Cinematica. Cinematica. Cinematica (II) Cinematica (III)

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1 Cinemic Cinemic Progeo C-META Renn, ITIS Nullo Bldini, 17 febbrio 11 Prof. Domenico Glli Alm Mer Sudiorum Uniersià di Bologn L meccnic sudi i moi dei corpi e le leggi che li goernno. Cinemic: pproccio descriio. Sudio delle grndezze fisiche e dei meodi che serono per descriere i possibili moimeni di un oggeo, senz currsi delle cuse che li deerminno. Puno merile: è l oggeo mobile più semplice. H dimensioni rscurbili nel coneso considero. P. es.: nel sisem solre l Terr può essere consider un puno merile, in quno h dimensioni piccole rispeo lle orbie dei pinei e i suoi moi di rozione, precessione, ecc. possono essere rlscii nell descrizione del moo di rioluzione. DMENIC GALLI - Cinemic Cinemic (II) Cinemic (III) ggei esesi: possono essere suddiisi in ne pri, sufficienemene piccole per il deglio richieso, e consideri come sisemi di puni merili. Il moo è relio: si può descriere il moo solno qundo si è sbilio rispeo che cos il moimeno è luo. Sisem di Riferimeno (SdR): sisem di corpi, in quiee gli uni rispeo gli lri (disnz reciproc immuel empo), rispeo cui si descrie il moo. Tern cresin di riferimeno: ern cresin, fiss rispeo l SdR, uilizz per descriere quniimene il moo. Principio di Reliià: Non esise un SdR priilegio. Le leggi dell Fisic sono uguli in ui i SdR. L dirib r puno di is olemico (geocenrico) e copernicno (eliocenrico) è superell fisic modern: i due puni di ison sono in niesi (è lreno correo dire che l Terr si muoe rispeo l Sole o che il Sole si muoe rispeo ll Terr). L descrizione copernicn è più semplice mon più er : con opporuni srumeni di clcolo si può pure descriere il moo dei pinei nel SdR erresre. DMENIC GALLI - Cinemic 3 DMENIC GALLI - Cinemic 4

2 Tempo Giorno Solre e Giorno Sidereo Terr 1 giorno sidereo 1 giorno solre Per decidere se un puno si muoe occorre conrollre se l su posizione cmbi col pssre del empo. Se si uole considerre il empo come grndezz fisic occorre drne un definizione operi, oero bisogn sbilire qul è il procedimeno con cui si misurno gli inerlli di empo. Gli srumeni per l misur del empo (orologi, cronomeri) si bsno su di un fenomeno periodico (che si ripee coninumene, come il moo di un pendolo). Gli inerlli di empo r due successie ripeizioni sono supposi uguli e uno qulunque di quesi inerlli è ssuno come unià di misur. Es.: pssggio del Sole o di un sell dl meridino locle (giorno solre e giorno sidereo). Es.: oscillzioni di un pendolo o di un bilnciere collego un moll spirle. scillzioni di un qurzo piezoelerico. scillzioni dell rdizione eleromgneic emess in deermine rnsizioni omiche. Giorno solre: inerllo di empo r due successii pssggi del Sole dl meridino locle: Isne in cui il Sole è più lo sull orizzone. Giorno sidereo: inerllo di empo r due successii pssggi di un sell fiss dl meridino locle: Isne in cui l sell è più l sull orizzone. In un nno l Terr compie un rioluzione comple orno l Sole. In un nno 1 giorno solre in meno dei giorni siderei; Giorno solre è più lungo del giorno sidereo di circ 4 minui (3 56 ): Giorno solre: 864 s; Giorno sidereo: s. Sell Sole DMENIC GALLI - Cinemic 5 DMENIC GALLI - Cinemic 6 Bree Sori dell Unià di Tempo Bree Sori dell Unià di Tempo (II) I giorni siderei sono di lunghezz ugule r loro, i giorni solri no, cus del moo dell Terr orno l Sole, che non iene elocià cosne: Più eloce d inerno, qundo l Terr è più icin l Sole. Niene che edere con l diers dur del giorno illumino e delloe. Tui, poiché l i quoidin è bs sul Sole, si preferì riferire l unià di empo l giorno solre medio (medi clcol in un nno): 1 s 1/864 di giorno solre medio. Con il progredire dell ecnic degli orologi omici (nel 1949) si osserrono discrepnze rispeo ll periodicià erresre (il giorno sidereo, misuro d un orologio omico, umen di ms in un secolo). possibilià: Sbgli l orologio omico: Improbbile d l sbilià del fenomeno periodico su cui si bs le orologio. Sbgli l rozione erresre: Possibile. Infi l rozione dell Terr rispeo ll Lun (e l Sole) deermin il moo delle mree, nel qule un pre piccol mon del uo rscurbile dell energi di rozione dell Terr è rsferi ll mss di cqu in moimeno e quindi dissip in clore. In l modo il moo di rozione dell Terr rllen un poco nel empo: ms (millisecondi) in un secolo. DMENIC GALLI - Cinemic 7 DMENIC GALLI - Cinemic 8

