x k ha le ultime n k componenti nulle L inversa si ottiene risolvendo gli n sistemi (6) in cui si determinano solo le prime k componenti di x k Quindi la risoluzione del k-esimo sistema lineare (6) richiede k 2 /2 operazioni moltiplicative, e il costo computazionale del calcolo della matrice inversa è dato da 2 Fattorizzazione LU n k= k 2 2 n3 6 Il metodo di Gauss viene facilmente descritto in termini della fattorizzazione LU, dove L è una matrice triangolare inferiore con elementi principali uguali ad e U è una matrice triangolare superiore, tali che A = LU Il sistema () risulta allora LUx = b e la soluzione di () viene calcolata risolvendo successivamente i due sistemi a matrice triangolare Ly = b e Ux = y (7) Il costo computazionale della fattorizzazione è dato, come si vedrà, da un numero di operazioni dell ordine di n 3, mentre il costo computazionale della risoluzione dei sistemi (7) è dato da un numero di operazioni dell ordine di n 2 Teorema Siano A k le sottomatrici principali di testa di ordine k della A Se A k è non singolare per k =,, n, allora esiste ed è unica la fattorizzazione LU di A 4

5 Dim Si procede per induzione Se n =, A = [a ] e quindi si ha L = [] e U = [a ], univocamente Se n = k >, la matrice A k può essere partizionata nel modo seguente A k d A k =, c T α in cui A k = L k U k, con L k matrice triangolare inferiore con elementi principali uguali ad e U k matrice triangolare superiore Posto L k 0 U k v L k =, U k =, u T 0 T β occorre determinare u, v e β in modo che A k = L k U k Poiché risulta L k U k L k v L k U k =, u T U k u T v + β si ha che la relazione A k = L k U k è verificata se e solo se L k v = d, U T k u = c, ut v + β = α I vettori u e v risultano determinati univocamente dalle prime due relazioni, poiché det L k = e det U k = det A k 0 in quanto A k è non singolare Dalla terza relazione si ricava univocamente β = α u T v Esempio La matrice 2 A = 2 2 soddisfa alle ipotesi del Teorema La sua fattorizzazione LU è A = Dati uno scalare σ e due vettori non nulli u e v di ordine n, si definisce matrice elementare una matrice di ordine n della forma E = I σ u v T Se σ v T u, E è invertibile e la sua inversa è ancora una matrice elementare della forma I τ u v T, per un opportuno scalare τ Infatti se σ = 0 è τ = 0 Se σ 0, si impone che (I σ u v T ) (I τ u v T ) = I, 5

6 e sviluppando si ha (σ + τ σ τ v T u) u v T = O, da cui si ottiene che il parametro τ verifica la relazione v T u = σ + τ Assegnati comunque due vettori non nulli x e y, esiste sempre una matrice elementare non singolare E che trasforma il primo vettore nel secondo, cioè Ex = y Infatti la condizione (I σ u v T )x = y è verificata se v T x 0 e σu = (x y) v T x (8) Se inoltre v T y 0, poiché la matrice E è non singolare σ v T u = vt y v T x, Nel caso specifico delle matrici elementari di Gauss si assume come v il primo vettore e della base canonica Assegnato quindi un vettore x, con x 0, si vuole determinare una matrice elementare E E = I σ u e T, per cui Ex = x e, cioè tale che trasformi il vettore x in un vettore con tutte le componenti nulle, eccetto la prima invariata Per la (8) ciò è possibile in quanto La matrice E è perciò e T x = x 0 e σ u = [ 0, x 2,, x ] T n x x m E = 2, m n in cui m i = x i /x per i = 2,, n Poiché σ e T u = 0, la matrice E è invertibile e la sua inversa è E m = 2 m n Vediamo ora come sia possibile costruire la fattorizzazione LU di una matrice A di ordine n sfruttando le proprietà delle matrici elementari di Gauss Posto A () = A, si può considerare A () così partizionata A () = [ a B ], 6

