Lezione 1 Vettori e cinematica

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1 Lezione 1 Vettori e cinematica 1.1 Vettori Componenti dati modulo e direzione: A x = A cos θ A y = A sin θ Modulo e direzione date le componenti: A = Ax + A y θ = arctan A y A x Serway, Cap 1 I.41 1 Una particella è sottoposta a due sopstamenti. Il primo ha un modulo di 150 cm e forma un anolo di 10 con le x positive. Lo spostamento risultante ha un modulo di 140 cm e forma un anolo di 35 con le x positive. poiché v 1 = 150 cm e θ 1 = 10 si ha: v 1,x = 150 cos 10 = 75cm v 1,y = 150 sin 10 = 19.9cm e per la risultante v 3, essendo v 3 = 140 cm e θ 3 = 35 si ha: v 1,x = 140 cos 35 = 114.7cm v 1,y = 140 sin 35 = 80.3cm 1 I numeri dei problemi e i capitoli si riferiscono alla seconda edizione del Serway. Per esempio I.41 è il problema 41 del primo capitolo. 1

2 Dalla relazione v 1 + v = v 3 si ricava: quindi: v 1,x + v,x = v 3,x v 1,y + v,y = v 3,y v 3x = v 3x v 1x = = 181.7cm v 3y = v 3y v 1y = = 49.6cm infine, modulo e direzione di v si trovano con: v = vx + v y = 195.9cm e θ 3 = arctan v y v x = Cinematica in una dimensione Velocità costante: a = 0 v = v 0 s = vt Accelerazione costante: a = a 0 v = v 0 + at s = v 0 t + at Serway, Cap II.0 Un pilota parte da fermo e accelera uniformemente a 10m/s per una distanza di 400m. Determinare il tempo impieato e la velocità dell auto alla fine. Poiché si parte da fermi e si proseue con accelerazione costante s = at (infatti v i = 0); il tempo impieato a percorrere s è quindi: s t = a = 800m 10m/s = 80s = 8.94s La velocità finale è data da: v f = at = 10m/s 8.94s = 89.4m/s = 31.84km/h

3 II. Una locomotiva rallenta da 6.0 m/s a zero in 18.0 s. Quale distanza ha percorso? Poiché alla fine ci fermiamo (v f = 0) si ha (v f = v i = at) v i = at. Quindi l accellerazione è a = v i = 6m/s.6m/s t 10s (Neativa, perché stiamo rallentando!). Lo spazio percorso è: s = v i t + at = (18.0) = 46.8s 1.3 Cinematica in due dimensioni III.8 Una particella posta nell oriine ha accellerazione a = (3.0m/s ) j e velocità iniziale v 0 = (5.0m/s) i Trovare il vettore posizione ad un enerico istante t e quello particolare per t = sec. Scomponendo velocità e accelerazione luno le componenti cartesiane ci si convince che nella direzione x (ossia i) il moto è rettilineo uniforme ( infatti, a x = 0) con velocità iniziale 5.0m/s, mentre nella direzione y (ossia j) il moto è uniformemente accelerato (a y = 3.0m/s ) con velocità iniziale nulla. quindi le componenti dello spostamento sono: s x = t5.0m/s Serway, Cap 3 s y = t (3.0m/s ) quindi, tornando alla notazione del problema: s(t) = t5.0m/s i + t (3.0m/s ) j in particolare, per t = sec si ha: s(t) = 10.0m i + 6.0m j le componenti sono dunque: s x = 10.0m il modulo dello spostamento s y = 6.0m s = m = 11.66m e la direzione: θ = arctan =

4 III.10 Uno studente vuole misurare la velocità iniziale dei pallini sparati da un fucile. Spara puntando il fucile in direzione orizzontale verso un bersalio posto su di un muro verticale a distanza x. I pallini colpiscono il bersalio ad una distanza verticale y più in basso rispetto alla posizione del fucile. (a) Dimostra che la traiettoria di un pallino è y = Ax dove A è una costante. (b) Esprimi la costante in termini della velocità iniziale e dell accelerazione di ravità. Se x = 3.0m e y = 0.10m qual è la velocità iniziale dei pallini? Poiché la velocità iniziale è orizzontale, si ha: v 0x = v 0 v 0y = 0 le accelerazioni sono date scomponendo la accelerazione di ravità: a x = 0 a y = dunque il moto luno x è unforme, quello luno y è uniformemente accelerato: x(t) = v 0x t = v 0 t y(t) = v 0y t + a y t = t Ricaviamo una relazione che da il tempo in funzione della x percorsa: e sostituendola nella y si ha: t = x v 0 y(x) = v0 x = Ax il moto è quindi parabolico, e la costante A è data da: A = v 0 Se x e y sono date, possiamo determinare A dalla relazione e da questa v 0 invertendo: che per x = 3.0m e y = 0.1m da: A = y x = v 0 x v 0 = y v 0 = 9.8m/s 9m 0.4m = 14.49m/s 4

