Calcolo Combinatorio

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1 Uiversità degli Studi di Palermo Facoltà di Ecoomia Dip. di Scieze Ecoomiche, Aziedali e Statistiche Apputi del corso di Matematica Geerale Calcolo Combiatorio Ao Accademico 2013/201 V. Lacagia - S. Piraio

2 Homies, dum docet, discut Quado isegao, gli uomii imparao SENECA Realizzazioe e sviluppo i L A TEX di Valerio Lacagia 1/11/2013

3 1. Itroduzioe 2. Disposizioi Il calcolo combiatorio ha come oggetto problematiche coesse all aggregazioe di oggetti di u isieme. I particolare studia i modi per raggruppare e/o ordiare, secodo regole date, gli elemeti di u isieme fiito di oggetti. Il calcolo combiatorio si occupa pricipalmete di cotare i modi i cui si possoo aggregaregli oggetti ossia lepossibili cofigurazioi di essi ua volta stabilite le regole di aggregazioe. I modo schematico possiamo dire che dati oggetti che deomieremo co u umero aturale 1,2,..., 1, di atura qualsiasi di u isieme e fissato u valore < ci propoiamo di creare gruppi costituiti da oggetti utilizzado gli oggetti dati. Nel creare i gruppi ci dobbiamo chiedere se bisoga teer coto dell ordie o meo. Esempio 1.1 Sia dato l isieme costituito dagli elemeti {1, 2, 3}. Se siamo iteressati all ordie il gruppo formato dai due elemeti 1,2 è diverso da quello formato dagli stessi elemeti ma i ordie differete 2, 1. Se, ivece, o siamo iteressati all ordie i due gruppi 1,2 e 2,1 soo la stessa cosa, ossia rappresetao lo stesso raggruppameto. Tale codizioe iiziale iflueza, evidetemete, la umerosità dei gruppi formati i quato, se o iteressa l ordie, due gruppi distiti differiscoo per almeo u oggetto ad esempio 1,2; 1,3; 2,3 metre, se iteressa l ordie, dobbiamo acora aggiugere ad essi i gruppi otteuti dagli stessi oggetti co differete ordie ecco che ell esempio di prima essi diveterao 1,2; 2,1; 1,3; 3,1; 2,3; 3,2. Nel caso i cui l ordie o iteressa si parla di combiazioi di oggetti a a o di classe. Se ivece siamo iteressati all ordie degli oggetti all itero dei gruppi si parlerà di disposizioi di oggetti a a o di classe. 2. Disposizioi Sichiamaodisposizioi dielemeti aa odiclasseigruppi di elemeti otteuti dagli oggetti che differiscoo per almeo u oggetto o per l ordie degli oggetti. Vediamo come possiamo costruire il umero di disposizioi possibili partedo da u esempio. Esempio 2.1 Sia dato l isieme co elemeti, {1,2,3,}. Voglio otteere tutti i gruppi di elemeti che rappresetao le disposizioi dei elemeti di classe 3. Essi soo costituiti da tre oggetti,, presi dai dell isieme. Iizio co il predere il primo dei tre elemeti V. Lacagia - S. Piraio 3

4 2. Disposizioi del gruppo ossia 1, 2, 3 oppure : Abbiamo otteuto gruppi. A questo puto dobbiamo scegliere come secodo elemeto del gruppo uo qualuque degli elemeti acora o utilizzati otteedo: otteedo i totale 12 gruppi. Fialmete iserisco uo qualuque degli oggetti rimaeti otteedo 2 gruppi da tre elemeti oguo come si vede ogi gruppo differisce dall altro o per almeo u elemeto o per l ordie degli elemeti. Come posso stabilire a priori il umero di gruppi che si formerao? Nell esempio specifico possibilità 3 possibilità 2 possibilità poichè abbiamo a disposizioe oggetti, si avrao possibili scelte come primo elemeto dei gruppi, 3 possibili scelte come secodo elemeto dei gruppi e ifie 2 possibili scelte come terzo elemeto dei gruppi, ossia: Se geeralizziamo quato visto i piccolo ell esempio e suppoiamo di avere oggetti che vogliamo disporre a a avremo che il umero totale di disposizioi possibili è dato da D, V. Lacagia - S. Piraio

5 . Combiazioi e coefficieti biomiali Esempio 2.2 Dati 10 oggetti si vuole cooscere il umero delle disposizioi di classe di essi: D 10, Permutazioi Cosa succede alle disposizioi se ossia se le classi che voglio orgaizzare soo costituite da tutti gli oggetti a disposizioe? I gruppi otteuti differiscoo solo i base all ordie co cui soo disposti gli oggetti. I tal caso, ivece di parlare di disposizioi di oggetti a a D, si parlerà di permutazioi di oggetti. Si vede facilmete che D, P !! si chiama fattoriale di. Ioltre assumedo che 0! 1 è possibile defiire per ricorsioe il fattoriale di u umero itero come! 1! Esempio 3.1 Suppoiamo di avere 10 oggetti, come ell esempio precedete. Se vogliamo sapere quati soo i gruppi otteibili permutado tutti i 10 oggetti dobbiamo calcolare P Come si vede il umero di gruppi otteuto è estremamete grade, già per u valore di abbastaza piccolo.. Combiazioi e coefficieti biomiali Si chiamao combiazioi di elemeti a a o di classe i gruppi di elemeti otteuti dagli oggetti che differiscoo per almeo u oggetto i tel seso o ci iteressa l ordie degli elemeti all itero del gruppo. Per idividuare la umerosità di tali gruppi riprediamo l esempio 2.1 Esempio.1 Sia dato l isieme co elemeti, {1,2,3,}. Voglio otteere tutti i gruppi di elemeti che rappresetao le combiazioi dei elemeti di classe 3. Essi soo costituiti da tre oggetti,, presi dai dell isieme e o posso otteere due gruppi co gli stessi V. Lacagia - S. Piraio 5

