Cenni alla rappresentazione dei tipi dato primitivi

Transcript

1 Cenni alla rappresentazione dei tipi dato primitivi Fondamenti di Informatica R. Basili a.a

2 Numeri Naturali Alfabeto, A Un insieme finito di B simboli, A={a, b,. } Sequenze o Stringhe in A, A * n-ple, (a 0,, a n-1 ) con a i A, ed n>=0 Valore, cioe la funzione di rappresentazione: val : A * N data da: val((a 0,, a n-1 )) = B e detta Base n i= 0 i a i B

3 Alfabeti e Stringhe Esempio: Alfabeto, A A = {a} A* = {a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, }; oppure: A = {a, b} A* = {a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, baa, abb, }

4 Rappresentazione come funzione Sia N l insieme dei numeri naturali {0, 1, 2, }. Una rappresentazione di N è una funzione iniettiva r : N A* che possiede la funzione inversa (valore) val : A* N tale che, data σ A*, val(s) = n N se r(n) = σ indefinito altrimenti

5 Numeri Naturali - Base 10 Alfabeto, A={0,1,2,3,,9} Sequenzeo Stringhe in A, A * es. (197) = 197, (1389) = 1389 Valore, val((a n,, a 0 )) = i= 0 es. val(197)= 7* * *10 2 val(1389)= 9* * * *10 3 n a i 10 i

6 Numeri Naturali - Base 8 Alfabeto, A={0,1,2,3,,7} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (127) = 127, (13) = 13, 183 e NON VALIDA!! n i a i 8 i= 0 Valore, val((a n,, a o )) = es. val(127)= 7* *8 1 +1*8 2 = =87 val(13)= 3* *8 1 = 11 (127) 8 =(87) (13) 10 8 =(11) 10

7 Numeri Naturali - Base 8 Alfabeto, A={0,1,2,3,,7} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (127) = 127, (13) = 13, 183 e NON VALIDA!! n i a i 8 i= 0 Valore, val((a n,, a o )) = es. val(127)= 7* *8 1 +1*8 2 = =87 val(13)= 3* *8 1 = 11 (127) 8 =(87) (13) 10 8 =(11) 10

8 Numeri Naturali - Base 8 Alfabeto, A={0,1,2,3,,7} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (127) = 127, (13) = 13, 183 e NON VALIDA!! n i a i 8 i= 0 Valore, val((a n,, a o )) = es. val(127)= 7* *8 1 +1*8 2 = =87 val(13)= 3* *8 1 = 11 (127) 8 =(87) (13) 10 8 =(11) 10

9 Numeri Naturali - Base 8 Alfabeto, A={0,1,2,3,,7} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (127) = 127, (13) = 13, 183 e NON VALIDA!! n i a i 8 i= 0 Valore, val((a n,, a o )) = es. val(127)= 7* *8 1 +1*8 2 = =87 val(13)= 3* *8 1 = 11 (127) 8 =(87) (13) 10 8 =(11) 10

10 Numeri Naturali - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (101) = 101, (10) = 10, 13 e NON VALIDA!! n i a i 2 i= 0 Valore, val((a n,, a 0 )) = es. val(101)= 1* *2 1 +1*2 2 =1+4=5 val(10)= 0* *2 1 = 2 (101) 2 =(5) (10) 10 2 =(2) 10

11 Numeri Naturali - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (101) = 101, (10) = 10, 13 e NON VALIDA!! n i a i 2 i= 0 Valore, val((a n,, a 0 )) = es. val(101)= 1* *2 1 +1*2 2 =1+4=5 val(10)= 0* *2 1 = 2 (101) 2 =(5) (10) 10 2 =(2) 10

12 Numeri Naturali - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (101) = 101, (10) = 10, 13 e NON VALIDA!! n i a i 2 i= 0 Valore, val((a n,, a 0 )) = es. val(101)= 1* *2 1 +1*2 2 =1+4=5 val(10)= 0* *2 1 = 2 (101) 2 =(5) (10) 10 2 =(2) 10

13 Numeri Naturali - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (101) = 101, (10) = 10, 13 e NON VALIDA!! n i a i 2 i= 0 Valore, val((a n,, a 0 )) = es. val(101)= 1* *2 1 +1*2 2 =1+4=5 val(10)= 0* *2 1 = 2 (101) 2 =(5) (10) 10 2 =(2) 10

