LA SPINTA DELLE TERRE. Per spinta della terra si intende la pressione che un determinato masso di terra esercita contro un opera di sostegno.
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- Oliviero Corsi
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1 L INT DELLE TERRE er spin dell err si inende l pressione ce un deero msso di err eserci conro un oper di sosegno. e con un rmoggi si vers su un pino dell err incoerene (vedi figur, form un cumulo conico, l superficie del cono form un ngolo f rispeo l pino orizzonle, dovuo ll rio r le pricelle di err le une sulle lre. Ogni ipo di erreno il suo vlore crerisico, nell ell soosne sono ripori lcuni vlori. Tipo di err ngolo di rio inerno f sciu Umid gn rgill, mrn rgill mis si o gii Gii ierme e ciooli i fine 6 3 i fine rgillos i gross Terreno vegele Nel cso di erre umide e rgillose (coereni li resisenze dipendono nce dll coesione ce è un forz di desione r i grni di err. e si consider un prism dgio su un superficie pin di err inclin di un ngolo f rispeo l pino orizzonle, il peso del prism pplico nel ricenro mmee due componeni un normle N l pino di scorrimeno e un ngenzile T. L componene N è equilir dll rezione -N del erreno; menre l componene T, ce può provocre uno scorrimeno del prism sul pino inclino viene conrs ed equilir dll'rio To rism di err dgio sull superficie pin di err inclin T T N -N ino di nurl declivio Qundo il pino di scorrimeno è inclino di un ngolo > f il prism di err può scorrere essendo T>T > f = f < f T N g resisenzdi rio il prism può scorrere il prism è in equilirio ( l limie il prism è sile e si volesse considerre l resisenz di rio per unià di superficie cimndo con l're dell superficie di cono l resisenz di rio per unià di superficie di cono, si g
2 nel cso di erre coereni, se è no l coesione c, l resisenz llo scorrimeno è espress secondo Coulom dll equzione : c g Rrmene si iene cono dell coesione percè non sempre è di fcile deerzione, essendo vriile per un sess err in relzione llo so di ensione dell'cqu nei pori. L resisenz d rio dipende dl peso del prism di scorrimeno e dll ngolo di rio inerno f ovvero il coefficiene di rio, Il peso del prism dipende dl peso specifico Teori di coulom g Ricordimo ce per spin delle erre s inende l risulne delle pressioni eserci d un prism di err conro un oper di sosegno. L ngolo formo dll scrp di un volume di err, nurlmene sile, rispeo d un pino orizzonle è definio ngolo d rio inerno. Tue le superfici incline sull orizzonle di un ngolo > cosiuiscono proili pini di scorrimeno del volume di err sovrsne, ce può scivolre vlle. er impedire ce ciò ccd è necessrio sosenere l err frnne con opere cpci di riporre l equilirio: li opere sono i muri di sosegno. L eori di Coulom è s sulle segueni premesse e ipoesi: Il msso di err spingene è incoerene e privo di coesione, ce è un forz di desione r le pricelle di err dipendene dlle loro proprieà cimice e grnulomerice, l resisenz dell desione vle quindi c= Il muro suisce un piccolo cedimeno no ppen è crico dl errpieno rslndo orizzonlmene o ruondo rispeo l puno. Queso cedimeno por un considerevole riduzione dell spin dl vlore di quiee ll spin iv. Lo sposmeno medio uile per rggiungere il vlore limie inferiore dell spin è so vluo d erzgi nell misur di Cedimeno / o rozione rispeo l puno Muro di sosegno uperficie di scorrimeno ino di nurl declivio 3 L superficie di scorrimeno del prism di err è pin, ce in relà è curv, in pricolre per i erreni coesivi, ciò risul vnggios per l silià. 4 L superficie del erreno è orizzonle ed il prmeno del muro di sosegno è vericle. 5 Coulom rscur l rio r err e muro. Ques ipoesi è vnggio dell silià del muro, percé l spin è perpendicolre l prmeno del muro.
