c A (a c = b) Le ipotesi che abbiamo ci dicono che esistono h, k A tali che:

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1 Definizione 1. Dato un insieme A, un operazione su A è una applicazione da A A a valori in A. Definizione 2. Se A è un insieme con una operazione, dati a, b A diciamo che a divide b (e scriviamo a b) se esiste c A tale che a c = b (si dice anche che b è multiplo di a). In formule: a b def. {}}{ c A (a c = b) Esercizio 1. Se A = N e l operazione che consideriamo è l usuale somma +. Quando si ha, dati m, n N che m n secondo la definizione precedente? Riprendendo la definizione di divisibilità rispetto all insieme N con l operazione + si ha che m divide n, quando esiste un numero naturale t (la lettera per indicare tale numero è ininfluente ovviamente, qui usiamo t invece di c proprio per permettere questa nota) tale che m+t = n. Cioè m n se m è minore o uguale di n. Esercizio 2. Consideriamo un insieme A su cui è definita una operazione. Dati a, b, c A sapendo che a b e b c si può concludere che a c? (In seguito questa domanda potrà essere riformulata chiedendo se la relazione di divisibilità è transitiva.) Le ipotesi che abbiamo ci dicono che esistono h, k A tali che: b = a h c = b k Sostituendo nella seconda equazione si ottiene che c = (a h) k. Se è associativa abbiamo che c = a (h k), ed essendo una operazione in A h k è un elemento di A (indichiamolo con t). Perciò c = a t ovvero a c. Possiamo quindi concludere che se l operazione è associativa la risposta alla domanda posta dall esercizio è sì. Se non è associativa non possiamo scrivere che (a h) k = a (h k) e quindi non si può concludere il ragionamento come prima. Potrebbe esserci un altra dimostrazione che la proprietà valga anche per operazioni non associative, ma in realtà è facile vedere con un esempio (l esponenziazione) che in generale se non è associativa non vale la proprietà transitiva della divisibilità. Definizione 3. Sia A un insieme con una operazione associativa. Dati a, b se esiste un divisore comune d di a e di b che è multiplo di ogni altro divisore comune di a e b si dice che d è un massimo comun divisore di a e b e si indica con G.C.D.(a, b). In formule: def. {}}{ G.C.D.(a, b) = d (d a d b c A((c a c b) c d) Consideriamo la definizione di massimo comun divisore in (N, ), cioè l usuale massimo comun divisore tra due numeri naturali a, b che alla scuola media

2 abbiamo imparato a calcolare in semplici casi attraverso la fattorizzazione dei due numeri. Esercizio 3. Dimostrare che se a, b N non sono entrambi nulli, esiste sempre il massimo comun divisore in (N, ) ed è unico. Sappiamo che almeno uno dei due numeri a e b non è nullo: per esempio a. In (N, ) un divisore c di a è sicuramente minore di a. Dunque l insieme A dei divisori di a è finito e perciò l insieme H dei divisori comuni di a e di b, che è un sottoinsieme dell insieme A dei divisori di a sarà a sua volta finito. Inoltre H è non vuoto in quanto 1 divide qualsiasi numero naturale. Si conclude osservando che ogni sottoinsieme non vuoto finito di N ha massimo (infatti abbiamo un algoritmo finito per calcolarlo: basta confrontare gli elementi a due a due e scartare quello minore, il numero rimanente sarà il massimo). Il massimo comun divisore in (N, ) tra a e b non entrambi nulli è unico infatti se d e h sono due massimi comun divisori di a e b, in particolare sono due divisori comuni, quindi per definizione di G.C.D. d h e h d. Queste due relazioni in N implicano rispettivamente che d h e che h d, perciò deve essere h = d. Esercizio 4. Siano a, b due interi non entrambi nulli con a b. Dimostrare che G.C.D.(a, b) = a. Esercizio 5. Dimostrare che dati a, b Z si ha che: k Z (G.C.D.(a, b) = G.C.D.(a, b k a)) Dimostriamo questa uguaglianza mostrando che l insieme dei divisori comuni di a e b, che indicheremo con T, è uguale all insieme dei divisori comuni di a e b k a qualsiasi sia k, che indicheremo con R k. Da questo segue facilmente la tesi. Sia t T, vogliamo mostrare che t divide a (lo sappiamo) e che t divide b k a. Per ipotesi t a e t b, cioè esistono h, j Z tali che: a = t h b = t j Quindi: b k a = t j k t h = t (j k h) }{{} Z Cioè t divide anche b k a e perciò t R k. Abbiamo quindi che T R k. Viceversa se t R k, vogliamo far vedere che t T cioè che R k T e quindi concludere che T = R k. Dobbiamo far vedere, sapendo che t a e t b k a, che t a e t b. Che

