1 Risoluzione di sistemi lineari

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1 Risoluzione di sistemi lineari"

Transcript

1 Risoluzione di sistemi lineari La presente nota è in parte ripresa dal testo D Bini M Capovani O Menchi Metodi numerici per l algebra lineare Zanichelli Editore Siano A una matrice non singolare di ordine n e b un vettore di ordine n Il sistema lineare Ax = b, () ammette una e una sola soluzione Si vuole qui studiare il metodo di Gauss, noto anche come metodo di sostituzione, che è il metodo più usato per risolvere i sistemi lineari Il metodo di Gauss è un metodo diretto : se non ci fossero errori di rappresentazione dei dati e di arrotondamento nei calcoli, la soluzione del sistema verrebbe calcolata esattamente In pratica però la soluzione è affetta da un errore inerente, dovuto agli errori di rappresentazione dei dati, e da un errore algoritmico, dovuto all arrotondamento nei calcoli Nel caso dei sistemi lineari, lo studio dell errore inerente, e quindi del condizionamento del problema, viene fatto perturbando i dati del problema, cioè gli elementi della matrice A e del vettore b, ed esaminando gli effetti indotti da queste perturbazioni sulla soluzione Per semplicità si analizza il caso in cui il solo vettore b è perturbato Si suppone che b 0 per cui x 0 Indichiamo con δb il vettore delle perturbazioni dei termini noti del sistema () e con x + δx la soluzione del sistema perturbato A (x + δx) = b + δb Tenendo conto della () si ha A δx = δb, da cui δx = A δb Passando alle norme si ottiene δx = A δb A δb (2) D altra parte per la () è Da (2) e (3) si ottiene b = A x A x (3) δx x δb µ(a) b, dove µ(a) = A A (4) µ(a) è il numero di condizionamento della matrice A ed è sempre maggiore o uguale a, infatti µ(a) = A A AA =

2 Indichiamo con ɛ b = δ b / b la perturbazione relativa del vettore b e con ɛ x = δx / x la perturbazione relativa indotta sul vettore x La (4) viene così riformulata ɛ x µ(a) ɛ b Quindi se µ(a) assume valori piccoli, piccole perturbazioni sui dati inducono piccole perturbazioni sulla soluzione e il problema è ben condizionato: in questo caso la matrice del sistema si dice ben condizionata; se µ(a) assume valori grandi, allora piccole variazioni sui dati possono indurre grandi perturbazioni nella soluzione e il problema può essere mal condizionato: in questo caso la matrice del sistema si dice mal condizionata Se ad esempio µ(a) = 000, l errore ɛ x può essere 000 volte quello presente nei dati Se A è una matrice simmetrica non singolare, utilizzando la norma 2, si ha che µ 2 (A) = A 2 A 2 = λ max λ min, in cui λ max e λ min sono rispettivamente il massimo e il minimo modulo degli autovalori di A Quindi A è tanto meglio condizionata quanto più vicini sono fra loro i suoi autovalori Esempio Un esempio classico di matrice mal condizionata è la matrice A (n) di Hilbert i cui elementi sono a ij =, i, j =,, n i + j Per n = 5 si ha A (5) = [A (5) ] = /2 /3 /4 /5 /2 /3 /4 /5 /6 /3 /4 /5 /6 /7 /4 /5 /6 /7 /8 /5 /6 /7 /8 / La matrice [A (n) ] ha elementi interi, che per ogni i e j sono crescenti con n Nella tabella che segue vengono riportati i valori del numero di condizionamento µ 2 (A (n) ) = A (n) 2 [A (n) ] 2, in norma 2, e µ (A (n) ) = A (n) [A (n) ], in norma, della matrice di Hilbert per valori di n da 2 a 0 Asintoticamente il numero di condizionamento in norma 2 di A (n) risulta essere una funzione crescente di n dell ordine di e 35n 2

3 n µ 2 (A (n) ) µ (A (n) ) Oltre che del condizionamento di A, quando si applica un metodo per risolvere il sistema () si deve tener conto anche del suo costo computazionale, cioè del numero di operazioni aritmetiche richieste per ottenere la soluzione Come misura di questo costo si considera solo il numero delle operazioni moltiplicative (moltiplicazioni e divisioni), in quanto il numero delle operazioni additive (addizioni e sottrazioni) è generalmente dello stesso ordine Il costo computazionale è dato come funzione della dimensione n della matrice A Di tale funzione si riportano solo i termini di ordine più elevato in n, usando il simbolo che si legge appunto uguale a meno di termini di ordine inferiore Sistemi lineari con matrice triangolare La risoluzione del sistema () è particolarmente semplice quando la matrice A è triangolare Se, ad esempio, A è triangolare superiore, il sistema () è n a ii x i + a ij x j = b i, i =,, n, j=i+ a nn x n = b n Si è supposto che A fosse non singolare, quindi a ii 0, per i =,, n, e si ha x n = b n a nn, x i = a ii [ b i n j=i+ a ij x j ], i = n,,, (5) La risoluzione procede calcolando nell ordine x n, x n,, x : all i-esimo passo, per calcolare x i, vengono utilizzate le componenti di indice maggiore di i, già calcolate Si tratta cioè di una sostituzione all indietro Se la matrice del sistema fosse triangolare inferiore, la risoluzione avverrebbe in modo analogo, con il semplice scambio dell ordine in cui svolgere i calcoli: dalla prima componente di x verso l ultima (sostituzione in avanti) 3