3 Il muro suisce un piccolo cedimeno 3 uperficie di scorrimeno uperficie di scorrimeno è pin ino di nurl declivio 5 Coulom rscur l'rio r err e muro 4 L superficie del erreno è orizzonle ed il prmeno del muro di sosegno è vericle. Considerimo un errpieno con superficie orizzonle sosenuo d un prmeno vericle.trccimo il pino di nurl declivio, inclino dell ngolorispeo ll orizzonle, si consider qulsisi prism di err compreso r il prmeno del muro ed un pino inclino > con un profondià di m, m X M ino di nurl declivio Il peso è do dl volume per il peso specifico X g (9 dove X g( 9, quindi ossi g(9 Il muro, compie un piccolo cedimeno in vni di rslzione o di rozione e, di conseguenz nce il prism di err è soggeo d uno scorrimeno. L spin inizile o di quiee conro il prmeno si riduce noevolmene, ques viene cim spin iv e rppresen l spin ce il muro deve conrsre ivmene nell siuzione di silià.
4 ull se di quese ipoesi, l fine di deerre l spin, Coulom si prende in esme un errpieno con superficie orizzonle ce grv su un muro con prmeno inerno vericle. i rcci il pino di nurl declivio M, inclino dell ngolo rispeo ll orizzonle, poi si consider un generico prism di err rcciuso r il prmeno del muro ed il pino di scorrimeno X inclino di un ngolo >, il uo per un profondià di muro pri mero. upponendo ce il muro non i ncor suio il cedimeno inizile, il veore inconr il pino di scorrimeno X nel puno C, in cui può essere scomposo in un componene, perpendicolre l prmeno del muro, e in un componene N, perpendicolre l pino di scorrimeno X: - l componene rppresen l spin di quiee perpendicolre ll pree prim del cedimeno, in quno, come deo nelle ipoesi, non si consider l rio r err e prmeno del muro; - l componene N è l pressione ce gisce sul erreno soosne, il qule regisce con un veore N. Rppresenimo il veore, scomponimo nel veore e nel veore N, x M G ino di nurl declivio C N L spin di quiee g
5 x M G ino di nurl declivio - T C -R -N T C -N T C -N C R r r r Dl momeno in cui il muro cede lungo il pino di scorrimeno le resisenze d rio è do d T N g. Componendo le forz ngenzile l pino di scorrimeno ed pplic l puno C con l rezione N si oiene l rezione effeiv R del erreno, gendo lungo un re d zione r inclin dell ngol rispeo ll normle ll superficie di scorrimeno. erno, un vol ce si vvenuo il cedimeno del muro, il peso deve essere scomposo nelle direzioni r e quell normle l prmeno del muro: ques ulim componene fornisce l spin iv dell err conro il muro g ( Il peso del prism di err di rcci X, pplico nel ricenro G, vle: X in cui X g( 9 er ui i prismi err ne esise uno l qule corrisponde l mssim spin conro il muro, cimo prism di mssim spin ce corrisponde ll iserice dell ngolo formo di pini nurl declivio e del prmeno del muro e vle: 9 sosiuendo g(9
6 upponendo ce il muro non i ncor suio il congruo cedimeno (isne inizile, il veore inconr il pino di scorrimeno X nel puno D, in cui può essere scomposo in un componene, perpendicolre l prmeno del muro, e in un componene N, perpendicolre l pino di scorrimeno X: - l componene rppresen l spin di quiee, prim del congruo cedimeno, perpendicolre ll pree in quno, come deo nelle ipoesi, non si consider l rio r err e prmeno del muro; - l componene N è l pressione ce gisce sul erreno soosne, il qule regisce con un veore N. Rppresenimo il veore con il segmeno -, e lo scomponimo nel veore e nel veore N, rppreseni rispeivmene di segmeni - e -. deerzione grfic dell spin di quiee e dell spin iv L spin di quiee, rppreseno dl segmeno -, vle g ppen vviene il cedimeno