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Gianluigi Di Gregorio
6 anni fa
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1 Statistica Descrittiva descrivere e riassumere un insieme di dati in maniera ordinata tabelle grafici misure di posizione dispersione associazione

2 Misure di posizione Forniscono indicazioni sull ordine di grandezza dei dati: Moda Media Mediana Statistica Descrittiva

3 Indici di posizione: Moda La moda di una distribuzione di frequenza è, la modalità, il valore o la classe di modalità o di valori, caratterizzata dalla massima frequenza.

4 Indici di posizione: Media Media aritmetica cui è stata rilevata la variabile X: {x 1, x 2, x 3,..., x n } aritmetica dato un insieme di n unità su X la media aritmetica è definita come: oppure: X = x 1 + x x n n X I x i= 1 = I i i= 1 f f = ( x ) ( x ) i i n x i i=1 n

5 Indici di posizione: Mediana La mediana è il valore centrale della serie ordinata di dati: per n dispari, la mediana è quel valore che occupa la posizione (n+1)/2 nell insieme ordinato dei dati; per n pari, la mediana è il valore centrale (medio) tra quello che occupa la posizione n/2 e (n/2)+1 nell insieme ordinato dei dati.

6 Distribuzione simmetrica Moda = Mediana = Media Distribuzione con asimmetria positiva Moda < Mediana < Media Distribuzione con asimmetria negativa Moda > Mediana > Media

7 I quartili sono valori che ripartiscono una popolazione in 4 parti ugualmente popolate. In altri termini, la frequenza cumulata fino ai tre quartili è circa 25%, 50% e 75% rispettivamente.

8 I centili CENTILI Il centile x della distribuzione di una variabile è quel valore che divide la distribuzione in due parti, una contenente l x% dei valori, l altra il restante 100-x%. Ovviamente: l x% dei valori è x centile e il 100-x% dei valori è > x centile x% 100-x% x centile

9 Statistica Descrittiva Misure di dispersione Forniscono indicazioni sulla variabilità (eterogeneità) dei dati: Intervallo di variazione: (min;max) Intervallo interquartile: Q 3 Q 1 Devianza: D ( x i x ) i = 1 Varianza campionaria: = Deviazione standard campionaria: Coefficiente di variazione: n 2 s 2 = D n 1 CV = s X 100 s = s 2

10 Indici e tipo di distribuzione dati con distribuzione simmetrica... usare media e deviazione standard dati con distribuzione non simmetrica... usare mediana e percentili

11 Statistica Inferenziale Generalizzare i risultati ottenuti da un insieme campione alla popolazione dal quale esso è stato estratto

12 Modello Struttura idealizzata che si adatta alla realtà e serve per descriverla, interpretarla, comprenderla Non è VERO o FALSO ma può essere UTILE o INUTILE È una semplificazione: il più semplice possibile, ma non di più

Modello Superficie reale della Sardegna: 24089,4 km 2 Superficie stimata utilizzando come modello l'area di un rettangolo: 24000 km 2 Utilizzando

13 Modello Superficie reale della Sardegna: 24089,4 km 2 Superficie stimata utilizzando come modello l'area di un rettangolo: km 2 Utilizzando un modello semplice, basato solo su 2 parametri (base e altezza del rettangolo) abbiamo ottenuto una buona approssimazione della misura di interesse

14 Modello Calcolare la superficie della Sicilia Modello semplice 2 parametri: base e altezza

15 Modello Modello più complesso 3 parametri: base e altezza del triangolo + altezza del rettangolo

16 Un modello di grande successo Distribuzione Gaussiana o Normale Variabile continua con distribuzione simmetrica

17 Un modello di grande successo Distribuzione Gaussiana o Normale Variabile continua con distribuzione simmetrica

18 Un modello di grande successo Distribuzione Gaussiana o Normale Variabile continua con distribuzione simmetrica

19 Come è fatto il modello gaussiano? f(x) 1 = exp σ 2π 1 2 x µ σ 2 Sembra complicato, ma µ è la media σ è Var, ovvero la deviazione standard forma simmetrica a campana area sotto la curva pari a 1 Conoscendo solo due parametri, media e varianza, possiamo sapere come è fatta la variabile di interesse

20 Perché è importante la distribuzione gaussiana? In natura molte variabili presentano una distribuzione a forma di campana, bene caratterizzata da questo modello matematico, chiamato distribuzione normale o curva di Gauss o curva degli errori casuali Storicamente la distribuzione normale è nata dalla osservazione delle misurazioni ripetute di un fenomeno fisico.