4 Per le (5) il costo computazionale è determinato tenendo conto del fatto che la componente x i viene calcolata con n i moltiplicazioni e divisione, per cui risulta n (n i + ) = i= n i= i n2 2 Un procedimento analogo può essere utilizzato per calcolare la matrice inversa di una matrice A non singolare e triangolare Infatti la matrice X, inversa di A, è tale che AX = I, e quindi la k-esima colonna di X è un vettore x k che verifica la relazione Ax k = e k, k =, 2,, n, (6) dove e k è la k-esima colonna di I Poiché la matrice A è triangolare, anche la matrice X risulta triangolare: in particolare, se A è triangolare superiore, il vettore x k ha le ultime n k componenti nulle L inversa si ottiene risolvendo gli n sistemi (6) in cui si determinano solo le prime k componenti di x k Quindi la risoluzione del k-esimo sistema lineare (6) richiede k 2 /2 operazioni moltiplicative, e il costo computazionale del calcolo della matrice inversa è dato da 2 Fattorizzazione LU n k= k 2 2 n3 6 Il metodo di Gauss viene facilmente descritto in termini della fattorizzazione LU, dove L è una matrice triangolare inferiore con elementi principali uguali ad e U è una matrice triangolare superiore, tali che A = LU Il sistema () risulta allora LUx = b e la soluzione di () viene calcolata risolvendo successivamente i due sistemi a matrice triangolare Ly = b e Ux = y (7) Il costo computazionale della fattorizzazione è dato, come si vedrà, da un numero di operazioni dell ordine di n 3, mentre il costo computazionale della risoluzione dei sistemi (7) è dato da un numero di operazioni dell ordine di n 2 Teorema Siano A k le sottomatrici principali di testa di ordine k della A Se A k è non singolare per k =,, n, allora esiste ed è unica la fattorizzazione LU di A 4

5 Dim Si procede per induzione Se n =, A = [a ] e quindi si ha L = [] e U = [a ], univocamente Se n = k >, la matrice A k può essere partizionata nel modo seguente A k d A k =, c T α in cui A k = L k U k, con L k matrice triangolare inferiore con elementi principali uguali ad e U k matrice triangolare superiore Posto L k 0 U k v L k =, U k =, u T 0 T β occorre determinare u, v e β in modo che A k = L k U k Poiché risulta L k U k L k v L k U k =, u T U k u T v + β si ha che la relazione A k = L k U k è verificata se e solo se L k v = d, U T k u = c, ut v + β = α I vettori u e v risultano determinati univocamente dalle prime due relazioni, poiché det L k = e det U k = det A k 0 in quanto A k è non singolare Dalla terza relazione si ricava univocamente β = α u T v Esempio La matrice 2 A = 2 2 soddisfa alle ipotesi del Teorema La sua fattorizzazione LU è A = Dati uno scalare σ e due vettori non nulli u e v di ordine n, si definisce matrice elementare una matrice di ordine n della forma E = I σ u v T Se σ v T u, E è invertibile e la sua inversa è ancora una matrice elementare della forma I τ u v T, per un opportuno scalare τ Infatti se σ = 0 è τ = 0 Se σ 0, si impone che (I σ u v T ) (I τ u v T ) = I, 5

6 e sviluppando si ha (σ + τ σ τ v T u) u v T = O, da cui si ottiene che il parametro τ verifica la relazione v T u = σ + τ Assegnati comunque due vettori non nulli x e y, esiste sempre una matrice elementare non singolare E che trasforma il primo vettore nel secondo, cioè Ex = y Infatti la condizione (I σ u v T )x = y è verificata se v T x 0 e σu = (x y) v T x (8) Se inoltre v T y 0, poiché la matrice E è non singolare σ v T u = vt y v T x, Nel caso specifico delle matrici elementari di Gauss si assume come v il primo vettore e della base canonica Assegnato quindi un vettore x, con x 0, si vuole determinare una matrice elementare E E = I σ u e T, per cui Ex = x e, cioè tale che trasformi il vettore x in un vettore con tutte le componenti nulle, eccetto la prima invariata Per la (8) ciò è possibile in quanto La matrice E è perciò e T x = x 0 e σ u = [ 0, x 2,, x ] T n x x m E = 2, m n in cui m i = x i /x per i = 2,, n Poiché σ e T u = 0, la matrice E è invertibile e la sua inversa è E m = 2 m n Vediamo ora come sia possibile costruire la fattorizzazione LU di una matrice A di ordine n sfruttando le proprietà delle matrici elementari di Gauss Posto A () = A, si può considerare A () così partizionata A () = [ a B ], 6

7 in cui a è il vettore formato dagli elementi della prima colonna di A Si suppone che la prima componente di a sia diversa da zero e si costruisce la matrice elementare di Gauss E () che trasforma il vettore a nel vettore b = E () a che ha nulle tutte le componenti di indice maggiore di Moltiplicando E () per A (), si ottiene una matrice A (2) della forma A (2) = E () A () = [ b E () B ], cioè una matrice la cui prima colonna ha nulli tutti gli elementi con indice di riga maggiore di Si può allora rappresentare la matrice A (2) nella forma α c T riga A (2) = 0 B (2) n righe dove α è uno scalare e B (2) è di ordine n Applicando in modo analogo n volte il procedimento descritto, si ottiene una successione di matrici A (k), k = 2,, n, tali che la matrice A (k) ha nulli gli elementi delle prime k colonne che si trovano al di sotto della diagonale principale Al k-esimo passo si opera nel modo seguente: la matrice A (k) è della forma C (k) D (k) k righe A (k) = O B (k) n k + righe, in cui C (k) è triangolare superiore Si suppone che il primo elemento della prima colonna di B (k) sia diverso da zero e si determina la matrice elementare di Gauss F (k) di ordine n k +, tale che la matrice F (k) B (k) sia della forma β d T riga F (k) B (k) = 0 B (k+) n k righe, dove β è uno scalare e B (k+) è di ordine n k La matrice I (k ) O E (k) = O F (k) è ancora una matrice elementare: infatti se F (k) = I σ u v T, si ha E (k) = I σ t z T, con 0 k componenti t = u n k + componenti, 0 k componenti z = v n k + componenti 7

