Distribuzione di un carattere

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1 Distribuzioe di u carattere Dopo le fasi di acquisizioe e di registrazioe dei dati, si passa al loro cotrollo e quidi alle loro elaborazioe. Si defiisce distribuzioe uitaria semplice di u carattere l elecazioe delle modalità osservate, uità per uità, el collettivo preso i esame. Si defiisce frequeza assoluta di ua modalità di u carattere il umero di volte che questa viee osservata sul collettivo. Quado il collettivo i esame è umeroso ua maggiore sitesi si ottiee cosiderado la distribuzioe di frequeza semplice che associa alle modalità che può assumere u carattere X le corrispodeti frequeze assolute. scuola di proveieza frequeza assoluta liceo scietifico 88 liceo classico 3 istituto tecico 50 istituto professioale 3 Altre 8 TOT 8 Distribuzioe di frequeza del carattere scuola di proveieza Dato che le frequeze assolute dipedoo dalla umerosità del collettivo, quado si voglioo cofrotare due o più collettivi rispetto ad u carattere diveta sigificativo cosiderare le frequeze relative. Date N uità statistiche di cui presetao la -esima modalità, si defiisce frequeza relativa -esima il rapporto f = e frequeza percetuale p f 00. = La somma di tutte le frequeze relative è uguale a, metre la somma delle frequeze percetuali è uguale a 00. 3

2 quale tipo di prodotto pubblicizzato ti viee i mete per primo categorie frequeza assoluta Frequeza relativa frequeza % auto 0,066 7% abbigliameto 0,060 6% prodotti alimetari 55 0,30 30% telefoia-tecoologia iformatica 35 0,9 9% detersivi 0 0,054 5% prodotto per l'igiee e cosmetici 7 0,093 9% elettrodomestici 0,00 % altro 8 0,043 4% o hao risposto 3 0,76 8% TOT 8 00% Nel caso i cui il carattere i esame è qualitativo ordiato o quatitativo, può essere iteressate cosiderare la frequeza co cui si presetao modalità di ordie iferiore o uguale ad ua certa modalità. Dato u carattere X co Kmodalità ordiate i seso crescete, si idica co N = la frequeza assoluta cumulata, co F = f f + f la frequeza relativa cumulata e co P = p + p p la frequeza percetuale cumulata. Quado si misura u feomeo el tempo, registradolo i determiati istati si ottiee ua rappresetazioe tabellare che prede il ome di serie storica. 3

3 Nel caso di u carattere geografico, le cui modalità rappresetao azioi, regioi, ripartizioi geografiche, città,.. la distribuzioe viee detta serie territoriale. Rappresetazioe grafica I dati raccolti i tabelle possoo risultare poco chiari e di difficile iterpretazioe se le tabelle soo di gradi dimesioi e se i caratteri cosiderati hao u umero molto alto di modalità. Per avere u idea immediata e sitetica, ache se approssimata, dell adameto del carattere del feomeo i esame risultao idispesabili le rappresetazioi grafiche che può essere effettuata utilizzado i grafici a astri e a barre, istogrammi, grafici a torta, grafici a radar, diagrammi cartesiai, pictogrammi, cartogrammi. Grafico a astri I questi grafici ogi frequeza viee rappresetata da u astro così da otteere ua successioe di rettagoli aveti la stessa altezza e le basi proporzioali alle frequeze. Questo tipo di grafico è i geere utilizzato per rappresetare la distribuzioe di frequeza dei caratteri qualitativi scoessi o ordiali. acquisto di prodotti su suggerimetodi u messaggio pubblicitario si, mess iteret si, mess.giorali si, mess. Tv-radio o 0% 0% 0% 30% 40% 50% 33 frequeze %

