Il numero. Indice. esercizi. mi autovaluto 12. mi autovaluto 24. mi autovaluto 38. L insieme Q + 5. Una nuova operazione 13

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1 Indice Il numero Per orientarti 2 unità di apprendimento 1 L insieme Q + 5 Frazioni e numeri decimali 6 I numeri decimali limitati, p. 6; I numeri decimali illimitati, p. 7 Frazioni generatrici Operazioni con i numeri periodici 11 mi autovaluto 12 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 2 Una nuova operazione 13 La radice quadrata 14 Radice quadrata esatta e approssimata 15 Proprietà delle radici quadrate, p. 17 L estrazione di radice quadrata 18 Usiamo le tavole numeriche 22 mi autovaluto 24 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 3 Problemi e tecniche risolutive 25 Per risolvere un problema 26 Il metodo grafico 27 I diagrammi di flusso 32 Tipi di diagrammi di flusso, p. 34 mi autovaluto 38 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 4 I numeri interi relativi 3 Dall insieme N all insieme Q 40 I numeri con il segno, p. 41 esercizi esercizi esercizi esercizi

2 Indice VII L insieme Z 42 Generalità sui numeri interi, p. 43; Confronto di numeri interi, p. 44 Le quattro operazioni in Z 45 L addizione, p. 45; La sottrazione, p. 47; La somma algebrica, p. 48; La moltiplicazione, p. 4; La divisione, p. 51; Le espressioni con i numeri interi, p. 53 mi autovaluto 54 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero unità di apprendimento 5 Rapporti e proporzioni 55 Quantità in... rapporto 56 Grandezze in... rapporto 57 Rapporto fra grandezze omogenee, p. 57; Rapporto fra grandezze non omogenee, p. 5 Riduzioni e ingrandimenti in scala 60 Percentuali 62 Due rapporti uguali 64 Proprietà delle proporzioni 65 La proprietà fondamentale, p. 65; Proprietà dell invertire, p. 67; Proprietà del permutare, p. 67; Proprietà del comporre, p. 68; Proprietà dello scomporre, p. 6 Risoluzione di una proporzione 71 Calcolo di un estremo o di un medio, p. 71; Risoluzione di una proporzione continua, p. 73; Risoluzione di particolari proporzioni, p. 73; Catena di rapporti, p. 75 mi autovaluto 76 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero esercizi RCS LIBRI EDUCATION SPA unità di apprendimento 6 La proporzionalità 77 Costanti, variabili e funzioni 78 Funzioni matematiche ed empiriche, p. 7 Rappresentazione cartesiana di funzioni 80 Grandezze proporzionali 81 Grandezze direttamente proporzionali, p. 81; Grandezze inversamente proporzionali, p. 82 Funzioni di proporzionalità 84 mi autovaluto 88 Esercizi per verificare gli obiettivi esercizi

3 VIII Indice unità di apprendimento 7 Problemi e proporzioni 8 Percentuali e proporzioni 0 Rappresentazione grafica della percentuale, p. 1 Problemi del tre semplice 3 Problemi del tre semplice diretto, p. 3; Problemi del tre semplice inverso, p. 4 Problemi di ripartizione semplice 6 Problemi di ripartizione semplice diretta, p. 6; Problemi di ripartizione semplice inversa, p. 8; Problemi di economia (di società), p. mi autovaluto 102 Esercizi per verificare gli obiettivi Esercizi di recupero esercizi Dati e previsioni Per orientarti 104 unità di apprendimento 8 Elaborazioni statistiche 105 Dati e frequenze 106 Elaborazione dati qualitativi 107 Elaborazione dati quantitativi 10 Moda, mediana e media, p. 110 Un indagine statistica 112 mi autovaluto 116 Esercizi per verificare gli obiettivi esercizi unità di apprendimento Il calcolo della probabilità 117 Eventi casuali e probabilità 118 Quanto probabile?, p. 11; Considerazioni sulla probabilità, p. 120 La legge empirica del caso 121 Eventi incompatibili, compatibili e complementari 122 mi autovaluto 124 Esercizi per verificare gli obiettivi esercizi

