Distribuzione gaussiana

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1 Appunti di Misur Elttric Distribuion gaussiana Funion dnsità di probabilità di Gauss... Calcolo dlla distribuion cumulativa pr una variabil di Gauss... Funion dnsità di probabilità congiunta...6 Funion dnsità di probabilità condiionata...6 Combinaion linar di variabili alatori con distribuion gaussiana...7 FUNZIONE DENSITÀ DI ROBABILITÀ DI GAUSS Si dic c una variabil alatoria continua a una distribuion gaussiana con mdia µ dviaion standard quando la sua funion dnsità di probabilità è p() π ( µ ) L andamnto grafico di qusta funion è qullo di una campana cntrata sul valor mdio µ. Ad smpio, s µ0, si a quanto sgu: Qusta campana è tanto più larga quanto maggior è la variana : quindi, una piccola variana corrispond ad una curva appuntita con un picco pronunciato, mntr invc una grand variana dà luogo ad una curva più piatta, cioè con una maggior disprsion di valori risptto al valor mdio. Un modo più compatto di sprimr una dnsità di probabilità di tipo gaussiano è il sgunt: p() In qusto caso, la costant indica il valor massimo di p(), ottnuto in corrispondna di µ, mntr la costant (dtta costant di prcision), ssndo invrsamnt proporional alla variana, fornisc l indicaioni circa la maggior o minor larga dlla curva: un alto valor di corrispond ad una curva appuntita mntr un basso valor di corrispond ad una curva più piatta, com illustrato nlla prossima figura:

2 Appunti di Misur lttric L sprssion p() è qulla più comoda pr vrificar c µ è ffttivamnt la mdia di pr calcolar l sprssion dlla variana. Cominciamo pr smpio dal calcolo dlla mdia, ffttuato in bas alla smplic dfiniion: E[] p()d µ d + d µ d 0 + µ d d π + µ d Si tratta ora di trovar l sprssioni dll costanti d. In raltà, è sufficint trovar l sprssion di. Infatti, affincé la funion intgral tra - a dv ssr unitario: p()d p() sia una dnsità di probabilità, il suo d E facil vrificar c qusta condiion è vrificata s solo s risulta. π Sostitundo qusta sprssion in qulla ottnuta pr E[], si trova vidntmnt c E[]µ. Calcoliamo adsso la variana di, applicando smpr la dfiniion: var() ( E[] ) p()d ( µ ) d ( µ ) d d π π π d da cui ciaramnt scaturisc c Autor: Sandro trilli

3 Distribuion di Gauss Un altra granda facil da calcolar è la dviaion mdia di : infatti, ricordando c qust ultima è data, pr dfiniion, da abbiamo c α 0 µ d d y y 0 α d p() µ d µ d / π π y y dy 4 π 5 0 y y dy Abbiamo dunqu trovato c la dviaion mdia di è circa i 4/5 dlla dviaion standard di stssa. Qusta rlaion tra dviaion mdia α dviaion standard è molto util nlla pratica, pr du ragioni: supponiamo di avr ffttuato una sri di misur di avr trovato c gli rrori accidntali sono distribuiti scondo una distribuion di Gauss; in qusto caso, pr calcolar, possiamo vitar di calcolar il quadrato dgli scarti possiamo invc calcolar prima α poi moltiplicar pr 5/4; è bn prò prcisar c qusto discorso val solo pr la distribuion di Gauss; in scondo luogo, s non si è crti a priori c gli rrori accidntali sono distribuiti con lgg di Gauss, si può andar a calcolar α poi vrificar c il loro rapporto sia pari a 4/5. CALCOLO DELLA DISTRIBUZIONE CUMULATIVA ER UNA VARIABILE DI GAUSS E noto c la distribuion cumulativa di una variabil alatoria continua è F() ( ) p()d Vogliamo calcolar qusta funion nl caso c sia una variabil di Gauss. Sostitundo smplicmnt l sprssion di p(), ottniamo F() π d π d Tutto sta a calcolar qull intgral. Il problma è c sso non può ssr calcolato con i mtodi analitici lmntari, pr cui bisogna sguir qualc altra strada. In particolar, si può vrificar c qull intgral può ssr sprsso com diffrna tra du funioni dl tipo sgunt: φ() π d Autor: Sandro trilli