4 grafico della distribuzioe di frequeza del carattere "scuola di proveieza" altre 5% scuola di proveieza istituto professioale istituto tecico altro liceo liceo classico % 4% 3% 7% liceo scietifico 48% 0% 0% 0% 30% 40% 50% 60% frequeza % Grafico a barre I questi grafici ogi frequeza viee rappresetata da u astro così da otteere ua successioe di rettagoli aveti la stessa base e le altezze proporzioali alle frequeze. I grafici a barre soo particolarmete adatti a rappresetare caratteri qualitativi ordiati e quatitativi discreti i quato le barre poste sull asse orizzotale cosetoo di cogliere meglio l ordiameto delle modalità. Titolo di studio più elevato tra i geitori 60% 53% 50% frequeza % 40% 30% 0% 4% 3% 0% 0% % essu titolo o elemetare liceza media diploma scuola superiore laurea titoli di studio 34

5 titolo di studio più elevato tra i geitori 60% 53% 50% frequeza % 40% 30% 0% 0% 0% % essu titolo o elemetare 4% liceza media diploma scuola superiore 3% laurea titolo di studio Se per uo stesso carattere si possoo osservare due o più distribuzioi semplici, allora è preferibile utilizzare i grafici a barre multipli che permettoo di rappresetare cotemporaeamete più distribuzioi semplici mettedo a cofroto per ciascua modalità le diverse frequeze. frequeza % v alutazioe dell'affollame to pubblicitario 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% TV radio giorali iteret ambiti valutati basso alto Grafico a torta I grafici a torta soo particolarmete utili quado si vuole 35

6 rappresetare la distribuzioe di frequeza di u carattere qualitativo co poche modalità. La geerica fetta è completamete defiita dall agolo al cetro corrispodete dalla seguete proporzioe: relativa alla -esima modalità e corrispodete. p g = co p la percetuale g i gradi dell agolo dove ascoltao la radio dove ascoltao la radio i casa 48% altro 6% i auto 46% altro 6% i casa 48% i auto 46% I alcui grafici si possoo aggiugere la tridimesioalità e la prospettiva. I grafici relativi a distribuzioi di frequeza semplici tuttavia rimagoo sostazialmete bidimesioali, giacchè la terza dimesioe o aggiuge alcua iformazioe al grafico ma è solo u elemeto estetico. preseza i casa di u PC o 7% si 93% 36

7 Istogrammi Se la distribuzioe di frequeza riguarda u carattere quatitativo specialmete se suddiviso i classi si può otteere ua efficace rappresetazioe mediate gli istogrammi. L istogramma è u grafico costituito da barre o distaziate dove ogi barra possiede u area proporzioale alla corrispodete frequeza. grafico della distribuzioe di frequeza relativa frequeza relativa 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% Ao 37

8 frequeza % 70% 60% 50% 40% 30% 0% 0% 0% ore i cui i media si utilizza Iteret meo di ora da a ore più di ore ore Grafico radar I grafici radar soo molto utili quado il carattere è ciclico (mesi dell ao, giori della settimaa,..). Caratteri come vedite di u prodotto per mese possoo trovare u adeguata rappresetazioe attraverso tali grafici. pezzi veduti ell'ao 004 ovembre ottobre dicembre geaio febbraio marzo aprile settembre agosto luglio giugo maggio 38

9 domeica sabato libri veduti ella settimaa luedi martedì mercoledì veerdì giovedì Diagrammi cartesiai I diagrammi cartesiai soo i geere utilizzati per le serie temporali cioè per feomei che variao co cotiuità i fuzioe del tempo. Il grafico è costituito da ua successioe di puti, uiti da ua spezzata, idividuati su u piao cartesiao. 8 7 tassi di iteresse ao 39