3 Bree Sori dell Unià di Tempo (III) Bree Sori dell Unià di Tempo (IV) Il secondo fu perciò ridefinio (196) come un frzione di un nno pricolre (l nno 19). Nel 1967 il secondo fu nuomene ridefinio, come muliplo del periodo di oscillzione ( oscillzioni) dell rdizione eleromgneic emess dgli omi di Cesio 133 in un pricolre rnsizione. Trnsizione r i due lielli iperfini dello so fondmenle dell omo di Cesio 133. L precisione di un orologio omico è circ un pre su 1 13 : ero esso sbgli l mssimo 1 secondo ogni 3 nni. orologio pendolo bilnciere di un orologio meccnico orologio l cesio DMENIC GALLI - Cinemic 9 DMENIC GALLI - Cinemic 1 Bree Sori dell Unià di Tempo (IV) Bree Sori dell Unià di Tempo (V) ggi è possibile ere in cs o l polso un orologio sincronizzo con un orologio omico. Un orologio omico, presso il Physiklisch-Technischen Bundesnsl (PTB) Brunschweig, (Berlino-Chrloenburg, Germni) è collego un nenn rdio siu Minflingen, 4 km d Frncofore; L nenn rsmee il segnle orrio (DCF77) sull frequenz di 77.5 khz con un poenz di 5 kw fino un disnz di 15- km. L orologio riceiore è in grdo di sincronizzrsi con l orologio omico con uno scro di circ ms. È nche possibile sincronizzre gli orologi dei compuer i Inerne con un orologio omico. Lo scro ipico di è di lcune decine di millisecondi. L operzione è conseni dl proocollo NTP (Nework Time Proocol) che si ppoggi su TCP/IP (lo sck di proocolli uilizzi d Inerne). Clien NTP sono disponibili in ue le disribuzioni Linux in McS e in Windows. Un lis dei ime-serer pubblici si può rore ll URL hp:// DMENIC GALLI - Cinemic 11 DMENIC GALLI - Cinemic 1