7 in cui a è il vettore formato dagli elementi della prima colonna di A Si suppone che la prima componente di a sia diversa da zero e si costruisce la matrice elementare di Gauss E () che trasforma il vettore a nel vettore b = E () a che ha nulle tutte le componenti di indice maggiore di Moltiplicando E () per A (), si ottiene una matrice A (2) della forma A (2) = E () A () = [ b E () B ], cioè una matrice la cui prima colonna ha nulli tutti gli elementi con indice di riga maggiore di Si può allora rappresentare la matrice A (2) nella forma α c T riga A (2) = 0 B (2) n righe dove α è uno scalare e B (2) è di ordine n Applicando in modo analogo n volte il procedimento descritto, si ottiene una successione di matrici A (k), k = 2,, n, tali che la matrice A (k) ha nulli gli elementi delle prime k colonne che si trovano al di sotto della diagonale principale Al k-esimo passo si opera nel modo seguente: la matrice A (k) è della forma C (k) D (k) k righe A (k) = O B (k) n k + righe, in cui C (k) è triangolare superiore Si suppone che il primo elemento della prima colonna di B (k) sia diverso da zero e si determina la matrice elementare di Gauss F (k) di ordine n k +, tale che la matrice F (k) B (k) sia della forma β d T riga F (k) B (k) = 0 B (k+) n k righe, dove β è uno scalare e B (k+) è di ordine n k La matrice I (k ) O E (k) = O F (k) è ancora una matrice elementare: infatti se F (k) = I σ u v T, si ha E (k) = I σ t z T, con 0 k componenti t = u n k + componenti, 0 k componenti z = v n k + componenti 7

8 Moltiplicando E (k) per A (k) si ottiene A (k+) = E (k) A (k) = = C (k+) O C (k) D (k+) B (k+) D (k) β d T O 0 B (k+) k righe n k righe, in cui C (k+) è ancora triangolare superiore All (n )-esimo passo si ottiene una matrice A (n) della forma C (n) g n righe A (n) = 0 T γ riga Quindi A (n) è triangolare superiore Le matrici A = A (), A (2),, A (n), risultano legate dalla relazione Poiché E (k) è non singolare, si ha A (k+) = E (k) A (k), k =,, n A (k) = [E (k) ] A (k+), k =,, n, e A = EA (n), dove E = [E () ] [E (n ) ] (9) È evidente che la (9) vale solo se tutte le matrici E (k) sono non singolari In dettaglio, indicando con a (k) rs, r, s =,, n, gli elementi delle matrici A (k), al primo passo se a () 0, si considera il vettore dove m r = a () r m () = [0, m 2,, m n ] T, / a(), r = 2,, n La prima matrice elementare è data da E () = I m () m e = 2 m n Al k-esimo passo, se a (k) kk 0, indicato con m(k), k =,, n, il vettore m (k) = [ 0,, 0, m }{{} k+,k,, m nk ] T, k componenti 8

9 dove m rk = a (k) rk / a(k) kk, r = k +,, n, la k-esima matrice elementare è data da E (k) = I m (k) e k = m k+,k m nk Risulta che [E (k) ] = I + m (k) e T k = m k+,k m nk La matrice E = [E () ] [E (n ) ], prodotto di matrici triangolari inferiori con elementi principali uguali ad è ancora una matrice triangolare inferiore con elementi principali uguali ad Per l unicità della fattorizzazione LU, si ha dalla (9) che L = E e U = A (n) Poiché m (r) e T r m (s) e T s = 0 per r < s, ne segue che la matrice L ha la forma m 2 L = m k+,k m n m nk m n,n Teorema 2 Se A soddisfa le ipotesi del Teorema, è a (k) kk 0 per k =,, n Dim Per k = è a () = a 0 per ipotesi Per k >, la sottomatrice principale di testa di ordine k della matrice A (k) è triangolare superiore e il suo determinante è dato da a (k) kk det C(k) Poiché questa sottomatrice è uguale al prodotto delle corrispondenti sottomatrici principali di testa delle matrici E (k ),, E (), A, il determinante della sottomatrice principale di testa di ordine k di A e il corrispondente di A (k) coincidono (infatti il determinante di una matrice elementare di Gauss, come di ogni sua sottomatrice principale, è uguale a ) Ne segue che a (k) kk 0 9

