Esercitazione. Proposizioni. April 16, Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione 1.1.

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1 Esercitazione Proposizioni April 16, 2015 Esercizi presi dal libro di Rosen (useremo 0 per False e 1 per True). Problema 15, sezione Consideriamo le proposizioni: - p : Gli orsi grizzly sono stati visti in zona. - q : Camminare lungo il tragitto é sicuro. - r : Le more sono mature lungo il tragitto. 2. Convertire le frasi seguenti usando le proposizioni precedente ed i connettivi logici: a : Le more sono mature lungo li tragitto, ma gli orsi grizzly non si sono visti in zona. r ^ p b : Gli orsi grizzly non sono stati visti in zona e, lungo il tragitto, camminare é sicuro e le more sono mature. p ^ q ^ r c : Se le more sono mature lungo il tragitto allora camminare lungo il tragitto é sicuro se e solo se gli orsi grizzly non sono stati visti in zona. r! (q $ p) d : Non è sicuro camminare lungo il tragitto, ma gli orsi grizzly non sono stati visti in zona e le more lungo il tragitto sono mature. q ^ p ^ r e : Per camminare in maniera sicura lungo il tragitto, é necessario ma non su ciente che le more non siano mature lungo il tragitto e che gli orsi grizzly non siano stati visti in zona. (q! ( r ^ p)) ^ (( r ^ p)! q) 1

2 f : Non è sicuro camminare sul cammino ogniqualvolta gli orsi grizzly sono stati visti in zona e le more sono mature lungo il tragitto. (p ^ r)! q 2

3 Problema 18 (c), sezione 1.1. Determinare se la seguente asserzione condizionale é vera o falsa. Se = 2 allora i cani possono volare Sia p la proposizione = 2 Sia q la proposizione I cani possono volare. Quale é il valore di p! q? 1! 0 che é falsa. 3

4 Problema 27 (b), sezione 1.1. Consideriamo la seguente asserzione: Io vengo a lezione ogniqualvolta c é un test. Notate che l asserzione precedente puó essere riformulata nel modo seguente: Se c é un test allora io vengo a lezione. p! q - Quale é l asserzione opposta? p! q Se non c é un test allora io non vengo a lezione. - Quale é l asserzione inversa? q! p Se vengo a lezione allora c é un test. - Quale é l asserzione contronominale? q! p Se non vengo a lezione allora non c é un test. - Confrontiamo le tabelle di veritá. p q p! q p! q q! p q! p

5 Problem 35, c) sezione 1.1. Construiamo la tabella di veritá della proposizione seguente (p! q) _ ( p! q) 1. Prima suddividiamo il problema in 3 parti - p! q - p! q - (p! q) _ ( p! q) 2. Ora costruiamo la tabella, riempendola prima con tutti i possibili valori di p e q e: p q p! q p! q (p! q) _ ( p! q) Il contenuto del resto della tabella sará: p q p! q p! q (p! q) _ ( p! q)

6 Problema 39, sezione 1.1. Costruiamo la tabella di veritá per (p $ q) $ (r $ s) Di quante righe é costituita la tabella? p q r s (p $ q) (r $ s) (p $ q) $ (r $ s) p q r s (p $ q) (r $ s) (p $ q) $ (r $ s)

7 Problema 40, sezione 1.1. Spiegare, senza usare la tavola di veritá, perché la seguente proposizione (p _ q) ^ (q _ r) ^ (r _ p) é vera quando p, q, r hanno lo stesso valore di veritá. Se p e q hanno lo stesso valore di veritá (cioé p =1=q oppure p =0=q) allora p e q hanno valori di veritá opposti (cioé (p =1eq = 0) oppure (p =0eq = 1)), quindi (p _ q) é vera. Questo vale anche per le altre due disgiunzioni che compongono la proposizione. Quindi la congiunzione tra tre valori 1 é 1, cioé vera. 7

8 Problema 35, sezione 1.2. Un detective ha interrogato quattro sospettati di un crimine. Da ció che i sospettati hanno raccontato, il detective ha concluso che se il maggiordomo sta dicendo la veritá allora anche il cuoco sta dicendo la veritá; il cuoco ed il giardiniere non possono entrambi aver detto la veritá; il giardiniere ed il tuttofare non sono entrambi bugiardi; se il tuttofare sta dicendo la veritá allora il cuoco sta mentendo. Può il detective determinare se ciascuno dei quattro sospettati sta dicendo la veritá o meno? 1. Prima individuiamo le variabili: - m é il maggiordomo - c é i l c u o c o - g é il giardiniere - t é il tuttofare Useremo 0 per indicare che una persona é bugiarda, e 1 per indicare che una persona dice la veritá. 2. Ora individuiamo le proposizioni: - Se il maggiordomo dice la veritá allora anche il cuoco dice la veritá. m! c - Il cuoco ed il giardiniere non possono entrambi aver detto la veritá. (c ^ g) c _ g - Il giardiniere ed il tuttofare non sono entrambi bugiardi. ( g ^ t) g _ t - Se il tuttofare sta dicendo la veritá allora il cuoco sta mentendo. t! c 3. Dobbiamo ora trovare un assegnamento di veritá alle nostre variabili che soddisfa tutte le proposizioni. Notate che se, dato un assegnamento di veritá alle variabili, risulta falsa una delle proposizioni allora é inutile controllare le altre proposizioni. 8

