Risoluzione di sistemi lineari

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Risoluzione di sistemi lineari"

Transcript

1 Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini noti, vettore delle incognite, matrice completa del sistema, esistono soluzioni del sistema rg(a) = rg(a b); se r = rg(a) = rg(a b), la soluzione dipende da n r parametri liberi indipendenti; in altri termini, si dice che il sistema ammette n r soluzioni. n nota. Se r = n, la soluzione dipende da n r = parametri liberi, cioè è unica. Teorema 2 (Cramer) Dato il sistema quadrato di n equazioni in n incognite Ax = b con A Mat(n, n) se la matrice A è non singolare, cioè det A, allora il sistema è determinato, cioè esiste una ed una sola soluzione x = A b. Esercizio. Risolvere il sistema lineare: x + z = y + t = x + y + t = z + t =. Soluzione. In forma matriciale abbiamo: [A b] =

2 Essendo A Mat(4, 4), il sistema è quadrato; verifichiamo che A è non singolare: det A =, dunque esiste una ed una sola soluzione, data da: x = A 2 b = = Esercizio. Per quali valori di a R il sistema ay = x + y + az = 2x + ay + z = ammette un unica soluzione? Soluzione. La matrice dei coefficienti a A = a 2 a è quadrata: la soluzione è unica se e soltanto se det A : det A = a( 2a) a, 2. Per tali valori di a l unica soluzione del sistema è a x = A 2 a a 2 b = 2a a(2a ) a 2 2a a = a a(2a ) a 2a 2 a(2a ) Esercizio. Risolvere il sistema: x y = 2x + 3y + z = 2 x + 2y + z = Soluzione. La matrice associata al sistema è: [A b] =

3 Poiché det A =, la matrice è singolare: usiamo il Teorema di Rouché- Capelli. Calcoliamo il rango di A: primo modo: rga è la dimensione del più grande minore (sottomatrice quadrata) non singolare (con determinante non nullo) di A. Ad esempio, [ ] det, 3 dunque rga = 2. secondo modo: riduco a scala A e conto i pivot: il loro numero dà rga. Calcoliamo il rango di [A b]: primo modo: è necessariamente rg[a b] rga, ma non può essere 3, perché le matrici 3 3 che si possono ottenere orlando il minore non singolare in A con b hanno entrambe lo stesso determinante di A. D altra parte, il minore non singolare di A è anche minore di [A b], pertanto deve essere 2 rg[a b] < 3, cioè rg[a b] = 2. La soluzione esiste, e dipende da n r = 3 2 = parametro libero: posso calcolarla risolvendo rispetto ad x, variabile esclusa dal minore non singolare di A, il sistema ad esso associato: [ ] y = x 3y + z = 2x 2 da cui la soluzione (x, x, x), con x R. secondo modo: riducendo a scala [A b], il numero di pivot ne dà il rango, che risulta uguale a quello di A: x = + y = z y = z z R n nota. Le due soluzioni sono equivalenti; infatti la prima s(x) = (x, x, x) soddisfa le relazioni della seconda s(z) = ( z, z, z), essendo vero che: s (x) = x = ( x) = s 3 (x) s 2 (x) = x = ( x) = s 3 (x) e analogamente s(z) soddisfa: s2 (z) = z = ( z) = s (z) s 3 (z) = z = ( z) = s (z) 3

4 Esercizio. Risolvere il sistema: x 4 + x + x 2 = x 2 + x 3 = x x 3 + x 4 = 2 Soluzione. Scriviamo la matrice associata: [A b] = 2 Riducendo a scala giungo a: 2 x 4 + x + x 2 = x 2 + x 3 = = 2 (eq. impossibile) Il sistema è impossibile, infatti rga = 2 rg[a b] = 3. Esercizio. Determinare le soluzioni del sistema al variare del parametro λ R. λx y = λy z = x λz = n nota. b = (,, ): il sistema si dice omogeneo. In questo caso esiste almeno la soluzione nulla. Si tratta di stabilire se sia l unica o se ci siano anche soluzioni non banali (non nulle). Soluzione. Scriviamo la matrice completa del sistema: λ [A b] = A = λ λ Il sistema è quadrato: per il Teorema di Cramer, poiché det A = λ 3, abbiamo: det A = λ =, pertanto: se λ, det A quindi esiste una ed una sola soluzione (quella banale): (x, y, z) = (,, ); 4