3 t a appunto lo abbiamo per ipotesi, cerchiamo di far vedere che t b. Per ipotesi esistono h, j Z tali che: a = t h b k a = t j da cui: b = k a + t j = k t h + t j = t (k h + j) }{{} Z Esercizio 6. Calcolare il massimo comun divisore tra 300 e 84. Sfruttiamo quello che abbiamo visto nell esercizio precedente per fare calcoli più semplici: G.C.D.(300, 84) = G.C.D.( , 84) = G.C.D.(48, 84) Possiamo continuare con la stessa idea: G.C.D.(48, 84) = G.C.D.(48, 84 48) = G.C.D.(48, 36) G.C.D.(48, 36) = G.C.D.(48 36, 36) = G.C.D.(12, 36) Per concludere basta osservare che e perciò G.C.D.(12, 36) = 12. Esercizio 7. Provare o confutare che per ogni n Z: 1. G.C.D.(33n + 22, 2n + 5) = 1 2. G.C.D.(31n + 22, 2n + 5) = 1 1. Osserviamo che 33n + 22 = 11 (3n + 2) e quindi che se 3n + 2 è diverso da zero (ovvero sempre per n in Z) 11 è un fattore di 33n Allora scegliendo n in modo tale che 2n + 5 sia un multiplo di 11 (per esempio n = 3), si ha che 11 è un fattore in comune e quindi dividerà il massimo comun divisore tra i due numeri (che potrebbe essere 11 stesso, per esempio se scegliamo n = 3). Perciò non è vero che per ogni n il massimo comun divisore tra i due numeri è Usiamo la proprietà sul massimo comun divisore che abbiamo provato sopra: G.C.D.(31n + 22, 2n + 5) = G.C.D.(31n (2n + 5), 2n + 5) = = G.C.D.(n 53, 2n + 5) = G.C.D.(n 53, 2n (n 53)) = = G.C.D.(n 53, 101) Ora scegliendo per esempio n = = 154 si ha che G.C.D.(31n+ 22, 2n + 5) è uguale a G.C.D.(101, 101) = 101. Quindi anche in questo caso non è vero che per ogni scelta di n intero il massimo comun divisore sia 1.

4 Si può algoritmizzare la procedura vista precedentemente: Algoritmo di Euclide per il calcolo del massimo comun divisore tra due numeri naturali a, b non entrambi nulli. Supponiamo b a (analogamente nel caso inverso): Se b = 0 allora G.C.D.(a, 0) = a. Se b 0 calcoliamo la divisione con resto tra a e b. Cioè calcoliamo q (quoziente) e r (resto) naturali tali che: a = b q + r 0 r < b E ripetiamo le stesse operazioni come se volessimo calcolare il massimo comun divisore tra b e r. L algoritmo si basa sul fatto che, come abbiamo visto: G.C.D.(a, b) = G.C.D.(a b q, b) }{{} =r Termina quando troviamo un resto uguale a zero, e restituisce quindi come risposta, cioè come massimo comun divisore tra a e b, l ultimo resto non zero dell algoritmo di Euclide. Osserviamo che l algoritmo termina qualsiasi sia la coppia a, b (diversa dalla coppia (0, 0)) in quanto la successione dei resti è una successione decrescente di numeri naturali. Esempio 1. Determinare con l algoritmo di Euclide il massimo comun divisore tra 450 e = }{{} 126 = 72 1 }{{} 72 = 54 1 }{{} 54 = 18 3 }{{} + }{{} 72 q 1 r 1 + }{{} 54 q 2 r 2 + }{{} 18 q 3 r 3 + }{{} 0 q 4 Perciò il massimo comun divisore tra 450 e 126 è 18, che si evince dalla catena di uguaglianze (che in seguito non scriveremo più): G.C.D.( }{{} 450, }{{} 126 ) = G.C.D.( }{{} 126, }{{} 72 ) = G.C.D.( }{{} 72, }{{} 54 a b b r 1 r 1 r 4 r 2 ) G.C.D.( }{{} 72, }{{} 54 ) = G.C.D.( }{{} 54, }{{} 18 ) = G.C.D.( }{{} 18, }{{} 0 ) = 18 r 1 r 2 r 2 r 3 r 3 r 4

