Esercizi su formula di Itô

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizi su formula di Itô"

Transcript

1 Esercizi su formula di Itô 1. Scrivere il differenziale stocastico dei seguenti processi: (i) X t = B t (ii) X t = t + e B t (iii) X t = B 3 t 3tB t (iv) X t = 1 + t + e B t (v) X t = [B 1 (t)] + [B (t)] (vi) X t = (B t + t) exp( B t t/) (vii) X t = exp(t/) sin B t. Sia Y t = tb t. Calcolare dy t, E(Y t ) e E(Y t Y s ). 3. Mostrare che X t = sin s db s è definito; (i) mostrare che X t è un processo Gaussiano e calcolare E(X t ) e E(X s X t ); (ii) calcolare E(X t F s ); (iii) mostrare che X t = sin tb t cos sb s ds. 4. Mostrare che I(t) = B s ds è un processo Gaussiano con media e varianza t 3 /3. Trovare la legge della media temporale di B t nell intervallo [, T ], ovvero 1 T B t dt. 5. Per λ > poniamo X t = e λs db s. (i) Mostrare che X t = e λt B t + λ e λs B s ds. (ii) Mostrare che esiste lim t + X t = Z in L e determinare la legge di Z. 6. Se dx t = b 1 (X t )dt + σ 1 (X t )db t e dy t = b (Y t )dt + σ (X t )db t, provare che d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + σ 1 (X t )σ (Y t )dt ovvero vale la formula di integrazione per parti: ] X t dy t = [X t Y t T Y t dx t σ 1 (X t )σ (Y t )dt 1

2 Soluzioni degli esercizi su formula di Itô 1. Ricordiamo la formula di Itô nel caso unidimensionale, per il differenziale stocastico di una funzione f(t, X(t)) con dx(t) = b(x(t))dt + σ(x(t))db t : df(t, X(t)) = t + 1 f x σ (X(t)) + f ] x b(x(t)) dt + f x σ(x(t))db t (i) per f(x) = x, dalla formula di Itô si ricava: dx(t)) = f (B t )db t + 1 f (B t )dt = B t db t + dt e quindi: B t = t + B s db s (ii) per f(t, x) = t + e x, dalla formula di Itô si ricava: dx(t)) = ( ) 1 eb t + 1 dt + e B t db t (iii) per f(t, x) = x 3tx, dalla formula di Itô si ricava: dx(t) = [ 3B t + 1 ] 6B t dt + (3Bt 3t)dB t = (3Bt 3t)dB t (iv) per f(t, x) = 1 + t + e x, dalla formula di Itô si ricava: d(x ( t)) = [ + 1 ] eb t dt + e B t db t (v) Ricordiamo la formula di Itô nel caso bidimensionale, per il differenziale stocastico di una funzione f(t, X(t), Y (t)) con dx(t) = b 1 (X(t), Y (t))dt + σ 11 (X(t), Y (t))db 1 t + σ 1 (X(t), Y (t))db t dy (t) = b (X(t), Y (t))dt + σ 1 (X(t), Y (t))db 1 t + σ (X(t), Y (t))db t, oppure in notazione matriciale ( ) ( ) ( ) ( ) dx(t) b1 σ11 σ = dt + 1 db 1 t dy (t) b σ 1 σ dbt. Si ha: df(t, X(t), Y (t)) = t + f x b 1(X(t), Y (t)) + f y b (X(t), Y (t))+

