Il calcolo letterale

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1 Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere e sviluppre le regole di quello che viene chimto clcolo letterle. Aimo già trovto, nello studio dell geometri, delle espressioni letterli : per esempio se voglimo esprimere l re del qudrto di lto l scrivimo A l. A l l Quest scrittur è generle proprio perché f uso di un letter e non di un numero in prticolre: se poi voglimo determinre l re di uno specifico qudrto, per esempio di lto l, sostituiremo il vlore l posto di l e otterremo l re A. Anche l re di un tringolo, di se e ltezz h viene indict con A h h Anche quest è un espressione letterle. Per imprre fre operzioni con le espressioni letterli occorre prtire d quelle più semplici. 6

2 Progetto Mtemtic in Rete Monomi Le espressioni letterli più semplici si chimno monomi ( dl greco monos che signific unico ) e sono costituite d lettere che vengono solo moltiplicte tr loro ed eventulmente per un coefficiente numerico. Esempio Le espressioni letterli ; c ; sono esempi di monomi. Esempio Le espressioni letterli non sono monomi. oppure Osservzione Lo stesso monomio può essere scritto in forme diverse. Per esempio è chiro che può nche essere scritto. m l prim scrittur si legge molto meglio! Form normle di un monomio Dicimo che un monomio è ridotto form normle qundo è scritto come prodotto fr un numero ( chimto coefficiente del monomio ) e un o più lettere (diverse tr loro) con eventuli esponenti ( si chim prte letterle del monomio ) coefficiente prte letterle Esempio : l form normle di ( ) risult 6 Grdo di un monomio Si chim grdo del monomio l somm di tutti gli esponenti delle lettere: per esempio h grdo ( è di grdo rispetto ll letter e di grdo rispetto ll letter ). Poiché nche un numero può essere considerto un monomio, diremo che h grdo 0 perché possimo sempre pensre che gli si ssocit un prte letterle di grdo 0 (che corrisponde ). 0 Esempio: potree essere considerto come. 6

3 Progetto Mtemtic in Rete Esercizi. Quli tr le seguenti espressioni lgeriche sono monomi? ) - 6 ) - - c) 7/ d) / e) 0. Riduci form normle i seguenti monomi: ) (-)() ) c c) (- )( ) d) -(-)(-) e) ()()(). Complet le seguenti frsi: ) In un monomio i fttori letterli devono vere come esponenti dei numeri.. ) Si dice grdo di un monomio l degli dell su.. c) Un numero è considerto un monomio di grdo d) Due monomi che hnno l stess prte letterle si dicono e) Due monomi che hnno lo stesso e l stess si dicono uguli.. Scrivi il grdo di ciscuno dei seguenti monomi: ) ) 7 m p 9 c) cd d) 9 e) 0/7. Complet l seguente tell: Monomio Coefficiente Prte letterle Grdo / 0 6. Complet l seguente tell: Monomio Ugule Simile Opposto 6z -c / 7. Utilizzndo le lettere e, scrivi:. Tutti i monomi possiili di coefficiente e grdo. Cinque monomi simili di qurto grdo c. Gli opposti dei monomi scritti l punto ) 8. Per scrivere un monomio di grdo sono indispensili quttro lettere? 9. Qunte lettere sono necessrie per scrivere un monomio di grdo? Perché? 0. Può un monomio di grdo essere composto d quttro lettere? Perché? 66

4 Progetto Mtemtic in Rete 67 Operzioni con i monomi Addizione e sottrzione di monomi Supponimo di dover sommre le ree in figur :. Quindi se i monomi hnno l stess prte letterle (si dicono simili ) per sommrli si sommno i loro coefficienti e si consider come prte letterle l prte letterle dei due monomi. E se i monomi non sono simili? Come fccio per esempio se devo sommre? Qundo i monomi non sono simili non posso fre niente: l scrittur v lscit così e srà chimt polinomio ( dl greco polỳs che signific molto nel senso di molti termini ). Esempi ) 6. ) 8 6 ) 0 ) ( rimne così ) ) ( ) 6) 7) ) ( ( ) 0 ) (