5 Teorema 1.[Lemma di Bezout] Il massimo comun divisore tra a e b si può esprimere come combinazione lineare intera di a e b. Cioè esistono due interi h, k tali che: a h + b k = G.C.D.(a, b) Attraverso l algoritmo di Euclide per calcolare il massimo comun divisore tra a e b è possibile, risalendolo, trovare una coppia di interi k, h tali che: Esempio a h + b k = G.C.D.(a, b) 2. Abbiamo visto che G.C.D.(450, 126) = 18. Vogliamo adesso, risalendo l algoritmo di Euclide visto sopra, trovare h, k interi tali che: 18 = 450 h k Riscriviamo l algoritmo di Euclide per visualizzarlo meglio: Da questo otteniamo che: 450 = }{{} 126 = 72 1 }{{} 72 = 54 1 }{{} + }{{} 72 q 1 r 1 + }{{} 54 q 2 r 2 + }{{} 18 q 3 r 3 72 = = = Per cui partendo a sostituire dall ultima equazione: 18 = = 72 (126 72) = = = 2 ( ) 126 = Quindi h = 2 e k = 7 sono due valori interi tali che: 18 = 450 h k Definizione 4. Dati a, b, c Z l equazione nelle incognite intere x, y: si dice equazione diofantea. a x + b y = c Esercizio 8. A partire dal lemma di Bezout dimostrare che vale il seguente risultato (che ci permette di saper discutere immediatamente la risolubilità di qualsiasi diofantea): Dati a, b, c interi esistono x e y interi tali che a x+b y = c (cioè l equazione diofantea ha soluzione) se e solo se il massimo comun divisore d tra a e b divide c. Dati a, b, c interi e d = G.C.D.(a, b) sappiamo, per definizione che esistono t, h Z tali che a = d t e b = d h (d è un divisore comune di a e b). Dobbiamo dimostrare due implicazioni per rispondere alla richiesta dell esercizio:

6 Mostriamo che se esistono x e y interi tali che a x + b y = c allora d divide c. Sostituendo nell uguaglianza sopra si ha: d t x + d h y = c E raccogliendo a fattore d si ottiene: Cioè d divide c. d (t x + h y) = c }{{} Z Supponiamo che d divida c allora esiste k tale che c = d k. Inoltre essendo d il massimo comun divisore tra a e b, per il lemma di Bezout, sappiamo che esistono r, s Z tali che: a r + b s = d Moltiplicando entrambi i membri per k si ottiene l uguaglianza: a r k + b s k = d k = c Cioè abbiamo trovato che x = r k e y = s k sono una soluzione della diofantea. Osserviamo che questa dimostrazione ci fornisce anche un modo per trovare una soluzione di una diofantea a x+b y = c risolubile (cioè con G.C.D.(a, b) che divide c): Attraverso l algoritmo di Euclide si calcola il massimo comun divisore d tra a e b e si verifica che d divide c. Nell ipotesi che la diofantea sia risolubile avremo che esiste s tale che c = d s. Risalendo l algoritmo si trovano due coefficienti interi h e k tali che: a h + b k = d Moltiplicando per s entrambi i membri della precedente uguaglianza si ha che: a h s + b k s = d s = c Cioè abbiamo trovato due interi h s e k s che risolvono la diofantea. Esercizio 9. Dimostrare che se a e b sono primi tra loro allora la diofantea: È risolubile qualunque sia c intero. a x + b y = c Esercizio 10. Dire quali delle seguenti diofantee sono risolubili: x + 17 y = 5