4 Indice IX Aspetti storici della matematica I numeri negativi... numeri finti 126 Numero, chi sei? 127 Dal baratto... all attività commerciale 128 Gli antichi calendari 12 Il laboratorio matematico Il regolo calcolatore 132 Tutte le possibilità 134 Un po di... fisica 136 Nel mondo finanziario 13 Statistiche... italiane 141 Giochiamo con la matematica Cruciverba numerici 146 Bandiere e bastoncini 147 Apparati Mi autovaluto: soluzioni 332 Glossario 334 Tavole numeriche 337

5 Il numero unità di apprendimento 1 L insieme Q + 2 Una nuova operazione 3 Problemi e tecniche risolutive 4 I numeri interi relativi 5 Rapporti e proporzioni 6 La proporzionalità 7 Problemi e proporzioni

6 2 Il numero Per orientarti L insieme Q + Frazioni e numeri decimali Frazioni generatrici Operazioni con i numeri periodici Rapporti e proporzioni Quantità e grandezze in... rapporto Riduzioni e ingrandimenti Proprietà e risoluzione delle proporzioni La proporzionalità Problemi e tecniche risolutive Funzioni e loro rappresentazione Grandezze proporzionali Funzioni di proporzionalità Il metodo grafico I diagrammi di flusso

7 3 Una nuova operazione I numeri interi relativi La radice quadrata esatta e approssimata L estrazione di radice quadrata Problemi e proporzioni L insieme Z Le quattro operazioni in Z RCS LIBRI EDUCATION SPA Percentuali e proporzioni Problemi del tre semplice Problemi di ripartizione semplice

8 unità di apprendimento 1 L insieme Q + Frazioni e numeri decimali Frazioni generatrici Operazioni con i numeri periodici Che cosa saprò e che cosa saprò fare dopo aver studiato questi argomenti? Amplierai le tue conoscenze sull insieme Q. Per affrontare lo studio di questi argomenti ricorda che devi sapere: il concetto di frazione come numero razionale; i procedimenti di calcolo in N e Q +. Con lo studio di questa unità di apprendimento imparerai: i diversi numeri decimali che formano l insieme Q + ; il concetto di frazione generatrice; e alla fine saprai: riconoscere un numero decimale limitato e illimitato; riconoscere un numero periodico semplice e periodico misto; trasformare una frazione in questi numeri e viceversa; operare con questi numeri.

9 6 Il numero Frazioni e numeri decimali Il concetto di frazione quale numero razionale ci ha portati a considerare i numeri decimali come una differente scrittura di uno stesso numero razionale, la frazione decimale: 1 10 Riconsideriamo adesso alcuni numeri razionali e scriviamoli sotto forma di numeri decimali eseguendo la divisione fra numeratore e denominatore: = 01, = 03, = 001, = 007, = 0, 001 = 0, = 4: 2 = 2 = 60 : 12 = = 3 : 8 = 0, 375 = : 10 = 0, = 7 : 100 = 0, 07 = 3 : 22 = 0, = 7 : 15 = 0, = 3 : 11 = 0, Osserviamo i quozienti ottenuti: 2 e 5 sono numeri naturali e ciò è ovvio essendo le 4 60 frazioni di partenza e apparenti; ,375 sono numeri ottenuti con una divisione esatta (re- 0, sto zero); come sai, questi sono numeri decimali, 0,07 detti esattamente numeri decimali limitati; 0, sono numeri ottenuti con una divisione che non 0, darà mai resto zero: sono detti numeri decima- 0, li illimitati RCS LIBRI EDUCATION SPA I numeri decimali limitati Osserviamo alcune frazioni e i numeri decimali limitati a cui danno origine: = 41 : 10 = 4, 1 37 = 37 : 100 = 0, = 7: 20 = 0, = 35 : 8 = 4, Sono i numeri decimali che già conosci; essi si ottengono dalle frazioni decimali e dalle frazioni ordinarie, cioè quelle con denominatore diverso da 10 o da una sua potenza.