6 . Combiazioi e coefficieti biomiali oggetti ache se i ordie differete. Iizio co il predere il primo dei tre elemeti del gruppo ossia 1, 2, 3 oppure : Abbiamo otteuto gruppi. A questo puto dobbiamo scegliere come secodo elemeto del gruppo uo qualuque degli elemeti acora o utilizzati avedo cura che se esiste il gruppo a b o posso formare il gruppo b a : come si vede il umero di gruppi otteuto èdi graluga iferiore a quelli dell esempio 2.1. Fialmete posso procedere ad aggiugere il terzo elemeto Ho otteuto i totale gruppi differeti. Come posso stabilire a priori il umero di gruppi che si formerao? Nell esempio specifico se costruissi tutti i gruppi otteuti dalle disposizioi di elemeti di classe 3 dovrei elimiare tutte le possibili permutazioe di tre oggetti lasciadoe ua sola ossia Geeralizzado quato visto ell esempio le combiazioi di oggetti a a soo: C, D, P ! Se i particolare otterremo C, 1 dato che D, P. 6 V. Lacagia - S. Piraio

7 . Combiazioi e coefficieti biomiali Esempio.2 Si vuole il umero di combiazioi di 10 oggetti di classe. C 10, ! Se si va a cofrotare il umero di gruppi otteuti co quello delle disposizioi di elemeti di classe 3 pari a 500 si vede immediatamete che il umero di combiazioi è estremamete ridotto rispetto al umero di disposizioi di pari classe. Posso migliorare la formula per il calcolo del umero di combiazioi teedo coto che se moltiplico il umeratore per! otterrò!. Evidetemete devo ache dividere per lo stesso valore. Otterrò u uovo oggetto, equivalete alle combiazioi di oggetti di classe che chiameremo coefficiete biomiale:!!! Il coefficiete biomiale si legge sopra. Esempio ! 6!! ! Si oti che 0 1 ; 1 Fissato il umero di oggetti posso idividuare + 1 coefficieti biomiali,,,...,, Mi redo coto immediatamete che 1 0 e che V. Lacagia - S. Piraio 7

8 5. Biomio di Newto e quidi i geerale i coefficieti biomiali godoo della proprietà di simmetria ei valori che posso esplicitare siteticamete co Per dimostrarlo basta vedere che!!!! +!!!!! 5. Biomio di Newto I coefficieti biomiali soo estremamete utili i algebra per il calcolo dei coefficieti della poteza eesima di u biomi. Dati a,b R, vogliamo calcolare a+b Partiamo da 2: a+b 2 a+b a+b a a+a b+b a+b b a+b 3 a+b a+b a+b a a+a b+b a+b b a+b a a a+a a b+a a b+a b b+a a b+a b b+a b b+b b b... a+b a+b a+b... a+b }{{} volte Si ota subito che se è la poteza a cui si eleva il biomio, il grado dei moomi otteuti è pari a sommiamo il grado di a a quello di b. Ad esempio el caso a+b 3 avremo i moomi a 3, a 2 b, ab 2, b 3. Il umero di gruppi di tali differeti moomi dipede dalle possibili scelte che posso fare per otteere il grado 3, ossia, el caso più geerale possibile a+b a 0 b 0 + a 1 1 b 1 + a 2 2 b a 0 b 0 a b Esempio 5.1 a+b 0 a + 1 a 3 b+ 2 a 2 b a +a 3 b+6a 2 b 2 +ab 3 +b ab 3 + b 8 V. Lacagia - S. Piraio

9 5. Biomio di Newto Esempio 5.2 Nello sviluppo di a+b 10 si vuole sapere quale è il coefficiete del termie a 7 b ! 7!3! Esempio 5.3 Se ho a+b 8 quale è il coefficiete biomiale di a 3 b? Evidetemete o esiste i quato il grado del moomio a 3 b è 7 e o 8. Suppoiamo di volere sviluppare a b. Lo sviluppo del biomio si può effettuare pesadolo come a+ b che sappiamo già fare a b a+ b a b 0 a 1 b a b Suppoiamo ora che a b 1. Se cosideriamo lo sviluppo del biomio di Newto, i tal caso si avrà Tale risultato è importate per idividuare la cardialità dell isieme dellepartidiuisiemeadielemeti. Ifatti,siao il umero 0 di isiemi seza elemeti estraibili da A, il umero di isiemi 1 co 1 elemeto estraibili da A,..., il umero di isiemi di elemeti estraibili da A, si vede subito che la cardialità dell isieme delle parti è proprio la 1. Per cocludere, suppoiamo ora a 1 e b 1, poichè si ha che che implica che la somma degli +1 coefficieti biomiali presi a segi alteri deve essere ulla. Esercizio 5.1 Sviluppare il biomio di Newto xy 1 10 z V. Lacagia - S. Piraio 9

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11 Idice 1. Itroduzioe 3 2. Disposizioi 3 3. Permutazioi 5. Combiazioi e coefficieti biomiali 5 5. Biomio di Newto 8 11