9 m c g t m! c c _ g g _ t t! c Dalla tabella possiamo concludere che il maggiordomo ed il cuoco sono entrambi bugiardi, e che o il giardiniere o il tuttofare o entrambi dicono la veritá. 9

10 Problema 31, sezione 1.3. Mostriamo che (p! q)! r non é logicamente equivalente a p! (q! r). Basta determinare un controesempio. Supponiamo di prendere p = 0, q = 1, and r = 0. (p! q)! r é false, mentre p! (q! r) étrue. Per tali valori abbiamo: 10

11 Problema 27, sezione 1.3: Mostrare che p $ q p $ q 1. p $ q Given 2. p! q ^ q! p Equivalenza 3. p _ q ^ q _ p Implicazione 2 4. q _ p ^ p _ q Commutativa 5. q _ p ^ p _ q Doppia Negazione 6. q! p ^ p! q Implicazione 2 7. p! q ^ q! p Commutativa 8. p $ q Equivalenza 11

12 Problema 9, sezione 1.4: Sia - P (x): x parla russo - Q(x) x conosce il linguaggio C Sia il dominio, l insieme di tutti gli studenti di Informatica. Esprimere le seguenti asserzioni in termini di P (x),q(x), quantificatori e connettivi logici. 1. C é uno studente di Informatica che parla russo e conosce il C. 2. C é uno studente di Informatica che parla russo, ma non conosce il C. 3. Ogni studente di Informatica o parla russo o conosce il C. 4. Nessuno studente di Informatica parla russo o conosce il C. Abbiamo 1. 9x(P (x) ^ Q(x)) 2. ma realmente significa la stessa cosa di e : 9x(P (x) ^ Q(x)) 3. 8x(P (x) _ Q(x)) 4. 9x(P (x) _ Q(x)) 8x (P (x) _ Q(x)) 8x( (P (x) ^ Q(x)) 12

13 Problema 12, sezione 1.4: Sia - Q(x): x +1>x 2 Sia il dominio, l insieme di tutti gli interi. Quale é il valore di veritá delle seguenti proposizioni? 1. Q(0) 2. Q( 1) 3. Q(1) 4. 9xQ(x) 5. 8xQ(x) 6. 9x Q(x) 7. 8x Q(x) Abbiamo 1. T 2. F 3. T 4. V, x = 0 oppure x =1 5. F, controesempio é x = 1 6. V, x 2 7. F, controesempio é x =0 13

14 Problema 41, parte a) sezione 1.4: Esprimere la seguente asserzione usando predicati, quantificatori e connettivi logici: Almeno un messaggio , tra i messaggi non vuoti, puó essere salvato se c é un disco con piú di 10 kilobit di spazio libero. Scegliamo i predicati: - D(x): Il disco x ha piú di 10 kilobit liberi - S(y): il messaggio y puó essere salvato - R(y): il messaggio y é non vuoto Allora si ha 9x[D(x)!9y(S(y) ^ R(y))] 14

15 Problema 45, sezione 1.4: Mostrare che 9x(P (x) _ Q(x)) 9xP (x) _9xQ(x)) 9x(P (x) _ Q(x)) é vera precisamente quando esiste un x nel dominio che rende vera o P (x) oq(x). Questo é lo stesso che dire che 9xP (x) oppure 9xQ(x)). 15

16 Problema 59, sezione 1.4: Sia - P (x): x é un professore - Q(x): x é ignorante - R(x): x é vanitoso Sia il dominio, l insieme di tutte le persone. Esprimere le seguenti asserzioni in termini di P (x),q(x), quantificatori e connettivi logici. 1. Nessun professore é ignorante 2. Tutte le persone ignoranti sono vanitose 3. Nessun professore é vanitoso 4. Si puó dire che 3. segue da 1. e da 2.? 1. 9x(P (x) ^ Q(x)) che equivalentemente puó essere 8x(P (x)! Q(x)) 2. 8x(Q(x)! R(x)) 3. 9x(P (x) ^ R(x)) non puó seguire da 1. e da 2. perché la 1. ci dice ogni professore non é ignorante, mentre la 2. ci da info a partire dal fatto che una persona é ignorante, non ci dice niente su chi non é ignorante. 16