4 Bree Sori dell Unià di Lunghezz Bree Sori dell Unià di Lunghezz (II) Il mero fu definio nel 1791 dll Accdemi delle Scienze di Prigi, come l 1/4.. pre del meridino erresre. Un cmpione concreo fu relizzo nel 1799 con un regolo di plino di sezione rengolre di lunghezz pri 1 m ll emperur di fusione del ghiccio. Si erificrono discrepnze r le due definizioni e nel 1875 fu deciso di non riferire il mero ll Terr (che h dimensione ribile in modo non preedibile per i cmbimeni di form dell superficie erresre) m di riferirsi un nuoo cmpione: Un sbrr con sezione X di plino-iridio (leg 9-1) con due cche ll disnz di 1 m C (precisione. µm). Nel 1889 ne ennero cosruie 3 copie, poi diffuse per il mondo. Nel 196 si definì il mero come un muliplo dell lunghezz d ondel uoo dell luce rosso-rncione emess dl Cripon 86 in un pricolre rnsizione (errore.1 µm). Nel 1983 si è infine deciso di definire il mero come l disnz percors dll luce nel uoo in 1/ di secondo: In queso modo si riducono le misure di lunghezz misure di empo. Inolre si fiss per conenzione (per legge giuridic, non fisic) l elocià dell luce nel uoo c m/s. DMENIC GALLI - Cinemic 13 DMENIC GALLI - Cinemic 14 Descrizione Inrinsec del Moo Descrizione Cresin del Moo Considerimo un puno merile che si muoe (l su posizione P si modificel empo: P P()) o, in mnier equilene, il suo eore posizionle: r P Trieori: line geomeric cosiui d ue le posizioni ssune dl puno durne il suo moo. Scegliendo sull rieori un origine e un erso di percorrenz, si indic con s l lunghezz dell rco P (posii se P segue nel erso di percorrenz definio) Legge orri: è l funzione s s. s D rieori e legge orri si h un descrizione comple del moo del puno (descrizione inrinsec). P Un descrizione lerni consise nell ssegnre le 3 coordine cresine x, y e z del puno P in funzione del empo (descrizione cresin). x x y y z z (equzioni prmeriche con il empo come prmero) Le equzioni prmeriche, se il prmero è il empo, forniscono un descrizione comple del moo del puno, diers m equilene ll descrizione inrinsec. Se si sceglie l origine degli ssi cresini nel puno fisso e si consider il corrispondene eore posizionle, si h: P r xî + y ˆ + z ˆk DMENIC GALLI - Cinemic 15 DMENIC GALLI - Cinemic 16

5 Il Moo Uniforme Velocià nel Moo Uniforme Moo uniforme: è il moo di un puno merile che percorre rchi di rieori di ugul lunghezz in inerlli di empo uguli. L legge orri si può perciò scriere solno nell form: s + s doe s è il lore di s ll isne e è un prmero (cosne). Se l funzione s() non fosse di primo grdo in gli rchi di rieori percorsi in inerlli di empo uguli porebbero non essere uguli. P P ( ) s P s() P L elocià è un conceo inrodoo per descriere l rpidià con cui un puno merile si spos. Nel moo uniforme si h: s + s per cui l rco di rieori percorso nell inerllo di empo [, + ] è: s s( + ) s + + s s P + funzione molipliczione P P ( ) s P ( ) s() P ( ) P ( + ) s + DMENIC GALLI - Cinemic 17 DMENIC GALLI - Cinemic 18 Velocià nel Moo Uniforme (II) Velocià nel Moo Vrio (non Uniforme) Il moo è no più rpido qun più disnz s si percorre nello sesso inerllo di empo. Dll espressione s è eidene che il moo è no più rpido quno mggiore è il prmero. Chimimo perciò elocià nel moo uniforme il prmero. Dll espressione s segue che il prmero si può esprimere come: P + s s s + (elocià nel moo uniforme) P P ( ) s P ( ) s() P ( ) P ( + ) s + Nel moo rio (cioè non-uniforme) possimo definire l elocià medi: m s s ( + ) s ui m dipende, olre che d, nche d (durne il empo l elocià può cmbire). Inroducimo llor l elocià isnne: s lim m lim lim s + In simboli: d s d s s L elocià isnne è l deri di s rispeo. DMENIC GALLI - Cinemic 19 DMENIC GALLI - Cinemic