10 Pictogrammi I pictogrammi soo grafici il cui scopo è di tipo essezialmete divulgativo. I essi si utilizzao figure, simboli, disegi, attieti al carattere cosiderato di dimesioe o umero proporzioale alle frequeze della distribuzioe. Questi grafici, i geere, o permettoo ua precisa valutazioe del feomeo ma si limitao a redere evidete qualche sua caratteristica. vii più veduti barbera ero d'avola lambrusco chiati Come appare dal grafico la dimesioe delle bollicie ci da ua immediata ma o troppo chiara visioe delle bottiglie di vio più vedute i u certo ao. Dal grafico si capisce che soo state più vedute bottiglie di chiati e ero d Avola ma o si possoo trarre ulteriormete iformazioi. Aalisi della distribuzioe di u carattere Come si è visto i precedeza, per descrivere l adameto di u carattere su u collettivo possiamo aalizzare la distribuzioe di 40

11 frequeza o ua sua opportua rappresetazioe grafica; i alcui casi, tuttavia, può essere sitetizzata da alcui idici che e evideziao le caratteristiche esseziali. Gli idici per la descrizioe sitetica di ua distribuzioe statistica rispodoo a diversi scopi e si usao per forire iformazioi approssimative su itoro a dove si addesi la distribuzioe, i quale misura questo accada e se siao preseti asimmetrie. Di seguito si prederao i esame le medie aalitiche e le medie di posizioe che sitetizzao co u solo valore o ua sola modalità la distribuzioe. edie aalitiche Nel caso i cui il carattere sia quatitativo, le medie più frequetemete utilizzate soo la media aritmetica e la media geometrica. La media aritmetica di u isieme di valori,,...,, 3 di u carattere X è pari alla somma dei valori divisi per il loro umero. a = ( ) = Se il carattere X è quatitativo discreto e coosciamo la sua distribuzioe di frequeza allora possiamo calcolare più velocemete la media aritmetica come segue: i= i a = k = f L'idea di base della media aritmetica è quella di equiripartire fra le uità statistiche l'ammotare totale del carattere. Per questo ha seso calcolare ua media aritmetica se il carattere e' additivo. 4

12 I alcui casi, el calcolo della media aritmetica si vuole dare diversa importaza alle modalità del carattere attribuedo a ogua di esse uo specifico peso, cioè u valore che e esalti o e dimiuisca l importaza. La media aritmetica poderata di u carattere quatitativi X co K modalità,, 3,. k, alle quali soo stati attribuiti i pesi p, p, p 3,., p k è data da: p + p p k k i= a = = k p + p pk Esempio: calcolare la media di ; ; 3; 4; 5; 6; 7. a i= = = 4 7 Esempio: Calcolare la media della distribuzioe del umero di auto possedute per famiglia. N. auto TOT Frequeza assoluta p p Il umero di auto complessivo e': = 8 che ripartito fra i 94 uclei famigliari dà a = 8/94 =,93 auto per famiglia Esempio: U collettivo di famiglie e' classificato secodo il umero di figli. Trovare la media aritmetica della distribuzioe N. figli N. famiglie Frequeza relativa 0 0 0,5 40 0, ,375 4

13 proprietà: a = = = 0 0,5 + 0,5 + 0,375 =, = 80 ) la somma dei valori,, 3,..., assuti da u isieme di uità statistiche è uguale al valor medio moltiplicato per il umero di uità: i = a i= ) la somma delle differeze tra i valori delle i e la loro media aritmetica è uguale a zero: ( i a ) = 0 i= 3) la somma degli scarti al quadrato dei valori i da ua costate c è miima quado c è uguale alla media aritmetica. ( i c) è miimo per c = a 4) se u collettivo di uità statistiche viee suddiviso i L sottoisiemi di umerosità,, 3,. L, tali che la loro somma sia, allora la media aritmetica geerale è ua media poderata delle medie dei sottoisiemi co pesi uguali alla loro umerosità. 5) Idicate co m, e co, rispettivamete la più piccola e la più grade modalità della distribuzioe, allora: m i= a 6) data la distribuzioe di u carattere X co media a se moltiplichiamo ogi modalità per ua costate a e aggiugiamo ua costate b, la media della distribuzioe diveterà: a a + b U altro tipo di media aalitica è la media geometrica, utilizzabile el caso i cui l isieme delle modalità è costituito da rapporti. 43