8 Moltiplicando E (k) per A (k) si ottiene A (k+) = E (k) A (k) = = C (k+) O C (k) D (k+) B (k+) D (k) β d T O 0 B (k+) k righe n k righe, in cui C (k+) è ancora triangolare superiore All (n )-esimo passo si ottiene una matrice A (n) della forma C (n) g n righe A (n) = 0 T γ riga Quindi A (n) è triangolare superiore Le matrici A = A (), A (2),, A (n), risultano legate dalla relazione Poiché E (k) è non singolare, si ha A (k+) = E (k) A (k), k =,, n A (k) = [E (k) ] A (k+), k =,, n, e A = EA (n), dove E = [E () ] [E (n ) ] (9) È evidente che la (9) vale solo se tutte le matrici E (k) sono non singolari In dettaglio, indicando con a (k) rs, r, s =,, n, gli elementi delle matrici A (k), al primo passo se a () 0, si considera il vettore dove m r = a () r m () = [0, m 2,, m n ] T, / a(), r = 2,, n La prima matrice elementare è data da E () = I m () m e = 2 m n Al k-esimo passo, se a (k) kk 0, indicato con m(k), k =,, n, il vettore m (k) = [ 0,, 0, m }{{} k+,k,, m nk ] T, k componenti 8

9 dove m rk = a (k) rk / a(k) kk, r = k +,, n, la k-esima matrice elementare è data da E (k) = I m (k) e k = m k+,k m nk Risulta che [E (k) ] = I + m (k) e T k = m k+,k m nk La matrice E = [E () ] [E (n ) ], prodotto di matrici triangolari inferiori con elementi principali uguali ad è ancora una matrice triangolare inferiore con elementi principali uguali ad Per l unicità della fattorizzazione LU, si ha dalla (9) che L = E e U = A (n) Poiché m (r) e T r m (s) e T s = 0 per r < s, ne segue che la matrice L ha la forma m 2 L = m k+,k m n m nk m n,n Teorema 2 Se A soddisfa le ipotesi del Teorema, è a (k) kk 0 per k =,, n Dim Per k = è a () = a 0 per ipotesi Per k >, la sottomatrice principale di testa di ordine k della matrice A (k) è triangolare superiore e il suo determinante è dato da a (k) kk det C(k) Poiché questa sottomatrice è uguale al prodotto delle corrispondenti sottomatrici principali di testa delle matrici E (k ),, E (), A, il determinante della sottomatrice principale di testa di ordine k di A e il corrispondente di A (k) coincidono (infatti il determinante di una matrice elementare di Gauss, come di ogni sua sottomatrice principale, è uguale a ) Ne segue che a (k) kk 0 9

10 3 Il metodo di Gauss La costruzione della fattorizzazione LU costituisce il nucleo del metodo di Gauss Una volta che le due matrici L triangolare inferiore e U triangolare superiore sono state ottenute resta solo da risolvere i due sistemi (7) In realtà la risoluzione del sistema Ly = b non viene fatta esplicitamente, ma calcolata durante i passi del procedimento della fattorizzazione, in quanto il vettore y viene costruito moltiplicando successivamente per le matrici E (k) il vettore b così come si fa con la matrice A Per questo si considera la matrice e si costruisce la successione tale che [ A () b () ] = [ A b ] [ A () b () ], [ A (2) b (2) ],, [ A (n) b (n) ] = [ U y ] [ A (k+) b (k+) ] = E (k) [ A (k) b (k) ], k =,, n Data la struttura della matrice E (k), la moltiplicazione per E (k) corrisponde a operare sulla matrice [ A (k) b (k) ] delle combinazioni lineari di righe: esattamente la i-esima riga, i > k, viene sostituita dalla differenza della stessa riga con la k-esima riga moltiplicata per il fattore m ik = a (k) ik /a(k) kk a (k+) ij = a (k) ij m ik a (k) kj, j = k,, n, b (k+) i = b (k) i m ik b (k) k, Il sistema lineare che si ottiene al k-esimo passo A (k) x = b (k) i = k +,, n (0) è equivalente a quello iniziale Ax = b, e per la forma della matrice A (k) la componente x j, j < k, del vettore delle incognite x è presente solo nelle prime j equazioni e non nelle successive Il metodo di Gauss consiste quindi nell eliminare passo per passo le incognite x, x 2,, x n dalle equazioni successive rispettivamente alla prima, seconda,, (n )-esima Per questo il metodo di Gauss è detto anche metodo di eliminazione Esempio È dato il sistema Ax = b, dove A = , b = La risoluzione con il metodo di Gauss procede nel modo seguente: si pone [ A () b () ] = [ A b ] =