6 L Misur dell Velocià Isnne L Misur dell Velocià Isnne (II) Volendo misurre sperimenlmene l elocià isnne di un puno merile uilizzndo l formul: s s lim m lim lim s + occorre precisre operimene il procedimeno di misur, considerndo l sensibilià, sempre limi, degli srumeni di misur. L inerllo di empo non può essere scelo piccolo d rbirio: se è più piccolo dell sensibilià del cronomero uilizzo per l misur, l misur di dà risulo nullo. se è molo piccolo, può nche ccdere che lo sposmeno s si inferiore ll sensibilià dello srumeno di misur dell lunghezz. Di conseguenz l misur di s dà risulo nullo. Per misurre l elocià isnne di un puno merile uilizzndo l formul: s lim m lim s( + ) s lim occorre scegliere gli inerlli e s in modo che: Tli inerlli sino sufficienemene piccoli che lo so di moo in essi non subisc rizioni pprezzbili nel coneso che simo considerndo (cioè d l precisione di cui bbimo bisogno). Tli inerlli sino sufficienemene grndi d poere essere misuri con gli srumeni di misur di cui disponimo. DMENIC GALLI - Cinemic 1 DMENIC GALLI - Cinemic L Velocià Isnne e l Trieoriell Fisic Microscopic L Velocià Isnne di un Elerone Libero L limizione del conceo di elocià isnneon è dou solno nell limizione dell sensibilià degli srumeni di misur. I concei di elocià isnne (deri dello sposmeno rispeo l empo) e di rieori (line geomeric cosiui d ue le posizioni ssune dl puno durne il suo moo) di un puno merile hnno senso solno se un puno merile h un posizione defini in ogni isne di empo. Lo sudio sperimenle del moo delle pricelle omiche e sub-omiche mosr che esse non hnno un ben defini posizione in un cero isne di empo: I concei di rieori e di elocià isnne perdono significo nel cso delle pricelle omiche e sub-omiche. In pricolre, risolendo le equzioni del moo dell meccnic qunisic (equzioni di Heisemberg) si ro che l misur di un componene dell elocià isnne di un elerone libero può dre come risulo solno ± c (doe c è l elocià dell luce nel uoo). L elocià osser degli eleroni, che è sempre un elocià medi, è inece sempre minore di c. Segue che l elocià isnne di un elerone libero non è ffo cosne, m oscill rpidmene (con elocià che può ere solno i lori ± c) orno un lore medio che è il lore ossero (zierbewegung). DMENIC GALLI - Cinemic 3 DMENIC GALLI - Cinemic 4

7 Velocià Veorile Velocià Veorile (II) In un moo curilineo l direzione del moo riel empo. coniene informzioni sull rpidià di sposmeno, mon sull direzione. Si può compendire in un unic grndezz fisic l rpidià del moo e l su direzione. Considerimo lo sposmeno di un puno P in un inerllo, m inece di misurre lo sposmeno lungo l rieori, considerimo lo sposmeno in line d ri, oero il segmeno orieno: P P + P Possimo or definire l elocià medi eorile: m 1 P( + ) P P ( + ) P P 5 Ess h l sess direzione dello sposmeno e modulo no più grnde quno mggiore lo sposmeno ( in line d ri ) compiuo in un inerllo di empo fisso. Si può definire nche l elocià isnne eorile: ( 1 lim m lim P( + ) P + ) * ', d P - d P che dunque è l deri del puno (o del eore posizionle) rispeo l empo. L direzione di è ngene ll rieoriel puno P P(): P ( + ) P P DMENIC GALLI - Cinemic DMENIC GALLI - Cinemic 6 Velocià Veorile (III) Rppresenzioni dell Velocià Poiché nel limie di un rco infiniesimo, l cord pprossim l rco, si h: P + s + P per cui il modulo dell elocià eorile è ugule ll elocià sclre prim defini: s cord Norm dell elocià eorile Modulo dell elocià sclre s s + rco P s rco P( + ) P + P cord DMENIC GALLI - Cinemic 7 Se chimimo un ersore ngene ll rieori, col erso concorde quello del moo, si h: sˆ (rppresenzione inrinsec dell elocià). Se deriimo l espressione: P xî + y ˆ + z ˆk considerndo che i ersori cresini sono cosni: xî + y ˆ + z ˆk ˆ d d x f ( x ) g( x) f x d xî d xî + xˆı xî (rppresenzione cresin dell elocià). DMENIC GALLI - Cinemic ˆb ˆ ˆn P ˆ î cosne P ˆn ˆn ˆb ˆ ˆn P g( x) + f ( x) g ( x) ˆ ˆk î P ˆ 8