10 1 L insieme Q + Esercizi da pag. 150 a pag Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni ordinarie e : = = 2 3 Notiamo che questi denominatori contengono come fattori primi solo ed esclusivamente il 2, il 5 o entrambi. Possiamo quindi dire che: Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale limitato. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato solo se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene esclusivamente i fattori 2 o 5 o entrambi. I numeri decimali illimitati Consideriamo alcune frazioni e i numeri decimali illimitati a cui danno origine: 7 8 = 7 : = 0, = 8 : 15 = 0, = 11 : 3 = 3, = 113 : 66 = 1, = 4 : 11 = 0, = 12 : 45 = 0, = 7 : 33 = 2, = 7 : 12 = 0, Chi è l ultimo? Esaminiamo il gruppo a sinistra: sono numeri decimali illimitati nei quali una cifra o un gruppo di cifre si ripete all infinito subito dopo la virgola. Questi numeri si dicono numeri decimali illimitati periodici semplici; la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo e si indica nel seguente modo: 0,7 3,6 0,36 2,3 Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni da cui abbiamo ottenuto questi numeri: = = 3 11 Notiamo che questi denominatori non contengono affatto i fattori primi 2 o 5. Possiamo dire che: Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se, in esso, subito dopo la virgola, inizia il periodo, cioè una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all infinito. Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene affatto i fattori 2 e 5. parte intera 62,47 periodo

11 8 Il numero Esaminiamo ora il gruppo a destra: sono numeri decimali illimitati nei quali però il periodo non inizia subito dopo la virgola ma, tra la virgola e il periodo, c è una cifra o un gruppo di cifre. Questi numeri si dicono numeri decimali illimitati periodici misti e la cifra o il gruppo di cifre che si trova tra la virgola e il periodo si chiama antiperiodo; essi si scrivono nel seguente modo: 0,53 0,712 0,26 0,583 Scomponiamo in fattori primi i denominatori delle frazioni da cui abbiamo ottenuto questi numeri: 15 = = = = Notiamo che questi denominatori contengono i fattori primi 2 e 5, ma anche altri fattori primi. Possiamo quindi dire che: Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se, in esso, fra la virgola e il periodo, esiste una cifra o un gruppo di cifre, detto antiperiodo, che non si ripete. Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene sempre altri fattori oltre a 2, a 5 o a entrambi. parte intera 72,351 antiperiodo periodo E sempio Per ogni frazione data stabilire, e poi trovare, il numero decimale a cui dà origine. 78 a) frazione decimale Æ numero decimale limitato 78 : 10 = 7, b) frazione ordinaria, 20 = 2 2 5Ænumero decimale limitato 57: 20 = 2, c) frazione ordinaria, = 3 2 Æ numero decimale illimitato periodico semplice 23 : = 2, = 2,5 27 d) frazione apparente Æ numero naturale 27 : 3 = 3 e) 5 frazione ordinaria, 30 = Æ numero decimale illimitato 30 periodico misto 5 : 30 = 1, = 1,6

12 1 L insieme Q + Esercizi da pag. 150 a pag. 165 Frazioni generatrici Data una frazione è quindi possibile capire e ottenere il numero decimale corrispondente ed è possibile anche il discorso inverso. Cioè, dato un numero decimale è possibile trovare la frazione da cui ha avuto origine. Ecco le regole che ti consentono di effettuare il passaggio dal numero alla frazione, che si chiama frazione generatrice del numero. Dalla frazione al numero e viceversa!!! Frazione generatrice di un numero decimale limitato La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per numeratore il numero naturale che si ottiene togliendo la virgola e per denominatore 10, 100, a seconda che le cifre decimali siano 1, 2, 3,... Per esempio: Frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero dato senza la virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo. Per esempio: 7, 18 = , 714 = , 4 = = = 7 11 = , 88 = ,4 = 0,176 = = 121 RCS LIBRI EDUCATION SPA Frazione generatrice di un numero decimale periodico misto La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore la differenza fra tutto il numero dato senza la virgola e tutta la parte che precede il periodo, senza la virgola, e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo.