5 III.14 Una arnata viene sparata ad una velocità iniziale 300 m/s con un anolo di 55.0 sull orizzontale. Espolode contro una montana dopo 4.0 sec. Trova le coordinate del punto in cui esplode, relativamente al punto in cui è stata sparata. Le accelerazioni sono date scomponendo la accelerazione di ravità: a x = 0 a y = Il moto dunque uniforme luno x e luno y è uniformemente accelerato; x(t) = v 0x t y(t) = v 0y t t le componenti iniziali della velocità sono date dalla scomposizione di v 0 ; Le coppie di punti (x(t), y(t)) descrivono le successive posizioni del corpo, a t diversi (sono chiamate la taiettoria). poichè v 0 = 300m/s e θ = 55 si ha: v 1,x = 300 cos 55 = 171m/s quindi la traiettoria è: v 1,y = 300 sin 55 = 45.7m/s x(t) = (171m/s)t y(t) = (45.7m/s)t + 9.8m/s che per t = 4s da il punto: t x(t) = (171m/s)(4s) = 7.18km y(t) = 1.67km III.48 Gittata e altezza Una raazza lancia una palla con ittata massima di 40.0 m su un campo pianeiante. A quale altezza essa lancerà la stessa palla verticalmente verso l alto? Assumere che le velocità iniziali siano uuali. (I muscoli imprimono la stessa velocità nei due casi.) Serway, Par 3.3 Teoria: Data la velocità iniziale v 0 e θ si determini la ittata R e l altezza h raiunta dal corpo. Le equazioni del moto del corpo sono x(t) = v 0x t 5

6 y(t) = v 0y t t La ittata è data dal punto ove il corpo ritorna a terra (cioè ad altezza zero) ossia y = 0: Risolvendo 0 = v 0y t t si hanno le due soluzioni per t: t = 0 (che è chiaramente l istante della partenza del corpo, quando è a y = 0) e t = v 0y = t Arrivo (ossia l istante di arrivo del corpo a terra, ove y = 0) La ittata è data dalla distanza orizzontale totale percorsa, quindi dalla x al tempo di arrivo: R = x(t Arrivo ) = v 0x t Arrivo = v 0yv 0x Per esprimere R in funzione del modulo e dell anolo basta usare le relazioni: v 0,x = v 0 cos θ v 0,y = v 0 sin θ e la relazione trionometrica sin θ cos θ = sin(θ) e ottenere: R = v 0 sin θ cos θ = v 0 sin(θ) il seno è massimo (e vale 1) per θ = 90, ossia θ = 45. massima si ottiene partendo a 45 e vale: quindi la ittata R max = v 0 L altezza massima viene raiunta a metà volo, ossia al tempo: quando la y vale: t Picco = 1 t Arrivo = v 0y h = y(t Picco ) = v 0y v 0y = v 0y Tornando alla raazza del prob. 48, poichè la ittata è massima (quindi ha lanciato a 45 ) si ha: 40m = R Max = v 0 9.8m/s quindi: v 0 = 9.8m/s 40m = 19.7m/s 6

7 se avesse lanciato verso l alto (θ = 90 c irc) con lo stesso modulo della velocità, allora le componenti della velocità iniziale sarebbero state: v x0 = v 0 cos 90 = 0 e quindi: v y0 = v 0 sin 90 = v 0 h = (19.7m/s) 9.8m/s = 0m 1.4 Cinematica rotazionale Velocità anolare: ω = (lim t 0 ) θ t Velocità tanenziale: v = ( ) s t = ωr Moto circolare uniforme: ω = ω 0 costante Accelerazione centripeta: a = ω r = v r Serway, Cap. 3 anche: Serway, Par III.6 Un pneumatico di raio 0.5 m ruota con una velocità anolare costante di 00 iri al minuto. Trovare la velocità e l accelerazione di un sassolino posto nel battistrada. Poiché un iro ha un anolo di 360 = π, 00 iri hanno un anolo di π 00, quindi la velocità anolare è: ne seue: ω = 400π 60sec = 0.94Hz v = m/sec = 10.47m/sec III.7 a = v r = m/sec Il iovane Davide, che uccise Golia, provò varie fionde, prima di affrontare il iante. Trovò che con una fionda luna 0.6 m poteva mettere in rotazione il sasso ad una frequenza di 8.00 iri/sec. Con una seconda fionda luna 0.9 m la frequenza era solo di 6.00 iri/sec. Determina (a) quale fionda produce la maiore velocità lineare. (b) l accelerazione per entrambe le fionde. La relazione tra velocità anolare e velocità tanenziale è: v = ωr La velocità anolare della prima fionda è: ω 1 = 8.0 π rad s = 50.5rad s 7

8 cosicchè, essendo R 1 = 0.6m si ha v 1 = ω 1 R 1 = 30.1m/s per la seconda: ω = 6.0 π rad s cosicchè, essendo R = 0.9m si ha = 37rad s v = ω R = 33.9m/s Dunque la seconda fionda produce la maior velocità. L accelerazione è data da: a = v /R quindi: a 1 = v 1/R 1 = 1.51km/s a = v /R = 1.7km/s 8