Cognome e Nome:... Corso di laurea:...

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1 Statistica - corso base Prof. B. Liseo Prova di esame dell 8 gennaio 201 Cognome e Nome: Corso di laurea: Attenzione: Prima di affrontare la prova si consiglia di leggere attentamente le note che seguono. Indicare cognome e nome, senza cancellature, e titolo del corso di laurea al quale si è iscritti. Consegnare solo questi fogli. Per ogni domanda a risposta multipla sono previste tre possibili risposte di cui una sola è corretta. Per fornire la risposta ad una domanda barrare la casella corrispondente alla risposta prescelta. Nel caso di correzioni, fare in modo che sia chiaro quale sia la risposta finale. Il punteggio assegnato ad ogni quesito è : 1 se si indica la risposta corretta, 0.5 se si indica la risposta errata, 0 se non si fornisce risposta. Se un candidato ritiene che ci sia un errore ed in particolare che nessuna delle tre alternative disponibili risponda al quesito posto, può aggiungere la risposta corretta opportunamente motivata. Nelle altre domande fornire, oltre al risultato richiesto, anche la spiegazione concisa) della procedura adottata. È possibile consultare solamente un foglio A con appunti personali e le tavole delle distribuzioni Non è assolutamente consentita la consultazione di libri e altri appunti. Tempo massimo per lo svolgimento: due ore. Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi di uno implica il non verificarsi dell altro il verificarsi di uno implica il verificarsi dell altro il verificarsi di uno non fornisce informazioni circa il verificarsi o meno dell altro. Per un carattere quantitativo, la media aritmetica di n rilevazioni: rende minima la somma degli scarti è tale che la somma dei quadrati degli scarti è nulla assume un valore che è sempre compreso tra le modalità minima e massima 1

2 Negli ultimi mesi il traghetto che collega quotidianamente l isola Bianca con la terra ferma ha coperto il percorso in un tempo medio di 158 minuti, con uno scarto quadratico medio di 6 minuti. Quanto vale la media dei tempi di percorrenza misurata in ore? 2.63 ore 15.8 ore 980 Con riferimento al quesito precedente, qual è la varianza dei tempi di percorrenza misurata in ore? Una ricerca condotta da una casa editrice per conoscere le preferenze dei giovani lettori, residenti in una certa area geografica, ha fornito i risultati riassunti nella seguente tabella: tipo lettura Età narrativa fantascienza umoristici totale in anni) contemporanea e polizieschi e fumetti totale A tale situazione fanno riferimento i quesiti che seguono. 1. Qual è la percentuale di coloro che hanno fino a 10 anni di età e preferiscono fantascienza e polizieschi? Tra coloro che preferiscono libri di fantascienza o gialli, qual è la frequenza relativa della classe di età 18 26? Qual è la frequenza relativa dei lettori che preferiscono libri di fantascienza e gialli tra quelli di età nella classe 10 16? Qual è l età media di coloro che leggono narrativa contemporanea?

3 agente A B C D n. nuovi clienti Il numero di nuovi clienti che nell ultimo mese hanno stipulato una polizza con ciascuno dei quattro agenti assicurativi A, B, C e D è indicato nella seguente tabella: Quanto vale l indice di concentrazione di Gini? Indichiamo con X il carattere numero di nuovi clienti, rilevato sui singoli agenti. Dal momento che l indice di concetrazione di Gini vale R = 1 2 n 1 n 1 agente x i i j=1 x j p i q i A /= /88=0.18 D /= /88=0.3 C /= /88=0.70 B /= /88=1.00 i=1 q i = ) = vale 2 punti) Disegnare la curva di Lorenz riferita alla situazione del quesito precedente. q_i p_i 5 punti)il 25% delle famiglie italiane possiede 2 o più automobili. Si scelgono a caso 12 famiglie. A. Qual è la probabilità che nessuna delle famiglie scelte possegga due o più veicoli? Le risposte fanno riferiment ad una variabile aleatoria X Bin12, 1/). Pr X = 0) = ) 3 12 =

4 B. Qual è la probabilità che almeno una delle famiglie scelte possegga due o più veicoli? 1 Pr X = 0) = ) 3 12 = = C. Quanto valgono media e varianza del numero di famiglie che possiedono 2 o più veicoli? IE X) = 3; Var X) = = 2.25 D. Qual è la probabilità che il valore osservato nel campione sia superiore alla media Pr X > 3) = 1 Pr X 3) = [6 punti] Il responsabile del servizio trasporti di un certo comune ha pianificato una nuova linea di autobus per il collegamento tra il centro cittadino ed il capoluogo della regione. Egli ritiene che il tempo medio µ necessario per coprire il percorso completo di andata e ritorno, dalla partenza al ritorno allo stesso capolinea, sia pari a µ 0 = 160 minuti. I suoi collaboratori, però, hanno opinioni differenti. Prima dell inaugurazione della linea, decide quindi di effettuare un campione di 16 corse di prova, per stabilire se la sua ipotesi possa essere accettata o se invece non abbiano ragione i suoi collaboratori. a) Formulare il problema come problema di verifica delle ipotesi statistiche. H 0 : µ = µ 0 = 160 vs.h a : µ 160 b) Sulla base delle esperienze passate, possiamo assumere che la variabile casuale X Tempo necessario per coprire il percorso abbia distribuzione normale con varianza 6 minuti 2. I dati osservati forniscono una media campionaria pari a 165 minuti. Ricavare un intervallo di confidenza per µ al livello α = X Nµ, 8) x z ; x + z ) = ; ) ; ) c) Per quanto riguarda il problema del punto a), cosa possiamo concludere al livello di significatività α = 0.01? Il valore 160 è nell intervallo sopra calcolato e dunque non possiamo rifiutare H 0. d) facoltativo) [extra 3 punti]alla luce di quanto ottenuto al punto precedente, se l autista Tizio inizia il percorso tre ore prima della fine del suo turno, qual è la probabilità che riesca a completare il percorso nel suo orario di lavoro? Usando il valore µ = 160 si può calcolare Pr X 180) = Pr Z ) = Pr Z < 2.5) =.993