13 10 Il numero Per esempio: ,24 = 0 = = Siamo uguali! ,583 = = = = ,71 = = = Non ci posso credere! Attenzione a queste eccezioni: Un numero decimale illimitato periodico semplice con periodo è un numero naturale: , = = 1 2, = = = 3 Un numero decimale illimitato periodico misto con periodo è un numero decimale limitato: , = = = 13, 0 0 Per un primo controllo 1. Accanto a ogni numero scrivi se è limitato, periodico semplice o periodico misto : 7,6...; 5,31...; 0,4...; 0,06...; 0,1...; 5, Quale numero si origina dalle seguenti frazioni? Scrivilo senza fare la divisione: ;...;...; Scrivi la frazione generatrice dei seguenti numeri: 0,62...; 6,3...; 5,25...; 0,

14 Operazioni con i numeri periodici 1 L insieme Q + Esercizi da pag. 150 a pag Per eseguire tutte le operazioni che conosci e quindi risolvere le espressioni con i numeri decimali periodici devi trasformare i numeri nelle loro frazioni generatrici, eseguire i calcoli secondo le regole sulle frazioni e poi trasformare il risultato in numero decimale. E sempi , + 027, + 024, = + + = = = 17 : = 1, ( 036, 0106, + 083, ): 036, Ê ˆ 364 Ê ˆ 4 + : = Á Ë Á : 11 Ë Ê ˆ 11 = Á = Ë 66 4 = = = (, , 046, ):( 35, 183, ) Ê 13 1 Á + Ë = = = 0, ˆ Ê ˆ : Á 0 = Ë Ê ˆ Ê ˆ = Á + : Ë 10 0 Á 2 0 = Ë 6 Ê ˆ Ê 21 11ˆ = Á : Á = Ë 0 Ë 6 Uh?

15 12 mi autovaluto Mettiti alla prova eseguendo quanto richiesto. Verifica i risultati alla fine del volume e segna 1 punto per ogni risposta esatta. Completa poi la tua autovalutazione. 1. Scrivi accanto a ogni numero se è decimale limitato, periodico semplice o periodico misto. a) 45,73... b) 3,8... c) 0, Segna il completamento esatto. Una frazione il cui denominatore contiene i fattori primi 2, 5 e anche altri si trasforma in un numero: a) decimale limitato; b) periodico semplice; c) periodico misto. 3. Segna il completamento esatto. Una frazione il cui denominatore non contiene affatto i fattori primi 2, 5 si trasforma in un numero: a) decimale limitato; b) periodico semplice; c) periodico misto. 4. Segna il completamento esatto. Una frazione il cui denominatore contiene solo i fattori primi 2, 5 si trasforma in un numero: a) decimale limitato; b) periodico semplice; c) periodico misto. 5. Scrivi il tipo di numero che si origina dalle seguenti frazioni senza effettuare la divisione. a) b) c) Scrivi la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali. a) 4,24 =... =... b) 0,08 _ =... =... c) 4,04 =... =... Esegui le seguenti operazioni. 7. 1,2 _ + 0,7 _ ; 0,16 _ + 0,2 _. 8. 0,38 _ 0,2 _ ; 3,5 _ 2,05 _.. 0,8 _ 2,7 _ ; 0,53 _ 1,6 _ ,5 _ : 2,5 _ ; 0,63 : 0,06. Calcola il valore delle seguenti espressioni ,2 _ + 1,3 _ 2 1,4 _ 12. [1,16 _ (1,2 _ + 0,83 _ 1,5) : 1,38 _ ] : 0,51 _ RCS LIBRI EDUCATION SPA Su 22 risposte, ne ho indovinate... Secondo me è stato un risultato*... Su questa unità di apprendimento penso quindi di ** Mi piacerebbe sapere che cosa ne pensa il mio insegnante * Ottimo; buono; discreto; sufficiente; appena sufficiente; insufficiente. ** Aver capito bene tutto; avere ancora qualche dubbio; avere molte incertezze.

16 Aspetti storici della matematica I numeri negativi... numeri finti Numero, chi sei? Dal baratto... all attività commerciale Gli antichi calendari