5 se λ =, sostituendone tale valore nella matrice A si ottiene che porta al sistema, equivalente a quello dato x y = y z = x = z y = z z R la cui soluzione dipende da 3 rga = 3 2 = parametro libero. Interpretazione geometrica: λ : il sistema rappresenta l intersezione di tre piani distinti, tutti passanti per l origine, che è l unico punto comune a tutti e tre; λ = : il sistema è invece l intersezione di due soli piani per l origine: una retta. Interpretazione algebrica: il sistema rappresenta l annullarsi della combinazione lineare dei tre vettori colonna di A: Ax = x λ + y λ + z λ = λ : le tre colonne sono vettori l.i. (l unica scelta di coefficienti che annulla la combinazione lineare è quella tutta nulla); λ = : le tre colonne v, v 2, v 3 sono vettori l.d; in particolare è possibile estrarne al più due (numero dei pivot) vettori l.i., che generano lo stesso spazio generato da tutti e tre. Con la soluzione x = y = z, ad esempio, possiamo scrivere la terza colonna come combinazione lineare delle prime due: z R z(v + v 2 + v 3 ) = v 3 = v v 2. Esercizio. Discutere le soluzioni del sistema, al variare di h R: x + hy = 2 hx y = x y = h 5

6 Soluzione. Possiamo interpretare il sistema come l intersezione di tre rette in R 2, oppure come la ricerca dei coefficienti (x, y) della combinazione lineare dei due vettori colonna di A che rappresenti il vettore b: [A b] = h 2 h h = v v 2 b Poiché rga 2, non ci saranno soluzioni se rg[a b] = 3, cioè se det[a b]. det[a b] = h(h 2)(h + ) = h =,, 2. Se h,, 2, il sistema è impossibile, perché rga rg[a b]; cioè non esiste un punto comune alle tre rette, o il vettore b L(v, v 2 ). Se h =, sostituendo si ha: 2 in questo caso si ha rga = 2 = rg[a b]; l unica soluzione è il punto (2, ), dato dalle prime due equazioni, mentre la terza è una retta passante per quel punto. Se h = 2, si ha dove v 2 = b, perciò la soluzione sarà (x, y) = (, ). Infine, se h =, otteniamo 2 2 dove prima e terza riga coincidono: dunque stiamo intersecando due rette distinte, non tre. Poiché rga = 2, le due rette non sono parallele, perciò esiste l intersezione, soluzione del sistema: x y = 2 cioè (x, y) = ( 3 2, 2 ). x + y = 6

7 n nota. Nel sistema appena visto il numero di equazioni (o vincoli) è superiore al numero di incognite: si dice che il sistema è sovradeterminato. È naturale aspettarsi che ammetta soluzioni in un numero limitato di casi: infatti solo 3, tra gli infiniti possibili valori del parametro, danno luogo ad un sistema risolvibile. Esercizio. Discutere le soluzioni, al variare del parametro λ R, del sistema: λx λy + t = x 2y z = y + λz + t = Soluzione. Scriviamo la matrice associata: λ λ A = 2 λ In questo caso, con 3 equazioni e 4 incognite, il sistema si dice sottodeterminato: è più probabile trovare infinite soluzioni. Inoltre, trattandosi di un sistema omogeneo (b = ), ammette sempre almeno la soluzione nulla. In realtà, poiché rga = rg[a b] 3, troveremo, per ogni valore [ di λ, almeno ] soluzioni. Il minore M = è non singolare: rga 2 λ. Orliamo M nei due modi possibili: B = B 2 = Abbiamo due casi: λ 2 λ λ λ con det B = λ con det B 2 = λ.. λ = rga = 2. Ci sono 2 soluzioni del sistema: possiamo trovarle risolvendo le prime due equazioni (contenenti M) rispetto alle variabili libere (x, y): t = y x z = x 2y v = x y x 2y y x x, y R 7