11 Al primo passo l elemento a () = 2 è diverso da zero e i fattori per le combinazioni lineari sono m 2 = a () 2 /a() = 2, m 3 = a () 3 /a() = 2, m 4 = a () 4 /a() = 4 Quindi alla seconda riga viene sottratta la prima riga moltiplicata per 2, alla terza riga viene sottratta la prima riga moltiplicata per 2, alla quarta riga viene sottratta la prima riga moltiplicata per 4 e si ottiene [ A (2) b (2) ] = Al secondo passo l elemento a (2) 22 = è ancora diverso da zero e i fattori per le combinazioni lineari sono m 32 = a (2) 32 /a(2) 22 = 3, m 42 = a (2) 42 /a(2) 22 = 8 Quindi alla terza riga viene sottratta la seconda riga moltiplicata per 3 e alla quarta riga viene sottratta la seconda riga moltiplicata per 8 e si ottiene [ A (3) b (3) ] = Al terzo passo l elemento a (3) 33 = 3 è ancora diverso da zero e vi è una sola combinazione lineare da fare, con m 43 = a (3) 43 /a(3) 33 = Quindi alla quarta riga viene sommata la terza riga e si ottiene [ A (4) b (4) ] = = [ U y ] Risolvendo il sistema lineare U x = y con il procedimento di sostituzione all indietro si ottiene la soluzione x = [ 2,,, 3] T Per quanto visto nel Teorema 2, se le sottomatrici principali di testa di A di ordine k sono non singolari, l elemento a (k) kk (detto pivot al k-esimo passo) delle matrici A(k) è sempre diverso da zero Il metodo di Gauss però è applicabile anche nel caso in cui la matrice non singolare A non verifichi le ipotesi di esistenza della fattorizzazione LU, se si utilizza la variante del pivot Infatti, se al k-esimo passo risulta a (k) kk = 0, per l ipotesi della non singolarità di A esiste almeno una riga di indice j > k, con l elemento a (k) jk 0; basta allora scambiare la k-esima riga della matrice [ A b ] con la j-esima, in modo da portare nella posizione del pivot un elemento non nullo Se la matrice A è singolare e il sistema è consistente, allora il metodo di Gauss con la variante del pivot è ancora applicabile Infatti se al k-esimo passo risulta a (k) kk = 0 e tutti gli elementi della k-esima colonna di A(k), al di sotto di quello principale sono nulli, si assume [ A (k+) b (k+) ] = [ A (k) b (k) ],

12 ossia il k-esimo passo non comporta alcuna operazione, e si continua con la colonna successiva La matrice A (n), ottenuta al termine del procedimento, ha l elemento a (n) kk nullo, ma per l ipotesi di consistenza del sistema si può procedere ugualmente al calcolo della soluzione mediante sostituzione all indietro 4 Costo computazionale del metodo di Gauss Il numero delle operazioni moltiplicative richieste al k-esimo passo del metodo di Gauss è dato dal numero di operazioni moltiplicative richieste dalla (0) Tenendo conto che gli elementi nulli della parte triangolare inferiore di A (k+) non vengono effettivamente calcolati, per la i-esima riga, i = k +,, n sono richieste divisione per calcolare m ik, n k moltiplicazioni per calcolare m ik a (k) kj per j = k +,, n, moltiplicazione per calcolare m ik b (k) k, cioè n k + 2 operazioni moltiplicative Quindi al k-esimo passo sono richieste (n k)(n k + 2) operazioni moltiplicative Per gli n passi richiesti, il costo computazionale del metodo di Gauss è allora dato da n n n (n k)(n k + 2) (n k) 2 = k 2 n3 3 k= k= La successiva fase di risoluzione del sistema triangolare A (n) x = b (n) ha un costo computazionale dell ordine n 2, inferiore a quello richiesto per trasformare il sistema in triangolare superiore Quindi il costo computazionale per risolvere un sistema di ordine n con il metodo di Gauss è n 3 /3 Naturalmente il costo computazionale può essere molto più basso se la matrice del sistema ha qualche struttura particolare, come nel caso seguente k= Esempio Sia A la matrice tridiagonale di ordine n a c b a 2 c 2 A = cn b n a n Posto α = a β i = b i /α i α i+ = a i+ β i c i } per i =,, n, 2

13 se α i 0 per i =,, n, si ha β LU = β 2 β n α c α 2 c 2 cn α n La fattorizzazione LU di una matrice tridiagonale richiede 2n 2 operazioni moltiplicative, a cui vanno aggiunte altre n operazioni per le combinazioni lineari sugli elementi di b e 2n operazioni per la risoluzione del sistema Ux = y In totale il costo computazionale è di 5n operazioni 5 Calcolo del determinante Il metodo di Gauss può essere utilizzato anche per calcolare il determinante di A Infatti la matrice A (n) è ottenuta dalla A con combinazioni lineari di righe, che non alterano il determinante, e quindi ha lo stesso determinante di A Risulta perciò det A = det A (n) = n k= a (k) kk Il costo computazionale del calcolo del determinante è n 3 /3 6 Risoluzione contemporanea di più sistemi Il metodo di Gauss può essere utilizzato per la risoluzione contemporanea di più sistemi lineari con la stessa matrice dei coefficienti A e diverse colonne di termini noti Sia infatti B una matrice formata da r colonne di termini noti Allora la matrice X, soluzione del sistema si ottiene costruendo la successione AX = B, [ A () B () ] = [ A B ], [ A (2) B (2) ],, [ A (n) B (n) ], in modo che la matrice [ A (k+) B (k+) ] sia ottenuta dalla [ A (k) B (k) ] con le stesse combinazioni lineari che si fanno nel caso di un solo termine noto, cioè b (k+) ij = b (k) ij m ik b (k) kj, per j =,, r e i = k +,, n Al termine si risolvono i sistemi con matrice triangolare superiore A (n) X = B (n), 3

14 usando formule analoghe a quelle del caso di una sola colonna di termini noti Complessivamente il costo computazionale è dato da a) al k-esimo passo, per il calcolo di [ A (k+) B (k+) ] occorrono (n k)(n k + r + ) operazioni moltiplicative (ad A (k) sono state infatti affiancate r colonne, mentre il numero di righe è rimasto invariato); per gli n passi richiesti il costo computazionale, a meno di termini di ordine inferiore, è dato da n n (n k)(n k + r + ) k= k= n k 2 + r k= k n3 3 + r n2 2 ; b) per la risoluzione degli r sistemi lineari la cui matrice è triangolare superiore, il costo computazionale è dato da rn 2 /2 Complessivamente quindi il costo computazionale è 7 Calcolo della matrice inversa n rn2 () Un caso particolarmente importante è quello relativo al calcolo dell inversa di una matrice A non singolare, in cui la matrice B è la matrice identica di ordine n AX = I Il costo computazionale del calcolo dell inversa di una matrice di ordine n con il metodo di Gauss è però inferiore a 4n 3 /3 come risulterebbe dalla () per n = r Infatti in questo caso si ha B (n) = L, cioè B (n) è triangolare inferiore: ne segue che al k-esimo passo per la costruzione di [ A (k+) B (k+) ] occorrono (n k)(n + ) operazioni moltiplicative Quindi per gli n passi richiesti il costo computazionale è n (n k)(n + ) n3 2 k= Infine la risoluzione dei sistemi UX = L ha lo stesso costo computazionale n 3 /2 In totale il costo computazionale dell inversione di una matrice di ordine n con il metodo di Gauss è n 3 8 Stabilità del metodo di Gauss Studi teorici e la sperimentazione hanno mostrato che la stabilità del metodo di Gauss dipende da quanto crescono gli elementi delle matrici A (k) rispetto a quelli della matrice A In particolare, il metodo è tanto più stabile quanto minore è la crescita degli elementi Teorema 3 Sia x il vettore effettivamente calcolato nella risoluzione del sistema Ax = b mediante i seguenti passi 4