17 126 Aspetti storici della matematica I numeri negativi... numeri finti Per i nostri antenati era difficile accettare il concetto che i numeri negativi fossero il risultato di un operazione quantitativamente impossibile, quale quella di togliere da una quantità un altra più grande. L introduzione dei numeri negativi nell ambito degli studi matematici non è stata infatti una cosa facile, anche perché gli stessi matematici ne erano proprio... diffidenti. Il primo a parlare di numeri sottrattivi, i nostri numeri negativi, fu Diofanto nel III secolo d.c. Questi numeri, però, vennero usati solo per indicare... debiti finanziari, ma nessun matematico di allora ne fece mai cenno. Il matematico e astronomo indiano Brahmagupta formulò alcune regole per operare sui numeri negativi. Bisogna arrivare all inizio del VII secolo per sentir parlare nuovamente di numeri negativi. In particolare ne parlano Brahmagupta (600 d.c.), matematico indiano, che nelle sue opere accenna anche alle regole per operare su di essi come numeri veri e propri, e Al-Khuwarizmi (IX secolo d.c.), matematico arabo. Durante il Rinascimento, gli studi matematici progrediscono notevolmente, ma i numeri negativi... continuano a essere snobbati. RCS LIBRI EDUCATION SPA Ne parlano diffusamente il matematico italiano Gerolamo Cardano, che nei suoi scritti definisce però i numeri positivi come numeri veri e i numeri negativi come numeri finti, e il matematico tedesco Michael Stiefel che li definisce numeri assurdi. Solo più tardi, nel Seicento, i matematici li introducono nei loro studi con trattazioni complete e alla pari dei numeri naturali e razionali. Con Cartesio, infine, i numeri negativi assumono pari dignità rispetto ai numeri positivi e diventano addirittura indispensabili nella rappresentazione dei punti nel piano. Gerolamo Cardano.

18 Aspetti storici della matematica 127 Numero, chi sei? Abbiamo scoperto, nel corso dei nostri studi, tanti numeri: naturali, razionali, relativi, ma... che cos è il numero? Sicuramente sappiamo rispondere a questa domanda, ma il diretto interessato, il numero, come ci risponderebbe? Leggi come sua maestà il numero ha risposto alla domanda: Numero, chi sei? Chi sono? Dipende dai punti di vista. I grammatici dicono di me che sono un sostantivo maschile. I matematici mi definiscono come ciascuno degli enti costitutivi di una successione ordinata. I matematici che parlano in maniera più semplice dicono invece: ciascuno degli enti che costituiscono la serie ordinata dei numeri interi, atto a fornire un contrassegno oppure una valutazione precisa di ordine quantitativo. Un momento, noi numeri non siamo tutti uguali, e gli aritmetici ben lo sanno: alcuni di noi fanno parte della tribù dei pari, cioè numeri interi divisibili per due, altri di quella dei dispari, ovvero non divisibili per due. Poi ci sono le famiglie dei cardinali, ordinali, decimali, frazionari, razionali, irrazionali, reali, primi, composti, e chi più ne ha più ne metta... Come contrassegno svolgiamo un ruolo utilissimo nella vita quotidiana degli uomini: per prenotare un posto a teatro, per telefonare ad un amico o spedirgli una cartolina, per immatricolare una targa o un documento, per scegliere un vestito o un paio di scarpe, per richiedere un arretrato di un quotidiano e per valutare il prezzo di qualsiasi bene... Poi ci sono alcuni di noi per i quali gli uomini hanno un vero e proprio debole. Ci giocano al lotto e alla roulette, ai dadi e alle scommesse, oppure si affidano a noi per orientare le scelte politiche e decretare o meno il successo dei loro programmi televisivi. Altri fra noi vengono adottati come portafortuna: i più gettonati sono il 7, il 13 e il 0. Ma c è anche qualche numero che non gode di questo trattamento, come il povero 17, bistrattato ed evitato come la peste.

19 Il laboratorio matematico Il regolo calcolatore Tutte le possibilità Un po di... fisica Nel mondo finanziario Statistiche... italiane

20 132 Il laboratorio matematico Il regolo calcolatore Conosci il regolo calcolatore? Per diversi anni è stato l unico strumento di calcolo usato da geometri, architetti, ingegneri, matematici ecc. Solo di recente è caduto in disuso in seguito alla diffusione delle calcolatrici e dei personal computer. Il suo funzionamento si basa sui monogrammi, tecniche grafiche per eseguire i calcoli. I più semplici monogrammi sono quelli che permettono di eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri naturali e i numeri interi relativi. Esaminiamoli. Disegniamo un monogramma per l addizione e la sottrazione: traccia tre rette parallele equidistanti tra loro; segna sulla prima, a intervalli regolari, dei punti numerandoli da 10 a +10; fai la stessa operazione sulla terza retta; sulla seconda retta riporta la suddivisione della prima ma numerala moltiplicando per 2. Se esegui con esattezza quanto abbiamo detto, otterrai il seguente grafico: RCS LIBRI EDUCATION SPA Adesso esegui un addizione fra due numeri interi compresi fra 10 e + 10, per esempio: ( 6) + (+ 4) Metti un righello in corrispondenza del valore 6 sulla prima retta e del valore + 4 sulla terza retta e traccia una retta.

