Capitolo Sistemi polifasi - sistemi polifasi simmetrici

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1 Capitolo Sistemi polifasi - sistemi polifasi simmetrici Si definisce sistema polifase simmetrico ad m fasi, un sistema del tipo: a 1 t A M sin t a 2 t A M sin t 1 m 2... am t A M sin t m 1 m con m intero e maggiore di 2 L insieme delle m grandezze è rappresentabile con una stella ad m raggi ovvero con un poligono regolare ad m lati, ad esempio per m 6siha: Fig.2.1 In un sistema polifase simmetrico la somma dei valori istantanei è nulla in ogni istante. A noi interessano in particolare i sistemi trifase simmetrici del tipo: e 1 t E M sin t e 2 t E M sin t e 3 t E M sin t 4 3 1

2 Fig Utilità dei sistemi trifase Negli impieghi pratici non è interessante avere nella generalità "m" grande, bensì è sufficiente avere m 3 (m 6 o m 12 si ha ad esempio nel caso dell alimentazione degli impianti ferroviari e/o metropolitani). Valutiamo ora l utilità di un sistema trifase; si rammenta che i sistemi trifase esistono e sono utili solo in corrente alternata;in corrente continua non esistono sistemi trifase. Fig.2.3 Con riferimento alla figura 2.3, se i tre generatori hanno lo stesso valore efficace E, allora anche I 1 I 2 I 3 I se R è uguale per i tre carichi, quindi la potenza utile P vale 3R I 2. Se la distanza tra il generatore e l utilizzatore è X metri il numero di metri di cavo impiegato è 2 3 X 6X. Se invece i tre generatori avessero lo stesso valore efficace E, adesempio 220V, ma legge di variazione temporale del tipo: e 1 t Em sin t Ē 1 e 2 t Em sin t 2 3 Ē e 3 t Em sin t Ē 3 avremmo: 2

3 e 1 t R i 1 t e 2 t R i 2 t 2. 4 e 3 t R i 3 t Per cui mettendo insieme il sistema nel modo indicato in figura avrebbe: Fig.2.4 si Fig.2.4 con potenza assorbita sempre pari a P 3R I 2 ma i metri di conduttori necessari sarebbero 3X, infatti i 0 t i 1 t i 2 t i 3 t 0 perchè somma di 3 funzioni sinusoidali della stessa ampiezza ma sfasate di 2 3 l una rispetto all altra, per cui non necessitano i tre conduttori di ritorno: risparmio di rame del 50%. Nel caso in cui le resistenze ( carico ) siano diverse tra loro, purchè le tensioni soddisfino sempre alla condizione (2.3) si avrebbe: e 1 t R 1 i 1 t e 2 t R 2 i 2 t 2. 5 e 3 t R 3 i 3 t 3

4 Fig.2.5 Per cui la potenza utile è P R 1 I 1 2 R2 I 2 2 R3 I 3 2 ma il numero di conduttori necessari è n 4 e la lunghezza totale 4X risparmio del 33% i 0 t i 1 t i 2 t i 3 t 0 Il risparmio, in pratica, può essere maggiore se la sezione del neutro, come capita in alcuni cavi di distribuzione, è più piccola della sezione delle singole fasi. 2.2 Rappresentazione vettoriale dei sistemi trifase Tre generatori collegati a stella costituiscono un sistema trifase. figura 2.6 a: Fig.2.6 Ē 1 Em sin t Em 2 220V 4

5 Ē j0 Ē j190 Ē j190 Eexp j0 Eexp j Eexp j 4 3 N.B. avendo scelto 2 3 e 4 si avrebbe la rotazione antioraria! 3 figura 2.6 b: Ē 1 Em cos t Em sin t 2 Ē 1 0 j220 Ē j110 Ē j110 Eexp j 1 2 Eexp j 1 6 Eexp j N.B avendo scelto 2 3 e 4 si avrebbe la rotazione antioraria! 3 La tensione concatenata è definita come differenza tra due fasi, per cui: V 12 Ē 1 Ē 3 V 23 Ē 2 Ē 3 V 31 Ē 3 Ē 1 ad esempio: V 12 j j j330 V 23 Ē 2 Ē j j V 31 Ē 3 Ē j110 j j330 V 12 V V V 2. 8 V V V 3 E

6 Fig.2.7 Fig.2.8 6

7 2.3 Schemi di collegamento dei generatori Collegamento a stella Fig.2.9 Nel collegamento a stella E è la tensione stellata o di fase ed è la tensione di uno dei due morsetti di ciascun generatore verso terra. Il centro stella "0" può essere accessibile o meno ma comunque esiste; nel caso di generatori simmetrici il centro stella è a potenziale "zero" (terra virtuale) Collegamento a triangolo Fig.2.10 Nel collegamento a triangolo: 1) non esiste un centro stella; 2) E V cioè la tensione del generatore coincide con la tensione concatenata; 3) la tensione di uno qualsiasi dei morsetti verso terra (tensione di fase)è pari 7

