5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI

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1 5. EQUAZIONI e DISEQUAZIONI 1. Per ognuna delle affermazioni seguenti, indicare se e vera o falsa, motivando la risposta (a) L equazione di primo grado (1 2)x = 2 ha soluzione x = 2(1+ 2). V F (b) La disequazione (x 2)/( 2 3) > 2( 2 + 3) ha soluzioni se x < 0. V F (c) La soluzione della disequazione x > (4 + x)/( 3) e x > 1. V F 2. Data la disequazione 2 kx < x, trovare l insieme delle soluzioni se k = 1 e se k < Risolvere le equazioni di secondo x 2 6x + 9 = 0 e x 2 3x = Se l equazione un equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 non ha soluzioni reali, e vero o falso che anche la disequazione ax 2 + bx + c > 0 non ha soluzioni reali? Trovare un esempio. 5. Risolvere le seguenti disequazioni (a) x 2 + 3x/2 1/2 > 0 (b) x 2 /4 + 5x 25 > 0 (c) 3(2/3 x)(x + 4) 0 6. Per quali valori di a l equazione (a 2)x 2 + ax a 2 = 0 non ha soluzioni reali? Per quali valori di a la disequazione x 2 + (a 1)x + a + 1/4 > 0 ha soluzione per ogni x reale? 7. Risolvere le disequazioni (a) (3x 2)/x 4 0 (b) (x 2 4)/(x 2 + 5x 14) < 0 (c) 1/(x 1) (x + 1)/(x 2 1) 8. Se a > 0, trovare le soluzioni della disequazione (ax 2 )/(x a) > 0. Per quali valori di k la disequazione (x 2 kx + k)/(x 2 2x + 9) > 0 e verificata per ogni valore di x reale? 9. Risolvere le seguenti equazioni, disequazioni (a) 2 + x < 9 (b) 3x+1 x2 +1 > 1 (c) (x + 1)/(x + 6) 3 = 0 (d) (x 2 x)/(x 2) < 0

2 (e) x 2 9 > 0; x 2 5x + 6 < Risolvere i sistemi di disequazioni { (a) x 2 x > 0 x 2 < 0 { x 2 (b) x+1 0 x 2 5x + 6 < 0 { x 1 2 < 0 (c) (x 2) 2 0 { (d) x 2 4x + 3 < 0 2x 4 < 0

3 Risposte 1. (a) Razionalizzando, l equazione si riscrive 2 x = 1 2 = 2(1 + 2) = 2(1 + 2) 1 2 quindi la risposta e vero. (b) La risposta e vero, infatti moltiplicando ambo i membri per 2 3(< 0), si ha x 2 < 2( 2 + 3)( 2 3) = 2 quindi la soluzione della disequazione e x < 0. (c) La risposta e falso visto che moltiplicando ambo i memebri per -3 si ha e la disequazione ha soluzione x > 1. 3x < 4 + x 4x < 4 2. La disequazione si riscrive x(1 + k) > 2; se k = 1 si ha 1 + k = 0 e il primo membro e nullo per ogni x e risulta 0 > 2. Questa disequazione non e verificata per nessun valore di x. Se invece si ha k < 1, si ha 1 + k < 0 e quindi, se x > 0, si ha x(1 + k) < 0. Visto che si deve avere anche x(1 + k) > 2, questa disequazione non ha soluzione. Se invece e x < 0, si ha x(1 + k) > 0 e quindi le soluzioni sono tutti i valori di x che soddisfano la relazione x(1 + k) > 2. Dividendo ambo i membri per 1 + k(< 0), le soluzioni sono tutti i valori x tali che x < C(k) = 2/(1 + k), se ad esempio k = 2 si ha x < C( 2) = 2, se k = 4 e x < C( 4) = 2/3 e cosi via. 3. La prima equazione si riscrive (x 3) 2 = 0, quindi le soluzioni sono i due valori coincidenti x = 3. La seconda equazione si riscrive x(x 3) = 0 e il primo membro si annulla se x = 0 o se x = 3, questi valori sono le soluzioni dell equazione. 4. L affermazione e vera solo se a < 0. Se infatti si ricorda che il primo membro e l equazione di una parabola y = ax 2 +bx+c e che le soluzioni dell equazione corrispondente sono le intersezioni della parabola con l asse x, allora l equazione non ha soluzioni se non incontra l asse stesso e quindi se si trova al di sopra o al di sotto di questo. Se e a > 0 la parabola volge la concavita verso l alto e se e ax 2 + bx + c > 0, tutti i punti del grafico, e quindi tutti i valori di x, soddisfano questa richiesta. Se invece si ha a < 0 la parabola volge la concavita verso il basso e per nessun valore di x si puo avere ax 2 + bx + c > 0. Se consideriamo infatti l equazione particolare x 2 +3x 17/4 = 0, questa non ha soluzioni reali visto che = 8. Si ha a = 1 quindi per nessun valore di x reale risulta x 2 + 3x 17/4 > 0.