21 Il laboratorio matematico 133 Il punto in cui tale retta incontra la seconda retta corrisponde al risultato della somma: ( 6) + (+ 4) = Esegui adesso delle sottrazioni fra numeri interi compresi fra 10 e +10, per esempio: ( 2) ( 6) (+ 8) (+1) Metti il righello in corrispondenza del minuendo 2 o 8 sulla seconda retta e in corrispondenza del sottraendo 6 o + 1 sulla prima retta. Il punto in cui la retta che tracci incontra la terza retta è il risultato delle sottrazioni: ( 2) ( 6) = + 4 (+ 8) (+1) = Prova a calcolare le seguenti addizioni e sottrazioni: ( 3) (+ 7); (+ ) + ( 5); ( 3) + ( 4); (+ 8) ( 2); ( 6) ( 3). Allora cosa faccio? Mi aggiungo o mi sottraggo?

22 Giochiamo con la matematica Cruciverba numerici Bandiere e bastoncini

23 146 Giochiamo con la matematica Cruciverba numerici Sei bravo a risolvere cruciverba? Questi sono numerici, provaci. Scrivi i risultati in lettere ORIZZONTALI ( ) : (2 5 4) VERTICALI : : (7 3) : : (4 2 3) Scrivi i risultati in cifre ORIZZONTALI VERTICALI : 5 = 36 : x : 30 = 8 : x : 3 = x : 7 4. Il 5% di Il 3% di : 3 = x : 8 7. Il totale su cui il 50% dà Il 14% di 500. Il tasso percentuale che su 500 dà x : 4 = 64 : Il 20% di : x = 15 : 60

24 Giochiamo con la matematica 147 Bandiere e bastoncini Le cinque bandiere a fianco rappresentate appartengono a cinque di questi sei paesi: Belgio, Costa d Avorio, Guinea, Irlanda, Italia e Mali. I colori delle rispettive bandiere sono: Belgio Æ nero, giallo, rosso; Costa d Avorio Æ arancione, bianco, verde; Guinea Æ rosso, giallo, verde; Irlanda Æ verde, bianco, arancione; Italia Æ verde, bianco, rosso; Mali Æ verde, giallo, rosso. A ogni numero corrisponde un colore. Sai colorare in modo esatto le cinque bandiere e dire qual è il paese non rappresentato? Questi bastoncini di legno hanno tutti lo stesso spessore e poggiano o sulla superficie di appoggio o su altri due bastoncini. Solo uno poggia su tre bastoncini; quale? RCS LIBRI EDUCATION SPA

25 esercizi Il numero 1 L insieme Q + 2 Una nuova operazione 3 Problemi e tecniche risolutive 4 I numeri interi relativi 5 Rapporti e proporzioni 6 La proporzionalità 7 Problemi e proporzioni... per contenuti... per verificare gli obiettivi... di recupero Dati e previsioni 8 Elaborazioni statistiche Il calcolo della probabilità

26 150 esercizi unità di apprendimento 1 L insieme Q + Da ricordare Ogni frazione si può trasformare, dividendo il numeratore per il denominatore, in un numero che sarà: naturale, se la frazione è apparente; decimale, limitato o illimitato, se la frazione non è apparente. Un numero decimale illimitato si dice periodico semplice se in esso, subito dopo la virgola, inizia il periodo, cioè una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all infinito. Un numero decimale illimitato si dice periodico misto se in esso, fra la virgola e il periodo, esiste una cifra o un gruppo di cifre, detto antiperiodo, che non si ripete. Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero decimale limitato. Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato se il denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo il fattore 2 o 5 o entrambi. Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se il denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene affatto i fattori 2 e 5. Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene altri fattori oltre a 2 e 5 o entrambi. Chi è l ultimo? La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione avente per numeratore il numero naturale che si ottiene togliendo la virgola e per denominatore 10, 100, secondo che le cifre decimali del numero siano 1, 2, 3... La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente per numeratore la differenza fra il numero dato, senza la virgola, e la sua parte intera, e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo. La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione avente per numeratore la differenza fra il numero dato, senza la virgola, e tutta la parte che precede il periodo, e per denominatore tanti quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell antiperiodo. RCS LIBRI EDUCATION SPA