14 La media geometrica di u isieme di valori,...,,, 3 di u carattere X è pari alla radice -esima del prodotto dei sigoli valori: g = 3 Se si dispoe della distribuzioe di frequeza del carattere X, allora possiamo calcolare più velocemete la media geometrica come segue: Proprietà: f f g = = g ) [ ] ) log = log g i i= 3) se si trasformao i valori della X attraverso l espressioe f k k b Y = ax co a>0 allora ( Y ) = a( ( X )) g g b 4) La media geometrica dei reciproci è uguale al reciproco della media geometrica: = = = g = g ( ) 5) Dati due isiemi di misure:,, 3,..., y,..., e, y, y3 y la media geometrica dei rapporti, y y,... y è uguale al rapporto fra le medie geometriche delle misure: g =, g = y y y ( ) = y g = = y y y y y y g g ( ) ( y) Aaloga proprietà vale, ovviamete, per il prodotto. 44

15 OSS. La media aritmetica e la media geometrica soo idici troppo sesibili ai valori estremi, u modo per dimiuire l effetto di questi valori estremi è quello di effettuare il calcolo della media solo sui valori cetrali. La media così otteuta viee detta trimmed mea. Ad esempio la trimmed mea al 50% di u carattere quatitativo è la media aritmetica del 50% dei valori più cetrali di u isieme di modalità. Cioè el calcolo della media aritmetica o vegoo cosiderati il 5% dei valori più piccoli e il 5% dei valori più gradi. edie di posizioe Le medie aalitiche si possoo calcolare solo su carattere quatitativi e soo sesibili ai valori estremi, ua media più robusta che può essere calcolata ache sui caratteri qualitativi ordiabili è la mediaa. La mediaa e di u isieme di valori ordiate è la modalità presetata dall uità cetrale, dove per uità cetrale si itede quell uità che divide il collettivo i due parti di uguale umerosità: ua parte formata dalle uità che presetao ua modalità precedete o uguale a quella dell uità cetrale e ua parte formata dalle uità che presetao ua modalità successiva o uguale a quella dell uità cetrale. Per calcolare la mediaa è ecessario procedere el seguete modo: si ordiao gli valori i seso crescete, se è dispari la mediaa è: ; e = + 45

16 se è pari la mediaa è: Proprietà: e = + +. ) i= i c è miima per c = e La mediaa è quel valore che divide i due parti uguali l isieme dei valori ordiate per gradezza, se ivece dividiamo la distribuzioe i ceto parti, ogua delle quali cotiee lo stesso umero di valori, chiamiamo i valori di suddivisioe percetili. Pertato possiamo defiire la mediaa come il 50-esimo percetile detto secodo quartie,; i percetili di uso più comue soo il 5-esimo e il 75-esimo percetile detti primo (Q ) e terzo quartie (Q 3 ) che isieme alla mediaa dividoo la distribuzioe i quattro parti uguali Q = ( + ) e Q 3 = ( ) U altra media di posizioe è la moda che può essere calcolata per qualsiasi tipo di carattere quatitativi e qualitativi. La moda è la modalità della distribuzioe che si preseta co la massima frequeza

17 Variabilità La statistica si occupa di aalizzare quei feomei che tedoo a presetare diverse modalità, pertato si poe il problema di misurare la variabilità di u feomeo i corrispodeza di u determiato collettivo osservato. La variabilità di ua distribuzioe esprime la tedeza delle uità di u collettivo ad assumere diverse modalità del carattere. U idice di variabilità deve soddisfare almeo due requisiti: deve assumere il suo valore miimo se e solo se tutte le uità della distribuzioe presetao uguale modalità del carattere; deve icremetare il suo valore all aumetare della dispersioe di ua modalità attoro a u valore caratteristico della distribuzioe. Tra gli idici di variabilità per caratteri quatitativi che mettao a cofroto le modalità co u valore caratteristico della distribuzioe, molto usati soo quelli che cosiderao le diversità dalla media aritmetica. La variaza di u isieme di valori,...,,, 3 di ua variabile X co media a è u idice usato per misurare la dispersioe, cioè l addesameto maggiore (poca dispersioe) o miore (molta dispersioe), dei valori attoro alla media aritmetica ed è defiito come segue: σ = i= ( i a ) se è ota la distribuzioe di frequeza di ua variabile X co k modalità, la variaza si calcola come segue: σ = k ( i a ) = = = k ( ) OSS. Nella variaza la differeza ( i - a ) tra ua modalità e la media aritmetica viee elevata al quadrato perché così tutte le a f 47

