Algebra Numeri Interi (Unimib)

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1 Algebra Numeri Interi (Unimib) 20 novembre 2017

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3 Capitolo 1. Numeri Interi 2 / 10 Capitolo 1 Numeri Interi 1.1 Divisione Definizione Sia b un numero intero, allora il modulo di b è b se b è positivo e b se b è negativo. Teorema Siano a, b due interi con b 0, allora esistono q, r tali che a = bq + r, 0 r < b q si chiama quoziente della divisione a/b e r si chiama resto della divisione. CASO 1: A POSITIVO. Supponiamo che a sia positivo, e sia S = {a xb, x Z, t.c. a xb 0} S N, S non è vuoto perché sto assumendo che a sia non negativo e quindi per x = 0 appartiene a S. Per il principio del buon ordinamento, dato un sottoinsieme non vuoto di N, esso ha un minimo. Sia r il minimo di S, allora r S, cioè r = a xb per un certo x, e pongo x = q. Da qui segue che a = bq + r. Inoltre, r 0 perché S N. Se per assurdo r b, allora segue che 0 r b = a bq b 1. Se b 0, si ottiene r b = a bq b = a (q + 1)b 1. se b 0, si ottiene invece

4 Capitolo 1. Numeri Interi 3 / 10 r b = a bq + b = a (q 1)b e in entrambi i casi, r b S, e questo è assurdo perché r è minimo di S, quindi necessariamente 0 < r < b. CASO 2: A NEGATIVO. Segue che a è positivo, allora si ritorna nel caso precedente e si può quindi scrivere Divido ancora in due casi: a = bq + r, q Z, 0 < r < b a = b( q) r 1. se b 0, sommo e sottraggo b : a = b ( q) r = b( q 1) + b r e quindi il retso b r è compreso tra 0 e b. 1. se b 0, a = b( q) r a = b( q + 1) + ( b r) e 0 < b r < b. Proposizione Tali q e r sono unici. Supponiamo che Da bq + r = bq + r si ha a = bq + r, a = bq + r, q, q Z, 0 < r, r < b (r r ) = b(q q) A destra ho un multiplo di b, quindi anche a sinistra dev esserci un multiplo di b. Siccome il membro di sinistra è ingabbiato fra b + 1 e b 1, l unica possibilità è che sia r r = 0, cioè r = r, da cui q = q.

5 Capitolo 1. Numeri Interi 4 / Algoritmo di euclide Massimo comun divisore L algoritmo di Euclide serve per il calcolo del massimo comun divisore tra a e b, dove a, b non sono entrambi nulli. Definizione Un intero d si dice un massimo comun divisore tra a e b, se d a e d b (cioè se è un comun divisore) inoltre se c a e c b, allora c d ( d è massimo). Definizione Si dice che a divide b ( a b ) se b è multiplo di a, cioè Con questa notazione, è vero che 3 0. Proposizione b = a c, c Z Se d, d sono entrambi massimi comun divisori di a e b, allora o d = d, o d = d. d è un massimo comun divisore quindi per definizione d d, ma anche d è un massimo comun divisore quindi d d. Allora d = d x, d = d y ma quindi, inserendo l espressione di d in quella di d, si ha: d = dx = d xy e semplificando per d, xy = 1. Siccome x, y sono interi, il loro prodotto è 1 se e solo se x = y = 1 oppure x = y = 1. Per convenzione, prendiamo come massimo comun divisore quello positivo. Ad esempio M.C.D.{ 12, 20} = Osservazioni preliminari per l algoritmo Considero a, b interi non entrambi nulli. Osservo che la definizione di massimo comun divisore è simmetrica rispetto ad a e b, quindi