15 a) determinazione delle matrici L e Ũ effettivamente calcolate nella fattorizzazione LU della matrice A, b) determinazione del vettore ỹ effettivamente calcolato nella risoluzione del sistema Ly = b, c) determinazione del vettore x effettivamente calcolato nella risoluzione del sistema Ũx = ỹ Allora (A + A) x = b, A 4nu ( A + L Ũ ) + O(u2 ), dove u è la precisione di macchina del calcolo Dal teorema risulta che se le matrici L e Ũ hanno elementi molto grandi, si possono produrre elevati errori algoritmici nel calcolo della soluzione Esempio La soluzione del sistema lineare Ax = y, dove [ ] [ ] ɛ + ɛ A = e b =, ɛ > 0, 0 è data da x = [, ] T Questo problema è ben condizionato per valori di ɛ piccoli in modulo Si ha infatti [ ] A 0 =, ɛ per cui il numero di condizionamento di A, µ (A) = ( + ɛ) 2, è di poco superiore all unità se ɛ è piccolo La fattorizzazione LU di A è [ ] [ ] 0 ɛ A =, /ɛ 0 /ɛ da cui risulta che gli elementi di L e di U possono diventare comunque grandi al diminuire di ɛ Sia ad esempio ɛ = Con il metodo di Gauss operando in virgola mobile in base 0 con 3 cifre significative e arrotondamento, si hanno le seguenti approssimazioni di E () e [A (2) b (2) ] [ ] E () 0 = e [ [A (2) b (2) ] = E () [A () b () ] = ] da cui si ottiene x 2 = =, x = = 0 L errore elevato da cui è affetta la soluzione calcolata è causato dal fatto che l elemento di massimo modulo di L e di Ũ è più di 3000 volte l elemento di massimo modulo di A In generale per il metodo di Gauss la crescita degli elementi delle matrici A (k), e 5

16 quindi delle matrici L e U, rispetto alla matrice A non è limitabile a priori con una espressione che dipende solo da n, quindi il metodo di Gauss può essere instabile anche quando è applicato a problemi ben condizionati L implementazione del metodo di Gauss deve perciò prevedere una strategia che limiti la crescita degli elementi di A (k) rispetto agli elementi di A La più semplice è quella che utilizza la tecnica del massimo pivot parziale Al k-esimo passo si determina l indice di riga r per cui a (k) rk = max k i n a(k) ik, e si scambiano la r-esima riga con la k-esima prima di calcolare A (k+) In tal modo i fattori m ik delle combinazioni lineari (0) hanno modulo minore o uguale a Per gli elementi di A (k+) si ha dalla (0) a (k+) ij = a (k) ij m ik a (k) kj a(k) ij + m ik a (k) kj a(k) ij + a(k) kj Indicando con a (k) M il massimo modulo degli elementi di A(k), si ha e quindi a (n) M a (k+) M 2a (k) M, 2a(n ) M 2 n a () M (2) Perciò con il metodo di Gauss con la variante del massimo pivot parziale la crescita degli elementi delle matrici A (k) rispetto alla matrice A è limitata da un espressione che dipende solo da n In tal modo il metodo risulta in generale assai stabile Esempio Si consideri il sistema Ax = b dell esempio precedente con ɛ = Applicando il metodo di Gauss con la tecnica del massimo pivot parziale, si scambiano fra loro le righe della matrice A e del vettore b Operando con una aritmetica in virgola mobile in base 0 con tre cifre significative, si ottiene e Ẽ () = Ã() [Ã(2) b (2) ] = Ẽ() [A () b () ] = [ ] 0, 0 per cui x = [, ] T Il risultato ottenuto, in questo caso, non è affetto da errore Nei casi pratici la limitazione (2) viene raramente raggiunta: esistono comunque delle matrici A per cui la (2) vale con il segno di uguaglianza Esempio Si consideri la matrice A di ordine n i cui elementi sono { se i = j e se j = n, a ij = se i > j, 0 altrimenti 6

17 La matrice A (n) ottenuta con il metodo di Gauss con la variante del massimo pivot parziale ha gli elementi se i = j n, a (n) ij = 2 i se j = n, 0 altrimenti; e quindi a (n) M = 2n a () M Per n = 4 si ha 0 0 A = 0, 0 0 A (4) = Quindi in questo caso la maggiorazione (2) vale con il segno di uguaglianza Un altra strategia per il metodo di Gauss che consente in generale di ridurre ancora di più la crescita degli elementi delle matrici A (k) è quella che utilizza la tecnica del massimo pivot totale Al k-esimo passo con la tecnica del massimo pivot totale si determina l elemento di massimo modulo di tutta la sottomatrice B (k) e si utilizza tale elemento come pivot, cioè si determinano l indice di riga r e l indice di colonna s per cui a (k) rs = max k i,j n a(k) ij Per portare l elemento a (k) rs nella posizione (k, k) del pivot, è necessario uno scambio fra le righe di indice r e k e uno scambio fra le colonne di indice s e k Lo scambio di righe non modifica la soluzione del sistema lineare, che rimane equivalente a quello iniziale, mentre lo scambio di colonne modifica l ordinamento delle componenti del vettore soluzione La variante del massimo pivot totale richiede un maggior tempo di elaborazione di quello richiesto dalla variante del massimo pivot parziale: al k-esimo passo per la ricerca dell elemento di massimo modulo sono necessari (n k + ) 2 confronti fra gli elementi della sottomatrice B (k) Globalmente sono richiesti n 3 /3 confronti, e queste operazioni, che non modificano il costo computazionale del metodo di Gauss, richiedono un tempo di esecuzione confrontabile con quello richiesto dall esecuzione delle operazioni aritmetiche 7