8 Velocià reolre Velocià reolre (II) Si definisce elocià reolre l re spzz dl eore posizionle nell unià di empo: P( + ) S A lim S P S 1 P ( ) P( + ) H ' ' P( + ) H DMENIC GALLI - Cinemic ' sin' sin ' P bse lezz 1 P ( ) P( + ) P sin 1 A lim P ( P + ) P( ( ' ) sin * ' * ) 1 P ( P ) ( + ) P lim 1 P sin, sin ( +,) 9 Possimo definire l elocià reolre come eore: A 1 P In l cso ess risul perpendicolre l pino del moo. L elocià reolre è pri ll meà del momeno dell elocià rispeo l cenro di riduzione. P( + ) DMENIC GALLI - Cinemic 3 S P Accelerzione Espressione Inrinsec dell Accelerzione Rppresen quniimene l rpidià con cui ri l elocià di un puno. Possimo quindi definire ccelerzione medi il rpporo: m + e ccelerzione isnne il limie: In simboli: lim lim + d d P d P d Derindo rispeo l empo l espressione: Si oiene (deri di un prodoo di funzioni): Dobbimo lure, che si può nche scriere nell form: sˆ sˆ + sˆ ˆ ˆ d ˆ d d ˆ d s d s d d ˆ d s s Considerimo inizilmene un rieori circolre e cerchimo di deerminre: d ˆ d s lim ˆ s s d d x N.B.: f ( x ) g( x) f x g( x) + f ( x) g ( x) empo ˆ ersore ngene ll rieori DMENIC GALLI - Cinemic 31 DMENIC GALLI - Cinemic 3

9 Espressione Inrinsec dell Accelerzione (II) Espressione Inrinsec dell Accelerzione (III) ˆ s + s P s + s r P s + s P( s) r P( s) ˆ s ( s ) ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ˆ s + s ˆ ( s + s) ringoli isosceli simili (hnno gli ngoli rispeimene uguli:, ( )/, ( )/). ˆ ( s) r ˆ P( s + s) P( s) P( s + s) P( s) ˆ r 1 r ˆ s + s P s + s r P s + s P( s) r P( s) ˆ s ( s ) ˆ ( s) ˆ ( s) ˆ ˆ s + s ˆ ( s + s) lim lim ' s '' ( ˆ ) ˆ s DMENIC GALLI - Cinemic 33 DMENIC GALLI - Cinemic 34 Espressione Inrinsec dell Accelerzione (IV) Pino sculore e Circonferenz sculrice ˆ ( s + s) d ˆ P( s + s) d s lim ˆ s s lim 1 P( s + s) P( s) s s r cord r ˆ ( s) P( s + s) P( s) P( s) 1 P( s + s) P( s) r lim 1 s s r r ˆn d ˆ d s 1 rco ( s ) r ( d ˆ ˆ ˆ ˆ d s 1 r ˆn, ˆn ers (ˆ ) ˆ ( s) s ˆ ( s + s) ' doe ˆn è il ersore rdile cenripeo, deo normle ll rieori. Voglimo or pssre d un rieori circolre un rieori curiline qulunque. Si può pssre d un rieori circolre un rieori generic pprossimndone ogni ro infiniesimo con un rco di circonferenz. L geomeri nliic dimosr che in generle queso rco infiniesimo esise: F pre di un circonferenz de osculrice ll rieori in P, Gice su di un pino deo pino osculore dell rieori in P; H un rggio deo rggio di curur dell rieori in P. Per indiidure pino osculore e circonferenz osculrice: Si prendono 3 puni sull rieori: Infinimene icini mon coincideni; Per 3 puni non coincideni pss un solo pino (pino osculore) e un sol circonferenz (circonferenz osculrice). ˆn ˆb ˆ ˆn P ˆ DMENIC GALLI - Cinemic 35 DMENIC GALLI - Cinemic 36

