Capitolo 2 Codifica binaria dell informazione. 2.1 Rappresentazione. La rappresentazione dell informazione. Alfabeti e simboli

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1 Capitolo 2 Codifica binaria dell informazione 2. - Rappresentazione 2.2 Codifica di caratteri 2.3 Codifica dei numeri Trasmissione Protezione 2. Rappresentazione La rappresentazione dell informazione Informazione - Stringa di lunghezza finita formata da simboli s i appartenenti ad un alfabeto di definizione A: s s 2 s 3. s i s n- s n con s i A:{a, a 2,.., a m } Alfabeti e simboli Esempi: testo e caratteri numero e cifre musica e note immagine, pixel e toni di grigio disegno e pend./lung. di tratti misura e posizione di un indice parlato e fonemi Simboli di informazione - Variabili a cui può essere assegnato come valore uno qualsiasi degli elementi dell alfabeto A

2 Il modello Rappresentazione binaria dell informazione sorgente canale messaggio destinazione Rappresentazione binaria delle richieste e delle notifiche controllo Rappresentazione binaria dei comandi e degli stati stringa alfabeto percorso dei dati Rappresentazione binaria dei dati e dei risultati La codifica binaria della informazione n bit b b 2 b 3 b n Codici binari codice

3 2 n config Codice binario Codice binario - Funzione dall insieme delle 2 n configurazioni di n bit ad un insieme di M informazioni (simboli alfanumerici, colori, eventi, stati interni, ecc.). Condizione necessaria per la codifica: 2 n M n.u.? 5 z a M informazioni m Proprietà di un codice Il codice è una rappresentazione convenzionale dell informazione. La scelta di un codice è condivisa da sorgente e destinazione ed ha due gradi di libertà: il numero di bit (qualsiasi, a patto che sia 2 n M ) l associazione tra configurazioni e informazioni; a parità di n e di M le associazioni possibili sono C = 2 n! / (2 n -M)! n =, M = 2 C = 2 n = 2, M = 4 C = 24 n = 3, M = 8 C = n = 4, M = C = n: n di bit Codici ridondanti e non ridondanti Codici ridondanti 8 n > n min 7 6 non ridondanti 5 Codici M: n di informazioni n min = lg 2 M 2 Altri 29 miliardi di codici a 4 bit più meno segno BCD Esempi Cifre decimali zero uno due tre quattro cinque sei sette otto nove segmenti N.B. = acceso n.u. colori uno su dieci

4 Codice a 7 segmenti a f b g e c d Universal Product Code a b c d e f g Trascodifica La trascodifica sul percorso dei dati La calcolatrice tascabile Codici esterni Trascodifica Trascodifica Codice interno Unità di elaborazione e di memoria Il codice interno è di norma non ridondante per minimizzare il n di bit da elaborare e da memorizzare. Il codice esterno è di norma ridondante, per semplificare la generazione e la interpretazione delle informazioni, e standard, per rendere possibile la connessione di macchine (o unità di I/O) fatte da Costruttori diversi. Codice ridondante per la visualizzazione dei dati Codice ridondante per la introduzione dei dati e dei comandi Codice BCD per la rappresentazione interna dei numeri

5 Esempio : un editor Input/output di un ascensore tastiera buffer di input memoria principale memoria video schermo uno su enne scan-code ASCII font/bit-map Riga- Colonna - Colore C C C C 3 2 T Presenza al piano (Encoder) M = 5 n min = 3 Pulsanti di chiamata (Encoder) M = 5 n min = 3 Pulsantiera in cabina (Encoder) M = 5 n min = 3 ELABORAZIONE controllo movimento cabina e apertura/chiusura porte Display di cabina (Decoder) M = 5 n min = 3 Indicazione di presenza (Decoder) M = 5 n min = T Le due trascodifiche Codici proprietari e standard x 4 x 3 x 2 x ENCODER trascod. da su 4 a binario y 2 y y x 4 x 3 x 2 x y 2 y y Codice proprietario - Codice fissato da un Costruttore per mettere in comunicazione apparati da lui realizzati L uso di codici proprietari ottimizza le prestazioni e protegge il mercato di certe apparecchiature. Esempi: Linguaggio Assembler, Periferiche, Telecomando TV x 2 x x DECODER trascod. da binario a su 8 y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y y x 2 x x y 7 y 6 y 5 y 4 y 3 y 2 y y Codice standard - Codice fissato da norme internazionali ( de iure ) o dal costruttore di una macchina utile per tutti gli altri ( de facto ). L uso di codici standard nelle unità di I/O consente di collegare macchine fatte da costruttori diversi Esempi: Stampanti e Calcolatori, Calcolatori e Calcolatori