27 1 L insieme Q + Teoria da pag. 5 a pag Esercizi per contenuti Frazioni e numeri decimali 1. Che cosa si intende per numero decimale limitato? 2. Che cosa si intende per numero decimale periodico semplice? 3. Che cosa si intende per numero decimale periodico misto? 4. Vero o falso? a) 3,8 è un numero decimale limitato. b) 7,3 è un numero decimale periodico misto. c) 0,07 è un numero decimale limitato. d) 5,4 è un numero decimale periodico semplice. V F V F V F V F Per ciascun numero decimale dato negli esercizi seguenti, stabilisci il tipo e indica le parti che lo compongono. E sempio 4,83 decimale periodico semplice. 4 = parte intera; 83 = periodo. 5. 7,5 ; 4,37 ; 1,054 ; 7, ,71; 3,02 ; 3,216 ; 3, ,4; 0,4 ; 0,04 ; 0, ,63 ; 1,03; 7,481 ; 4, ,7 ; 73,05; 8,231 ; 43,12. Scrivi in forma ridotta i numeri dati nei seguenti esercizi. E sempio 3, = 3, ,4343 ; 6,3444 ; 0, ,0555 ; 3,71212 ; 7, , ; 2, ; 1, Metti il segno > oppure < tra le coppie di numeri date nei seguenti esercizi ,8... 0,8 ; 3, ,45 ; 1, , , ,45;... 1,8; 8, , , ,2 3; 6, ,834 ; 2,2... 1,. Negli esercizi seguenti stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false, giustificando la tua risposta con alcuni esempi. 16. a) Una frazione apparente si trasforma sempre in un numero decimale limitato. b) Una frazione non apparente decimale si trasforma sempre in un numero naturale. c) Una frazione non apparente decimale si può trasformare in un numero decimale periodico. 17. a) Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato se il suo denominatore contiene solo il fattore 2, o il fattore 5 o entrambi. b) Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore contiene altri fattori oltre al 2 e al 5. c) Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore non contiene affatto i fattori 2 e 5. V F V F V F V F V F V F

28 152 esercizi per contenuti 18. Senza eseguire la divisione completa la seguente tabella: Frazione Denominatore Numero Numero Numero Frazione ridotta ai scomposto in decimale periodico periodico minimi termini fattori primi limitato semplice misto Trasforma le frazioni date negli esercizi seguenti in numeri decimali, riconoscendo, prima di eseguire la trasformazione, se il numero sarà decimale limitato, periodico semplice o misto ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

29 1 L insieme Q + Teoria da pag. 5 a pag Esercizi per verificare... ciò che sai 1. Segna il completamento esatto. Un numero si dice decimale limitato se dopo la virgola: a) ha un numero infinito di cifre decimali; b) ha un numero finito di cifre decimali; c) ha una cifra decimale che si ripete all infinito. 2. Quando una frazione si trasforma in un numero decimale limitato? Segna la o le risposte esatte: a) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi. b) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene affatto i fattori 2 e 5. c) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene sempre altri fattori oltre a 2, a 5 o a entrambi. d) Quando è una frazione decimale. 3. Segna il completamento esatto. Un numero si dice decimale illimitato periodico semplice se: a) subito dopo la virgola ha un numero finito di cifre decimali; b) subito dopo la virgola ha una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all infinito; c) subito dopo la virgola ha delle cifre decimali che non si ripetono e poi ha una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all infinito. 4. Quando una frazione si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice? Segna la risposta esatta: a) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi. b) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene affatto i fattori 2 e 5. c) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene sempre altri fattori oltre a 2, a 5 o a entrambi. 5. Segna il completamento esatto. Un numero si dice decimale illimitato periodico misto se: a) subito dopo la virgola ha un numero finito di cifre decimali; b) subito dopo la virgola ha una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all infinito; c) subito dopo la virgola ha delle cifre decimali che non si ripetono e poi ha una cifra o un gruppo di cifre che si ripete all infinito. 6. Quando una frazione si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto? Segna la risposta esatta: a) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi. b) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene affatto i fattori 2 e 5. c) Quando il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene sempre altri fattori oltre a 2, a 5 o a entrambi.

