GLI INSIEMI NUMERICI

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1 GLI INSIEMI NUMERICI R 2 π 2, _ -,8 2,89 Q Z N _, 7, e 2,7-7 -,6 _ -, R Numeri Reali Q Numeri Razioali Z Numeri Iteri Relativi N Numeri Naturali Dal diagramma di Eulero-Ve ovvio è che : N è u sottoisieme proprio di Z, Z è u sottoisieme proprio di Q, Q è u sottoisieme proprio di R I umeri Naturali soo tutti i umeri iteri positivi, N {,, 2,,,, 6, 7,,+ } Nell isieme dei umeri Naturali si possoo eseguire le operazioi di : addizioe, moltiplicazioe e poteza I umeri Iteri Relativi soo tutti i umeri iteri positivi e egativi, Z{-, -, -2, -,,, 2,, + } Nell isieme dei umeri Iteri Relativi, oltre all addizioe, alla moltiplicazioe e alla poteza, si può eseguire ache la sottrazioe I umeri Razioali Q, soo tutti i umeri, positivi e egativi, che si possoo mettere sotto forma di frazioe, e cioè tutti i umeri iteri, tutti i umeri decimali limitati, tutti i umeri decimali illimitati periodici e tutte le frazioi Nell isieme dei umeri razioali, oltre all addizioe, alla sottrazioe, alla moltiplicazioe e alla poteza, si può eseguire ache la divisioe I umeri Irrazioali I, soo tutti i umeri che o si possoo mettere sotto forma di frazioe, e cioè i umeri decimali illimitati o periodici I umeri Reali R, soo tutti i umeri razioali e irrazioali Nell isieme dei umeri reali, oltre alle operazioi di addizioe, sottrazioe, moltiplicazioe, divisioe e poteza, si può eseguire ache l estrazioe di radice -esima di qualsiasi umero positivo La tabellia I NUMERI NATURALI x x2 2 x x x x6 6 x7 7 x8 8 x9 9 x 2x 2 2x2 2x 6 2x 8 2x 2x6 2 2x7 2x8 6 2x9 8 2x 2 x x2 6 x 9 x 2 x x6 8 x7 2 x8 2 x9 27 x x x2 8 x 2 x 6 x 2 x6 2 x7 28 x8 2 x9 6 x x x2 x x 2 x 2 x6 x7 x8 x9 x 6x 6 6x2 2 6x 8 6x 2 6x 6x6 6 6x7 2 6x8 8 6x9 6x 6 7x 7 7x2 7x 2 7x 28 7x 7x6 2 7x7 9 7x8 6 7x9 6 7x 7 8x 8 8x2 6 8x 2 8x 2 8x 8x6 8 8x7 6 8x8 6 8x9 72 8x 8 9x 9 9x2 8 9x 27 9x 6 9x 9x6 9x7 6 9x8 72 9x9 8 9x 9 x x22 x x x x66 x77 x88 x99 x Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

2 Poteza di umero aturale a aaa a 8 volte a a a 7 2? o ha alcu sigificato Proprietà delle poteze a a p a + p a : a p a p 2 7 : a b (a b) 2 2 ( ) 2 a : b (a : b) 8 : (8 : ) ( a ) p a p ( 2 ) Criteri di divisibilità 2 U umero è divisibile per 2 quado termia per cifra pari (, 2,, 6, 8 ) U umero è divisibile per quado il umero formato dalla somma delle sue cifre è divisibile per U umero è divisibile per quado termia per zero o per cique U umero è divisibile per 9 quado il umero formato dalla somma delle sue cifre è divisibile per 9 U umero è divisibile per quado termia per zero Esempi : 67 è divisibile per 2 2 è divisibile per perché che è divisibile per 68 è divisibile per 72 è divisibile per 9 perché che è divisibile per 9 Scomposizioe di u umero i fattori primi U umero si dice primo quado è divisibile solo per se stesso e per uo Soo umeri primi, ad esempio : 2,,, 7,,, 7, 9, 2, 29,, 7,,, 7,, 9, 6, 67, 7, Per scomporre u umero i fattori primi, lo si divide per il più piccolo umero primo che sia suo divisore ; si divide poi il risultato otteuto sempre per il suo più piccolo divisore primo, e così di seguito fio ad otteere 6 2 x x x 2x x x 2 2 x x x x x Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado 2