10 Espressione Inrinsec dell Accelerzione (V) Espressione Inrinsec dell Accelerzione (VI) Do un puno P su di un rieori curiline definimo 3 ersori che indicno 3 direzioni noeoli: Vesore ngene ˆ il ersore ngene ll rieoriel puno P. ˆn Versore normle il ersore perpendicolre ll rieori con erso cenripeo (direo erso il cenro dell circonferenz osculrice). ˆb ˆ ˆn Versore binormle il ersore perpendicolre l pino osculore. Indicndo con il rggio di curur, si h, per un rieori qulunque: d ˆ d s 1 ˆn ˆn ˆb ˆ ˆn P ˆ L espressione inrinsec dell ccelerzione diiene quindi: sˆ + sˆ sˆ + s d ˆ d s d s d sˆ d ˆ + s d s sˆ 1 + s ˆn sˆ + s ˆn L componene binormle dell ccelerzione, oero componene in direzione è sempre null. ˆb ˆ ˆn Menre l elocià è sempre ngene ll rieori, l ccelerzione possiede un componene ngenzile e un normle. Se il moo è reilineo () l componene normle si nnull e rimne solno l componene ngenzile. Se il moo è uniforme ( s cosne) l componene ngenzile si nnull e rimne solno l componene normle. DMENIC GALLI - Cinemic 37 DMENIC GALLI - Cinemic 38 No bene Espressione cresin dell ccelerzione Si osseri che, per le grndezze cinemiche eorili le: r P r P menre per le grndezze cinemiche sclri non le lreno: s i 1 sˆ + s ˆn ' i sˆ 1 + s ˆn ' s + s4 ( s Derindo rispeo l empo l espressione cresin dell elocià: xî + y ˆ + z ˆk essendo i ersori cresini î, ˆ e ˆk cosni, si oiene l espressione cresin dell ccelerzione: xî + y ˆ + z ˆk d d x d d f ( x ) g ( x) f x xî xî + xˆı xî î cosne g( x) + f ( x) g ( x) DMENIC GALLI - Cinemic 39 DMENIC GALLI - Cinemic 4

11 Esercizio 1 Esercizio 1 (II) Un puno merile è incolo muoersi lungo un guid reiline. Al empo il puno merile si ro in quiee. Il puno merile cceler con ccelerzione: k, con k m s4 Trore l elocià isnne rggiun e lo spzio percorso dopo un empo pri : s 775. L elocià rggiun si ro inegrndo l ccelerzione: ( )d k d k 3 ( k 3 3 ' 3 Lo spzio percorso si ro inegrndo l elocià: s ( )d k 3 3 d k 4 ) ( + ' 1 * Nel nosro cso: k 4 1 k m s m s4.776m s s s 15.51s 1 DMENIC GALLI - Cinemic 41 DMENIC GALLI - Cinemic 4 Esercizio 1 (III) Esercizio D cui: k s k m s 374m Un puno merile è incolo un guid circolre di rggio r 3 m, su cui può scorrere senz rio. Esso si muoe secondo l legge orri: k 3 s con: k + 1 m/s3 Clcolre l componene ngenzile e l componene normle dell ccelerzione dopo 1 s DMENIC GALLI - Cinemic 43 DMENIC GALLI - Cinemic 44

12 Esercizio (II) Esercizio (III) Le componeni ngenzile e normle dell ccelerzione si scriono: s s r Troimo le derie di s: k 3 3k 6k s s s Nel nosro cso: k + 1 m/s3 1.95m/s 3 Aremo perciò: s 6k ( s ) 9k 4 r r m s m s DMENIC GALLI - Cinemic 45 DMENIC GALLI - Cinemic 46 Esercizio 3 Esercizio 3 (II) Un puno merile iene lncio dll superficie erresre con elocià 1 m/s, un ngolo di 9 rispeo ll ericle. 1 Clcolre il rggio di curur dell rieori puno merile subio dopo il lncio. 39. Come per ui i corpi liberi in prossimià dell superficie erresre, l ccelerzione h modulo g 9.81 m/s ed è dire lungo l ericle, erso il cenro dell err (edi figur). L ccelerzione si può perno scomporre in due componeni orogonli: l componene ngenzile, con l sess direzione dell elocià e l componene normle, con direzione perpendicolre ll elocià. L componene normle è leg l rggio di curur dll relzione: Conoscendo si può quindi clcolre il rggio di curur. g cos g g sin DMENIC GALLI - Cinemic 47 DMENIC GALLI - Cinemic 48