14 Numeri Naturali - Base 16 Alfabeto, A={0,1,.., 9, A,B,C,D,E,F} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (10E4) = 10E4 1G3 n i a i 16 i= 0 Valore, val((a 0,, a n )) = e NON VALIDA!! ES. val(10e4) = 4* * *16 3 = = =4324 (10E4) 16 =(4324) 10

15 Numeri Naturali - Base 16 Alfabeto, A={0,1,.., 9, A,B,C,D,E,F} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (10E4) = 10E4 1G3 n i a i 16 i= 0 Valore, val((a 0,, a n )) = e NON VALIDA!! ES. val(10e4) = 4* * *16 3 = = =4324 (10E4) 16 =(4324) 10

16 Numeri Naturali - Base 16 Alfabeto, A={0,1,.., 9, A,B,C,D,E,F} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (10E4) = 10E4 1G3 n i a i 16 i= 0 Valore, val((a 0,, a n )) = e NON VALIDA!! ES. val(10e4) = 4* * *16 3 = = =4324 (10E4) 16 =(4324) 10

17 Numeri con la virgola - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (10.1) = e NON VALIDA!! Valore, val((a -m,,,a -1, a 0,, a n )) = n i= m a 2 i i ES. val(10.1) = 1* * *2 1 = (10.1) 2 =(2.5) 10 = = 2.5

18 Numeri con la virgola - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (10.1) = e NON VALIDA!! Valore, val((a -m,,,a -1, a 0,, a n )) = n i= m a 2 i i ES. val(10.1) = 1* * *2 1 = (10.1) 2 =(2.5) 10 = = 2.5

19 Numeri con la virgola - Base 2 Alfabeto, A={0,1} Sequenze o Stringhe in A, A * es. (10.1) = e NON VALIDA!! Valore, val((a -m,,,a -1, a 0,, a n )) = n i= m a 2 i i ES. val(10.1) = 1* * *2 1 = (10.1) 2 =(2.5) 10 = = 2.5

20 Rappresentazione Binaria AL calcolatore abbiamo a disposizione solo l alfabeto binario => Base 2. Cifre Binarie o Binary Digits (bits) La rappresentazione è quindi discreta Il cambiamento di base esprime il funzionamento delle funzioni r e val r : 10 => 2 val : 2 => 10 Abbiamo visto i valori decimali (in Virgola fissa)

21 Rappresentazione Binaria Parole di memoria di dimensione fissa, o rappresentazione su k bit La dimensione k determina il Max ed il Min numero rappresentabile Le Operazioni agiscono sui k bit Vengono introdotte approssimazioni sui valori discreti consentiti dai limiti imposti da k Il problema del trabocco (overflow) Underflow, problema del trattamento di quantità (valori) troppo piccoli per essere distinti tra loro

22 Intericon segno Modulo e segno Bit del segno Rappresentazione binaria del modulo Es. r ms (5) = Es. r ms (-5) =

23 Problemi nella rappresentazione degli interi con segno Due valori per lo zero Due diversi ordinamenti per i positivi e per i negativi rispetto alle rappresentazioni

24 Problemi nella rappresentazione degli interi con segno Due valori per lo zero Due diversi ordinamenti per i positivi e per i negativi rispetto alle rappresentazioni per h =

25 Problemi nella rappresentazione degli interi con segno Due valori per lo zero Due diversi ordinamenti per i positivi e per i negativi rispetto alle rappresentazioni per h =

26 Problemi nella rappresentazione degli interi con segno Due valori per lo zero Due diversi ordinamenti per i positivi e per i negativi rispetto alle rappresentazioni per h = Ordinamento delle rappresentazioni Ordinamento dei valori

27 Interi con segno Complemento a una base B (su h cifre) - Bh B h 2 Z N B h 0 2 B h -1 h B 2 h B 2 1

28 Interi con segno Complemento a una base B (su h cifre) r c (x) = h (B B r r B (x) - x ) se 0 se - h B 2 x < h B x 2 < 0