7 2. 34 x + 16 y = x + 63 y = 9 Basta osservare che: 1. G.C.D.(34, 17) = 17 non divide 5 e quindi la diofantea 34 x+17 y = 5 non è risolvibile. 2. G.C.D.(34, 16) = 2 non divide 5 e quindi la diofantea 34 x+16 y = 5 non è risolvibile. 3. G.C.D.(15, 63) = 3 divide 9 e quindi la diofantea 15 x + 63 y = 9 è risolvibile. Esercizio 11. Trovare, se esiste, una soluzione dell equazione diofantea: 363 x + 57 y = 12 Applichiamo l algoritmo di Euclide tra 363 e 57: 363 = = = = = Il massimo comun divisore tra 363 e 57 è dunque 3 che divide 12 (12 = 3 4) e perciò la diofantea è risolubile: cerchiamone una soluzione. Dai passaggi precedenti troviamo che: 3 = = = = Risaliamo l algoritmo di Euclide per esprimere 3 come combinazione lineare intera di 363 e 57: 3 = 15 (21 15) 2 = = = 3 ( ) 2 21 = = = ( ) = Perciò: Da cui segue che: 3 = = 4 3 = 4 ( ) = Dunque una soluzione della nostra equazione diofantea è data da x = 32 e y = 204.

8 Esercizio 12. Trovare, se esiste, una soluzione dell equazione nelle tre variabili x, y, z: 35 x + 77 y + 55 z = 4 Spesso in matematica per risolvere problemi nuovi, come in parte è questo, si cerca di ricondurlo a problemi che abbiamo già affrontato. Qui la novità sta nel fatto che l equazione intera che vogliamo trattare è in 3 variabili anzichè 2. Vediamo se è possibile riportarsi al caso conosciuto, scriviamo 35 x + 77 y + 55 z = 4 come: 35 x + 11 (7 y + 5 z) = 4 }{{} t A questo punto abbiamo ridotto il problema originario alla risoluzione di due equazioni in due incognite (che sappiamo già fare): Troviamo una soluzione intera x 0, t 0 di 35 x+11 t = 4 (che è risolubile in quanto 35 e 11 sono coprimi e quindi il loro massimo comun divisore (1) divide 4). Troviamo una soluzione intera y 0, z 0 di 7 y + 5 z = t 0 (anch essa risolubile perché 3 e 5 sono coprimi). La terna x 0, y 0, z 0 è una soluzione intera dell equazione 35 x + 77 y + 55 z = 4. Procediamo passo per passo: Risolviamo 35 x + 11 t = 4: Perciò: 35 = = = = 11 ( ) 5 = Da questo segue (moltiplicando per 4 entrambi i membri) che: 4 = 64 }{{} }{{} Ovvero che la coppia x 0 = 20, t 0 = 64 è una soluzione intera della nostra equazione. Risolviamo a questo punto 7 y + 5 z = 64. Senza applicare Euclide è facile vedere che una combinazione lineare di 7 e 5 che dia 1 è quella data da 2 e 3. Perciò una soluzione della nostra equazione è data dalla coppia: 35 y 0 = 2 (64) = 128 z 0 = 3 (64) = 192 Abbiamo dunque trovato che la terna ( 20, 128, 192) è una soluzione di 35 x + 77 y + 55 z = 4.