8 2. λ rga = 3. Abbiamo soluzioni, dipendenti dalla variabile libera x, non contenuta nel minore non singolare B : λ λx 2 x λ x R y = z = x t = λx λ Esercizio. Determinare i valori di α e β in corrispondenza dei quali il seguente sistema ammette soluzioni: x cos α + y = x sin β + y cos β = x + y cos α = Soluzione. Si tratta di un sistema di 3 equazioni in 2 incognite (sovradeterminato), coi coefficienti dipendenti da 2 parametri. Scriviamo la matrice associata: [A b] = cos α sin β cos β cos α Per il Teorema di Rouché-Capelli, perché esistano soluzioni, è necessario che da cui cos α = ±, dunque caso α = 2kπ, cioè cos α = : dove rga = 2 det det[a b] = cos 2 α =, α = kπ k Z. [A b] = [ sin β cos β sin β cos β ] = cos β sin β, cioè rga = 2 cos β sin β β π 4 + hπ, h Z. Per tali valori di β, il sistema ammette l unica soluzione: (x, y) = ( sin β cos β, cos β sin β ). 8

9 [ ] Altrimenti, essendo det sin β rg[a b], quindi il sistema è impossibile. β, si ha rga = caso α = (2k + )π, cioè cos α = : [A b] = sin β cos β [ ] dunque rga = 2 det = cos β sin β, cioè sin β cos β rga = 2 cos β sin β β π 4 + hπ, h Z. Per tali valori di β, l unica soluzione è x = sin β+cos β y = sin β+cos β Altrimenti il sistema è impossibile. In definitiva, il sistema ammette una sola soluzione nei casi: α = 2kπ e β π 4 + hπ, k, h Z; α = (2k + )π e β π 4 + hπ, k, h Z. 9

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Tempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1

Dettagli

Argomento 13 Sistemi lineari

Argomento 13 Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

Esercizi sulle affinità - aprile 2009

Esercizi sulle affinità - aprile 2009 Esercizi sulle affinità - aprile 009 Ingegneria meccanica 008/009 Esercizio Sono assegnate nel piano le sei rette r : =, s : =, t : =, r : =, s : =, t : = determinare l affinità che trasforma ordinatamente

Dettagli

SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Pagina 1 di 6 SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE L insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1 GRADO. La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri

Dettagli

Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo

Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13. Sistemi di equazioni lineari. 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo Algebra Lineare (Matematica C.I.), 12.11.13 Sistemi di equazioni lineari 1. Un equazione lineare in una incognita reale x e un equazione del tipo ax = b, dove a e b sono numeri reali dati; a e il coefficiente

Dettagli

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer...

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer... SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 2 22 Il teorema e la regola di Cramer 3 3 Il calcolo

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato

+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato Sistemi di equazioni SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni per le quali si cercano eventuali soluzioni comuni. +=7 =1 Ognuna delle due equazioni ha infinite soluzioni. La coppia

Dettagli

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione

Dettagli

Anno 3 Rette e circonferenze

Anno 3 Rette e circonferenze Anno 3 Rette e circonferenze 1 Introduzione In questa lezione esamineremo le reciproche posizioni che possono sussistere tra retta e circonferenza o tra due circonferenze. Al termine della lezione sarai

Dettagli

B6. Sistemi di primo grado

B6. Sistemi di primo grado B6. Sistemi di primo grado Nelle equazioni l obiettivo è determinare il valore dell incognita che verifica l equazione. Tale valore, se c è, è detto soluzione. In un sistema di equazioni l obiettivo è

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO

MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO MATEMATICA LA PARABOLA GSCATULLO La Parabola Introduzione e definizione Prima di affrontare la parabola e la sua analisi matematica, appare opportuno definirla nelle sue caratteristiche essenziali. Anzitutto

Dettagli

I sistemi di equazioni di primo grado

I sistemi di equazioni di primo grado I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo

Dettagli

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti

Applicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti . Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)

Dettagli

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa

Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari

Dettagli

Geometria analitica di base (seconda parte)

Geometria analitica di base (seconda parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: il concetto di luogo geometrico la definizione di funzione quadratica l interpretazione geometrica di un particolare sistema di equazioni di secondo

Dettagli

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.