18 differeze divetao positive e ioltre le differeze più gradi soo messe i maggior risalto. Proprietà ) la variaza è ulla solo quado tutte le differeze ( i - a ) soo ulle e quidi quado tutte le modalità soo uguali al valore medio ) ua formula equivalete per calcolare la variaza è: σ = i= i a ) la variaza di u carattere Y otteuto attraverso la trasformazioe Y = α X + β di u carattere X di media a e variaza σ è: Var ( Y ) = α σ Osserviamo che u cambiameto della scala delle misure che trasforma i k trasforma σ i k σ ; pertato la variaza o è u idice omogeeo. Data l opportuità di utilizzare idici di dispersioe omogeei si fa quidi uso della radice quadrata della variaza, detto deviazioe stadard o scarto quadratico media: σ = σ Utilizzado lo scarto stadard ci si ricoduce ad u idice di variabilità espresso ella stessa uità di misura della variabile cosiderata. Come per la variaza, maggiore è la variabilità dei valori di u isieme di dati e maggiore è la deviazioe stadard, la quale assume valore ullo solo el caso i cui tutti i valori siao uguali. La deviazioe stadard risete oltre che dell uità di misura ache dell ordie di gradezza dei dati, pertato essa o cosete di eseguire cofroti tra la variabilità di feomei che presetao uità di misura diverse e che possiedoo valori medi molto diversi come la distribuzioe del peso di u collettivo di bambii co quella di u collettivo di adulti. Questi 48

19 icoveieti vegoo superati se si utilizza il coefficiete di variaza: CV = σ a 00 Altre misure di variabilità soo gli scarti semplici medi che si ottegoo come media aritmetica delle differeze, i valore assoluto, tra i valori osservati,...,,, 3 di ua variabile X e ua media. A secoda della media scelta si può otteere uo specifico scarto semplice medio. Per esempio, se come media scegliamo la media aritmetica a, si ha lo scarto semplice medio dalla media aritmetica: S a = i= Come la deviazioe stadard, ache questo idice di dispersioe è omogeeo e si aulla solo quado tutte le uità presetao la stessa modalità. Se cosideriamo le differeze dalla mediaa e otteiamo lo scarto semplice medio dalla mediaa: S e = i= i i a Risulta che scarto semplice medio dalla media aritmetica è sempre miore o uguale allo scarto semplice medio dalla mediaa; ioltre scarto semplice medio dalla media aritmetica è miore o uguale dalla deviazioe stadard. A volte si applica ua trasformazioe lieare ai dati origiari,...,,, 3, detta stadardizzazioe che produce uovi e dati y y y,..., y,, 3 co medio ullo e variaza uitaria. y i i a = che hao valore σ 49