13 Esercizio 3 (III) Esercizio 4 Nel nosro cso bbimo: Un puno merile si muoe in un pino seguendo l legge orri: g sin 9.81 sin m s 78m k, con k.5m s s Trore il rggio di curur dell rieoriei due segueni csi: Lorm dell ccelerzione è cosne: k. Lorm dell ccelerzione cresce con il empo, secondo l legge: k 1+ T 4, con T 7s g cos g g sin DMENIC GALLI - Cinemic 49 DMENIC GALLI - Cinemic 5 Esercizio 4 (II) Esercizio 4 (III) Nell su espressione inrinsec, l ccelerzione si può scriere come: sˆ + s ˆn Essendo i ersori e perpendicolri r loro, si h: i sˆ + s ˆn ' i sˆ + s ˆn ' s ˆ i ˆ + s4 ˆni ˆn s + s ˆni ˆ 1 1 s + s4 D ques relzione possimo ricre il rggio di curur: s s4 s s Nel nosro esercizio, bbimo: k, con k.5m s k k s s s s 4k s 4k Nel primo cso l ccelerzione è cosne ( k) e remo: 4k 4k k Poiché rggio di curur è infinio, l rieori è reiline. DMENIC GALLI - Cinemic 51 DMENIC GALLI - Cinemic 5

14 Esercizio 4 (IV) Esercizio 4 (V) Nel secondo cso il modulo dell ccelerzione umen col empo secondo l legge: k 1+ T Aremo: 4, con T 7s Il rggio di curur è do d: k.5m s T 7s kt.5 m s 49 s 4.5m 4k 4k 4k 4k 4k ), + T ' (. * k k kt / cos T Poiché il rggio di curur è cosne, l rieori è circolre. DMENIC GALLI - Cinemic 53 DMENIC GALLI - Cinemic 54 Esercizio 5 Esercizio 5 (II) Un puno merile A si muoe di moo reilineo uniforme, con elocià di norm 3. m/s, lungo l re y d, con d 3 m. Un secondo puno merile B pre dll origine, con elocià null e ccelerzione cosne, di norm.4 m/s, nello sesso isne in cui il puno merile A rers l sse y. Per qule ngolo i due puni merili collidono? Per quno rigurd il puno A, si h: A î r A r A d î d î d î d ˆ r A î + d ˆ Per quno rigurd il puno B si h inece: B B î sin + ˆ cos B ( )d B î sin d + ˆ cos d î sin d + ˆ cos d ( î sin + ˆ cos ) DMENIC GALLI - Cinemic 55 DMENIC GALLI - Cinemic 56

15 Esercizio 5 (III) Esercizio 5 (IV) B ( î sin + ˆ cos ) r B r B ( )d B ( î sin + ˆ cos ) d ( î sin + ˆ cos ) d ( î sin + ˆ cos ) ' ) ( r B 1 î sin + ˆ cos L collisione si erific se e solno se esise un isne in cui: r A r B î + d ˆ 1 î sin + ˆ cos 1 î sin + ˆ cos Queso sisem di equzioni dee essere risolo nelle incognie e : î + d ˆ 1 1 î sin + ˆ cos sin d 1 cos 1 sin sin d (impossibile) d 1 cos d 1 cos ' * ) ( sin, + sin d cos 58 DMENIC GALLI - Cinemic 57 DMENIC GALLI - Cinemic Esercizio 5 (V) Esercizio 6 sin d cos 1 cos d cos cos + d cos 1 cos d ± ' d ) ( 3 cos.4 * 3 ± 3 '.4 * 3 ) ( ± ± cos.75 ± impossibile, cos +,- 1,1. 3 / Un puno merile iene lncio in direzione orizzonle d un lezz h rispeo l suolo, con elocià. Trscurndo l resisenz dell ri si clcoli: Le componeni ngenzile e normle dell ccelerzione del puno merile, in un generico puno di lezz h. cos rd DMENIC GALLI - Cinemic 59 DMENIC GALLI - Cinemic 6