5 Progetto Mtemtic in Rete Moltipliczione di monomi Come possimo moltiplicre due monomi? Per esempio ( ) ( )? E chiro che st moltiplicre i coefficienti e l prte letterle. Avremo 6 Esempi ) ) ) ). ( ) 0 ( ) Potenz di un monomio Come possimo sviluppre l potenz di un monomio? Per esempio : ( )? Dovremo fre l potenz si del coefficiente che dell prte letterle. Nel nostro cso vremo: ( ) potenz del coeff. potenz dell prte letterle Esempi ) ) ( ) ( ) 68

6 Progetto Mtemtic in Rete Esercizi (somm di monomi, prodotto di monomi, potenz di monomi) 7 [ ] 7 ( ( ) ( ) [ ] ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) ) ( ) () ( ) [ ] ) ( ) ( ) ( ) 7) 8 6 8) ( ) ( ) 6 6 9) ( ) ( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ) ( ) [ 0 ] ( ) ) ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 8 [ 7 ] 9 69

7 Progetto Mtemtic in Rete Divisione tr monomi Possimo dividere due monomi? Per esempio : :? Quindi in questo cso imo ottenuto un monomio. M è sempre così? Se, per esempio, imo : :? e quindi in questo cso non imo un monomio. Diremo che un monomio è divisiile per un ltro monomio (divisore) qundo nell su prte letterle ci sono tutte le lettere del divisore con esponenti mggiori o uguli. Esempi: ) : ) :0 0 : ) ( ) ) : ) :

8 Progetto Mtemtic in Rete Mssimo comune divisore e minimo comune multiplo fr monomi Come per i numeri nturli, possimo definire il M.C.D. tr due o più monomi e il m.c.m. tr due o più monomi. Mssimo comun divisore ( M.C.D. ) come coefficiente del mssimo comun divisore si prende il M.C.D. dei coefficienti se sono interi ( senz considerre il loro segno ) e se i coefficienti non sono tutti interi; come prte letterle del mssimo comun divisore si prende il prodotto delle lettere comuni prese un sol volt e con il minimo esponente. Esempi M.C.D. M.C.D. c ; c c c ; c c Minimo comune multiplo (m.c.m. ) come coefficiente del minimo comune multiplo si prende il m.c.m. dei coefficienti se sono interi ( senz considerre il loro segno ) e se i coefficienti non sono tutti interi; come prte letterle del minimo comune multiplo si prende il prodotto di tutte le lettere dei monomi prese un sol volt e con il mssimo esponente. Esempi m.c.m. m.c.m. m.c.m. z ; z 6 z ; c ; c m.c.m. ; c c 7

9 Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle in geometri ) Considerimo un qudrto di lto. Come si esprime l su re? Come risult il suo perimetro? A ( ) 9 p ) Considerimo un rettngolo di se e ltezz. Come risult l su re? E il suo perimetro? A p 6 8 ) Consider un tringolo isoscele ABC di se AB 6 e ltezz CH. Come risult l su re? E il suo perimetro? C A Poiché 6 AH e A H B ( ) ( ) 6 9 AC p ) Consider un prllelepipedo rettngolo di dimensioni,,. Come risult l su superficie totle? E il suo volume? S t Sl SB pse 0 0 V 7

10 Progetto Mtemtic in Rete Esercizi di ricpitolzione sui monomi I) Svilupp le seguenti espressioni: ) ( ) : [0 ] ) ( ) ( ) : (9 ) ) [ ( )] ( ) ( ) : ) ( ) ( c : c) 6 ) ( ) : ( ) : ( ) 9 9 [ ] [ ] II) Risolvi i seguenti prolemi: ) Con i dti dell figur trov il perimetro e l re dell zon colort. [ 0 ; ] ) In un tringolo isoscele l se misur 0 e il lto oliquo. Determin perimetro e re. [ 6 ; 60 ] ) Consider un prism se qudrt il cui spigolo di se è e l ltezz 6. Determin superficie totle e volume. [ 90 ; ] ) Consider un cilindro di rggio e ltezz. Determin superficie totle e volume. [ 8 π ; π ] 7