20 Fio a questo puto ci siamo occupati di distribuzioi di frequeza oti e si soo cercati gli idici che sitetizzassero tale distribuzioi, ma potrebbe accadere che o si coosca la distribuzioe di frequeza e ivece siao oti la media e la deviazioe stadard di tale distribuzioe, allora ci si chiede quali iformazioi foriscoo cogiutamete tali idici. A questo scopo ci viee i soccorso il teorema di Chebyshev. Data ua distribuzioe di valori,, 3 dei quali si,..., cooscoo la media a e la deviazioe stadard σ e dato u k valore reale positivo k, risulta: f ( i kσ ) Questo teorema afferma che, dato u carattere di cui si cooscoo solamete la media aritmetica e la deviazioe stadard, la frequeza relativa delle uità che presetao valori esteri a u itervallo simmetrico rispetto alla media o può essere superiori a ua certa quatità Altri idici di variabilità soo idici che si basao sul cofroto di due valori caratteristici della distribuzioe come il campo di variazioe e la differeza iterquartile. Dato u isieme di valori,...,,, 3 ordiati i seso crescete, si defiisce campo di variazioe la differeza tra il più grade e il più piccolo di tali valori: R = Può accadere che i valori estremi siao dei valori aomali otteedo ua variabilità poco attedibile. Si defiisce differeza iterquartile la differeza tra il terzo e il primo quartie: W = Q 3 Q Di seguito riporto le tabelle della distribuzioe di frequeze e delle medie e degli idici di variabilità relative alle variabili 50

21 quatitativa discrete umero di TV preseti i casa e ore di lavoro a settimaa N. di TV preseti i casa Validi acati Totale Totale 0 acate di sistema Totale Percetuale Percetuale Frequeza Percetuale valida cumulata 4 6,4 7,9 7,9 4 8,8 3,0 30,9 54 4,8 30,3 6, 53 4,3 9,8 9,0 5,0 6, 97, 5,3,8 00,0 78 8,7 00,0,9 38 7,4 40 8,3 8 00,0 tabella della distribuzioe di frequeze del carattere umero di TV preseti i casa Statistiche N. di TV preseti i casa N Validi acati edia ediaa oda Deviazioe std. Variaza Itervallo iimo assimo Percetili , 3,00 3,56, ,00 3,00 4,00 tabella degli idici relativi alla variabile quatitativa discreta umero di TV preseti i casa 5

22 Validi acati Totale Totale 0 acate di sistema Totale ore di lavoro a settimaa Percetuale Percetuale Frequeza Percetuale valida cumulata 3,4 7,0 7,0,5,3 9,3,9 4,7 4,0 7 3, 6,3 30,,9 4,7 34,9 4,8 9,3 44, 5,3,6 55,8 3,4 7,0 6,8,5,3 65,,5,3 67,4,5,3 69,8,9 4,7 74,4,9 4,7 79,,5,3 8,4,9 4,7 86,0,9 4,7 90,7,9 4,7 95,3,5,3 97,7,5,3 00,0 43 9,7 00,0 49,5 6 57, ,3 8 00,0 tabella della distribuzioe di frequeza del carattere ore di lavoro a settimaa Statistiche ore di lavoro a settimaa N Validi acati edia ediaa oda Deviazioe std. Variaza Itervallo iimo assimo Percetili ,95 8,00 4 3,94 74, ,00 8,00 4,00 tabella degli idici relativi alla variabile quatitativa discreta ore di lavoro a settimaa 5

23 Otteute le medie e gli idici di variabilità, esiste u grafico detto bo plot che rappreseta la distribuzioe avvaledosi di tali misure. Il bo plot di ua distribuzioe è u grafico caratterizzato da tre elemeti pricipali: a) ua liea che idica la posizioe della media della distribuzioe; b) u rettagolo la cui altezza idica la variabilità dei valori prossimi alla media c) due segmeti che partoo dai lati maggiori del rettagolo e i cui estremi soo determiati i base ai valori estremi della distribuzioe. U bo plot molto utilizzato è quello che ha come media la mediaa, come altezza del rettagolo la distaza iterquartile e come estremi dei semeti il valore miimo e massimo della distribuzioe. a=6, i=, Q =, Q 3 =4, ediaa=3 53

24 Bo plot relativa alla distribuzioe di frequeza del carattere quatitativo discreto umero di TV preseti i casa 40 ore di lavoro a settimaa a=45, mi=, Q =4, Q 3 =4, ediaa=8 Bo plot relativa alla distribuzioe di frequeza del carattere quatitativo discreto ore di lavoro a settimaa 54

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