21 Perché è importante la distribuzione gaussiana? La maggior parte dei fenomeni che si osservano nella realtà assumono la forma di una distribuzione normale: fenomeni biomedici (colesterolo, pressione arteriosa ); fenomeni antropometrici (statura, peso, perimetro toracico ); fenomeni fisici (misure del periodo di un pendolo ).

22 Caratteristiche della distribuzione gaussiana X~N(µ,σ) µ determina la posizione della curva sull asse delle ascisse. Tre distribuzioni normali con medie diverse ma con la stessa deviazione standard

23 Caratteristiche della distribuzione gaussiana X~N(µ,σ) σ determina la maggiore o minore concentrazione della curva attorno a µ Tre distribuzioni normali con la stessa media ma con deviazioni standard diverse

24 Caratteristiche della distribuzione gaussiana Per qualsiasi distribuzione gaussiana lo scarto σ contrassegna intervalli tipici: il 68.27% delle oss. è compreso nell intervallo [µ-σ; µ+σ] il 95% nell intervallo [µ-1.96σ; µ+1.96σ] il 95.45% nell intervallo [µ-2σ; µ+2σ] il 99.73% nell intervallo [µ-3σ; µ+3σ]

25 Caratteristiche della distribuzione gaussiana I centili, costituiscono un buon sistema per valutare se una variabile di interesse è distribuita come una gaussiana. In una distribuzione gaussiana, infatti, i valori associati ad assegnati centili sono i seguenti: 0.5 centile = µ - 3σ 2.5 centile = µ - 2σσ 16.0 centile = µ -1σ 50.0 centile = µ 84.0 centile = µ + 1σ 97.5 centile = µ + 2σ 99.5 centile = µ + 3σ Se i valori associati ai centili non sono troppo diversi da quelli attesi sulla base di µ e σ, allora la distribuzione gaussiana è una buona rappresentazione della distribuzione reale e, di conseguenza, media e deviazione standard descrivono in modo adeguato tale distribuzione.

26 Problema Voglio calcolare la probabilità che la variabile X ~N(µ,σ) assuma valori compresi nell intervallo [a,b] a b Dovrei risolvere l integrale: ( x µ ) b b 2 1 P( a < X < b) = f ( x) dx = exp dx 2 a a σ 2π 2σ

27 Distribuzione Normale standard (µ=0, =0,σ=1) =1) I valori di probabilità della Normale con µ=0 e σ=1 sono già stati calcolati e riportati in una tavola: Z~N(0,1)

28 Distribuzione Normale standard (µ=0, =0,σ=1) =1)

29 Come si usano le tavole? ad es. P(Z<1.25)=

30 Come si usano le tavole? f(z) p p z* 2 3 deviata gaussiana standard z Detto p (0<p<1) il valore dell'area a destra di +z*, l'area a sinistra di +z* vale (1-p).

31 Come si usano le tavole? Dato che la distribuzione è simmetrica f(z) p 1-2p p z* +z* deviata gaussiana standard z L'area a sinistra di -z* è uguale all'area a destra di +z*. Detto p (0<p<1) il valore di tale area, l'area esterna a z* vale 2p, e l'area interna vale (1-2p).

32 Come si usano le tavole? f(z) p -p p1 p z 1 deviata gaussiana standard z L'area compresa tra due valori z1* < z2* si ricava per differenza (1-p1-p2), dove p1 è il valore dell'area a sinistra di z1*, e p2 quello dell'area a destradi z2*. z 2

33 Distribuzione Normale (µ 0, 0,σ 1) 1) E possibile trasformare una qualsiasi funzione gaussiana f(x) con media µ e varianza σ 2 in una funzione gaussiana standard, f(z) con media 0 varianza 1, se si pone: Z µ = X σ Z è una trasformata di X, centrata rispetto a µ e scalata rispetto a σ. Il modello si semplifica 1 f(x) = exp σ 2π 1 2 x 2 µ σ E diventa f(x) 1 exp 2π ( z) = 2 2

34 Spostare il valore medio: x-µ 0 µ x

35 Spostare il valore medio: x-µ 0 µ x

36 Modificare la larghezza σ 0 +σ x

37 Modificare la larghezza σ 0 +σ x

38 Modificare la larghezza σ σ x z

39 Gaussiana (µ σ²) Gaussiana standardizzata (0 1)

40 Prossima lezione Merc 18 novembre 9:30-12:30

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