16 Esercizio 6 (II) Esercizio 6 (III) Il puno merile è soggeo ll ccelerzione di grià, cosne, dire lungo l ericle e con erso in bsso: g ˆk Inegrndo e scegliendo, per semplicià,, si h: î d g ˆk d g ˆk d g ˆk î g ( ) ˆk î g ˆk Inegrndo nuomene: r r d ( î g ˆk )d î d g ˆk d î g ˆk ' ( î g ˆk r r r h ˆk î 1 g ˆk î + h 1 g r ' ˆk Per rispondere ll domnd, occorre scriere e in funzione di z. è cosne, menre, per quno rigurd si h: î + h 1 g r - ' ˆk / (. / x î g ˆk î g ) g h z ( z) î g )* h z+, ˆk * z h 1 g ( g ) * h z +, +, ˆk DMENIC GALLI - Cinemic 61 DMENIC GALLI - Cinemic 6 Esercizio 6 (IV) Esercizio 6 (V) I componeni ngenzile e normle dell ccelerzione si possono scriere come: ( i ˆ ) ˆ componene di ( ell direzione ˆ ) ( i ˆ ) ˆ ( essendo n + n ) Aremo dunque: i i g ˆki ˆ ( î g h z ˆk ) g g h z î g h z ˆk + g h z ( i ˆ ) ˆ i ( ˆ ) g g h z g g h z î g h z ˆk î g h z ˆk + g h z + g h z + g h z g g h z î g h z ˆk g ˆk g + g h z g h z î g h z ˆk + g h z g ˆk ( + g h z ) g g h z î + g g h z g h z ˆk g ˆk g g h z î + g h z ( g ) + g g h z + g h z ( ) + g h z 64 DMENIC GALLI - Cinemic 63 DMENIC GALLI - Cinemic

17 Esercizio 1 (VI) Esercizio 7 ( ) + g h z ( g ) + g g h z g + g h z + g h z g + g h z g + g h z + g h z Un drdo iene lncio orizzonlmene nell direzione del cenro di un bersglio, ll elocià di 1 m/s. Dopo.19 s ess si conficcel puno Q, soo il cenro P. Quno le l disnz PQ? Quno dis il lnciore dl bersglio? DMENIC GALLI - Cinemic 65 DMENIC GALLI - Cinemic 66 Esercizio 7 (II) Esercizio 8 Le equzioni prmeriche del moo si scriono: r î 1 g ˆ All isne.19 s si h: r (.19s) 1m s.19sî m s.19 s ˆ Aremo perciò: 1.9mî.177m ˆ P Q Un puno merile si muoe lungo un guid circolre di rggio pri r 3.64 m, di moo uniformemene ccelero. In un cero isne 1, l ccelerzione del puno merile form un ngolo.º con l direzione rdile e l elocià del puno merile horm pri 17.4 m/s. Di quno umen, in mezzo secondo lorm dell elocià? Quno le lorm dell ccelerzione? DMENIC GALLI - Cinemic 67 DMENIC GALLI - Cinemic 68

18 Esercizio 8 (II) Esercizio 8 (III) Ricordndo l espressione inrinsec dell ccelerzione: ˆ + ˆn sˆ + s ˆn si cpisce che l umeno dellorm dell elocià dipende solno dll componene ngenzile dell ccelerzione. Noi conoscimo l componene normle dell ccelerzione (perché conoscimo l elocià e il rggio) e l su inclinzione rispeo l rggio; d quesi di possimo clcolre l componene ngenzile dell ccelerzione. L componene normle dell ccelerzione le: s 17.4m s 3.64m 3.76 m s m s 3.64 m Sppimo inolre che: ' cos cos ( sin cos sin n n ) ( 1 )n m s * n 83.18m s * m s n ( 1) cos ( 1 ) 83.18m s 83.18m s 89.7m s cos.97 1 L umeno in.5 s del modulo dell elocià srà, essendo cosne l componene ngenzile dell ccelerzione: s 33.6m s.5s 16.8m s DMENIC GALLI - Cinemic 69 DMENIC GALLI - Cinemic 7 Prof. Domenico Glli Diprimeno di Fisic domenico.glli@unibo.i hp:// hps://lhcbweb.bo.infn.i/gllididic