10 3 Il metodo di Gauss La costruzione della fattorizzazione LU costituisce il nucleo del metodo di Gauss Una volta che le due matrici L triangolare inferiore e U triangolare superiore sono state ottenute resta solo da risolvere i due sistemi (7) In realtà la risoluzione del sistema Ly = b non viene fatta esplicitamente, ma calcolata durante i passi del procedimento della fattorizzazione, in quanto il vettore y viene costruito moltiplicando successivamente per le matrici E (k) il vettore b così come si fa con la matrice A Per questo si considera la matrice e si costruisce la successione tale che [ A () b () ] = [ A b ] [ A () b () ], [ A (2) b (2) ],, [ A (n) b (n) ] = [ U y ] [ A (k+) b (k+) ] = E (k) [ A (k) b (k) ], k =,, n Data la struttura della matrice E (k), la moltiplicazione per E (k) corrisponde a operare sulla matrice [ A (k) b (k) ] delle combinazioni lineari di righe: esattamente la i-esima riga, i > k, viene sostituita dalla differenza della stessa riga con la k-esima riga moltiplicata per il fattore m ik = a (k) ik /a(k) kk a (k+) ij = a (k) ij m ik a (k) kj, j = k,, n, b (k+) i = b (k) i m ik b (k) k, Il sistema lineare che si ottiene al k-esimo passo A (k) x = b (k) i = k +,, n (0) è equivalente a quello iniziale Ax = b, e per la forma della matrice A (k) la componente x j, j < k, del vettore delle incognite x è presente solo nelle prime j equazioni e non nelle successive Il metodo di Gauss consiste quindi nell eliminare passo per passo le incognite x, x 2,, x n dalle equazioni successive rispettivamente alla prima, seconda,, (n )-esima Per questo il metodo di Gauss è detto anche metodo di eliminazione Esempio È dato il sistema Ax = b, dove A = , b = La risoluzione con il metodo di Gauss procede nel modo seguente: si pone [ A () b () ] = [ A b ] =

11 Al primo passo l elemento a () = 2 è diverso da zero e i fattori per le combinazioni lineari sono m 2 = a () 2 /a() = 2, m 3 = a () 3 /a() = 2, m 4 = a () 4 /a() = 4 Quindi alla seconda riga viene sottratta la prima riga moltiplicata per 2, alla terza riga viene sottratta la prima riga moltiplicata per 2, alla quarta riga viene sottratta la prima riga moltiplicata per 4 e si ottiene [ A (2) b (2) ] = Al secondo passo l elemento a (2) 22 = è ancora diverso da zero e i fattori per le combinazioni lineari sono m 32 = a (2) 32 /a(2) 22 = 3, m 42 = a (2) 42 /a(2) 22 = 8 Quindi alla terza riga viene sottratta la seconda riga moltiplicata per 3 e alla quarta riga viene sottratta la seconda riga moltiplicata per 8 e si ottiene [ A (3) b (3) ] = Al terzo passo l elemento a (3) 33 = 3 è ancora diverso da zero e vi è una sola combinazione lineare da fare, con m 43 = a (3) 43 /a(3) 33 = Quindi alla quarta riga viene sommata la terza riga e si ottiene [ A (4) b (4) ] = = [ U y ] Risolvendo il sistema lineare U x = y con il procedimento di sostituzione all indietro si ottiene la soluzione x = [ 2,,, 3] T Per quanto visto nel Teorema 2, se le sottomatrici principali di testa di A di ordine k sono non singolari, l elemento a (k) kk (detto pivot al k-esimo passo) delle matrici A(k) è sempre diverso da zero Il metodo di Gauss però è applicabile anche nel caso in cui la matrice non singolare A non verifichi le ipotesi di esistenza della fattorizzazione LU, se si utilizza la variante del pivot Infatti, se al k-esimo passo risulta a (k) kk = 0, per l ipotesi della non singolarità di A esiste almeno una riga di indice j > k, con l elemento a (k) jk 0; basta allora scambiare la k-esima riga della matrice [ A b ] con la j-esima, in modo da portare nella posizione del pivot un elemento non nullo Se la matrice A è singolare e il sistema è consistente, allora il metodo di Gauss con la variante del pivot è ancora applicabile Infatti se al k-esimo passo risulta a (k) kk = 0 e tutti gli elementi della k-esima colonna di A(k), al di sotto di quello principale sono nulli, si assume [ A (k+) b (k+) ] = [ A (k) b (k) ],