4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0. Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

SISTEMI LINEARI. Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111

SISTEMI LINEARI. Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111 SISTEMI LINEARI Prof.ssa R. Schettino Classe II a.s. 10/ 10/ 1111 EQUAZIONE LINEARE IN DUE INCOGNITE 3x+7y=21-12x+6y-36=0 x-y+2=0 9y-21x+9=0 Con x e y si indicano le incognite delle equazioni Quali sono

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM )

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) 1. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti P1(-3,1), P2(2,-2). Dobbiamo applicare l'equazione di una retta passante per due

Dettagli

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x

Dettagli

I coefficienti delle incognite sono proporzionali fra loro ma NON coi termini noti, e il sistema è dunque IMPOSSIBILE (si dice anche: INCOMPATIBILE).

I coefficienti delle incognite sono proporzionali fra loro ma NON coi termini noti, e il sistema è dunque IMPOSSIBILE (si dice anche: INCOMPATIBILE). RISOLUZIONI DEGLI ESERCIZI SUI SISTEMI DI 1 GRADO IMPOSSIBILI E INDETERMINATI Per ciascuno dei seguenti sistemi, stabilisci se è determinato, impossibile, o indeterminato. In caso di indeterminazione,

Dettagli

Equazioni lineari con due o più incognite

Equazioni lineari con due o più incognite Equazioni lineari con due o più incognite Siano date le uguaglianze: k 0; x + y = 6; 3a + b c = 8. La prima ha un termine incognito rappresentato dal simbolo letterale k; la seconda ha due termini incogniti

Dettagli

Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti

Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti Equazioni, funzioni e algoritmi: il metodo delle secanti Christian Ferrari 1 Introduzione La risoluzione di equazioni in R ci ha mostrato che solo per le equazioni polinomiali di primo e secondo grado,

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è

Dettagli

Equazioni di Primo grado

Equazioni di Primo grado Equazioni di Primo grado Definizioni Si dice equazione di primo grado un uguaglianza tra due espressioni algebriche verificata solo per un determinato valore della variabile x, detta incognita. Si chiama

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 F.Pugliese January 25, 2009 Abstract In queste note svolgerò alcuni esercizi sulla parte del corso che mi riguarda; si tenga presente che si tratta solo

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE SUI SISTEMI DI DISEQUAZIONI IN DUE INCOGNITE.Sistema di disequazioni in due incognite di primo grado Una disequazione di primo grado in due incognite: a b c nel piano cartesiano, rappresenta uno dei due

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

Equazione della circonferenza

Equazione della circonferenza Equazione della circonferenza Scrivi la circonferenza Γ di centro C(-,4) e raggio r=3. L equazione di Γ è: y 4 3 cioè y 4 9 sviluppiamo (ricordando che a b a ab b ): 4 4 y 8y 16 9 mettiamo tutto a primo

Dettagli

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i.

Soluzioni. 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso. z = i i. 3 (2 + i) = i i = i. 20 Roberto Tauraso - Analisi 2 Soluzioni 1. Calcolare la parte reale e immaginaria del numero complesso R. z = i + 3 2 i. z = i + 3 2 i 2 i = 6 5 + ( 1 + 3 5 3 (2 + i) = i + 2 4 + 1 ) i = 6 5 + 8 5 i.

Dettagli

Sistemi di equazioni di secondo grado

Sistemi di equazioni di secondo grado 1 Sistemi di equazioni di secondo grado Risoluzione algebrica Riprendiamo alcune nozioni che abbiamo già trattato in seconda, parlando dei sistemi di equazioni di primo grado: Una soluzione di un'equazione

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

Metodo di Gauss-Jordan 1

Metodo di Gauss-Jordan 1 Metodo di Gauss-Jordan 1 Nota Bene: Questo materiale non debe essere considerato come sostituto delle lezioni. Ārgomenti svolti: Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Forma echelon e sistemi

Dettagli

Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008. Dott.ssa G. Bellomonte

Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008. Dott.ssa G. Bellomonte Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008 Dott.ssa G. Bellomonte Indice 1 Introduzione 2 2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Dettagli

MATRICI. 1. Esercizi

MATRICI. 1. Esercizi MATICI Esercizio Siano A = 0, B = Esercizi 2, C = 0 2 2 Calcolare: a2a B; b3a + 2B 4C; c 2A + B + 2C 2B; d3b + 2(2A C (A + B + 2C isolvere, se possibile: ( 3X + 2(A X + B + 2(C + 2X = 0; (2 4A + 2(B +