3 + 1 ( f x a 11(X(t), Y (t)) + f x y a 1(X(t), Y (t)) + f y + f ( σ11 dbt 1 + σ 1 db ) f ( t + σ1 dbt 1 + σ db ) t x y ) ] a (X(t), Y (t)) dt+ dove a = σσ T. Se, più semplicemente, X(t) e Y (t) sono processi di Itô rispetto allo stesso moto Browniano B t : dx(t) = b 1 (X(t))dt + σ 1 (X(t))dB t e dy (t) = b (Y (t))dt + σ (Y (t))db t allora: Infatti, ora + 1 df(t, X(t), Y (t)) = t + f x b 1(X(t)) + f y b (Y (t))+ ( ) f x σ 1(X(t)) + f x y σ 1(X(t))σ (Y (t)) + f ] y σ (Y (t)) dt+ B 1 t = B t, σ = Allora, se f(x, y) = x + y, otteniamo: + f x σ 1(X(t))dB t + f y σ (Y (t))db t ( ) ( ) σ1, a = σσ T σ = 1 σ 1 σ σ σ 1 σ σ dx(t) = d(b 1(t) + B (t)) = dt + B 1 (t)db 1 (t) + B (t)db (t) (vi) Se f(t, x) = (x + t)e x t/, otteniamo: Quindi: dx(t)) = f t = e x t/ 1 (x + t)e x t/ = e x t/ (1 (x + t)/) f x = e x t/ (x + t)e x t/ = e x t/ (1 x t) f x = e x t/ + (x + t)e x t/ = e x t/ (x + t ) [ e Bt t/ (1 (B t + t)/) + 1 ] e B t t/ (B t + t ) dt+e Bt t/ (1 B t t)db t (vii) Se f(t, x) = e t/ sin x, otteniamo: ) [ 1 d (e t/ sin B t = et/ 1 ] sin(b t)e t/ dt + e t/ cos(b t )db t 3

4 . Posto f(t, x) = tx, dalla formula di Itô si ricava: ovvero d(tb t ) = B t dt + tdb t Y t = tb t = B s ds + sdb s Allora E(Y t ) = e E(Y s Y t ) = E(sB s tb t ) = st min(s, t); Y t è un processo Gaussiano (poiché è t volte B t ), con media zero e funzione di covarianza st min(s, t). 3. X t = sin sdb s è ben definito, visto che sin sds < t. Il processo X t è Gaussiano, essendo un integrale stocastico con integrando deterministico. Si ha: ( ) E(X t ) = E sin sdb s = ( ) E(Xt ) = E sin sdb s = Inoltre, sempre dalla teoria, per u t : = ( u E(X u X t ) = E sin sdb s sin sds sin sdb s ) = [( ) ( )] = E 1 (,u) (s) sin sdb s sin sdb s = E(1 (,u) (s) sin s)ds = u sin sds = min(u,t) = 1 (u t) 1 [sin(u t) cos(u t)] sin sds = Dalla teoria segue anche che, essendo un integrale stocastico, X t è una martingala, cioé E(X t F s ) = X s, s < t. (iii) Integrando per parti (vedi esercizio 6) o usando la formula di Itô si ricava: X t = sin sdb s = [ ] t sin tb t cos sb s ds = sin tb t cos sb s ds 4. Dalla formula di Itô segue che d(tb t ) = B t dt + tdb t per cui tb t = B s ds + 4 sdb s

5 Allora I(t) = B s ds = tb t sdb s = tdb s sdb s = e dunque I(t) è un processo Gaussiano, con media zero e varianza (t s)db s Quindi I(t) N varianza 5. (i) Per la formula di Itô: ( ), t3 3 ; segue che 1 T (t s) ds = t3 3. B tdt ha distribuzione normale di media zero e 1 T 3 T 3 = T 3. d ( e λt B t ) = λe λt B t dt + e λt db t da cui: X t = (ii) Per t > s : e λs db s = [ ] t e λs B s + λ e λs B s ds = e λtb t + λ e λs B s ds E [ [ ( X t X s ] t ) ] = E e λu db u = s s ( e λu ) 1 ( du = e λs e λt) λ Dunque X t è di Cauchy in L, ovvero Z. = lim t X t (in L ). Siccome X t è un processo Gaussiano, esso ha legge normale per ogni t, e anche il limite in L, Z, ha legge normale con media lim E(X t ) = e varianza lim t E(X t ) = lim e λu du = 1 t λ. Pertanto, X t converge in legge a Z N (, 1 λ ). 6. Mostriamo che d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + σ 1 (X t )σ (Y t )dt ovvero X t Y t = X Y + X s dy s + Y s dx s + σ 1 (X s )σ (Y s )ds 5