8 E/ 3 Se E 220 allora la tensione di terra è 220/ 3 127V! 2.4 Schemi di collegamento del carico Carico equilibrato collegamento a stella Fig.2.11 Ī 0 Ī 1 Ī 2 Ī 3 0 Ī Ī 1 Ī 2 Ī 3 La corrente di fase coincide con la corrente di linea. collegamento a triangolo Fig.2.12 la " I" è la corrente di linea, la "J" è la corrente di fase. J 1 V 12 Z J 2 V 23 Z J 3 V 31 Z equazioni al nodo 1: Ī 1 J 1 J 3 8

9 con carico equilibrato J 1 J 2 J 3 J Ī 1 Ī 2 Ī 3 I con: I 3 J La corrente di linea è quindi diversa dalla corrente di fase e per carico equilibrato si avrà che le correnti di linea sono i lati del triangolo equilatero di figura Fig

10 2.4.2 Carico squilibrato Carico squilibrato collegato a stella Con neutro senza impedenza sul 4 filo Fig.2.14 Ī 0 Ī 1 Ī 2 Ī 3 Ī 1 Ē 1 /Ż 1 Ī 2 Ē 2 /Ż 2 I 3 Ē 3 /Ż 3 avendo incorporato in Ż 1, Ż 2, Ż 3, l impedenza dei rispettivi cavi di collegamento. Con neutro dotato di impedenza Ż 0 Fig

11 N.B. In Ż 1 Ż 2 Ż 3 sono comprese le rispettive impedenze dei cavi di collegamento Metodo dei nodi (Th. di Millmann) V 00 4 i 1 Ē i Y i ; con 4 i 0 Y i Y i 1 i 0,..,3 Ż i una volta noto V 00 V 00 Ē i Ż i Ī i ovvero Ī i Y i Ē i V 00 Y i per i 0,..,3 Dimostrazione del teorema di Millmann, per n intero qualsiasi: Ē 1 Ż 1 Ī 1 V Ē 2 Ż 2 Ī 2 V... Ēn ŻnĪn V Uno o più generatori E i possono essere nulli purchè esista la corrispondente ammettenza di lato Y i. Moltiplicando ogni relazione per Y i 1/Ż i si ottiene: Ē 1 Y 1 Ī 1 V Y 1 Ē 2 Y 2 Ī 2 V Y 2... ĒnY n Īn V Y n sommando membro a membro si ha: n i 1 Ē i Y i Ī 1 V n i 1 Y 1 ma Ī 1 0 La somma delle correnti per il I principio di Kirchhoff è zero, quindi resta dimostrato il teorema di Millmann. Metodo delle maglie a tre maglie indipendenti Con riferimento alla figura 2.15 ed applicando il metodo delle maglie si ha: Ē 1 Ē 2 Ż 1 Ī m1 Ż 2 Ī m1 Ī m2 Ē 2 Ē 3 Ż 2 Ī m2 Ī m1 Ż 3 Ī m2 Ī m3 Ē 3 Ż 0 Ī m3 Ż 3 Ī m3 Ī m2 risolvendo il sistema si avrà:

12 Ī 1 Ī m1 ; Ī 2 Ī m2 Ī m1 ; Ī 3 Ī m3 Ī m2 ; Ī 0 Ī m3 ; Stella senza neutro Fig.2.16 Teorema di Millmann V 00 4 i 1 Ē i Y i ; con 4 i 0 Y i Y i 1 i 0,..,3 Ż i V 00 Ē i Ż i Ī i Ī i Ē i Y i Y i V 00 per i 1, 2, 3 Metodo delle maglie con riferimento alla figura 2.16: Ē 1 Ē 2 V 12 Ī m1 Ż 1 Ż 2 Ż 2 Ī m2 Ē 2 Ē 3 V 23 Ī m2 Ż 2 Ż 3 Ż 2 Ī m risolvendo il sistema si avrà: Ī m1 Ī 1 ; Ī 2 Ī m2 Ī m1 ; Ī 3 Ī m2 ; Carico squilibrato collegato a triangolo Trasformazione triangolo-stella Per applicare il teorema di Millmann è necessario procedere prima alla trasformazione del carico da triangolo a stella. 12

13 Fig.2.17 Ż 1 Ż 12 Ż 13 ; Ż 2 Ż 12 Ż 23 ; Ż 3 Ż 23 Ż 13 ; ove Ż 12 Ż 23 Ż 13 dopodiché si procede come indicato precedentemente. Metodo delle maglie V 12 Ż 1 Ī m1 Ī m2 0 Ż 1 Ī m1 Ī m2 Ż 2 Ī m2 Ī m3 Ż 3 Ī m V 23 Ż 2 Ī m3 Ī m2 da cui si ricavano le correnti di maglia, quindi: Ī 1 Ī m1 ; Ī 2 Ī m2 ; Ī 3 Ī 1 Ī 3 ; Per ricavarsi le correnti di fase J i si potranno imporre, le equazioni ai singoli nodi:1, 2 e 3. 13