6 Capitolo 1. Numeri Interi 5 / 10 M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, a) e cambiando segni ai termini l M.C.D. non cambia. Quindi basta considerare il caso in cui a e b sono non negativi. Considero il caso in cui b = 0. Allora M.C.D.(a, 0) = a. Ci si riduce quindi al caso in cui a e b sono entrambi maggiori di Algoritmo di Euclide Considero una tabella con tre colonne: le prime due righe sono i vettori (1, 0, a) e (0, 1, b) e costruiamo le altre righe. Possiamo scrivere a = bq + r, 0 < r < b La terza riga si costruisce sottraendo alla prima riga la seconda riga per q volte, e ottengo infatti (1, q, a bq) = (1, 0, r) Proposizione r = a bq M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, r). Mostro che se pongo d = M.C.D.(a, b) e d = M.C.D.(b, r), segue che d = d. Infatti d a, d b, d a bq = r Segue che d b e d r, allora d d. Per la stessa ragione d d, infatti d b, d r, d bq + r = a Segue che d b, d a, e allora d d. Per le due relazioni d d e d d, segue che d = d. La tabella costruita finora è

7 Capitolo 1. Numeri Interi 6 / a 0 1 b 1 q r Tenendo conto che M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, r), per costruire le altre righe itero l algoritmo applicandolo a b ed r, se b = rq + r, la quarta riga si ottiene sottraendo alla seconda riga la terza moltiplicata per q, e quindi come quarta riga avrò ( q, qq, b q r = r ), e così via, finché non si ottiene un resto uguale a 0. Sia a = 138 e b = 64. Allora determino q ed r a ogni passo dell algoritmo. a = 138, b = 64, q 1 = 2, r 1 = 10 M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, r 1 ) b = 64, r 1 = 10 q 2 = 6, r 2 = 4 M.C.D.(b, r 1 ) = M.C.D.(r 1, r 2 ) r 1 = 10, r 2 = 4 q 3 = 2, r 3 = 2 M.C.D.(r 1, r 2 ) = M.C.D.(r 2, r 3 ) r 1 = 10, r 2 = 4 q 3 = 2, r 3 = 2 M.C.D.(r 2, r 3 ) = M.C.D.(r 3, r 4 ) r 2 = 4, r 3 = 2 q 4 = 2, r 0 = 0 Sia a = 64 e b = 138. a = 64, b = 138 q = 0, r = 64 M.C.D.(64, 138) = M.C.D.(138, 64) Se inizialmente non si pone a > b, il primo passo riordina i numeri, e poi si continua come prima. Considero la tabella costruita e osservo che vale la seguente relazione: per ogni riga della forma (r 1, r 2, r 3 ), si ha che r 1 a + r 2 b = r 3. Infatti, ad esempio, per le prime tre righe si ha: 1 a + 0 b = a 0 a + 1 b = b 1 a + ( q) b = a bq = r Suppongo di continuare con l algoritmo di euclide. Su tutte le righe da costruire, si preserva la proprietà che il primo coefficiente della riga moltiplicato per a sommato al secondo moltiplicato per b è uguale al terzo elemento della riga. Costruisco la tabella relativa all esempio precedente, a = 138, b = 64. Aggiungo una colonna iniziale che serve solo a me, in cui annoto quoziente e resto delle divisioni successive eseguite, in questa colonna, nell i-esima riga in particolare

8 Capitolo 1. Numeri Interi 7 / 10 metto quoziente e resto della divisione tra il terzo elemento della riga i 2 e quello della riga i 1. Per costruire l n-esima riga, moltiplico la riga n 1 per il quoziente che compare su quella riga, e la sottraggo alla n 2. Quindi q = 2, r = q = 6, r = q = 2, r = q = 2, r = Osservo che sull ultima riga ho tutti i resti. Vale la proprietà per le righe della tabella dimostrata prima, infatti, considerando ad esempio la terza riga = = ( 28) 64 = Identità di Bezout Teorema Dati a, b interi non entrambi nulli, e dato d = M.C.D.(a, b), esistono x, y interi tali che ax + by = d. Basta osservare che per ogni riga della tabella si ha r 1 a + r 2 b = r 3 L ultimo elemento dell ultima riga è uguale al massimo comun divisore, quindi i coefficienti r 1, r 2 su quella riga sono i coefficienti x e y che compaiono nell identità di Bezout. Nel caso di a = 138, b = 64, si ha d = 2, x = 13 e y = 28. a = 4122 e b = Trova x, y interi con ax + by = M.C.D.(a, b) q = 4, r = q = 13, r = q = 1, r = q = 2, r = q = 12, r =