6 La codifica Morse 2.2 La codifica dei caratteri t t t 2 t 3 t t t 2 t 3 E D T F A H I B N X M V O C S Y R L G J W Z U Q K P Caratteristiche: Lunghezza variabile Stringhe separate da pause Efficiente per l uso da parte di operatori umani Difficoltoso il progetto di ricetrasmettitori automatici Stringhe di uguale lunghezza (Baudot: 5 bit) I 96 simboli di testo (ASCII a 7 bit) Codice ASCII esteso (8 bit) caratteri di controllo A " 2 B # 3 C $ 4 D % 5 E & 6 F ' 7 G ( 8 H ) 9 I * : J + ; K, < L - = M. > N /? O P ' p Q a q R b r S c s T d t U e u V f v W g w X h x Y i y Z j z [ k { \ l ] m } ^ n ~ _ o DEL 5 bit : 32 configurazioni N.B. - Lo standard Unicode (6 bit) consente di rappresentare diversi sottoinsiemi di caratteri. 3 bit 8 conf.

7 Bit map: un codice ridondante per simboli alfanumerici Bianco/nero: pixel, bit Tonalità: pixel, 8 bit Colori RGB: pixel, 24 bit 2.3 La codifica dei numeri Font Matrice di pixel: ad es. 8x8 Numeri in base B Il sistema di numerazione in base 2 (il caso dei numeri naturali < 2 n ) ) Rappresentazione: a n- a, a - a -m a i {,,., (B-)} 2) Valore: (N) B = (a n-.b n- + +a.b + a -.B - + a -2.B -2 + a -m.b -m ) n bit b n- b n-2 b b N N 2 N N (N) 2 = b n-.2 n- + b n-2.2 n-2 + +b.2 Lunghezza della stringa in base 2 e in base Dato un numero decimale con m cifre (N) m - per la sua rappresentazione binaria deve essere 2 n > m e quindi n = (m log 2 ) (3,32 m)

8 Conversioni da base 2 a base Conversione di base Conversione da base 2 a base (N) = (b n-.2 n- + b n-2.2 n-2 + +b.2 +b.2 ) ESEMPIO: = 38 Osservazione: (N) = (b n-.2 n- + b n-2.2 n-2 + +b.2 +b.2 ) (N) /2= (b n-.2 n-2 + b n-2.2 n-3 + +b.2 ) + (b.2 - ) = Q + R. 2 - Conversione di un numero naturale N da base a base 2 Altre rappresentazioni di numeri binari i = i+ i = A = N B = (A / 2) = (Q i + R i 2 - ) NO A = Q i b i = R i A = SI fine ESEMPIO: 3 3/2 = 65 +.,5 65 = 32 +.,5 32/2 = 6 + 6/2 = 8 + 8/2 = 4 + 4/2 = 2 + 2/2 = + /2 = +.,5 Sistema esadecimale: B =6 cifre:,,..,9,a,b,c,d,e,f codice binario: =, =,, f = n di bit per cifra: 4 ESEMPIO: - C4 Sistema ottale: B = 8, cifre:,,,7 codice OCTAL: =,, 7 = n di bit per cifra: 3 ESEMPIO: -- 34