5 a) Si richiede di sottoporre a verifica le ipotesi H 0 : µ = 160, minuti vs.h 1 : µ 160 minuti. b) Un intervallo di confidenza per µ al livello di confidenza α = 0.01 si ottiene dalla formula σ σ x z α/2 n, x + z α/2 n ) = = ) 8, = 159.8, ) c) Dal momento che 160 il valore di µ sotto l ipotesi nulla) è contenuto nell intervallo di confidenza individuato al punto precedente, non rifiutiamo H 0. d) La probabilità che Tizio riesca a completare il percorso nel suo orario di lavoro è pari alla probabilità che la variabile casuale T = tempo necessario per coprire il percorso assuma un valore minore di 180 minuti. Tenendo conto anche del risultato ottenuto al punto c), sappiamo che T N160, 6), allora in cui Z N0, 1). P T 180) = P punti) Determinare il numero z tale che Z ) = P Z 2.5) = a. la proporzione delle osservazioni inferiori a z in una distribuzione Normale standard sia 0.8; b. la proporzione delle osservazioni inferiori a z in in una distribuzione Normale di media 10 e varianza 1 sia 0.8; c. la proporzione delle osservazioni inferiori a z in un una distribuzione Normale con media µ = 2 e deviazione standard σ = 0.5 sia 0.5; d. la proporzione delle osservazioni inferiori a z in un una distribuzione Normale con media µ = 2 e deviazione standard σ = 0.5 sia 0.1. Soluzione. a b Si sposta semplicemente la distribuzione di un fattore pari a 10 verso destra). 5

6 c. Il valore z tale per cui la proporzione di osservazioni inferiori a z è 0.5 è, per definizione, la mediana della distribuzione; poiché nella distribuzione normale media e mediana coincidono simmetria), tale valore è proprio pari a 2. d punti) Su n = 10 addetti ad un particolare servizio pubblico, si rilevano le variabili X= numero di giorni di assenza per sciopero nell ultimo trimestre e Y =percentuale di salario giornaliero detratto. I dati sono i seguenti > x > y Si vuole studiare la eventuale relazione lineare tra la X e la Y secondo il consueto modello di regressione lineare Y i = β 0 + β 1 X i + ε i, i = 1,, n con le ε i i.i.d. N0, σ 2 ). I seguenti quesiti si riferiscono a tale contesto 1. Rappresentare graficamente i dati in modo adeguato 2. Fornire le cinque statistiche sufficienti per effettuare l analisi di regressione, ovvero le due medie, le due varianze e la covarianza calcolate sul campione. media di x: 9.6 media di y: 5.95 covx,y): divisa per n) oppure se divisa per n-1 varx): 30.0 divisa per n) oppure se divisa per n-1 vary): divisa per n) oppure se divisa per n-1 3. Determinare le stime dei minimi quadrati dei parametri β 0 e β 1 ˆβ 0 = ˆβ1 = Determinare una stima per il coefficiente di correlazione r xy = Cov x, y) Var x) Var y) = Da qui in poi ci sono due soluzioni, quella che avreste dovuto scrivere voi, con i dati che vi ho dato, e quella VERA in grassetto): la differenza dipende dal fatto che il vero valore di n i=1 y i ŷ i ) 2 era e non quello scritto sotto 6

7 5. Sapendo che n y i ŷ i ) 2 = , i=1 determinare una stima non distorta per σ n n 2 s2 y1 r 2 xy) = Determinare un intervallo di confidenza a livello del 95% per il coefficiente angolare β 1. ˆβ 1 ± t 0.975,8 e.s. ˆβ 1 ) = ± ) = 2.26; 3.31). ˆβ 1 ± t 0.975,8 e.s. ˆβ 1 ) = ± ) = 0.263; 0.79). 7. Costruire un intervallo di confidenza per il livello medio previsto di detrazioni per un addetto che abbia accumulato 25 giorni di assenza per sciopero. ˆβ 0 + ˆβ 1 25 ± t 8, h = 31.6; 59.8) ˆβ 0 + ˆβ 1 25 ± t 8,0.975 s h = 9.7; 18.8) dove s = e h = 1 n x 25)2 + xi x) 2 7