del muro per effeo dell spin, il prism di err X scivol lungo il pino X e qui, cus del movimeno, si sviluppno resisenze d rio ce vlgono: T N g Queso percé, ricordndo dll Fisic il compormeno di un corpo su un pino inclino: T f N in cui N è l componene normle l pino inclino di scorrimeno ed f, coefficiene d rio, è do dll ngene dell ngolo d rio r i due merili cono. Componendo le rezioni T e N, si oiene l rezione complessiv R, rppresen dl segmeno -, ruo dell ngolo rispeo l veore N. Queso percé, essendo T = Ng, T e N risulno cei di un ringolo rengolo in cui l ipoenus è rppresen d R. Dopo il cedimeno del muro, quindi, il peso deve essere scomposo in un componene perpendicolre l prmeno e in un componene vene l direzione dell risulne R. Il segmeno - rppresen l spin sull pree, dopo il congruo cedimeno, defini spin iv, e vle: g ( sosiuendo l espressione del peso ; g(9, oenimo: g(9 g( L ngolo può vrire nell inervllo: 9 e in pricolre risul e per e per 9 ; gli infinii vlori di compresi in le inervllo forniscono vlori dell spin ce presenno un vrizione snz simile quell prolic, però solo uno corrisponde l spin mssim. Coulom, per vi sperimenle, deero ce il vlore di le ngolo è:
7 9 ossi il prism di err ce fornisce l spin mssim è delimio dl pino di scorrimeno, con rcci X, iseore dell ngolo formo dl pino cosiuene il frone del errpieno, con rcci, e d quello di nurle declivio, con rcci M per le moivo l eori di Coulom viene nce de eori del prism di mssim spin. osiuendo g(9 g( 9 9 g(9 g( g 8 9 ( 9 g( 9 9 g ( g( g(45 g(45 [ lcuni polinomi sono il risulo di pricolri molipliczioni o di elevmeni poenz di inomi o lri polinomi prodoi noevoli. Conoscendo in nicipo quesi prodoi, è possiile, pplicndo riroso i pssggi, rislire con fcilià i fori ce li compongono r cui : x y ( x y ( x y ] ( g45 g ( g45 g ( g 45 g g (45 Ossi g 9 pin del generico prism di err X Formul fondmenle dell pin di Coulom in un errpieno senz sovrccrico
8 y L re d zione dell spin, se si rscur l rio err muro, è normle l prmeno del muro ed è pplic d un erzo dell su lezz prire dll del muro: il puno C di inconro dell re d zione del peso del prism ringolre col pino di scorrimeno le ce C X e poicé l forz l imo scompos 3 nel puno di cono C nell direzione di rezione del erreno r ed in quell di spin conro il muro normle llo sesso. L proiezione vericle C, ovvero l disnz dell spin dl puno, vle 3 prire dll se. L spin è l risulne di ue le pressioni unirie ce l err eserci nell inero prmeno murrio, dll se ll sommià : quese pressioni unirie vrino secondo un digrmm di riprizione ringolre l cui ordin im, ovvero null, cde nel puno di sommià : menre l ordin mssim, cde nel puno di se. Clcol l spin risulne di deo digrmm, si clcol l ordin mssim imponendo ce l re del digrmm ringolre dev essere ugule ll su risulne si quindi: D cui dn/m L INT DI COULOM NEL CO DI UN TERRIENO CON OVRCCRICO ' Q Q x M +Q ino di nurl declivio n r
9 L risulne del peso proprio e del sovrccrico Q vle: Q X X X oicé X 9 g osiuendo si ricv 9 Q g ( Dl ringolo delle forze (vedi figur si ricv 9 ( Q g Inserendo l poso di +Q si ricv il vlore fornio nell (: 9 g 9 g 9 g Ce del uo simile quell dell spin di un errpieno senz sovrccrico, pre il fore Dopo ver clcolo l spin rccimo il digrmm rpezio delle pressioni unirie lungo l iner lezz del prmeno murrio; il ricenro del digrmm definisce l lezz ove posizion l risulne dell spin conro il prmeno del muro. Voglimo, ppuno, deerre i vlori dell pressione ll se e in sommià del muro, noncé l disnz y dell spin dll se. Essendo due le incognie ( e, occorre risolvere un sisem in cui si pone l spin ugule ll re del digrmm delle pressioni rpezoidle e cioè : nell prim equzione si pone l spin ugule ll re del digrmm delle pressioni; nell second equzione si scrive l proporzione r ringoli simili rppresenivi delle pressioni su un muro lezz e l lro +