30 158 esercizi per verificare Completa: La frazione generatrice di un numero decimale limitato è una frazione che ha per numeratore il... che si ottiene togliendo la... e per denominatore... a seconda che le cifre decimali siano Completa: La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per numeratore la... fra il numero dato senza la virgola e la sua... e per denominatore tanti... quante sono le cifre del.... Completa: La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per numeratore la... fra il numero dato senza la virgola e tutta la parte che..., senza la virgola, e per denominatore tanti... quante sono le cifre del... e tanti... quante sono le cifre del ciò che sai fare 1. Accanto a ogni numero decimale scrivi se è limitato, illimitato periodico semplice o illimitato periodico misto e riscrivili con la giusta simbologia:, , , , , , Stabilisci in quale tipo di numero (limitato, periodico semplice o periodico misto) si trasformano le seguenti frazioni, giustificando la tua risposta: 5 3 ; 7 6 ; 13 ; 6 25 ; 11 4 ; a)... perché b) 7... perché c)... perché d)... perché e)... perché f)... perché

31 1 L insieme Q + Teoria da pag. 5 a pag Esercizi di recupero Se hai ancora qualche difficoltà, segui gli esercizi svolti (quelli nel riquadro) e poi completa gli altri. 1. Stabilire in quale tipo di numero si possono trasformare le seguenti frazioni: 6 2 ; 3 10 ; 7 20 ; 4 33 ; Per stabilire in quale numero si trasforma una frazione ricorda che: una frazione apparente si trasforma in un numero naturale; una frazione decimale si trasforma in un numero decimale limitato; una frazione con denominatore contenente solo i fattori 2, 5 o entrambi si trasforma in un numero decimale limitato; una frazione con denominatore che non contiene affatto i fattori 2 e 5 si trasforma in numero periodico semplice; una frazione con denominatore contenente i fattori 2, 5 o entrambi con altri fattori si trasforma in numero periodico misto. Quindi: 6 frazione apparente numero naturale 2 3 frazione decimale numero decimale limitato = numero decimale limitato = 3 11 numero periodico semplice = numero periodico misto Stabilisci in quale tipo di numero si possono trasformare le seguenti frazioni: ; ; 11 8 ; 12 ; a) 40 = , quindi si trasforma in b) è una frazione......, quindi si trasforma in c) è una frazione......, quindi si trasforma in d) 12 =......, quindi si trasforma in e) 33 =......, quindi si trasforma in

32 162 esercizi di recupero Stabilisci in quale tipo di numero si possono trasformare le frazioni date nei seguenti esercizi ; ; 11. ; ; ; ; 16. ; ; ; ; 20. ; ; 16. ; ; Trasformare le frazioni date nei corrispondenti numeri decimali: ; ; 100 ; 18. Per trasformare una frazione nel corrispondente numero decimale si esegue la divisione fra numeratore e denominatore; quindi avremo: 23 5 = 23 : 5 = 4, 6; 1 = 1 : = 2,1; = 48 : 100 = 0,48; 71 = 71 : 18 = 3, Trasforma le frazioni date nei corrispondenti numeri decimali: 27 4 ; ; 5 10 ; 41 5 ; a) = =... d) 4 b) 35 = =... e) 11 c) 5 = = = =... = =... RCS LIBRI EDUCATION SPA Trasforma le frazioni date nei seguenti esercizi nei corrispondenti numeri decimali ; ; [ 3,6; 6,1; 3,625] ; ; [ 12,7; 0, 621; 0,138] ; ; [ 7; 0,63; 0,26] ; ; [ 2,325; 3,38; 0,08] [ 4,27; 3,625; 0,4 ]