6 da cui segue la regola di integrazione per parti. Ricordiamo la formula di Itô per il differenziale di una funzione f(t, X t, Y t ) (vedi Esercizio 1 (v)): + 1 df(t, X(t), Y (t)) = t + f x b 1(X(t)) + f y b (Y (t))+ ( ) f x σ 1(X(t)) + f x y σ 1(X(t))σ (Y (t)) + f ] y σ (Y (t)) dt+ Prendendo f(x, y) = xy, otteniamo: + f x σ 1(X(t))dB t + f y σ (Y (t))db t d(x t Y t ) = [Y t b 1 (X t ) + X t b (Y t ) + σ 1 (X t )σ (Y t )]dt + Y t σ 1 (X t )db t + X t σ (Y t )db t = = Y t [b 1 (X t )dt + σ 1 (X t )db t ] + X t [b (Y t )dt + σ (Y t )db t ] + σ 1 (X t )σ (Y t )dt = = X t dy t + Y t dx t + σ 1 (X t )σ (Y t )dt 6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari

Sistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano

Dettagli

1 Portofoglio autofinanziante

1 Portofoglio autofinanziante 1 Portofoglio autofinanziante Supponiamo che l evoluzione del titolo A 1 sia S 1 t) e l evoluzione del titolo A sia S t). Supponiamo che al tempo 0 io abbia una somma X0) che voglio investire parte in

Dettagli

Mattia Zanella mattia.zanella@unife.it www.mattiazanella.eu

Mattia Zanella mattia.zanella@unife.it www.mattiazanella.eu mattia.zanella@unife.it www.mattiazanella.eu Department of Mathematics and Computer Science, University of Ferrara, Italy Ferrara, 1 Maggio 216 Programma della lezione Seminario II Equazioni differenziali

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2009/2010 Calcolo 1, Esame scritto del 19.01.2010

NOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2009/2010 Calcolo 1, Esame scritto del 19.01.2010 NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 009/00 Calcolo, Esame scritto del 9.0.00 Data la funzione fx = e /x x x +, a determinare il dominio massimale di f ; b trovare tutti gli asintoti

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti

INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti INTEGRALI INDEFINITI e DEFINITI Esercizi risolti E data la funzione f( = (a Provare che la funzione F ( = + arcsin è una primitiva di f( sull intervallo (, (b Provare che la funzione G( = + arcsin π è

Dettagli

Esercitazione del 06/03/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 06/03/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 6/3/ Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato barbato@math.unipd.it Esercizio. E la notte di San Lorenzo, Alessandra decide di andare a vedere le stelle cadenti. Osserverà

Dettagli

Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti

Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti Curve e integrali curvilinei: esercizi svolti 1 Esercizi sulle curve parametriche....................... 1.1 Esercizi sulla parametrizzazione delle curve............. 1. Esercizi sulla lunghezza di una

Dettagli

Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 4

Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 4 X N(m ; s ) f X x 1 e π σ xμ σ σ 0 m F X x x 1 π σ e tμ σ dt 1 0.5 EX μ VarX σ m La distribuzione normale permette di modellizzare moltissimi fenomeni aleatori (ad esempio misure di ogni genere), serve

Dettagli

Il calore nella Finanza

Il calore nella Finanza Il calore nella Finanza Franco Moriconi Università di Perugia Facoltà di Economia Perugia, 12 Novembre 2008 Quotazioni FIAT Serie giornaliera dal 6/11/2007 al 6/11/2008 F. Moriconi, Il calore nella Finanza

Dettagli

Probabilità 1, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09

Probabilità 1, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09 Probabilità, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09. Due roulette regolari vengono azionate più volte; sia T il numero di volte che occorre azionare la prima roulette

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Introduzione e modellistica dei sistemi Introduzione allo studio dei sistemi Modellistica dei sistemi dinamici elettrici Modellistica dei sistemi dinamici meccanici Modellistica

Dettagli

Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10

Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 2 2 Sistemi lineari 3 3 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un

Dettagli

POLITECNICO DI MILANO

POLITECNICO DI MILANO POLITECNICO DI MILANO FACOLTA DI INGEGNERIA DEI SISTEMI Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica PRICING AMERICAN OPTIONS UNDER STOCHASTIC VOLATILITY AND JUMP-DIFFUSION DYNAMICS WITH THE