9 Addizione (carry) + = + = + = + = r i a i b i Full Adder s i r i+ Operazioni aritmetiche r n s n r n- r n-2 r a n- a n-2 a a + b n- b n-2 b b s n- s n-2 s s r i a i b i r i+ s i Sottrazione (borrow) Moltiplicazione - = - = n.a. - = - = p i a i b i Full Subtracter p i a i b i p i+ d i d i p i+. =. =. =. = p n d n p n- p n-2 p a n- a n-2 a a - b n- b n-2 b b d n- d n-2 d d P = Y.X = Y.(x n-.2 n- + + x.2 +x.2 ) = (Y.x n- ).2 n (Y.x ).2 +(Y.x ).2 =P n-.2 n- + +P.2 +P.2 P i = (Y.x i ) = (y n-. x i ).2 n- + + (y.x i ).2

10 Moltiplicazione (shift and add) Rappresentazione dei numeri razionali y 3 y 2 y y x 3 x 2 x x Come coppia di interi (più un bit per il segno) x y 3 x y 2 x y x y x y 3 x y 2 x y x y x 2 y 3 x 2 y 2 x 2 y x 2 y x 3 y 3 x 3 y 2 x 3 y x 3 y s Notazione scientifica i n i n-... i f f 2... f n i n i n-... i f f 2... f n s m n m n-... m s e n e n-... e p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p p 2.4 Trasmissione Modalità

11 Es.: Codice a 8 bit Modalità di trasmissione dei bit: compromesso spazio/tempo 8 n segnali Trasmissione in parallelo trasmis. in serie Modalità di trasmissione dei bit: le unità di conversioni S/P e P/S Convertitore S/P Elaborazione trasmissione in parallelo Convertitore P/S trasmis. in serie 4 2 Trasmissione in serie/parallelo Trasmissione in serie n intervalli La modalità di trasmissione all interno della macchina è di norma in parallelo (per massimizzare la velocità di elaborazione) La modalità di trasmissione all esterno della macchina è di norma in serie (per minimizzare la complessità del supporto fisico) La conversione P/S di un byte La serializzazione di due bit b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 Il selettore Ingresso: Uscita: b, b, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6, b 7 b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 Stato: Data Path i i M U X a u deviatore a i i u Oscillatore Contatore con 8 stati (N) 2 Controller se a= allora u=i altrimenti u=i

12 Conversione S/P di un byte La distribuzione di due bit b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 Il distributore (N) Contatore con 8 stati b b b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 Oscillatore i D E C a Contatore con 2 stati f f u u a f f Il Decoder genera 2 flag di validità, di cui uno solo alla volta ha valore. L uscita che riceve tale valore è la destinazione del bit d ingresso i Modalità di controllo (ASCII a 7 bit) : codifica dei comandi e protocollo di scambio telescrivente Comandi per il protocollo telescrivente Protocolli NUL DLE SOH DC STX DC2 ETX DC3 EOT DC4 ENQ NAK ACK SYN BEL ETB BS CAN HT EM LF SUB VT ESC FF FS CR GS SO RS SI US Esempio: sorgente tempo BEL ENQ SOH.. LF CR STX.. EOT ACK/NAK destinazione

13 Sincronizzazione Comunicazione asincrona di un byte: il protocollo RS232 La destinazione deve sapere in quali istanti di tempo i valori presenti sul canale sono significativi. Si hanno due casi: dato p Selettore a 2 vie bit Dispositivo periferico accoppiamento stretto accoppiamento lasco Tx Contatore con 2 stati Porta seriale N.B. devono operare quasi allo stesso ritmo! S D S D Riposo Start I bit II bit... VIII bit Parità Stop Disturbi e Guasti 2.5 Protezione sorgente canale destinazione linea di trasmissione unità di memoria Obiettivo: riconoscere alla destinazione le configurazioni modificate. Condizione necessaria: il codice deve essere ridondante se arriva una configurazione non utilizzata la destinazione ha la certezza della sua non integrità; se arriva una configurazione utilizzata la destinazione ha solo una certa probabilità che sia integra. Ulteriore condizione - Le configurazioni non utilizzate devono essere le modifiche più probabili delle configurazioni utilizzate.