4 5. La prima disequazione si riscrive x 2 3x/2 + 1/2 < 0. Le soluzioni dell equazione di secondo grado x 2 3x/2 + 1/2 = 0 sono x 1,2 = 3/2 ± 1/4 2 cioe x 1 = 1/2 e x 2 = 2, e la disequazione e soddisfatta per 1/2 < x < 2. In modo analogo la seconda disequazione si riscrive x 2 /4 5x + 25 = (x/2 5) 2 < 0. Tenendo conto del fatto che il quadrato di un numero e sempre positivo o nullo, non esiste nessun valore di x che soddisfa la disequazione. Infine l equazione 3(2/3 x)(x+4) = 0 ha soluzioni x = 2/3 e x = 4 quindi la disequazione associata 3(2/3 x)(x + 4) 0 ha soluzioni se x 4 o x 2/3. 6. Se a = 2, l equazione diventa di primo grado: 2x 4 = 0 e la soluzione e x = 2. Se a 2, l equazione di secondo grado non ha soluzioni reali se = a 2 4(a 2 4) = 3a < 0, cioe se a < 4/ 3 o a > 4/ 3. La disequazione x 2 + (a 1)x + a + 1/4 > 0 ha soluzioni per ogni x reale se = (a 1) 2 4(a + 1/4) = a 2 6a < 0 (vedere es. 4). Questa condizione si verifica se 0 < a < 6, quindi per valori di x in questo intervallo la disequazione e sempre verificata. 7. (a) Affinche la disequazione abbia senso deve essere x 0. Se si ha x > 0, la disequazione si riscrive nella forma 3x 2 4x, cioe x 2 e quindi x 2; quindi ogni x > 0 soddisfa il problema. Se invece e x < 0, la disequazione si riscrive 3x 2 4x, cioe x 2 e quindi si deve avere x 2. (b) Il denominatore della frazione a primo membro deve essere diverso da zero, altrimenti il problema non e definito e cio accade se x 2 5x 14 0 cioe se x 2 e x 7. Affinche la frazione sia negativa i segni del numeratore e del denominatore devono essere discordi; il numeratore e positivo se x < 2 e se x > 2, mentre all interno dell intervallo ( 2, 2) il segno e negativo, Il denominatore e negativo se x ( 2, 7) ed e positivo se x e preso all esterno di questo intervallo. In definitiva la disequazione e soddisfatta se 2 < x < 7. (c) Infine se osserviamo che x 2 1 = (x 1)(x + 1), il secondo membro della terza disequazione si riscrive come 1/(x 1), purche sia x 1. Si osserva ora che, se x 1, il primo memebro e sempre uguale al secondo membro e quindi il problema e sempre soddisfatto. 8. Se e a > 0, il numeratore ax 2 e sempre positivo se x 0, si annulla per x = 0. Affinche la frazione sia positiva, anche il denominatore deve essere positivo e cio accade se x > a. Il denominatore della seconda frazione e sempre positivo, visto che il dell equazione corrispondente e = 4 36 < 0 e che il segno del coefficiente del termine di secondo grado e 1 > 0; quindi la frazione e positiva per ogni x reale se anche il numeratore e

5 positivo. La disequazione di secondo grado x 2 kx + k > 0 e sempre soddisfatta se = k 2 4k < 0 e quindi se 0 < k < (a) Ricordando che x = { x se x 0 x se x < 0 il problema dato si riscrive { x < 7 se x 0 x < 7 se x < 0 la prima disequazione ha soluzioni 0 x < 7 mentre la seconda e soddisfatta se 7 < x < 0. In definitiva ogni x ( 7, 7) soddisfa il problema. (b) Visto che x > 0 per ogni x, il problema si riscrive nella forma 3x + 1 > x e cioe 8x 2 + 6x > 0. Le soluzioni dell equazione di secondo grado associata sono x = 3/4 e x = 0, quindi la disequazione ha soluzioni se x < 3/4 o x > 0. (c) Il problema e definito se x 6. In questo caso si puo scrivere nella forma x + 1 = 9(x + 6) e ha soluzione se x = 53/8. (d) Se x 2, la disequazione e soddisfatta se numeratore e denominatore hanno segno discorde. Cio accade se x < 0 o se 1 < x < 2. (e) Il problema si riscrive x 2 9 = (x 3)(x + 3) > 0. Le soluzioni dell equazione di secondo grado associata alla disequazione data sono x = 3 e x = 3, quindi il problema ha soluzioni se x < 3 o x > 3. (ATTENZIONE! NON SE x > ±3) Le soluzioni dell equazione di secondo grado associata alla disequazione data sono x = 2 e x = 3, quindi la disequazione e soddisfatta se 2 < x < (a) La prima disequazione e soddisfatta se x < 0 o x > 1, la seconda se x < 2; quindi entrambe sono soddisfatte se 1 < x < 2. (b) Il problema e definito solo se x 1. La prima disequazione e soddisfatta se x < 1 o x 2,la seconda se 2 < x < 3. Entrambe sono soddisfatte se x < 0 o 2 < x < 3. (c) Il problema e definito solo se x 1 (la radice quadrata di un numero negativo non e un numero reale); in questo caso si ha x 1 < 4 che ha soluzione se x < 5. La seconda disequazione e soddisfatta per ogni valore di x reale, quindi entrambe le disequazioni sono soddisfatte se x < 5. (d) L equazione di secondo grado associata alla prima disequazione ha soluzioni x = 1 e x = 3, quindi la disequazione e soddisfatta per ogni x (1, 3). La seconda disequazione ha soluzione per x < 2, quindi il problema ha soluzione se x (1, 2).