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A

Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A. 5-6 Corso di CALCOLO NUMERICO / ANALISI NUMERICA : Esempi di esercizi svolti in aula 5//5 ) Dato un triangolo, siano a, b le lunghezze di

Dettagli

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente

Dettagli

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0. Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è

Dettagli

04 - Numeri Complessi

04 - Numeri Complessi Università degli Studi di Palermo Scuola Politecnica Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati

Dettagli

Vettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Vettori e matrici. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Vettori e matrici Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utentiunifeit/lorenzopareschi/ lorenzopareschi@unifeit Lorenzo Pareschi Univ Ferrara

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

= < < < < < Matematica 1

= < < < < < Matematica  1 NUMERI NATURALI N I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... L insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera. Si ha cioè: N= 0,1,2,3,4,5,6,7,.... L insieme dei naturali privato

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

Metodo di Gauss-Jordan 1

Metodo di Gauss-Jordan 1 Metodo di Gauss-Jordan 1 Nota Bene: Questo materiale non debe essere considerato come sostituto delle lezioni. Ārgomenti svolti: Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Forma echelon e sistemi

Dettagli

Prontuario degli argomenti di Algebra

Prontuario degli argomenti di Algebra Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.

Dettagli

Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni

Note per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Note per il corso di Geometria e algebra lineare 009-0 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Spazi di n-uple e matrici. I prodotti cartesiani RR R e RRR R 3, costituiti dalle coppie

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

3. Matrici e algebra lineare in MATLAB

3. Matrici e algebra lineare in MATLAB 3. Matrici e algebra lineare in MATLAB Riferimenti bibliografici Getting Started with MATLAB, Version 7, The MathWorks, www.mathworks.com (Capitolo 2) Mathematics, Version 7, The MathWorks, www.mathworks.com

Dettagli

Espressioni ed Equazioni

Espressioni ed Equazioni Espressioni ed Equazioni Introduzione espressioni ed equazioni Espressioni Algebriche ed Equazioni: è qui che comincia il tuo lavoro. Si sta per iniziare a lavorare con le lettere dell'alfabeto, numeri

Dettagli

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione

Dettagli

Argomento 13 Sistemi lineari

Argomento 13 Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto

Dettagli

Equazioni lineari con due o più incognite

Equazioni lineari con due o più incognite Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

Elaborazione aut. dei dati

Elaborazione aut. dei dati Programma Elaborazione aut. dei dati Sistema interattivo MATLAB Risoluzione di sistemi lineari e di equazioni non lineari Interpolazione e smoothing di dati Opzioni finanziarie Approssimazione di integrali

Dettagli

Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti

Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti Christian Ferrari 1 Introduzione La risoluzione di equazioni in R ci ha mostrato che solo per le equazioni polinomiali di primo e secondo grado,

Dettagli

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM )

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) 1. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti P1(-3,1), P2(2,-2). Dobbiamo applicare l'equazione di una retta passante per due

Dettagli

1 L estrazione di radice

1 L estrazione di radice 1 L estrazione di radice Consideriamo la potenza 3 2 = 9 di cui conosciamo: Esponente 3 2 = 9 Valore della potenza Base L operazione di radice quadrata consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato

Dettagli

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

DISEQUAZIONI ALGEBRICHE DISEQUAZIONI ALGEBICHE Classe II a.s. 00/0 prof.ssa ita Schettino INTEVALLI DI Impariamo cosa sono gli intervalli di numeri reali Sono sottoinsiemi continui di numeri reali e possono essere limitati o

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Risoluzione di Equazioni Algebriche Le equazioni

Dettagli

I RADICALI QUADRATICI

I RADICALI QUADRATICI I RADICALI QUADRATICI 1. Radici quadrate Definizione di radice quadrata: Si dice radice quadrata di un numero reale positivo o nullo a, e si indica con a, il numero reale positivo o nullo (se esiste) che,

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

Prodotti scalari e matrici

Prodotti scalari e matrici Prodotti scalari e matrici 1 Forme bilineari e matrici In questa sezione vogliamo studiare la corrispondenza biunivoca che esiste tra l insieme delle forme bilineari su di un certo spazio vettoriale V

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Pagina 1 di 6 SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE L insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1 GRADO. La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti

Corso di Analisi Numerica - AN1. Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari. Roberto Ferretti Corso di Analisi Numerica - AN1 Parte 2: metodi diretti per sistemi lineari Roberto Ferretti Richiami sulle norme e sui sistemi lineari Il Metodo di Eliminazione di Gauss Il Metodo di Eliminazione con

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Prof. L. Brandolini Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa N. Franchina Laboratorio 5 Equazioni differenziali ordinarie: metodi espliciti 25 Novembre 215 Esercizi di implementazione Un equazione differenziale

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici

1. Proprietà della somma di matrici. 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque. 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici Matrici R. Notari 1 1. Proprietà della somma di matrici 1. (A + B) + C = A + (B + C) qualunque siano le matrici A, B, C Mat(m, n; K). 2. A + B = B + A qualunque siano le matrici A, B Mat(m, n; K). 3. Sia