Dettagli

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z

GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002. 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: x = z 2 y = z GEOMETRIA LINEARE E CONICHE - GIUGNO 2002 1. Nello spazio ordinario, assegnato un riferimento ortonormale si considerino le rette: r : x = z y = 0 x = z 2, s : y = z. Dopo aver provato che r ed s sono

Dettagli

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo

Dettagli

Raccolta di esercizi svolti sulle condizioni di Kuhn Tucker

Raccolta di esercizi svolti sulle condizioni di Kuhn Tucker Raccolta di esercizi svolti sulle condizioni di Kuhn Tucker a cura di V. Piccialli a.a. 00-003 Esempio Si consideri la funzione obiettivo: f(x) = (x + x ) e sia l insieme ammissibile F definito da vincoli:

Dettagli

Sistemi lineari. 1. Generalità. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = k (matrice completa)

Sistemi lineari. 1. Generalità. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = k (matrice completa) Sistemi lineari. Generalità La teoria dei sistemi di equaioni lineari costituisce uno dei capitoli molto importanti della matematica pura e applicata. Infatti molte questioni teoriche o tecniche si traducono

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.

Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. LA PARABOLA Definizione: Si dice parabola il luogo geometrico dei punti del piano, equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice. Dimostrazione della parabola con

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA

DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DERIVATE SUCCESSIVE E MATRICE HESSIANA Derivate parziali seconde e matrice hessiana. Sviluppo di Taylor del secondo ordine. Punti stazionari. Punti di massimo o minimo (locale

Dettagli

Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10

Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 2 2 Sistemi lineari 3 3 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/2010

Corso di Laurea in Matematica a.a. 2009/2010 Corso di Laurea in Matematica a.a. 009/010 (1) Il numero ( 5) 4 è uguale a: (a) 5 (b) 8 5 (c) 5 (d) 4 5 () Il numero log 4 16 è uguale a: (a) 4 (b) 8 (c) (d) 1/ (3) È vero che: (a) 5 > 3 4 (b) 5 > 8 5

Dettagli

EQUAZIONI MATRICIALI

EQUAZIONI MATRICIALI EQUAZIONI MATRICIALI a cura di Gioella Lorenzon, Edoardo Sech, Lorenzo Spina, Jing Jing Xu Realizzato nell'ambito del progetto Archimede con la supervisione del Prof. Fabio Breda I.S.I.S.S. M.Casagrande,

Dettagli

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE

Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima

Dettagli

Informatica B

Informatica B 2013-2014 Matlab Laboratorio del 14/01/2014 Responsabili di laboratorio: Gianluca Durelli: durelli@elet.polimi.it Luigi Malago : malago@di.unimi.it Materiale di laboratorio reperibile all indirizzo: www.gianlucadurelli.com

Dettagli

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari

1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari Secondo modulo: Algebra Obiettivi 1. riconoscere la risolubilità di equazioni e disequazioni in casi particolari 2. risolvere equazioni intere e frazionarie di primo grado, secondo grado, grado superiore

Dettagli

LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI Problema 1 Determinare l'equazione della parabola di vertice V( 2;0) e passante per P(0;4).

LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI Problema 1 Determinare l'equazione della parabola di vertice V( 2;0) e passante per P(0;4). LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI Prolema 1 Determinare l'equazione della paraola di vertice V( 2;0) e passante per P(0;4). y = ax 2 + x + c 1)l'appartenenza del punto P alla paraola, 2)l'appartenenza

Dettagli

y 3y + 2y = 1 + x x 2.

y 3y + 2y = 1 + x x 2. Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 03-04 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Equazioni differenziali ordinarie. Risolvere

Dettagli

Le equazioni di I grado

Le equazioni di I grado Le equazioni di I grado ITIS Feltrinelli anno scolastico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Le equazioni abbiamo una uguaglianza tra due quantità (espressioni algebriche, perché nei due termini ci possono essere

Dettagli

Appunti ed esercizi sulle coniche

Appunti ed esercizi sulle coniche 1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O

Dettagli

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente

Dettagli

Esercizi sulla Programmazione Lineare. min. cx Ax b x 0

Esercizi sulla Programmazione Lineare. min. cx Ax b x 0 Soluzioni 4.-4. Fondamenti di Ricerca Operativa Prof. E. Amaldi Esercizi sulla Programmazione Lineare 4. Risoluzione grafica e forma standard. Si consideri il problema min x cx Ax b x dove x = (x, x )

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.