14 2.5 Potenza elettrica nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati La potenza istantanea p t è la somma delle potenze istantanee erogate dai generatori: p t e 1 t i 1 t e 2 t i 2 t e 3 t i 3 t e 1 t Em sin t ; i 1 t Im sin t e 2 t Em sin t 2 3 ; i 2 t I m sin t 2 3 e 3 t Em sin t 4 3 ; i 3 t I m sin t 4 3 p t EmIm sin t sin t sin t 2 3 sin t 2 3 sin t 4 3 p t E mim 2 sin 2 t sin t 4 3 3cos sin 2 t 2 sin 2 t per cui p t P 3EI cos La potenza istantanea di un sistema trifase simmetrico ed equilbrato è costante; essa coincide con la potenza media e/o reale: ciò deriva dal fatto che le potenze fluttuanti delle tre fasi si compensano mutuamente in ogni istante. Nelle ipotesi di sistema simmetrico ed equilibrato: P 3EIcos 3 VI cos Il fattore di potenza è pari a cos,con angolo di sfasamento tra tensione di fase e corrente di linea, vedasi la figura

15 Fig.2.18 potenza reattiva: Q 3EI sin 3 VI sin Potenza apparente: Pa 3EI 3 VI P 2 Q Carico squilibrato (tre e quattro fili) p t p 1 t p 2 t p 3 t e 1 t i 1 t e 2 t i 2 t e 3 t i 3 t P Ē 1 Ī 1 Ē2 Ī 2 Ē3 Ī 3 P1 P 2 P 3 j Q 1 Q 2 Q 3 P N.B. Ī è il coniugato del numero complesso rappresentante la corrente erogata dal generatore. Il fattore di potenza di carico trifase squilibrato, essendo 1 2 3, si definisce operativamente così: cos arctg Q P cos arctg Q 1 Q 2 Q 3 P 1 P 2 P

16 2.5.2 Misura della potenza nei sistemi trifase simmetrici Sistema equilibrato (tre o quattro fili) Fig.2.19 W 10 Ē 1 Ī 1 E 1 I 1 cos EI cos P 3W 10 3 Ē 1 Ī 1 3EI cos cos P 3EI P 3 VI aggiungendo al wattmetro un amperometro e un voltmetro in uno dei conduttori di linea, si può calcolare anche la potenza reattiva: Q 3 VIsin Sistema squilibrato Sistema squilibrato a4fili Fig.2.20 Essendo I 0 Ī 1 Ī 2 Ī 3 0 sono necessari tre wattmetri. P W 1 W 2 W 3 P 10 P 20 P 30 Inserzione ARON per sistema squilibrato o equilibrato a3fili P P 10 P 20 P 30 Ē 1 Ī 1 Ē 2 Ī 2 Ē 3 Ī 3 16

17 ma poichè i fili sono soltanto tre, allora Ī 1 Ī 2 Ī 3 0 Ī 2 Ī 1 Ī 3 P Ē 1 Ī 1 Ē 2 Ī 1 Ī 3 Ē 3 Ī 3 Ē 1 Ē 2 Ī 1 Ē 3 Ē 2 Ī 3 P V 12 Ī 1 V 32 Ī 3 VI 1 cos 1 30 VI 3 cos 3 30 P W 12 W 32 Fig.2.21 Fig.2.22 Se 1 60 allora per cui il primo wattmetro va controscala e quindi le letture dei due wattmetri si sottraggono dopo aver scambiato i morsetti amperometrici del primo wattmetro. Un altro metodo per dimostrare l inserzione ARON Scomposizione del sistema trifase in due sistemi monofase: Ī 1 Ī 2 Ī

18 Fig.2.23 I 2 Ī 1 I 2 Ī3 Ī 2 I 2 I2 per cui nei due circuiti monofasi, i due wattmetri danno le seguenti letture: W 12 V 12 Ī 1 W 32 V 32 Ī 3 da cui si ricava la potenza totale: Ptot P 12 P 32 W 12 W 32 Potenza reattiva nei sistemi a tre fili equilibrati Nel caso in cui il sistema a 3 fili sia equilibrato, dalla lettura dei due wattmetri si può risalire anche alla potenza reattiva del sistema trifase: W 12 VI cos 30 VI cos cos 30 sin sin 30 W 32 VI cos 30 VI cos cos 30 sin sin 30 per cui W 32 W 12 2VI sin sin 30 2VI 1 2 cioè: inoltre la potenza apparente: sin VI sin Q 3 VI sin 3 W 32 W Papp. P 2 Q 2 nel caso di tre fili e sistema equilibrato, il fattore di potenza del carico si può calcolare come: cos arctg Q P cos arctg 3 W 32 W 12 W 12 W