Dettagli

Cifre significative delle misure di grandezze fisiche

Cifre significative delle misure di grandezze fisiche Cifre significative delle misure di grandezze fisiche Si definiscono grandezze fisiche tutte quelle entità con cui vengono descritti i fenomeni fisici e che sono suscettibili di una definizione quantitativa,

Dettagli

Rappresentazioni numeriche

Rappresentazioni numeriche Rappresentazioni numeriche Un numero è dotato di un valore una rappresentazione La rappresentazione di un numero è il sistema che utilizziamo per indicarne il valore. Normalmente è una sequenza (stringa)

Dettagli

Richiami di aritmetica

Richiami di aritmetica Richiami di aritmetica I numeri naturali L insieme dei numeri naturali, che si indica con N, comprende tutti i numeri interi maggiori di zero. Operazioni fondamentali OPERAZIONE SIMBOLO RISULTATO TERMINI

Dettagli

Lezione 4. Sommario. L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari. I numeri relativi I numeri frazionari

Lezione 4. Sommario. L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari. I numeri relativi I numeri frazionari Lezione 4 L artimetica binaria: I numeri relativi e frazionari Sommario I numeri relativi I numeri frazionari I numeri in virgola fissa I numeri in virgola mobile 1 Cosa sono inumeri relativi? I numeri

Dettagli

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

B6. Sistemi di primo grado

B6. Sistemi di primo grado B6. Sistemi di primo grado Nelle equazioni l obiettivo è determinare il valore dell incognita che verifica l equazione. Tale valore, se c è, è detto soluzione. In un sistema di equazioni l obiettivo è

Dettagli

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU

9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A = LU 9 Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari: fattorizzazione P A LU 9.1 Il metodo di Gauss Come si è visto nella sezione 3.3, per la risoluzione di un sistema lineare si può considerare al posto

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato

+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato Sistemi di equazioni SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni per le quali si cercano eventuali soluzioni comuni. +=7 =1 Ognuna delle due equazioni ha infinite soluzioni. La coppia

Dettagli

Esercitazioni di Reti Logiche. Lezione 1 Rappresentazione dell'informazione. Zeynep KIZILTAN zkiziltan@deis.unibo.it

Esercitazioni di Reti Logiche. Lezione 1 Rappresentazione dell'informazione. Zeynep KIZILTAN zkiziltan@deis.unibo.it Esercitazioni di Reti Logiche Lezione 1 Rappresentazione dell'informazione Zeynep KIZILTAN zkiziltan@deis.unibo.it Introduzione Zeynep KIZILTAN Si pronuncia Z come la S di Rose altrimenti, si legge come

Dettagli

Somma di numeri floating point. Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi

Somma di numeri floating point. Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi Somma di numeri floating point Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi Standard IEEE754 " Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit) si riescono a rappresentare numeri 2.0 10 2-38

Dettagli

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore

Dettagli

Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel

Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel Problemi Ingegneristici Calcolare per via numerica le radici di un equazione Trovare l equazione che lega un set di dati ottenuti empiricamente (fitting

Dettagli

Equazioni di Primo grado

Equazioni di Primo grado Equazioni di Primo grado Definizioni Si dice equazione di primo grado un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per un determinato valore della variabile x, detta incognita. Si chiama

Dettagli

La divisione esatta fra a e b è l operazione che dati i numeri a e b (con a multiplo di b) permette di trovare un terzo numero c tale che c b = a.

La divisione esatta fra a e b è l operazione che dati i numeri a e b (con a multiplo di b) permette di trovare un terzo numero c tale che c b = a. Significato Significato della divisione esatta La divisione esatta fra a e b è l operazione che dati i numeri a e b (con a multiplo di b) permette di trovare un terzo numero c tale che c b = a. Descrivendo

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari

Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari N Del Buono 1 Introduzione Consideriamo un sistema di n equazioni in n incognite a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x

Dettagli

1 Relazione di congruenza in Z

1 Relazione di congruenza in Z 1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.

Dettagli

Anno 2. Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza

Anno 2. Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza Anno 2 Radicali algebrici e aritmetici: condizioni di esistenza 1 Introduzione Perché studiare i radicali? In matematica ogni volta che facciamo un operazione dobbiamo anche vedere se è possibile tornare

Dettagli

ANALISI CHIMICO FARMACEUTICA I

ANALISI CHIMICO FARMACEUTICA I Prof. Gianluca Sbardella : 089 969770 : gsbardella@unisa.it L INCERTEZZA E LE CIFRE SIGNIFICATIVE Tutte le misure sono affette da un certo grado di incertezza la cui entità può dipendere sia dall operatore

Dettagli

Le equazioni di I grado

Le equazioni di I grado Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere

Dettagli

I coefficienti delle incognite sono proporzionali fra loro ma NON coi termini noti, e il sistema è dunque IMPOSSIBILE (si dice anche: INCOMPATIBILE).

I coefficienti delle incognite sono proporzionali fra loro ma NON coi termini noti, e il sistema è dunque IMPOSSIBILE (si dice anche: INCOMPATIBILE). RISOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SUI SISTEMI DI 1 GRADO IMPOSSIBILI E INDETERMINATI Per ciascuno dei seguenti sistemi, stabilisci se è determinato, impossibile, o indeterminato. In caso di indeterminazione,

Dettagli

Quali condizionisi si possono richiedere sulla funzione interpolante?