12 ossia il k-esimo passo non comporta alcuna operazione, e si continua con la colonna successiva La matrice A (n), ottenuta al termine del procedimento, ha l elemento a (n) kk nullo, ma per l ipotesi di consistenza del sistema si può procedere ugualmente al calcolo della soluzione mediante sostituzione all indietro 4 Costo computazionale del metodo di Gauss Il numero delle operazioni moltiplicative richieste al k-esimo passo del metodo di Gauss è dato dal numero di operazioni moltiplicative richieste dalla (0) Tenendo conto che gli elementi nulli della parte triangolare inferiore di A (k+) non vengono effettivamente calcolati, per la i-esima riga, i = k +,, n sono richieste divisione per calcolare m ik, n k moltiplicazioni per calcolare m ik a (k) kj per j = k +,, n, moltiplicazione per calcolare m ik b (k) k, cioè n k + 2 operazioni moltiplicative Quindi al k-esimo passo sono richieste (n k)(n k + 2) operazioni moltiplicative Per gli n passi richiesti, il costo computazionale del metodo di Gauss è allora dato da n n n (n k)(n k + 2) (n k) 2 = k 2 n3 3 k= k= La successiva fase di risoluzione del sistema triangolare A (n) x = b (n) ha un costo computazionale dell ordine n 2, inferiore a quello richiesto per trasformare il sistema in triangolare superiore Quindi il costo computazionale per risolvere un sistema di ordine n con il metodo di Gauss è n 3 /3 Naturalmente il costo computazionale può essere molto più basso se la matrice del sistema ha qualche struttura particolare, come nel caso seguente k= Esempio Sia A la matrice tridiagonale di ordine n a c b a 2 c 2 A = cn b n a n Posto α = a β i = b i /α i α i+ = a i+ β i c i } per i =,, n, 2

13 se α i 0 per i =,, n, si ha β LU = β 2 β n α c α 2 c 2 cn α n La fattorizzazione LU di una matrice tridiagonale richiede 2n 2 operazioni moltiplicative, a cui vanno aggiunte altre n operazioni per le combinazioni lineari sugli elementi di b e 2n operazioni per la risoluzione del sistema Ux = y In totale il costo computazionale è di 5n operazioni 5 Calcolo del determinante Il metodo di Gauss può essere utilizzato anche per calcolare il determinante di A Infatti la matrice A (n) è ottenuta dalla A con combinazioni lineari di righe, che non alterano il determinante, e quindi ha lo stesso determinante di A Risulta perciò det A = det A (n) = n k= a (k) kk Il costo computazionale del calcolo del determinante è n 3 /3 6 Risoluzione contemporanea di più sistemi Il metodo di Gauss può essere utilizzato per la risoluzione contemporanea di più sistemi lineari con la stessa matrice dei coefficienti A e diverse colonne di termini noti Sia infatti B una matrice formata da r colonne di termini noti Allora la matrice X, soluzione del sistema si ottiene costruendo la successione AX = B, [ A () B () ] = [ A B ], [ A (2) B (2) ],, [ A (n) B (n) ], in modo che la matrice [ A (k+) B (k+) ] sia ottenuta dalla [ A (k) B (k) ] con le stesse combinazioni lineari che si fanno nel caso di un solo termine noto, cioè b (k+) ij = b (k) ij m ik b (k) kj, per j =,, r e i = k +,, n Al termine si risolvono i sistemi con matrice triangolare superiore A (n) X = B (n), 3

