Grafici e tabelle permettono di fare valutazioni qualitative, non quantitative. E necessario poter sintetizzare i dati attraverso due importanti

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1 Grafici e tabelle permettono di fare valutazioni qualitative, non quantitative. E necessario poter sintetizzare i dati attraverso due importanti indici : Indici di posizione Indici di variazione

2 Indici di posizione Numeri che sono rappresentativi dei dati e forniscono indicazioni sull ordine di grandezza del fenomeno in studio.

3 La tendenza centrale Una tendenza centrale è una misura statistica che consente di riassumere un intera distribuzione di frequenza in un solo numero La tendenza centrale è un tentativo di identificare gli aspetti tipici, medi di una distribuzione

4 Difficoltà Qual è il valore tipico nelle tre rappresentazioni? Casi 6 5,5 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 f 3 1, , Voto Voto

5 Tre misure di tendenza centrale Media aritmetica Mediana Moda

6 Una parentesi: il segno sigma La sommatoria dei valori di X per tutte le osservazioni prese in considerazione X i

7 La media aritmetica La media di una distribuzione è la somma dei valori osservati diviso il numero delle osservazioni µ = X N i X = X n i Popolazione N: La grandezza della popolazione Campione n: La grandezza del campione

8 ESEMPIO La media aritmetica dell età di 10 studenti si calcola: ( ) X = = = 26,9 10

9 Esempio Determinare l età media di 50 giovani presenti in una pizzeria un sabato sera: 1.Costruire una tabella che riporti in una colonna l età (Variabile X) e in un altra colonna il numero di giovani (frequenza assoluta). 2.Moltiplicare il valore della variabile X per la frequenza e sommare. 3. Dividere per il numero delle osservazioni.

10 ESEMPIO Età Frequenza

11 Esempio 14*4 + 15*6 + 16* * * x = = ,48

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13 La formula della media di una distribuzione di frequenza assumerà pertanto questo aspetto X = Xf = Xf n f

14 Proprietà della media Dati un insieme di valori possiamo calcolare una sola media aritmetica. E facile da calcolare. E sempre compresa tra il valore più piccolo e quello più grande.

15 Proprietà della media La media aritmetica, molto duttile nelle elaborazioni statistiche, in quanto ottenuta con calcoli matematici, ha un unico grosso inconveniente, quello che può essere influenzata notevolmente dai valori estremi. Attenzione: se abbiamo utilizzato la media aritmetica per l analisi dei dati dobbiamo riferirci a test di significatività della media (test parametrici)

16 Esempio Come cambia il valore della media se ai dati dell esempio precedente aggiungiamo un valore molto piccolo? ovvero un valore molto grande?

17 Esempio Età : 25,25,25,26,26,27,27,29,29,30 Media aritmetica : 26,9 Aggiungendo un soggetto con età 6 Media aritmetica : 25 Aggiungendo un soggetto con età 61 Media aritmetica : 30

18 La media è una buona misura di tendenza di misura centrale per le distribuzioni normalmente distribuite Casi 5 4,5 4 3,5 3 2,5 X = 5,21 2 f 1,5 1 0, Voto

19 La media è una misura inadatta per le distribuzioni che contengono un numero esiguo di dati e valori estremi X = 5, Voto

20 mediana La mediana è una media di posizione e rappresenta il valore centrale della distribuzione quando i dati sono ordinati. Si definisce mediana il valore che bipartisce la distribuzione, ossia il valore non inferiore a metà dei valori e non superiore all altra metà. Dato un insieme di valori ordinati se n è dispari la mediana è il valore centrale, se n è pari è la semisomma dei due valori centrali. : x i 1+ x i se n è pari se n è dispari 2 2

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24 Proprietà della mediana Dati un insieme di dati possiamo individuare una sola mediana. E facile da calcolare. Non è influenzata da valori estremi

25 Proprietà della mediana La mediana, in quanto ottenuta senza calcoli matematici non si presta per le le più comuni elaborazioni statistiche. Attenzione : se abbiamo utilizzato la mediana come misura di posizione centrale, dobbiamo riferirci a test di significatività della mediana (test non parametrici)

26 Esempio Età : 25,25,25,26,26,27,27,29,29,30 Mediana : (26+27)/2 = 26,5 Aggiungendo un soggetto con età 6 6,25,25,25,26,26,27,27,29,29,30 Mediana : 26 Aggiungendo un soggetto con età 61 25,25,25,26,26,27,27,29,29,30,61 Mediana : 27

27 Uso della mediana Utile quando le distribuzioni dei dati sono fortemente asimmetriche. Utile quando le distribuzioni dei dati contengono un numero esiguo di valori estremi.

28 MODA La moda o valore modale è una media di posizione. Si definisce moda o valore modale di una distribuzione il valore della variabile al quale corrisponde la massima frequenza

29 Moda numero di posti letto secondo il reparto di ricovero La moda di una distribuzione è data da quel valore che compare più frequentemente nella distribuzione stessa REPARTO N posti letto cardiochirurgia 24 cardiologia 37 chirurgia 50 chirurgia plastica 2 chir.vascolare 19 gastroenterologia 46 medicina 96 nefrologia 24 neurochirurgia 30 neurologia 40 oculistica 21 ortopedia 20 ostetricia 52 pediatria 34 terapia intensiva 12 unità coronarica 12 urologia 28 TOTALE 547

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31 Proprietà della moda Facile da calcolare La moda puo' essere assente (specie se le osservazioni sono poche) Puo' essere plurima (es. distribuzioni bimodali con 2 picchi). La moda è l unica misura che possiamo ottenere da dati riferiti a variabili qualitative.

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35 Nelle distribuzioni "normali" (cioe' unimodali e simmetriche) media, mediana e moda coincidono.

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41 Indici di dispersione Numeri che forniscono informazioni sulla variabilità (eterogeneità del fenomeno in studio)

42 Gli indici di posizione non dicono tutto. Esempio : dati due campioni A : 5,5,5,1,9 media aritmetica : 5 B : 5,5,5,4,6 media aritmetica : 5 Potremmo concludere sulla base della media ottenuta che i due campioni sono uguali?

43 Indici di dispersione Campo di variazione (range) Differenza interquartile Deviazione standard Coefficiente di variazione

44 Campo di variazione E la differenza tra il valore più grande e il valore più piccolo della serie di osservazioni. Nell esempio precedente: A : 9-1 = 8 B : 6-4 = 2

45 Proprietà Facile da calcolare. Dipende solo dai due valori estremi, non dà alcuna informazione sulla distribuzione degli altri dati. Si utilizza per dati asimmetrici. E la misura di variazione da utilizzare con la mediana.

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47 Deviazione standard Misura la dispersione di tutti i dati rispetto alla media aritmetica. Tiene conto di tutti i valori. E la misura di variazione da utilizzare con la media aritmetica

48 Formula della deviazione standard σ = ( Σx i -µ) 2 N s = ( Σx i - x) 2 N-1 per dati di popolazione per dati campionari

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