Gli insiemi numerici RIPASSIAMO INSIEME OPERAZIONI FRA NUMERI RELATIVI INSIEME N INSIEME Z ELEVAMENTO A POTENZA

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1 Gli insiemi numerici RIPASSIAMO INSIEME INSIEME N L insieme N (numeri naturali) è costituito dai numeri interi privi di segno: N {,,,,, } L insieme N presenta le seguenti caratteristiche: è un insieme infinito e discreto (cioè tra due numeri naturali c è al più un numero finito di elementi); è un insieme totalmente ordinato, con un minimo (che è ) e senza massimo; le operazioni di addizione e moltiplicazione sono interne, cioè il loro risultato è ancora un numero naturale. La notazione N individua l insieme dei numeri naturali eccetto lo zero. INSIEME Z L insieme Z (numeri interi relativi) è costituito dai numeri interi preceduti da un segno, positivo o negativo: Z {,,,,,,,,, } L insieme Z presenta le seguenti caratteristiche: è un insieme infinito e discreto (cioè tra due numeri relativi c è al più un numero finito di elementi); è un insieme totalmente ordinato, senza minimo e senza massimo; le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono interne, cioè il risultato è ancora un numero relativo. La notazione Z individua l insieme dei numeri relativi positivi, mentre la notazione Z individua l insieme dei numeri relativi negativi. Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è: il numero stesso, se questo è positivo; l opposto del numero, se questo è negativo. Esempio I numeri relativi possono essere: concordi, se hanno lo stesso segno; discordi, se hanno segno opposto; Esempio e 6 sono concordi e 6 sono discordi Due numeri relativi si dicono opposti se hanno stesso modulo e segno opposto. OPERAZIONI FRA NUMERI RELATIVI Addizione La somma tra numeri concordi è un numero concorde con i numeri dati che ha come modulo la somma dei moduli. Esempio La somma tra numeri discordi è un numero che ha come modulo la differenza dei moduli e come segno il segno del numero con il modulo maggiore. Esempio () Sottrazione La differenza tra due numeri relativi si ottiene addizionando al primo numero l opposto del secondo. Esempio () () Moltiplicazione e divisione Il prodotto (o il quoziente) tra due numeri relativi è un numero che ha per modulo il prodotto (o il quoziente) dei moduli e per segno il risultato dell applicazione della regola dei segni riassunta in tabella: Esempi () () 6 () : () () : () ELEVAMENTO A POTENZA /: Dati due numeri a ed m si dice potenza di base a ed esponente m e si indica con a m il prodotto di m fattori uguali ad a. Esempio Il segno del risultato si determina in base alle seguenti regole: se la base è positiva, la potenza è sempre un numero positivo; Esempio () ()

2 se la base è negativa: se l esponente è pari, la potenza è un numero positivo; Esempio () se l esponente è dispari, la potenza è un numero negativo. Esempio () Valgono le seguenti proprietà delle potenze: moltiplicazione: stessa base: a m a n a mn stesso esponente: a m b m (a b) m divisione: stessa base: a m : a n a mn stesso esponente: a m : b m (a : b) m potenza di una potenza: (a m ) n a m n a e a a FRAZIONI Dati due numeri naturali a e b, con b, si dice frazione il simbolo a, che rappresenta il quoziente della b divisione a : b. Il numero a si dice numeratore, b denominatore. Una frazione può essere: propria, se a b; impropria, se a b; apparente, se a è multiplo di b. Esempi 7 e sono frazioni proprie e sono frazioni improprie 6 e sono frazioni apparenti INSIEME Q L insieme Q (numeri razionali) è costituito dai numeri che possono essere scritti sotto forma di frazioni: Q...,,...,,...,,...,,...,,.... L insieme Q contiene sia l insieme N sia l insieme Z. N Z L insieme Q presenta le seguenti caratteristiche: è un insieme infinito e denso (cioè tra due numeri razionali qualsiasi ne esistono sempre infiniti altri); è un insieme totalmente ordinato, senza minimo e senza massimo; le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (eccetto che per zero) sono interne, cioè il loro risultato è ancora un numero razionale. La notazione Q a individua l insieme dei numeri razionali assoluti. Il reciproco di un numero razionale è il numero che moltiplicato per esso dà come risultato. Esempio è il reciproco di poiché. Nell insieme Q valgono le seguenti proprietà delle potenze: a b m a b m m a m a m Q OPERAZIONI NEGLI INSIEMI NUMERICI N Z Q Termini Risultato Proprietà Elemento neutro Addizione interna interna interna addendi somma commutativa associativa Sottrazione non interna interna interna minuendo sottraendo differenza invariantiva commutativa Moltiplicazione interna interna interna fattori prodotto associativa distributiva Divisione non interna non interna interna dividendo divisore quoziente invariantiva distributiva