29 Interi con segno Complemento alla base 2 (su h cifre) r c (x) = r 2 r 2 (x) (2 h - x ) se 0 2 h se h x < 2 = 2 h = 2 h 1 1 x < 0

30 Interi con segno (Esempio) Complemento alla base 2 (su h=4 cifre) r c (x) = r 2 r 2 (2 (x) 4 - x ) se 0 se x < = 8 = 8 x < 0

31 Interi con segno (Esempio) Complemento alla base 2 (su 4 cifre) Sia x = (5) 10, si ha 0<5<8 quindi r c (x) = r 2 r 2 (2 (x) 4 - x ) se 0 se x < = 8 = 8 x < 0 r c (x)= r 2 (x) = (0101) 2

32 Interi con segno (Esempio) Complemento alla base 2 (su 4 cifre) Sia x = (-5) 10 si ha -8<-5<0 quindi r c (x) = r 2 r 2 (2 (x) 4 - x ) se 0 se x < = 8 = 8 x < 0 r c (x)= r 2 (2 4 - x ) = r 2 ( )= r 2 (11)=(1011) 2

33 Interi con segno - Min e Max Complemento alla base 2 (su k cifre) MIN: (100 0) MAX: (011 1) Es. k=7 MIN = ( ) ==> ( )=-64 MAX = ( ) ==> ( )=63

34 Numeri Razionali Virgola fissa Bit del segno Rappresentazione binaria della parte decimale Rappresentazione binaria della parte intera Es. r ms (2.5) = Es. r ms (-2.5) =

35 Numeri Razionali - modulo e segno Quanti diversi numeri posso rappresentare? k bit per la parte intera e h per la parte decimale ===> ho 2 (k+h) numeri diversi Es. k=2 h=5 ===> ho 2 7 = 128 numeri razionali diversi

36 Numeri Razionali - modulo e segno Quale max e min? k bit per la parte intera ===> min = 0 max = 2 k -1 h per la parte decimale ===> min = 0 max = 1-2 h

37 Numeri Razionali - modulo e segno Quale max e min? k bit per la parte intera ===> min = 0 max = 2 k -1 h per la parte decimale ===> min = 0 max = 1-2 h Es. k=2 h=5 ===> min = 0 max= (2 k -1)+(1-2 -h )=

38 Numeri Razionali - modulo e segno Quale max e min? k bit per la parte intera ===> min = 0 max = 2 k Parte Intera -1 h per la parte decimale ===> min = 0 max = 1-2 h Es. k=2 h=5 ===> min = 0 max= (2 k -1)+(1-2 -h )=

39 Numeri Razionali - modulo e segno Quale max e min? k bit per la parte intera ===> min = 0 max = 2 k Parte Intera -1 h per la parte decimale ===> min = 0 max = 1-2 h Parte Decimale Es. k=2 h=5 ===> min = 0 max= (2 k -1)+(1-2 -h )=

40 Numeri Razionali - modulo e segno Qual è la distanza tra due numeri razionali rappresentati? Se ho h bit per la parte decimale x ==> r(x) - r(x succ ) = 0 0,0.1=2 -h x x succ Es. k=2 h=5 ===> r(x) - r(x succ ) = ( ) 2 =2-5 = ( ) 10

41 Numeri Razionali - modulo e segno Qual è la distanza tra due numeri razionali rappresentati? Se ho h bit per la parte decimale x ==> r(x) - r(x succ ) = 0 0,0.1=2 -h x x succ Es. k=2 h=5 ===> r(x) - r(x succ ) = ( ) 2 =2-5 = ( ) 10

42 Numeri Razionali - modulo e segno Qual è la distanza tra due numeri razionali rappresentati? Se ho h bit per la parte decimale x ==> r(x) - r(x succ ) = 0 0,0.1=2 -h x x succ Es. k=2 h=5 ===> r(x) - r(x succ ) = ( ) 2 =2-5 = ( ) 10

43 Numeri Razionali Virgola Mobile x = ±mb e 0/1 segno m Rappresentazione binaria della mantissa e Rappresentazione binaria dell esponente Es: 123,45 = 0,12345*10 3 r vm (123,45) =<+, 12345,3> X=0, = 0,45*10-4 r vm (x) =<+, 45,-4>