14 usando formule analoghe a quelle del caso di una sola colonna di termini noti Complessivamente il costo computazionale è dato da a) al k-esimo passo, per il calcolo di [ A (k+) B (k+) ] occorrono (n k)(n k + r + ) operazioni moltiplicative (ad A (k) sono state infatti affiancate r colonne, mentre il numero di righe è rimasto invariato); per gli n passi richiesti il costo computazionale, a meno di termini di ordine inferiore, è dato da n n (n k)(n k + r + ) k= k= n k 2 + r k= k n3 3 + r n2 2 ; b) per la risoluzione degli r sistemi lineari la cui matrice è triangolare superiore, il costo computazionale è dato da rn 2 /2 Complessivamente quindi il costo computazionale è 7 Calcolo della matrice inversa n rn2 () Un caso particolarmente importante è quello relativo al calcolo dell inversa di una matrice A non singolare, in cui la matrice B è la matrice identica di ordine n AX = I Il costo computazionale del calcolo dell inversa di una matrice di ordine n con il metodo di Gauss è però inferiore a 4n 3 /3 come risulterebbe dalla () per n = r Infatti in questo caso si ha B (n) = L, cioè B (n) è triangolare inferiore: ne segue che al k-esimo passo per la costruzione di [ A (k+) B (k+) ] occorrono (n k)(n + ) operazioni moltiplicative Quindi per gli n passi richiesti il costo computazionale è n (n k)(n + ) n3 2 k= Infine la risoluzione dei sistemi UX = L ha lo stesso costo computazionale n 3 /2 In totale il costo computazionale dell inversione di una matrice di ordine n con il metodo di Gauss è n 3 8 Stabilità del metodo di Gauss Studi teorici e la sperimentazione hanno mostrato che la stabilità del metodo di Gauss dipende da quanto crescono gli elementi delle matrici A (k) rispetto a quelli della matrice A In particolare, il metodo è tanto più stabile quanto minore è la crescita degli elementi Teorema 3 Sia x il vettore effettivamente calcolato nella risoluzione del sistema Ax = b mediante i seguenti passi 4

15 a) determinazione delle matrici L e Ũ effettivamente calcolate nella fattorizzazione LU della matrice A, b) determinazione del vettore ỹ effettivamente calcolato nella risoluzione del sistema Ly = b, c) determinazione del vettore x effettivamente calcolato nella risoluzione del sistema Ũx = ỹ Allora (A + A) x = b, A 4nu ( A + L Ũ ) + O(u2 ), dove u è la precisione di macchina del calcolo Dal teorema risulta che se le matrici L e Ũ hanno elementi molto grandi, si possono produrre elevati errori algoritmici nel calcolo della soluzione Esempio La soluzione del sistema lineare Ax = y, dove [ ] [ ] ɛ + ɛ A = e b =, ɛ > 0, 0 è data da x = [, ] T Questo problema è ben condizionato per valori di ɛ piccoli in modulo Si ha infatti [ ] A 0 =, ɛ per cui il numero di condizionamento di A, µ (A) = ( + ɛ) 2, è di poco superiore all unità se ɛ è piccolo La fattorizzazione LU di A è [ ] [ ] 0 ɛ A =, /ɛ 0 /ɛ da cui risulta che gli elementi di L e di U possono diventare comunque grandi al diminuire di ɛ Sia ad esempio ɛ = Con il metodo di Gauss operando in virgola mobile in base 0 con 3 cifre significative e arrotondamento, si hanno le seguenti approssimazioni di E () e [A (2) b (2) ] [ ] E () 0 = e [ [A (2) b (2) ] = E () [A () b () ] = ] da cui si ottiene x 2 = =, x = = 0 L errore elevato da cui è affetta la soluzione calcolata è causato dal fatto che l elemento di massimo modulo di L e di Ũ è più di 3000 volte l elemento di massimo modulo di A In generale per il metodo di Gauss la crescita degli elementi delle matrici A (k), e 5