14 Codici separabili: rilevazione di errori Gestione degli errori Tx F bit di informazione (information bits) I C bit di controllo (check bits) Rx F C F R C bit di sindrome d errore ricezione N = N + NO Errore? SI E = E + NO Perdita consentita? SI NO Memoria in Tx? SI SI E/N >k? NO Correzione Ritrasmissione Manutenzione o sostituzione del canale Scarto L ipotesi degli errori indipendenti Codici con rilevazione di errori Consideriamo una stringa di n bit e supponiamo che l evento di modifica di un bit (o errore) da parte di un disturbo a) sia indipendente dalla posizione del bit nella stringa; b) si verifichi con probabilità pari a p (tasso di errore). La probabilità che la stringa ricevuta contenga e errori è data da: Esempio: p = % N.B. molto alto! () n e P e =.. p e (-p) n-e n P P P 2 P ,27 % 7,46 %,26 %,5 % % 3,76 %,4 %,49 % Per n = 8 le modifiche più probabili riguardano un solo bit Per n = 6 le modifiche più probabili riguardano uno o due bit

15 Distanza minima di un codice Distanza fra due configurazioni binarie di n bit: D(A,B) - Numero di bit omologhi che hanno valore diverso. Esempi: D(,) = ; D(,) = 2; D(,) = 3 Distanza minima di un Codice C: DMIN (C) - Valore minimo della distanza tra due qualsiasi delle configurazioni utilizzate. Esempi: DMIN (Codice ASCII) = ; DMIN (Codice semaforo) = 2 I codice non ridondanti hanno DMIN=. I codice ridondanti possono avere DMIN >. Distanza minima e rilevazione degli errori Un codice per la rilevazione di tutti i possibili errori singoli, o SEDC (Single Error Detection Code), deve non utilizzare tutte le configurazioni che distano uno da ciascuna delle configurazioni utilizzate. Un codice SED deve dunque avere almeno DMIN = 2. Un codice per la rilevazione di modifiche su k bit deve avere almeno DMIN = k+. Esempio: DMIN (UPC) = 2 Il bit di parità : una semplice modalità per ottenere la rilevazione di errori singoli Bit di parità p - bit che la sorgente aggiunge ad una stringa di bit di codifica al fine di renderne pari il n di uni. Errore di parità e - bit che la destinazione pone a se e solo se riceve una configurazione con un numero dispari di uni. x x2 Calcolo del bit di parità x x 2 p Codice con DMIN = 2 x x 2 p e confronto p = F(x, x2) e = F(x, x2, p) = F(F(x, x2), p) Funzione composta Disposizione in serie

16 La correzione di errori singoli (esempio) Codici con correzione di errori Tx trasmette o NO = o SI = Se P >> P 2 ogni configurazione errata può essere corretta A causa dei disturbi Rx può ricevere una terna qualsiasi Distanza minima e correzione degli errori Il codice dell esempio precedente ha DMIN=3. Ogni SECC (Single Error Correction Code) deve avere DMIN 3. Un codice con DMIN = 2k+ rileva 2k errori e può correggerne fino a k. Di solito si corregge un solo bit e si usa la ridondanza introdotta per valutare la qualità del canale (manutenzione/sostituzione) Codici separabili: correzione di errori Hamming (Bell Labs, 95) ha dimostrato che per correggere gli errori singoli su informazioni codificate con I bit occorrono C bit di controllo tali che 2 C I + C +. Tx F I C Rx F C F R correzione C bit di sindrome d errore Le 2 C configurazioni delle sindromi di errore devono indicare se non c è errore ( situazione) e se c è, dov è (I + C situazioni).

17 i i 2 i3 i 4 Bit di controllo da aggiungere c = F(i, i 2,i 4 ) c 2 = F(i,i 3,i 4 ) c 3 = F(i 2,i 3,i 4 ) Il codice di Hamming c c 2 c 3 t 3 t 5 t 6 t 7 t t 2 t 4 il bit errato è r i con i = (s 3 s 2 s ) 2 Stringa Trasmessa Bit di sindrome da calcolare s = F(r 3,r 5,r 7,r ) s 2 = F(r 3,r 6,r 7,r 2 ) s 3 = F(r 5,r 6,r 7,r 4 ) ES.: I = R= c = s = c 2 = s 2 = c 3 = s 3 = r 3 r 5 r 6 r 7 r r 2 r 4 Stringa ricevuta s s 2 s 3