17 Problema 31, parte d) sezione 1.5: Scrivere la negazione della seguente asserzione in modo tale che la negazione preceda un predicato. 8x9y(P (x, y)! Q(x, y)) Abbiamo 8x9y(P (x, y)! Q(x, y)) 9x8y (P (x, y)! Q(x, y)) 9x8y ( P (x, y) _ Q(x, y)) 9x8y(P (x, y) ^ Q(x, y)) 17

18 Altri esercizi Dare, se possibile, un esempio di implicazione vera per cui 1. L inverso é vero 2. L inverso é falso 3. Il contronominale é vero 4. Il contronominale é falso 1. qualunque a ermazione per cui p $ q 2. qualunque a ermazione per cui p! q ma non q! p 3. vale sempre, infatti p! q! p 4. mai 18

19 Esprimere la seguente a ermazione in simboli: Tra due qualunque numeri reali c é sempre un terzo numero reale. Si assuma che a, b, c 2< 1. 8a 8b 9c((a 6= b)! (a <c<b)) 2. 8a 8b 9c((a <c<b) _ (b <c<a)) 3. 8a 8b 9c((a 6= b)! ((a <c<b) _ (b <c<a))) 4. 9a 9b 9c((a <c<b) _ (b <c<a)) 5. 9c8a8b(a <c<b) 19

20 Esprimere la seguente a ermazione in simboli: C é uno studente in questa classe a cui non piacciono i broccoli. Si indichi con C(x) l asserzione x é uno studente di questa classe, e con L(x) l asserzione ad x piacciono i broccoli. Si assuma che l universo del discorso sono tutte le persone. 1. 9x(C(x)! L(x)) 2. 9x(C(x) ^ L(x)) 3. 8x(C(x) ^ L(x)) 4. 8x(C(x)! L(x)) Ricorda che un implicazione é vera se se l ipotesi e la conclusione sono entrambe vera, o se l ipotesi é falsa (senza tener conto se la conclusione é vera o falsa). Quindi 1) é vera se C(x)évera(cioésex é uno studente della classe) e L(x)évera (cioé se ad x non piacciono i broccoli), ma é vera anche se C(x) é falsa (cioé se x non é uno studente della classe). In questo ultimo caso si ha un asserzione di erente da quella data. Ad eccezione della 2) tutte le altre risposte sono sbagliate. 20

21 Supponiamo che P (x, y) sia un predicato dove l universo del discorso per x e y sia {1, 2, 3}. Supponiamo anche che il predicato sia vero nei seguenti casi: P (1, 2),P(2, 1),P(2, 2),P(2, 3),P(3, 1),P(3, 2) e falso altrimenti. Determinare quale delle seguenti asserzioni é falsa. 1. 8y9x P (x, y) 2. 9y8xP (x, y) 3. 8x9y((x 6= y) ^ P (x, y) 4. 9x8yP(x, y) 21

22 Determinare quale é la negazione di 9x8y P (x, y) 1. 8x9y P (x, y) 2. 9x8yP(x, y) 3. 8x9yP(x, y) 4. 8y9xP (x, y) Abbiamo 9x8y P (x, y) 8x 8y P (x, y) 8x9y P (x, y) 8x9yP(x, y) 22

23 Determinare quale é la negazione di Qualcuno non andó al supermercato L asserzione possiamo scriverla come 9x Supermercato(x) Quindi abbiamo 9x Supermercato(x) 8x Supermercato(x) 8xSupermercato(x) 23

24 Determinare quale é la negazione di 8x9y8zQ(x, y, z) 1. (8x9y8z Q(x, y, z)) 2. 9x8y9z Q(x, y, z) 3. 8x9y8z Q(x, y, z) Abbiamo 8x9y8zQ(x, y, z) 9x 9y8zQ(x, y, z) 9x8y 8zQ(x, y, z) 9x8y9z Q(x, y, z) 24

25 Determinare se gli argomenti seguenti sono corretti o meno, spiegando il perché. 1. Chiunque sia stato iscritto in una universitá americana ha vissuto in un dormitorio. John non ha mai vissuto in un dormitorio. Perció, John non é mai stato iscritto ad una universitá americana. Abbiamo 1. L asserzione Chiunque sia stato iscritto in una universitá americana ha vissuto in un dormitorio puó essere scritta come 8x (Iscritto(x)! Dormitorio(x)), (1) considerando come dominio l insieme delle persone. Allora, considerato che per John vale: Dormitorio(John)! Iscritto(John) che é equivalente a Iscritto(John)! Dormitorio(John), l argomentazione é corretta poiché (1) é vera per qualunque persona. 25