3 NUMERI DECIMALI I numeri decimali possono essere: limitati (o finiti), cioè con un numero limitato di cifre decimali; Esempi,, illimitati, cioè con un numero infinito di cifre decimali. Tra questi si distinguono: i numeri periodici semplici; i numeri periodici misti; i numeri non periodici. Esempi, e, sono periodici semplici, e, sono periodici misti,6 non è periodico La frazione generatrice è la frazione che genera il numero decimale. Per trasformare il numero decimale nella sua frazione generatrice si opera nel seguente modo: numero decimale limitato: a numeratore si scrive il numero senza la virgola; a denominatore si scrive il numero seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali; numero decimale periodico: a numeratore si scrive la differenza tra il numero senza la virgola e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo; a denominatore si scrive il numero formato da tanti quante sono le cifre del periodo seguite da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo. Esempi,,,,, , OSSERVA COME SI FA Somme algebriche in Z e Q ( 6 ) ( 7) ( 6 ) eseguiamo i calcoli all interno delle parentesi (7) () () eliminiamo le parentesi eseguiamo i calcoli all interno delle parentesi eliminiamo le parentesi ed eseguiamo i calcoli Prodotti e quozienti in Z e Q () () () : (6) eseguiamo le operazioni nell ordine con cui compaiono () : (6) : (6) : eseguiamo le operazioni nell ordine con cui compaiono, tenendo conto delle parentesi 7 : 6 : 7 6 7

4 Potenze in Z e Q ( ) ( ) 7 () () 7 In ogni calcolo teniamo conto del segno della base e del fatto che l esponente sia pari oppure dispari () (- ) 7 7 Trasformazione dei numeri decimali in frazioni, 7,,, In ogni trasformazione teniamo conto del fatto che il numero sia limitato oppure periodico e applichiamo la regola opportuna.,, 7, Espressioni in N, Z e Q : eseguiamo i calcoli all interno delle parentesi e trasformiamo la potenza a esponente negativo : () eseguiamo i calcoli all interno delle parentesi e calcoliamo la potenza : 7 : 7 7 (,) (,) : (,6) :,6 (,) : (,) trasformiamo i numeri decimali in frazioni 7 6 : : 7 : 6 : 6 7 : : eseguiamo i calcoli all interno delle parentesi : 6 : 6 : : 7 : 6 : 7 :

5 6 ( :) : 6 : ( ) trasformiamo le potenze in potenze con uguale base e applichiamo la regola della potenza di potenza [ : ( ) 6 : ( ) [ : ] : ( ) ( ) ( ] ) : ( ) ( 6 ) ( ) : ( ) eseguiamo i calcoli applicando le proprietà delle potenze ( ) : : : : LAVORIAMO INSIEME Espressioni in N, Z e Q : () esegui i calcoli all interno delle parentesi e trasforma la potenza a esponente negativo [(...) (...) ] : (...) esegui i calcoli all interno delle parentesi e calcola la potenza [(...) (...) ]... esegui gli ultimi calcoli ) ( : 7 7 : ( ) trasforma le potenze in potenze con uguale base e applica la regola della potenza di potenza [ : (...) ] (...)... ( )... (...)... : (...)... [... :...] (...) (...) (...) : (...) esegui i calcoli applicando le proprietà delle potenze [......] (...) : (...) ADESSO PROVA TU Calcola le seguenti somme algebriche in Z e Q: ( ) (6 ) [] ( ) (7 ) ( ) [] 6 (7 7) ( ) [] (6 ) ( 7) ( ) []

6 Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni in Z e Q: () (6) () : () [] () () : (6) : () [] () (7) : () () [] 7 : 7 [] : 6 : 7 6 : : : 7 6 : : 6 7 Calcola le seguenti potenze in Z e Q: 7 () ; ; 7 ; () () () () ; 6; 6 ; ; ; ; 7 7 ; ; 6 ; ; 6 ; Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni:,,,7, ; 7 7 ; ;,,,, 7 ; ; ;,,,7, ; ; 6 ; Calcola le seguenti espressioni in N, Z e Q: { [()() () ( )] ()} { [6 ()] } : [] : 6 : 6 ( ) : ( ) [ ( : ) : ] : [( ) ( 6 : ) ] [] 7 {( [( : ( ) ]} : 6 ( ) []

7 7 6 6 : [( ) : ( ) ] 6 : 7 : 7 : ( ) ( ) ( ) ( ) : () ( ) ( ) : : : 7 6 : [] 6 7 : 7 [] : : : : 7 () : : 6, : (,6,) (,6) 7,6 (,,6) (,6), :,6 () (,) () (,6) 7 [,, (,7,)] : : : 7 6

8 [(, )(,7),] :, : (,7) 7 6,,, :,, : : : {[() () ] : () } [] : : : : 7 6 : 7 [ () (,) (,) ( )] : (,), [] () : 7 : 6 ) ( : 7 7 : ( ) 6 ( ) 6 ( ) 7 ( ) : 6 [ ] [ 7 ] [6 ] 7 : : 6 : : 6 : [], (,) :, :, :, 6 : (6) 6 6 :