Dettagli

Integrali multipli - Esercizi svolti

Integrali multipli - Esercizi svolti Integrali multipli - Esercizi svolti Integrali di superficie. Si calcoli l integrale di superficie Σ z +y +4(x +y ) dσ, dove Σ è la parte di superficie di equazione z = x y che si proietta in = {(x,y)

Dettagli

Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti

Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti Forme differenziali e campi vettoriali: esercizi svolti 1 Esercizi sul Teorema di Green......................... 2 2 Esercizi sul Teorema di Stokes......................... 4 3 Esercizi sul Teorema di

Dettagli

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI

COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI COMPLETAMENTO DI SPAZI METRICI 1. Successioni di Cauchy e spazi metrici completi Definizione 1.1. Una successione x n n N a valori in uno spazio metrico X, d si dice di Cauchy se, per ogni ε > 0 esiste

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE

ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia

Dettagli

Esercizi sugli integrali impropri

Esercizi sugli integrali impropri Esercizi sugli integrali impropri Esercizio. Studiare 2 x4 dx. Svolgimento: è un integrale improprio, in quanto f(x) =, x (, 2] ha una singolarità in : x4 lim x + x4 = +. Osserviamo che f è positiva, quindi

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ).

ESPONENZIALI E LOGARITMI. chiameremo logaritmica (e si legge il logaritmo in base a di c è uguale a b ). ESPONENZIALI E LOGARITMI Data una espressione del tipo a b = c, che chiameremo notazione esponenziale (e dove a>0), stabiliamo di scriverla anche in un modo diverso: log a c = b che chiameremo logaritmica

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 18 febbraio 2016 (9.00/13.00)

Dettagli

Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II. 12 Marzo 2008 Compito A. 1 (punti 3)

Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II. 12 Marzo 2008 Compito A. 1 (punti 3) anno accademico 007-008 Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA II Marzo 008 Compito A (punti ) y = x + xy + y x. (punti 4) y + y x = ln x x y. (punti ) y = y + y ln y. 4 (punti 6) Determinare

Dettagli

Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)

Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino) Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le

Dettagli

La diffusione e il moto Browniano

La diffusione e il moto Browniano La diffusione e il moto Browniano 0. La diffusione La prima legge di Fick afferma che: ϕ = DA dx (0..) dove D è il coefficiente di diffusione con [D] = m2 s, ϕ è la corrente di massa con [ϕ] = N s dove

Dettagli

Prova scritta di STATISTICA. CDL Biotecnologie. (Programma di Massimo Cristallo - A)

Prova scritta di STATISTICA. CDL Biotecnologie. (Programma di Massimo Cristallo - A) Prova scritta di STATISTICA CDL Biotecnologie (Programma di Massimo Cristallo - A) 1. Un associazione di consumatori, allo scopo di esaminare la qualità di tre diverse marche di batterie per automobili,

Dettagli

Esami a. a Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

Esami a. a Analisi Matematica Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte. Esami a. a. 2006-07 Perugia, 7 giugno 2007 1. Automobili. Due automobili da corsa A, B accelerano da ferme fino a raggiungere le seguenti velocità t secondi dopo la partenza v A (t) = 40t, v B (t) = 40t

Dettagli

Facoltà di Scienze Politiche Corso di laurea in Servizio sociale. Compito di Statistica del 7/1/2003

Facoltà di Scienze Politiche Corso di laurea in Servizio sociale. Compito di Statistica del 7/1/2003 Compito di Statistica del 7/1/2003 I giovani addetti all agricoltura in due diverse regioni sono stati classificati per età; la distribuzione di frequenze congiunta è data dalla tabella seguente Età in

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

PROBLEMI DI PROBABILITÀ 2

PROBLEMI DI PROBABILITÀ 2 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 2. Si sceglie a caso un numero X nell intervallo (0, ). (a) Qual è la probabilità che la usa prima cifra decimale sia? (b) Qual è la probabilità che la seconda cifra decimale sia