16 quindi delle matrici L e U, rispetto alla matrice A non è limitabile a priori con una espressione che dipende solo da n, quindi il metodo di Gauss può essere instabile anche quando è applicato a problemi ben condizionati L implementazione del metodo di Gauss deve perciò prevedere una strategia che limiti la crescita degli elementi di A (k) rispetto agli elementi di A La più semplice è quella che utilizza la tecnica del massimo pivot parziale Al k-esimo passo si determina l indice di riga r per cui a (k) rk = max k i n a(k) ik, e si scambiano la r-esima riga con la k-esima prima di calcolare A (k+) In tal modo i fattori m ik delle combinazioni lineari (0) hanno modulo minore o uguale a Per gli elementi di A (k+) si ha dalla (0) a (k+) ij = a (k) ij m ik a (k) kj a(k) ij + m ik a (k) kj a(k) ij + a(k) kj Indicando con a (k) M il massimo modulo degli elementi di A(k), si ha e quindi a (n) M a (k+) M 2a (k) M, 2a(n ) M 2 n a () M (2) Perciò con il metodo di Gauss con la variante del massimo pivot parziale la crescita degli elementi delle matrici A (k) rispetto alla matrice A è limitata da un espressione che dipende solo da n In tal modo il metodo risulta in generale assai stabile Esempio Si consideri il sistema Ax = b dell esempio precedente con ɛ = Applicando il metodo di Gauss con la tecnica del massimo pivot parziale, si scambiano fra loro le righe della matrice A e del vettore b Operando con una aritmetica in virgola mobile in base 0 con tre cifre significative, si ottiene e Ẽ () = Ã() [Ã(2) b (2) ] = Ẽ() [A () b () ] = [ ] 0, 0 per cui x = [, ] T Il risultato ottenuto, in questo caso, non è affetto da errore Nei casi pratici la limitazione (2) viene raramente raggiunta: esistono comunque delle matrici A per cui la (2) vale con il segno di uguaglianza Esempio Si consideri la matrice A di ordine n i cui elementi sono { se i = j e se j = n, a ij = se i > j, 0 altrimenti 6

17 La matrice A (n) ottenuta con il metodo di Gauss con la variante del massimo pivot parziale ha gli elementi se i = j n, a (n) ij = 2 i se j = n, 0 altrimenti; e quindi a (n) M = 2n a () M Per n = 4 si ha 0 0 A = 0, 0 0 A (4) = Quindi in questo caso la maggiorazione (2) vale con il segno di uguaglianza Un altra strategia per il metodo di Gauss che consente in generale di ridurre ancora di più la crescita degli elementi delle matrici A (k) è quella che utilizza la tecnica del massimo pivot totale Al k-esimo passo con la tecnica del massimo pivot totale si determina l elemento di massimo modulo di tutta la sottomatrice B (k) e si utilizza tale elemento come pivot, cioè si determinano l indice di riga r e l indice di colonna s per cui a (k) rs = max k i,j n a(k) ij Per portare l elemento a (k) rs nella posizione (k, k) del pivot, è necessario uno scambio fra le righe di indice r e k e uno scambio fra le colonne di indice s e k Lo scambio di righe non modifica la soluzione del sistema lineare, che rimane equivalente a quello iniziale, mentre lo scambio di colonne modifica l ordinamento delle componenti del vettore soluzione La variante del massimo pivot totale richiede un maggior tempo di elaborazione di quello richiesto dalla variante del massimo pivot parziale: al k-esimo passo per la ricerca dell elemento di massimo modulo sono necessari (n k + ) 2 confronti fra gli elementi della sottomatrice B (k) Globalmente sono richiesti n 3 /3 confronti, e queste operazioni, che non modificano il costo computazionale del metodo di Gauss, richiedono un tempo di esecuzione confrontabile con quello richiesto dall esecuzione delle operazioni aritmetiche 7