3 Massimo comue divisore Il MCD di due o più umeri aturali si ottiee prededo (dalla scomposizioe dei umeri i fattori primi) i fattori comui, ua sola volta, co il miimo espoete MCD (6, 2, ) 2 x x Miimo comue multiplo Il mcm di due o più umeri aturali si ottiee prededo (dalla scomposizioe dei umeri i fattori primi) i fattori comui e o comui, ua sola volta, co il massimo espoete mcm (6, 2, ) 2 x 2 x 2 x 7 26 Espressioi aritmetiche Nel risolvere le espressioi aritmetiche occorre eseguire i calcoli a partire dalle paretesi più itere ( tode, 2 - quadre, - graffe); l ordie di esecuzioe delle operazioi è il seguete: - poteze, 2 moltiplicazioi e divisioi, - addizioi e sottrazioi 2 2 { x [( 2 2 x ) x ( )] } { x [( x ) : 7 x ( )] } : 9 { 8 2 x [( 9 8 ) : 7 x ] } : 9 2 { 8 2 x [ 2 : 7 x ] } : 9 2 { 8 2 x [ ] } : : : 6 : { x } : { } : : NUMERI RAZIONALI ASSOLUTI I umeri Razioali assoluti soo tutti i umeri positivi che si possoo mettere sotto forma di frazioe Ua frazioe è ua coppia ordiata di umeri aturali, il secodo dei quali diverso da zero 7 è ua frazioe, il umero è detto umeratore metre il è detto deomiatore o ha sigificato, o rappreseta alcua frazioe Per ridurre ai miimi termii ua frazioe occorre dividere il umeratore e il deomiatore per il MCD dei termii della frazioe 28 2 Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

4 Addizioe e sottrazioe di frazioi 2 : x : x 2 mcm(, ) 2 6 Moltiplicazioe di frazioi 8 9 x x 2 Divisioe di frazioi 8 : x x 2 Poteza di ua frazioe x 2 x 2 x 2 x x x 8 Trasformazioe di u umero decimale i frazioe e viceversa Per trasformare ua frazioe i umero decimale basta eseguire la divisioe fra il umeratore e il deomiatore Esempio : : 2, U umero decimale limitato è uguale ad ua frazioe che ha per umeratore il umero dato preso seza la virgola, e per deomiatore il umero seguito da tati zeri quate soo le cifre decimali Esempi :,, U umero decimale illimitato periodico è uguale ad ua frazioe che ha per umeratore il umero dato preso seza la virgola dimiuito del umero che precede il periodo, e come deomiatore tati ove quate soo le cifre del periodo seguiti da tati zeri quate soo le cifre dell atiperiodo 27 2 Esempi : 2, 7 7, U umero decimale illimitato o periodico o può essere trasformato i frazioe, pertato è u umero irrazioale Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

5 I NUMERI RELATIVI I umeri relativi soo tutti i umeri preceduti dal sego più o dal sego meo Ad esempio : + ; 7; + 8, ; ; 8, -, +2, Defiizioi Il valore assoluto di u umero relativo è il umero privato del sego U umero si dice positivo se è preceduto dal sego + U umero si dice egativo se è preceduto dal sego Due umeri si dicoo cocordi se hao lo stesso sego Due umeri si dicoo discordi se hao sego diverso Due umeri si dicoo opposti quado differiscoo solo per il sego Esempi : Il valore assoluto di + è ; il valore assoluto di - è ; +7 è u umero positivo ; è u umero egativo ; e 7 soo umeri cocordi ; e +7 soo umeri discordi ; +,8 e,8 soo umeri opposti Regola per togliere le paretesi Se ua paretesi (coteete ua addizioe algebrica di due o più umeri) è preceduta dal sego +, la paretesi ed il sego + possoo essere elimiati : + ( ) Se ua paretesi (coteete ua addizioe algebrica di due o più umeri) è preceduta dal sego, la paretesi ed il sego possoo essere elimiati, ma occorre cambiare il sego ai termii detro la paretesi : ( ) Addizioe e sottrazioe La somma di due umeri cocordi si ottiee sommado i umeri dati e mettedo il sego comue ( CS ) La somma di due umeri discordi si ottiee facedo la differeza dei umeri dati e mettedo il sego del umero più grade ( DD ) Addizioe e sottrazioe di più umeri La somma algebrica di più umeri relativi è uguale alla differeza fra la somma dei umeri positivi e la somma dei umeri egativi ( ) ( ) Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

6 Moltiplicazioe e divisioe Il prodotto o il quoziete di due umeri cocordi è u umero positivo Il prodotto o il quoziete di due umeri discordi è u umero egativo (+7) x (+) + ( 7) x ( ) + (+7) x ( ) ( 7) x (+) (+7) : (+) + 7 ( 7) : ( ) + 7 (+7) : ( ) 7 ( 7) : (+) 7 Poteza umero umero (+) (+) positivo positivo umero egativo umero positivo se l'espoete è pari ( ) + 8 umero egativo se l'espoete è dispari ( ) 27 a - a p a p a x a Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado 6