Dettagli

Modellazione numerica del prezzo di opzioni americane su due sottostanti secondo il modello di Black e Scholes

Modellazione numerica del prezzo di opzioni americane su due sottostanti secondo il modello di Black e Scholes POLITECNICO DI MILANO Corso di Studi di Ingegneria Matematica Orientamento Calcolo Scientifico Elaborato di Laurea di primo livello Modellazione numerica del prezzo di opzioni americane su due sottostanti

Dettagli

Metodi Monte Carlo in Finanza

Metodi Monte Carlo in Finanza Metodi Monte Carlo in Finanza Lucia Caramellino Indice 1 Metodi Monte Carlo: generalità Simulazione di un moto Browniano e di un moto Browniano geometrico 3 3 Metodi numerici Monte Carlo per la finanza

Dettagli

LA TRASFORMATA DI FOURIER, PROPRIETA ED ESEMPI (2) 12 Fondamenti Segnali e Trasmissione

LA TRASFORMATA DI FOURIER, PROPRIETA ED ESEMPI (2) 12 Fondamenti Segnali e Trasmissione LA RASFORMAA DI FOURIER, PROPRIEA ED ESEMPI () Fondamenti Segnali e rasmissione Proprieta della DF (5) Moltiplicazione nelle requenze: la DF inversa del prodotto delle DF di due segnali e uguale all integrale

Dettagli

Introduzione all Option Pricing

Introduzione all Option Pricing Introduzione all Option Pricing Arturo Leccadito Corso di Matematica Finanziaria 3 Anno Accademico 2008 2009 1 Il Modello Binomiale Si supponga che oggi (epoca 0) sia disponibile un titolo azionario il

Dettagli

LA VARIABILE ESPONENZIALE

LA VARIABILE ESPONENZIALE LA VARIABILE ESPONENZIALE E. DI NARDO 1. Analogia con la v.a. geometria In una successione di prove ripetute di Bernoulli, la v.a. geometrica restituisce il numero di prove necessarie per avere il primo

Dettagli

INTEGRALI TRIPLI Esercizi svolti

INTEGRALI TRIPLI Esercizi svolti INTEGRLI TRIPLI Esercizi svolti. Calcolare i seguenti integrali tripli: (a xye xz dx dy dz, [, ] [, ] [, ]; (b x dx dy dz, {(x, y, z : x, y, z, x + y + z }; (c (x + y + z dx dy dz, {(x, y, z : x, x y x

Dettagli

y 3y + 2y = 1 + x x 2.

y 3y + 2y = 1 + x x 2. Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 03-04 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Equazioni differenziali ordinarie. Risolvere

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Distribuzioni di Probabilità

Distribuzioni di Probabilità Distribuzioni di Probabilità Distribuzioni discrete Distribuzione uniforme discreta Distribuzione di Poisson Distribuzioni continue Distribuzione Uniforme Distribuzione Gamma Distribuzione Esponenziale

Dettagli

Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008. Dott.ssa G. Bellomonte

Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008. Dott.ssa G. Bellomonte Equazioni differenziali Corso di Laurea in Scienze Biologiche Istituzioni di Matematiche A.A. 2007-2008 Dott.ssa G. Bellomonte Indice 1 Introduzione 2 2 Equazioni differenziali lineari del primo ordine

Dettagli

Esercizi di Analisi 2. Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Federico II, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni

Esercizi di Analisi 2. Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Federico II, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni Esercizi di Analisi 2 Nicola Fusco (Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Università Federico II, Napoli) 1. Successioni e Serie di Funzioni 1.1 Al variare di α IR studiare la convergenza della serie

Dettagli

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m

Esercizio. Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a. [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Sia a R non nullo e siano m, n numeri interi non nulli con m n. Allora a m /a n è uguale a [1] 1/a n m [2] 1/a m n [3] 1/a n m [4] a n m Vale la [1] perché per le proprietà delle potenze risulta a m a

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO Variabili aleatorie Variabili discrete e continue Coppie e vettori di variabili aleatorie Valore atteso Proprietà del valore atteso Varianza Covarianza e varianza della