Quali condizionisi si possono richiedere sulla funzione interpolante? INTERPOLAZIONE Problema generale di INTERPOLAZIONE Dati n punti distinti ( i, i ) i=,..,n si vuole costruire una funzione f() tale che nei nodi ( i ) i=,..n soddisfi a certe condizioni, dette Condizioni

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO

EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO P.1\5- EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO - Prof. I.Savoia, Maggio 2011 EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO EQUAZIONI LINEARI INTERE: PROCEDURA RISOLUTIVA Per risolvere le equazioni numeriche intere, si può

Dettagli

Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16

Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16 Unità Didattica realizzata dalla prof.ssa De Simone Marilena A.S. 2015/16 La matematica finanziaria si occupa di tutti i problemi relativi al denaro e al suo impiego. Il denaro è lo strumento con cui possiamo

Dettagli

Richiami di aritmetica(2)

Richiami di aritmetica(2) Richiami di aritmetica() Frazioni definizioni, operazioni, espressioni Numeri decimali Rapporti e proporzioni Percentuali Materia Matematica Autore Mario De Leo Le frazioni La frazione è un operatore che

Dettagli

Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)

Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino) Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

Espressioni aritmetiche e ordine delle operazioni

Espressioni aritmetiche e ordine delle operazioni Le operazioni fondamentali Espressioni aritmetiche (UbiMath) - 1 Le operazioni fondamentali Espressioni aritmetiche e ordine delle operazioni Nella risoluzione di problemi compaiono spesso valori legati

Dettagli

MATRICI. 1. Esercizi

MATRICI. 1. Esercizi MATICI Esercizio Siano A = 0, B = Esercizi 2, C = 0 2 2 Calcolare: a2a B; b3a + 2B 4C; c 2A + B + 2C 2B; d3b + 2(2A C (A + B + 2C isolvere, se possibile: ( 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X = 0; (2 4A + 2(B +

Dettagli

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

EQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO EQUAZIONI CON VALORE AOLUTO DIEQUAZIONI CON VALORE AOLUTO Prima di tutto: che cosa è il valore assoluto di un numero? Il valore assoluto è quella legge che ad un numero (positivo o negativo) associa sempre

Dettagli

Giovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore

Giovanna Carnovale. October 18, Divisibilità e massimo comun divisore MCD in N e Polinomi Giovanna Carnovale October 18, 2011 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore

Dettagli

Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1

Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria p. 1 Il programma OCTAVE per l insegnamento dell algebra lineare nella Scuola Secondaria R. Vitolo Dipartimento di Matematica Università di Lecce SaLUG! - Salento Linux User Group Il programma OCTAVE per l

Dettagli

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 4 2016

METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 4 2016 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 4 2016 GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

Numeri frazionari. sistema posizionale. due modi: virgola fissa virgola mobile. posizionale, decimale

Numeri frazionari. sistema posizionale. due modi: virgola fissa virgola mobile. posizionale, decimale Numeri frazionari sistema posizionale due modi: virgola fissa virgola mobile posizionale, decimale 0,341=tre decimi più quattro centesimi più un millesimo cifre dopo la virgola: decimi centesimi millesimi

Dettagli

Accuratezza, precisione, tipi di errori e cifre significative dei dati analitici.

Accuratezza, precisione, tipi di errori e cifre significative dei dati analitici. Accuratezza, precisione, tipi di errori e cifre significative dei dati analitici. Indice: 1. Lettura della buretta pag.2 2. Precisione ed Accuratezza pag.3 3. Tipi di errori pag.4 4. Affidabilità di una

Dettagli

Applicazione della TSVD allo studio di una colonna di distillazione

Applicazione della TSVD allo studio di una colonna di distillazione UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI SCUOLA DI DOTTORATO IN INGEGNERIA INDUSTRIALE Tesina di Metodi Iterativi per la Risoluzione di Sistemi Lineari e Non Lineari Applicazione della TSVD allo studio di una

Dettagli

Proprietà delle relazioni 1

Proprietà delle relazioni 1 Proprietà delle relazioni 1 Ricordiamo che una proprietà vale se vale per ogni elemento dell insieme. Al contrario perché non valga basta un controesempio, cioè anche un solo caso per il quale la proprietà

Dettagli

ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA

ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANTITRASFORMATA DI LAPLACE MODI DI UN SISTEMA Ing. Federica Grossi Tel.

Dettagli

EQUAZIONI MATRICIALI

EQUAZIONI MATRICIALI EQUAZIONI MATRICIALI a cura di Gioella Lorenzon, Edoardo Sech, Lorenzo Spina, Jing Jing Xu Realizzato nell'ambito del progetto Archimede con la supervisione del Prof. Fabio Breda I.S.I.S.S. M.Casagrande,

Dettagli

Probabilità. Ing. Ivano Coccorullo

Probabilità. Ing. Ivano Coccorullo Ing. Ivano Coccorullo PROBABILITA Teoria della Eventi certi, impossibili e casuali Nella scienza e nella tecnologia è fondamentale il principio secondo il quale ogni volta che si realizza un insieme di

Dettagli

Ripasso tramiti esempi - Applicazioni lineari e matrici

Ripasso tramiti esempi - Applicazioni lineari e matrici Ripasso tramiti esempi - Applicazioni lineari e matrici Applicazioni lineari associata ad una matrice Avete imparato che data una matrice A K m,n esiste una applicazione lineare associata ad A. Ma come

Dettagli

11.4 Chiusura transitiva

11.4 Chiusura transitiva 6 11.4 Chiusura transitiva Il problema che consideriamo in questa sezione riguarda il calcolo della chiusura transitiva di un grafo. Dato un grafo orientato G = hv,ei, si vuole determinare il grafo orientato)

Dettagli

Numeri decimali, rapporti e proporzioni

Numeri decimali, rapporti e proporzioni Numeri decimali, rapporti e proporzioni E. Modica erasmo@galois.it Liceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Corso P.O.N. Modelli matematici e realtà A.S. 2010/2011 Da una forma all altra... Dalla frazione

Dettagli

Esercitazioni di statistica

Esercitazioni di statistica Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni

Dettagli

1.5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI

1.5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale.5 Divisione tra due polinomi..5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Introduzione Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio 47:4. Si tratta di trovare

Dettagli