9 Esercizio 13. Consideriamo l equazione diofantea a x + b y = c con G.C.D.(a, b) che divide c (cioè risolubile) dimostrare che: 1. Se (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) sono due soluzioni della diofantea allora la coppia differenza (x 1 x 2, y 1 y 2 ) è soluzione della diofantea omogenea associata: a x + b y = 0 2. Dimostrare che se (x 1, y 1 ) è una soluzione di a x + b y = c e (x 0, y 0 ) è una soluzione dell omogenea associata allora la coppia (x 0 +x 1, y 0 +y 1 ) è soluzione di a x + b y = c. In pratica con questo esercizio si dimostra il seguente risultato: Teorema 2. Data l equazione diofantea risolubile a x + b y = c, tutte e sole le sue soluzioni si trovano sommando ad una soluzione particolare (che sappiamo trovare) tutte le soluzioni dell equazione omogenea associata (che impareremo a risolvere nelle prossime lezioni). È importante osservare che servono tutti e due i punti dell esercizio. Il primo ha come risultato che due soluzioni della diofantea differiscono per una soluzione dell omogenea associata: quindi che all interno dell insieme B delle coppie ottenute aggiungendo ad una soluzione della diofantea una dell omogenea associata ci sono tutte le soluzioni della diofantea. Questo però non ci dice che ogni volta che sommiamo ad una soluzione una soluzione della diofantea omogenea associata otteniamo una soluzione (cioè che con questa operazione otteniamo solo le soluzioni della diofantea). Cosa che è assicurata dal secondo passaggio. In termini insiemistici se A è l insieme delle soluzioni della diofantea, il primo passaggio ci dice che A B e il secondo che B A. A lezione sono stati introdotti gli anelli (Z m, +, ) in cui si definisce l uguaglianza tra elementi in questo modo: [a] m = [b] m def. {}}{ m (a b) Esercizio 14. Dimostrare che l uguaglianza introdotta gode delle seguenti proprietà: 1. a Z m [a] m = [a] m proprietà riflessiva. 2. a, b Z m [a] m = [b] m [b] m = [a] m proprietà simmetrica. 3. a, b, c Z m [a] m = [b] m [b] m = [c] m [a] m = [c] m proprietà transitiva. Esercizio 15. Trovare nilpotenti, invertibili e divisori di zero in Z 1 2. Ricordiamo rapidamente le definizioni necessarie (valide in generale per un anello (A, +, )):

10 1. a A diverso da 0 (o meglio dall elemento neutro del + che generalmente si indica con 0) si dice nilpotente se esiste n N tale che a n = a A diverso da 0 si dice divisore di zero se esiste b A anch esso diverso da zero tale che a b = a A si dice invertibile se esiste b A tale che a b = 1 (o meglio uguale all elemento neutro del che solitamente si indica con 1). prova a di- Osserviamo che in Z 12 gli elementi distinti sono 12 (perché? mostrarlo), perciò possiamo scrivere: Z 12 = {[0] 12, [1] 12, [2] 12, [3] 12, [4] 12, [5] 12, [6] 12, [7] 12, [8] 12, [9] 12, [10] 12, [11] 12 } Abbiamo che: Gli invertibili sono tutti quelli [a] 12 tali che esiste [b] 12 con [a b] 12 = [1] 12, ovvero tutti gli [a] 12 tali che: [b] (a b 1) Dire che 12 (a b 1) significa che esiste k Z tale che: Ovvero: 12 k = a b 1 a b 12 k = 1 Questa è una diofantea, con parametro a, e nelle incognite b e k e sappiamo che ha soluzione se e solo se il massimo comun divisore tra a e 12 divide 1, cioè se il 1 massimo comun divisore tra a e 12 è 1. Ovvero abbiamo trovato che gli invertibili in Z 12 sono quelli coprimi con 12 ovvero: Inv = {[1] 12, [5] 12, [7] 12, [11] 12 } In generale ripetendo lo stesso ragionamento abbiamo che: Teorema 3. Gli elementi invertibili di Z m sono tutti e soli gli elementi [a] m con G.C.D.(a, m) = 1. E dunque abbiamo anche: Corollario 1. Se p è primo in Z p tutti gli elementi [a] p sono invertibili tranne che per a multiplo di plo 0. Affinché [a] 12 sia nilpotente deve essere che per un certo n in N: a n è un mutiplo di 12 senza che a sia un multiplo di 12. Questo vuol dire che deve esistere un n N e un k Z tali che: a n = 12 k = k 1 Adottiamo la convenzione di chiamare in Z il massimo comun divisore tra a e b, il massimo comun divisore positivo. Sappiamo infatti da lezione che se d è massimo comun divisore tra a e b in Z anche d lo è. Per convenzione chiameremo massimo comun divisore tra a e b, quello tra d e d che è positivo.