Dettagli

STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA

STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA Abbiamo visto che una stima puntuale corretta per il valore atteso µ delle variabili aleatorie X i è x n = (x 1 +.. + x n )/n. Una stima puntuale della varianza σ 2 delle

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI. Carlo Ravaglia

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI. Carlo Ravaglia CORSO DI ANALISI MATEMATICA ESERCIZI Carlo Ravaglia 8 febbraio 6 iv Indice 4 Calcolo differenziale 4 Derivate parziali 4 Derivate parziali 4 Massimi e minimi 4 Massimi e minimi di funzioni 43 Derivate

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014

Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014 Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I Prova scritta del 8 Gennaio 214 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile. (1) (Punti 8)

Dettagli

Confronto tra i regimi finanziari

Confronto tra i regimi finanziari Confronto tra i regimi finanziari Consideriamo i tre regimi finanziari Quale è il regime più conveniente? Per misurare la convenienza, paragoniamo i fattori di capitalizzazione: r s (t) = f. cap. interesse

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche 1. Esercizio (1 marzo 211 n.

Dettagli

Trasformate integrali

Trasformate integrali Trasformate integrali Gianni Gilardi Pavia, 12 dicembre 1997 Siano I e J due intervalli di R, limitati o meno, e K : I J C una funzione fissata. Data ora una generica funzione u : I R, consideriamo, per

Dettagli

Valori caratteristici di distribuzioni

Valori caratteristici di distribuzioni Capitolo 3 Valori caratteristici di distribuzioni 3. Valori attesi di variabili e vettori aleatori In molti casi è possibile descrivere adeguatamente una distribuzione di probabilità con pochi valori di

Dettagli

Il problema di Cauchy

Il problema di Cauchy Sia I = [t 0, t 0 + T ] con 0 < T < +. Sia f (t, y) una funzione assegnata definita in I R continua rispetto ad entrambe le variabili. Si trata di determinare una funzione y C 1 (I ) soluzione di { y (t)

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Prof. L. Brandolini Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa N. Franchina Laboratorio 5 Equazioni differenziali ordinarie: metodi espliciti 25 Novembre 215 Esercizi di implementazione Un equazione differenziale

Dettagli

ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI

ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI Consideriamo ora il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti associato alla matrice A M n n, cioè SLO Vale il seguente = A. Teorema. Sia v R n \ } e sia λ C. Condizione

Dettagli

Graficazione qualitativa del luogo delle radici

Graficazione qualitativa del luogo delle radici .. 5.3 1 Graficazione qualitativa del luogo delle radici Esempio. Si faccia riferimento al seguente sistema retroazionato: d(t) G(s) r(t) e(t) K 1(s 1) s(s + 1)(s + 8s + 5) y(t) Per una graficazione qualitativa

Dettagli

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi)

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) QUANTILE Data una variabile casuale X, si definisce Quantile superiore x p : X P (X x p ) = p Quantile inferiore x p : X P (X x p ) = p p p=0.05 x p x p Graficamente,

Dettagli

1 Funzioni razionali: riduzione in fratti semplici e metodo di Hermite

1 Funzioni razionali: riduzione in fratti semplici e metodo di Hermite Funzioni razionali: riduzione in fratti semplici e metodo di Hermite Chiamiamo funzione razionale una funzione f ottenuta come rapporto tra due polinomi P, Q a coefficienti reali: fx = P x Qx il cui dominio

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Equazioni differenziali ordinarie Denis Nardin January 2, 2010 1 Equazioni differenziali In questa sezione considereremo le proprietà delle soluzioni del problema di Cauchy. Da adesso in poi (PC) indicherà

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra A. Di Ciaccio - McGraw Hill s. 9. Soluzione degli esercizi del capitolo 9 In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli si

Dettagli

ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA GESTIONALE PROF. GIACOMELLI ESEMPI DI ESERCIZI D ESAME

ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA GESTIONALE PROF. GIACOMELLI ESEMPI DI ESERCIZI D ESAME ANALISI MATEMATICA INGEGNERIA GESTIONALE PROF. GIACOMELLI ESEMPI DI ESERCIZI D ESAME Contents. Numeri complessi. Funzioni: dominio, estremo superiore e inferiore, massimi e minimi 3. Successioni e serie