44 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m e segno Mantissa (h) Esponente (k)

45 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m e segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0)=2-1 max= (1 1)=2 h -1

46 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m e segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0)=2-1 max= (1 1)=2 h -1 e: min=(10..0)= -2 k-1 max=(01..1)= 2 k-1-1

47 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e Normalizzazione m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m e segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0)=2-1 max= (1 1)=2 h-1 e: min=(10..0)= -2 k-1 max=(01..1)= 2 k-1-1

48 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e Normalizzazione Complemento m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m e segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0)=2-1 max= (1 1)=2 h-1 e: min=(10..0)= -2 k-1 max=(01..1)= 2 k-1-1

49 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) e

50 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0) = 2-1 max= (1 1) = 2 h -1 e

51 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0) = 2-1 max= (1 1) = 2 h -1 x: min= m min 2 e min= k-1 =2-2k-1-1 x: max= m max 2 e max= (2 h -1) 2 2k-1-1 e

52 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e m ed e hanno dimensione fissa, h e k rispettivamente 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) m: min= (1 0) = 2-1 max= (1 1) = 2 h -1 x: min= m min 2 e min= k-1 =2-2k-1-1 x: max= m max 2 e max= (2 h -1) 2 2k-1-1 e e: min=(10..0) = -2 k-1 max=(01..1) = 2 k-1-1

53 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) e

54 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) x: min= m min 2 e min= k-1 =2-2k-1-1 x: max= m max 2 e max= (2 h -1) 2 2k-1-1 e

55 Numeri Razionali - Virgola Mobile x = ±m2 e 0/1 m segno Mantissa (h) Esponente (k) x: min= m min 2 e min= k-1 =2-2k-1-1 x: max= m max 2 e max= (2 h -1) 2 2k-1-1 e Per h=2, k=5 x: min= k-1 =2-2k-1-1 = =2-17 x: max= (2 h -1) 2 2k-1-1 = =

56 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e

57 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ ) e=(0..01)e= 2 -h e

58 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ ) e=(0..01)e= 2 -h e e MIN { e MAX

59 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive

60 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ )e=(0..01)e= 2 -h e e MIN { e MAX

61 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ )e=(0..01)e= 2 -h e e MIN { e MAX

62 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ )e=(0..01)e= 2 -h e e MIN { e MAX x x succ

63 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ )e=(0..01)e= 2 -h e e MIN { e MAX x x succ x x succ

64 Virgola Mobile - Distanza Due numeri successivi x = ±m2 e x succ = ±m succ 2 e hanno lo stesso esponente e e mantisse m e m successive m: (1 0)=2-1 m succ = (10..1)= h ==>x-x succ = (m-m succ )e=(0..01)e= 2 -h e... e MIN { e MAX x x succ x x succ

65 Virgola Mobile - Distanza Il formato IEEE x = ±m2 e 0/1 segno Mantissa (h) Esponente (k) h = 23 k = 8 m e

66 Virgola Mobile - Distanza Il formato IEEE x = ±m2 e 0/1 segno Mantissa (h) Esponente (k) h = 23 k = 8 m x: min k-1 = 2-2k-1-1 = = x: max (2 h -1) 2 2k-1-1 = ( ) =!!! e

67 Virgola Mobile - Distanza Il formato IEEE x = ±m2 e 0/1 segno Mantissa (h) Esponente (k) h = 23 k = 8 m x: min k-1 = 2-2k-1-1 = = x: max (2 h -1) 2 2k-1-1 = ( ) =!!! e Es. (13.25) 10 =>

68 Sommario Ogni insieme numerico richiede una rappresentazione specifica La rappresentazione al calcolatore usa sempre un linguaggio binario, cioe l alfabeto e dato da A={0,1} La rappresentazione è limitata dalla dimensione k della parola di memoria usata per la memorizzazione I tipi dato primitivi del C(C++) adottano le diverse rappresentazioni dicusse

69 Sommario (2) int, short e long adottano una rappresentazione in complemento float e double (e long double) adottano rappresentazioni in virgola mobile Le rappresentazioni introducono errori di Overflow (trabocco) e underflow Arrotondamento Gli errori dipendono in modo significativo dal modulo dei numeri in gioco