11 Perché questo avvenga è necessario che a abbia tra i suoi fattori tutti i fattori di 12 ma che non sia 12. Quindi a deve essere un multiplo di 6. L unico elemento in Z 12 di questo tipo è proprio [6] 12. Affinché [a] 12 sia divisore di zero deve essere per definizione diverso da [0] 12 e deve esistere un [b] Z 12 diverso da [0] 12 tale che : 12 a b Cioè a deve avere almeno uno dei fattori di 12 ma non deve essere uguale ad un multiplo di 12. Cioè deve essere: G.C.D.(a, 12) 1 G.C.D.(a, 12) 12 Ovviamente il risultato si può ripetere in generale per un qualsiasi m e quindi ottenere il seguente: Teorema 4. [a] m è un divisore di zero in Z m se e solo se: G.C.D.(a, m) 1 G.C.D.(a, m) m E dunque abbiamo anche i seguenti corollari: Corollario 2. Se p è primo in Z p non ci sono divisori di zero. Corollario 3. In Z m un elemento [a] m se non è [0] m (cioè G.C.D.(a, m) = m, o è invertibile (cioè G.C.D.(a.m) = 1) o è divisore di zero (cioè 1 < G.C.D.(a, m) < m). 2 Nel nostro caso i divisori di zero in Z m sono dunque: DIV 0 = {[2] 12, [3] 12, [4] 12, [6] 12, [8] 12, [9] 12, [10] 12 } Esercizio 16. Sia A un anello possono esistere elementi a che siano invertibili e divisori di zero? La risposta è no e deriva dalla proprietà associativa del prodotto. Supponiamo esista a A che sia divisore di zero (quindi a diverso da zero ed esiste b in A diverso da zero con a b = 0) e anche invertibile (quindi esiste c in A tale che a c = 1). Per la proprietà associativa sappiamo che (b a) c è uguale a b (a c). Ma: (b a) c = 0 c }{{} = prop.vista a lez. 0 b (a c) = b 1 = b E questo è assurdo perché b sappiamo essere diverso da zero. Perciò non può esistere un elemento a che sia contemporaneamente divisore di zero e 2 Osserviamo che questo risultato non è vero per tutti gli anelli. In Z gli unici elementi invertibili sono 1 e 1, ma non ci sono divisori di zero (segue dal teorema di annullamento del prodotto in R che contiene Z).

12 invertibile. Esercizio 17. Risolvere l equazione in Z 6 : ([x] 6 + [1] 6 ) ([x] 6 + [2] 6 ) Sicuramente (visto che a lezione è stato dimostrato che dalle proprietà di anello segue che per ogni a: a 0 = 0) se uno dei due fattori è zero il risultato è zero. Quindi intanto abbiamo che [x] 6 = [5] 6 e [x] 6 = [4] 6 (che annullano rispettivamente primo e secondo fattore) sono soluzioni. Ma potrebbero essercene delle altre perché sappiamo che in Z 6 esistono divisori di zero, ovvero che un prodotto può fare zero anche se entrambi i fattori sono diversi da zero. I divisori di zero in Z 6 sono [2] 6, [3] 6, [4] 6. Per vedere dunque se ci sono altre soluzioni della equazione dobbiamo cercare se ci sono le soluzioni di questi sistemi: { [x]6 + [1] 6 = 2 [x] 6 + [2] 6 = 3 { [x]6 + [1] 6 = 3 [x] 6 + [2] 6 = 4 { [x]6 + [1] 6 = 3 [x] 6 + [2] 6 = 2 { [x]6 + [1] 6 = 4 [x] 6 + [2] 6 = 3 È molto facile vedere che gli ultimi due sistemi non hanno soluzione, mentre i primi due sì. Soluzioni date rispettivamente da [x] 6 = [1] 6 e [x] 6 = [2] 6. Abbiamo dunque che l equazione considerata in Z 6 ha in totale 4 soluzioni.