Dettagli

Classificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni

Classificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni Classificazione Singolarità isolate, Serie di Laurent, Residui, Teorema dei residui e applicazioni Docente:Alessandra Cutrì Richiamo:Zeri di Funzioni olomorfe (o analitiche) Sia f : A C C A aperto connesso,

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi con soluzione

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi con soluzione EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi con soluzione. Calcolare l integrale generale delle seguenti equazioni differenziali lineari del primo ordine: (a) y 2y = (b) y + y = e x (c) y 2y = x 2 + x (d) 3y + y

Dettagli

Osservazioni sulle funzioni composte

Osservazioni sulle funzioni composte Osservazioni sulle funzioni composte ) 30 dicembre 2009 Scopo di questo articolo è di trattare alcuni problemi legati alla derivabilità delle funzioni composte nel caso di funzioni di R n in R m Non si

Dettagli

la vasca si riempie e, per tali valori di k il tempo necessario affinché la vasca si riempia.

la vasca si riempie e, per tali valori di k il tempo necessario affinché la vasca si riempia. Esercizio In una vasca della capacità di 0 dm 3 e che inizialmente contiene 00 lt. di acqua, una pompa immette k lt. (k > 0) di acqua al minuto. Da un foro sul fondo l acqua esce con portata proporzionale

Dettagli

Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com

Analisi 2 - funzioni di più variabili. Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com Analisi 2 - funzioni di più variabili Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com January 28, 2011 Ciao a tutti, ecco i miei riassunti, ovviamente non posso garantire la correttezza (anzi garantisco la non

Dettagli

Capitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1

Capitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1 Capitolo 6 Sistemi lineari di equazioni differenziali L integrale generale In questo capitolo utilizzeremo la forma canonica di Jordan per studiare alcuni tipi di equazioni differenziali Un sistema lineare

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Distribuzioni di probabilità

Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione

Dettagli

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f

LEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo

Dettagli

Titolo del Laboratorio di Matematica:

Titolo del Laboratorio di Matematica: - Titolo del Laboratorio di Matematica: Dinamica delle popolazioni: mappe uni- e bi-dimensionali lineari e nonlineari. Argomenti previsti: Mappe unidimensionali lineari e non lineari. Studio parametrico

Dettagli

Dipendenza dai dati iniziali

Dipendenza dai dati iniziali Dipendenza dai dati iniziali Dopo aver studiato il problema dell esistenza e unicità delle soluzioni dei problemi di Cauchy, il passo successivo è vedere come le traiettorie di queste ultime dipendono

Dettagli

SOLUZIONI COMPITO del 16/01/2009 ANALISI 1 - MECCANICA + ELETTRICA 9 CFU CALCOLO DIFF. e INT. I+II - MECCANICA 11 CFU TEMA A

SOLUZIONI COMPITO del 16/01/2009 ANALISI 1 - MECCANICA + ELETTRICA 9 CFU CALCOLO DIFF. e INT. I+II - MECCANICA 11 CFU TEMA A SOLUZIONI COMPITO del 6//9 ANALISI - MECCANICA + ELETTRICA 9 CFU CALCOLO DIFF e INT I+II - MECCANICA CFU TEMA A Esercizio Chiaramente la serie proposta è una serie a termini positivi per ogni α R Osserviamo,

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1

Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1 Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1 Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni

Dettagli

Esercitazione # 3. Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti

Esercitazione # 3. Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti Statistica Matematica A Esercitazione # 3 Binomiale: Esercizio # 1 Trovate la probabilita che in 5 lanci di un dado non truccato il 3 si presenti 1. mai 2. almeno una volta 3. quattro volte Esercizio #

Dettagli

Equazioni differenziali del secondo ordine

Equazioni differenziali del secondo ordine Equazioni differenziali del secondo ordine Esercizio Trovare la soluzione generale della seguente equazione differenziale: y 6y + 9y = 0 (1) E un equazione lineare omogenea del secondo ordine con coefficienti