26 Determinare se gli argomenti seguenti sono corretti o meno, spiegando il perché. 1. Qualunque macchina decappottabile é divertente da guidare. La macchina di Luca non é decappottabile. Perció la macchina di Luca non é divertente da guidare. Abbiamo 1. L asserzione Una macchina decappottabile é divertente da guidare puó essere scritta come 8x (AutoDecappottabile(x)! Divertente(x)) considerando come dominio l insieme delle auto. Ma, per Luca vale: AutoDecappottabile(Luca)! Divertente(Luca), che sappiamo non essere equivalente a AutoDecappottabile(Luca)! Divertente(Luca). Quindi l argomentazione non é corretta. 26

27 Si supponga che la proposizione ((p ^ q) _ r)! (r ^ s) sia falsa. Trovare i valori di veritá di p, s, q, r. Abbiamo, ((p ^ q) _ r)! (r ^ s) é falsa se ((p ^ q) _ r) é VERA e (r ^ s) é FALSA. Se poniamo r = F ALSA allora (indipendentemente dal vapora di s) (r ^ s) é FALSA => ((p ^ q) _ r) é VERA solo se (p ^ q) é VERA => sia p che q sono VERE. Quindi dei possibili valori di veritá che rendono FALSA la proposizione data sono sono r = F ALSA, s = F ALSA/V ERA, p = q = VERA 27

28 Usando le equivalenze logiche, provare che SONO logicamente equivalenti. ((p _ q)! q) e q Abbiamo, ((p _ q)! q) ( (p _ q) _ q) (( p ^ q) _ q) ( p ^ q) ^ q ( p _ q) ^ q (p _ q) ^ q (p ^ q) _ (q ^ q) Ora facciamo una considerazione: se q =T allora (p ^ q) _ (q ^ q) (p ^ T ) _ (T ^ T )=T se q =F allora (p ^ q) _ (q ^ q) (p ^ F ) _ (F ^ F )=F Quindi (p ^ q) _ (q ^ q) q 28

29 Utilizzando la tabella di veritá dire SE la seguente proposizione é una tautologia. ((p _ q) ^ (p! r) ^ (q! r))! r 29

30 Si considerino i seguenti predicati: Leone(x): x é un leone Gazzella(x): x é una gazzella Cattura(x,y): x cattura y Agile(x): x é agile Si traducano le seguenti asserzioni in espressioni logiche, considerando come dominio l insieme di tutti gli animali: 1. Ogni leone cattura una gazzella 2. Qualche leone cattura tutte le gazzelle 3. C é qualche gazzella che non é catturata da alcun leone 4. Ogni gazzella non agile é catturata da qualche leone. Abbiamo 1. 8x Leone(x)! (9y Gazzella(y) ^ Cattura(x, y)) 2. 9x Leone(x) ^ (8y Gazzella(y)! Cattura(x, y)) 3. 9y (Gazzella(y) ^ (8x Leone(x)! Cattura(y, x)) 4. 8y (Gazzella(y)^ 6Agile(y))!9x (Leone(x) ^ Cattura(x, y)) 30

31 Si supponga che il dominio del predicato P (x) sia{1, 2, 3, 4, 5}. Scrivere le seguenti proposizioni usando solo disgiunzioni, congiunzioni e negazioni. 1. 9x P(x) 2. 8x P(x) 3. 8x ((x 6= 3)! P (x)) ^9x P (x) 1. (P (1)_P (2)_P (3)_P (4)_P (5)) P (1)^ P (2)^ P (3)^ P (4)^ P (5) 2. P (1) ^ P (2) ^ P (3) ^ P (4) ^ P (5) 3. 8x ( (x 6= 3) _ P (x)) ^ [ P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4) _ P (5)] 8x ((x = 3) _ P (x)) ^ [ P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4) _ P (5)] [((1 = 3) _ P (1)) ^ ((2 = 3) _ P (2)) ^ ((3 = 3) _ P (3)) ^ ((4 = 3) _ P (4)) ^ ((5 = 3) _ P (5 ^[ P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4) _ P (5)] [(F _ P (1)) ^ (F _ P (2)) ^ (T _ P (3)) ^ (F _ P (4)) ^ (F _ P (5))] ^[ P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4) _ P (5)] [P (1) ^ P (2) ^ T ^ P (4) ^ P (5)] ^[ P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4) _ P (5)] T ^ [ P (1) _ P (2) _ P (3) _ P (4) _ P (5)] T 31

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