Dettagli

Equazioni Polinomiali II Parabola

Equazioni Polinomiali II Parabola Equazioni Polinomiali II Parabola - 0 Equazioni Polinomiali del secondo grado (Polinomi II) Forma Canonica e considerazioni La forma canonica dell equazione polinomiale di grado secondo è la seguente:

Dettagli

Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel

Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel Risoluzione di problemi ingegneristici con Excel Problemi Ingegneristici Calcolare per via numerica le radici di un equazione Trovare l equazione che lega un set di dati ottenuti empiricamente (fitting

Dettagli

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Cognome... Nome... Equazioni di primo grado EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un'equazione di primo grado e un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado, vera solo per alcuni valori che si attribuiscono

Dettagli

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1

Disequazioni - ulteriori esercizi proposti 1 Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi

Dettagli

Ripasso tramiti esempi - Applicazioni lineari e matrici

Ripasso tramiti esempi - Applicazioni lineari e matrici Ripasso tramiti esempi - Applicazioni lineari e matrici Applicazioni lineari associata ad una matrice Avete imparato che data una matrice A K m,n esiste una applicazione lineare associata ad A. Ma come

Dettagli

Esercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva)

Esercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva) Esercizi sui vettori liberi (i, j, k è una base ortonormale positiva) Esercizio 1 Siano v e w due vettori non paralleli.sapendo che v è un versore e che v w =3 trovare l espressione di tutti i vettori

Dettagli

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni

Disequazioni in una incognita. La rappresentazione delle soluzioni Disequazioni in una incognita Una disequazione in una incognita è una disuguaglianza tra due espressioni contenenti una variabile (detta incognita) verificata solo per particolari valori attribuirti alla

Dettagli

ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI

ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI Consideriamo ora il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti associato alla matrice A M n n, cioè SLO Vale il seguente = A. Teorema. Sia v R n \ } e sia λ C. Condizione

Dettagli

ESERCIZI GEOMETRIA ED ALGEBRA LINEARE

ESERCIZI GEOMETRIA ED ALGEBRA LINEARE Università degli Studi di Lecce Facoltà di Ingegneria - Facoltà di Scienze Giovanni Calvaruso e Raffaele Vitolo ESERCIZI DI GEOMETRIA ED ALGEBRA LINEARE Versione provvisoria 29 febbraio 2008 ANNO ACCADEMICO

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

Ellisse. DEF: "il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti dati detti fuochi. è costante"; CONSIDERAZIONI:

Ellisse. DEF: il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti dati detti fuochi. è costante; CONSIDERAZIONI: Ellisse DEF: "il luogo dei punti la cui somma delle distanze da due punti dati detti fuochi è costante"; CONSIDERAZIONI: Il punto P appartiene all'ellisse se, e solo se, la distanza del punto P dal fuoco

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica

QUADERNI DIDATTICI. Dipartimento di Matematica. Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Università ditorino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica E Abbena, G M Gianella Esercizi di Geometria ealgebralinearei Corso di Studi in Fisica Quaderno # 6 - Aprile 003 Gli esercizi proposti

Dettagli

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica

m = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

Le disequazioni frazionarie (o fratte)

Le disequazioni frazionarie (o fratte) Le disequazioni frazionarie (o fratte) Una disequazione si dice frazionaria (o fratta) se l'incognita compare al denominatore. Esempi di disequazioni fratte sono: 0 ; ; < 0 ; ; Come per le equazioni fratte,

Dettagli

Soluzione dei sistemi lineari con metodo grafico classe 2H

Soluzione dei sistemi lineari con metodo grafico classe 2H Soluzione dei sistemi lineari con metodo grafico classe H (con esempi di utilizzo del software open source multipiattaforma Geogebra e calcolatrice grafica Texas Instruments TI-89) Metodo grafico Il metodo

Dettagli

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione

CONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce

Dettagli