Dettagli

Campo di Variazione Costituisce la misura di

Campo di Variazione Costituisce la misura di Statistica2 22/09/2015 I Parametri di dispersione Campo di Variazione Costituisce la misura di PESO ALLA NASCITA DEI BOVINI matricola PESO SESSO 7 38,00 F 8 38,00 F 1 40,00 F 2 40,00 F 5 40,00 F 10 42,00

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA

CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme ( 1) n A = n + 1 : n IN

Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme ( 1) n A = n + 1 : n IN Prima prova di verifica in itinere di ANALISI MATEMATICA Gennaio 00 Determinare estremo superiore ed estremo inferiore dell insieme { } ( ) n A = n + : n IN specificando se si tratta rispettivamente di

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

Esercizi di Probabilità

Esercizi di Probabilità Esercizi di Probabilità Annalisa Cerquetti - Sandra Fortini Vai all indice Istituto di Metodi Quantitativi, Viale Isonzo, 25, 2033 Milano, Italy. E-mail: annalisa.cerquetti@unibocconi.it,sandra.fortini@unibocconi.it

Dettagli

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006 Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti April 5, 6 ESERCIZI. Studiare la convergenza della serie numerica al variare di γ IR.. Calcolare l integrale π n=

Dettagli

Appunti di Finanza Matematica

Appunti di Finanza Matematica Appunti di Finanza Matematica Ogni segnalazione di errori e imprecisioni è bene accetta e può essere liberamente inviata all indirizzo qui sotto. Francesco Cordoni 1 ottobre

Dettagli

La simulazione con DERIVE Marcello Pedone LE SIMULAZIONI DEL LANCIO DI DADI CON DERIVE

La simulazione con DERIVE Marcello Pedone  LE SIMULAZIONI DEL LANCIO DI DADI CON DERIVE LE SIMULAZIONI DEL LANCIO DI DADI CON DERIVE Premessa Abbiamo già visto la simulazione del lancio di dadi con excel Vedi: http:///statistica/prob_simu/index.htm Ci proponiamo di ottenere risultati analoghi

Dettagli

1) Applicare la nozione classica di probabilità a semplici esperimenti

1) Applicare la nozione classica di probabilità a semplici esperimenti 1) Applicare la nozione classica di probabilità a semplici esperimenti aleatori. 1.A - Trova la probabilità che almeno due fra 11 persone abbiano lo stessa data di compleanno. R.] 0.14 1.B - In uno scaffale

Dettagli

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale

4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale 4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,

Dettagli

QUANTITA DI MOTO Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006

QUANTITA DI MOTO Corso di Fisica per Farmacia, Facoltà di Farmacia, Università G. D Annunzio, Cosimo Del Gratta 2006 QUANTITA DI MOTO DEFINIZIONE(1) m v Si chiama quantità di moto di un punto materiale il prodotto della sua massa per la sua velocità p = m v La quantità di moto è una grandezza vettoriale La dimensione

Dettagli

Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito

Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito Definizione algebrica di integrale: l'integrale indefinito L'integrale indefinito E' possibile definire semplicemente l'integrale dal punto di vista algebrico come operazione inversa della operazione di

Dettagli

Università degli Studi di Salerno - Facoltà di Ingegneria Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006

Università degli Studi di Salerno - Facoltà di Ingegneria Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006 Matematica II - Prova Scritta - 09/06/2006 f(x, y) = (y x)e x2 y 2, 2. Risolvere le seguenti equazioni differenziali: y 2 = 1 1 (2x y) 2, y 2y + y 2y = e x (x 1). 3. Calcolare il seguente integrale curvilineo

Dettagli

PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 1. Distribuzione congiunta Ci sono situazioni in cui un esperimento casuale non si può modellare con una sola variabile casuale,

Dettagli

ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 16 febbraio 2016 - Soluzioni compito 1

ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 16 febbraio 2016 - Soluzioni compito 1 ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 6 febbraio 206 - Soluzioni compito E Calcolare, usando i metodi della variabile complessa, il seguente integrale

Dettagli

x log(x) + 3. f(x) =

x log(x) + 3. f(x) = Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d

Dettagli