4 Appunti di Misur lttric La funion qui riportata è la cosiddtta distribuion normal standard, ossia la distribuion normal avnt mdia µ0 variana. La particolarità di qusta funion è c il suo valor, al variar di, è stato calcolato tabllato sfruttando opportuni mtodi numrici. L andamnto grafico di φ() in funion di è riportato nlla figura sgunt: Una dll particolarità di qusta funion è nlla sgunt proprità: φ( ) φ() Vdiamo allora com è possibil sfruttar la funion φ() pr calcolar la funion F(). In bas ad una nota proprità dlla funion di distribuion cumulativa, possiamo scrivr c ( ) F( ) F( ) dov ovviamnt F( ) d π F( ) d π S, in qusti ultimi du intgrali, poniamo (-µ)/, è vidnt c risulta ( ) F( ) F( ) φ( ) ( ) φ Adsso supponiamo c sia µ- µ+, dov è una costant arbitraria. E vidnt c risulta -, pr cui possiamo riscrivr l ultima uguagliana nlla forma ( µ µ + ) F( µ ) F( µ + ) φ() φ( ) Avndo dtto prima c risulta φ ( ) φ(), possiamo concludr c ( µ µ + ) F( µ ) F( µ + ) φ() Quindi, fissat la mdia µ la dviaion standard dlla distribuion, i valori dlla probabilità a primo mmbro si ottngono smplicmnt fissando andando a lggr, sull tabll citat prima, il corrispondnt valor di φ(). Andiamo allora a calcolar alcun probabilità di particolar intrss: Autor: Sandro trilli 4

5 Distribuion di Gauss ( µ µ + ) φ() ( µ µ + ) φ() ( µ µ + ) φ() Qust probabilità dicono quanto sgu: la probabilità c cada nll intrvallo [µ-,µ+] è pari al 68,%; la probabilità c cada nll intrvallo [µ-,µ+] è pari al 95,4%; la probabilità c cada nll intrvallo [µ-,µ+] è pari al 99,7%. Gli intrvalli qui riportati (tutti cntrati sul valor mdio µ) sono dtti intrvalli di confidna, mntr l corrispondnti probabilità sono dtt livlli (o cofficinti) di confidna. La figura sgunt mostra una sorta di intrprtaion grafica di qusti risultati: Non dobbiamo infatti dimnticar c ( ) F( ) F() p() d ossia c l probabilità calcolat prima non sono altro c ar sotts dalla campana gaussiana p() dall asciss d di volta in volta spcificat. Quindi, in conclusion, sfruttando la funion φ() d i suoi valori tabllati, abbiamo informaioni molto prcis, una volta not µ, sui livlli di confidna di. 5 Autor: Sandro trilli

6 Appunti di Misur lttric FUNZIONE DENSITÀ DI ROBABILITÀ CONGIUNTA Supponiamo adsso c d siano du variabili alatori continu, ntramb con distribuion gaussiana, la prima con mdia µ variana la sconda con mdia µ variana. E possibil dimostrar c la funion dnsità di probabilità congiunta di tali variabili alatori è la sgunt: ( µ ) ( yµ ) ρ ( µ )( yµ ) f, (, y) π ρ ( ρ ) + dov [( E() )( E() )] E ρ è il cofficint di corrlaion di d. E subito ovvio c qulla sprssion si smplifica notvolmnt quando sia sia anno mdia nulla dviaion standard unitaria, ossia quando sono ntramb dll distribuioni normali: infatti, ponndo µ µ 0 si ottin f, (, y) π ρ ( ρ ) [ + y ρy] FUNZIONE DENSITÀ DI ROBABILITÀ CONDIZIONATA Siano d du variabili alatori gnric. Si dfinisc funion dnsità di probabilità condiionata la funion d f y d F y f, (, y) (, ) (, ) f ( y) dov ( ) ( ) F (, y) F y lim F y y + y y 0 Allora, è possibil dimostrar c, s d sono ntramb con distribuion gaussiana, anc la variabil alatoria Z, la cui funion dnsità è f (, y), a distribuion gaussiana. Ani, s µ sono mdia variana di µ dimostrar c la mdia la variana di Z sono l sgunti: sono mdia variana di, è possibil Autor: Sandro trilli µ µ ρ Z + Z ρ ( y µ ) 6

7 Distribuion di Gauss COMBINAZIONE LINEARE DI VARIABILI ALEATORIE CON DISTRIBUZIONE GAUSSIANA Sia una variabil alatoria continua avnt distribuion gaussiana con mdia µ variana. Considriamo inoltr la variabil alatoria a + b, dov a b sono du qualsiasi numri rali. Si può facilmnt dimostrar c, s è dfinita in qul modo, la sua funion dnsità di probabilità, a prscindr dalla natura di, è g(y) a y b p a In qusto caso particolar, qusta formula ci dic c, ssndo gaussiana, anc risulta ssr gaussiana: ani, sapndo c la dnsità di probabilità di è p() π (µ ) possiamo subito scrivr c g(y) a π yb µ a Consguna important di qusta proprità è c, s d sono du variabili alatori ntramb con distribuion gaussiana, risulta gaussiana anc la variabil alatoria Z a + b, ossia una qualsiasi combinaion linar dll du. Autor: SANDRO ETRIZZELLI -mail: sandry@iol.it sito prsonal: ttp://usrs.iol.it/sandry succursal: ttp://digilandr.iol.it/sandry 7 Autor: Sandro trilli