9 Capitolo 1. Numeri Interi 8 / 10 Non calcolo la riga successiva, perché il resto è 0. Allora x = 41, y = 167 e m.c.d.(a, B) = 2. Determinare x, y tali che ax + by = M.C.D.(a, b) con a = 589 e b = q = 1, r = q = 2, r = q = 1, r = q = 7, r = quindi M.C.D.(a, b) = 19, x = 3, y = 4. Determinare x, y tali che ax + by = M.C.D.(a, b) con a = 5070 e b = q = 9, r = 381, q = 1, r = q = 2, r = q = 1, r = q = 2, r = q = 1, r = q = 1, r = q = 2, r = q = 3, r = q = 2, r = I due numeri sono coprimi, x = 227 e y = Equazioni diofantee Interi coprimi Definizione a e b si dicono coprimi o relativamente primi se M.C.D.(a, b) = 1. Osservazione a e b sono coprimi se e solo se esistono x, y interi con ax + by = : Se d = M.C.D.(a, b), se a e b sono coprimi, allora per definizione d = 1, e per l identità di Bezout, esistono x, y tali che

10 Capitolo 1. Numeri Interi 9 / 10 ax + by = : viceversa, se esistono x, y tali che ax + by = 1, allora d a, d b, e quindi d divide la combinazione lineare ax + by quindi d 1, cioè d = Equazioni diofantee Definizione Siano a, b, c interi, l equazione ax + by = c con x, y interi si chiama equazione diofantea. Quando c = M.C.D.(a, b) l equazione diofantea ha soluzioni, e con l algoritmo di euclide si trovano x, y che la risolvono. Regola 1: Se M.C.D.(a, b) c, ed è uguale a c λ, allora le soluzioni di ax + by = M.C.D.(a, b) moltiplicate per λ risolvono ax + by = c. Regola 2: se il membro di destra è dispari e quello di sinistra è pari, l equazione non può avere soluzioni. Teorema Siano a, b interi non entrambi nulli. L equazione, ax + by = c ha soluzioni se e solo se d = M.C.D.(a, b) divide c. Se ha soluzioni (x 0, y 0 ), allora tutte e sole le soluzioni sono della forma x = x 0 + hb/d, y = y 0 ha/d, h Z. Sia d = M.C.D.(a, b) e suppongo che l equazione ammette una soluzione (x 0, y 0 ). Poiché d ax 0 + by 0 si ha d c. Viceversa, suppongo che d = M.C.D.(a, b) divida c, allora: a = âd, b = ˆbd c = ĉd. Dall Identità di Bezout, segue che esistono due interi α e β tali che valga: aα + bβ = d. Quindi la coppia (ĉα, ĉβ) è soluzione di.

11 Capitolo 2. Fonti per testo e immagini; autori; licenze 10 / 10 Capitolo 2 Fonti per testo e immagini; autori; licenze 2.1 Testo Corso:Algebra Numeri Interi (Unimib)/Numeri Interi/Divisione Fonte: wikitolearn.org/corso%3aalgebra_numeri_interi_(unimib)/numeri_interi/divisione?oldid= Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Numeri Interi (Unimib)/Numeri Interi/Algoritmo di euclide Fonte: Algoritmo_di_euclide?oldid=38004 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Numeri Interi (Unimib)/Numeri Interi/Equazioni diofantee Fonte: Equazioni_diofantee?oldid=38038 Contributori: Mmontrasio 2.2 Immagini 2.3 Licenza dell opera [Project:Copyright Creative Commons Attribution Share Alike 3.0 & GNU FDL] Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0