10 y ' ; sosiuendo nell second equzione l somm + ce ppre nell prim equzione ; si sosiuisce il vlore di nell prim equzione e si ricv
11 ; eseguendo il imo comune muliplo ll inerno dell prenesi ond nell prim equzione ; Oenendo, così, i vlori dell pressione in sommià e ll se del muro. Ricvimo or l posizione dell spin, come disnz del ricenro del digrmm rpezoidle delle pressioni dll se mggiore. Ricordimo l formul del ricenro del rpezio: 3 y sosiuendo con il vlore di e con il vlore di 3 y meendo in evidenz ( l numerore e l denoore ( ( ( ( 3 y semplificndo, infine, si oiene 3 3 y disnz dell spin dll se del muro OURE
12 d cui er l proporzionlià dei due ringoli con se e cioè: D cui sosiuendo nell prim equzione Ricvimo Dll second equzione si ricv Ricvimo or l posizione dell spin, come disnz del ricenro del digrmm rpezoidle delle pressioni dll se mggiore. Ricordimo l formul del ricenro del rpezio: Il ricenro del digrmm del rpezio nliicmene oenendo l disnz y medine l formul 3 3 y
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{ } 3 [ ] [ ] [ ] [ ] Esercizi per il precorso ( )( ) Prof. Margherita Fochi. 1.- Esercizi sui polinomi. + x. x R. ( )( ) + R. ( )( )( ) a.
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Prof. Mrgherit Fochi Esercizi per il precorso.- Esercizi sui polinomi Semplificre le seguenti espressioni utilizzndo i prodotti notevoli:. ) ) ) ) ) 8 [ ] 8. ) ) ) ) ] [. ) ) ) [ ] { } y y y y y [ ] 8
UNITA 3. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE.
UNITA. LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE.. Generalià sulle equazioni goniomeriche.. Equazioni goniomeriche elemenari con seno, coseno, angene e coangene.. Alri ipi di equazioni goniomeriche elemenari.. Le funzioni
{ 3 x y=4. { x=2. Sistemi di equazioni
Sistemi di equzioni Definizione Un sistem è un insieme di equzioni che devono essere verificte contempornemente, cioè devono vere contempornemente le stesse soluzioni. Definimo grdo di un sistem il prodotto
( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S
Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.
8 Controllo di un antenna
8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno
Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito
Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di
Integrali curvilinei per campi scalari. a, e sia f un campo scalare definito e limitato in un. b = ( b)
Si F F( ) un cur regolre defini in [ ] Inegrli curilinei per cpi sclri pero Ω dello spio ridiensionle che coniene il grfico di F. L inegrle curilineo di f lungo è definio dll uguglin, e si f un cpo sclre
Il problema delle aree. Metodo di esaustione.
INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.
2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
. Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche
x = AP = AC PC = R (θ sen θ) y = PB = PQ + BQ = R (1 cos θ).
L iloide L urv no oggi ome iloide fu onsider per primo d Glileo, he in un primo momeno ongeurò he l re dell figur rhius fosse re vole quell del erhio he l gener Più rdi, forse us di qulhe esperimeno ml
b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0
www.esmths.ltervist.org EQUZIONI DI GRDO SUPERIORE L SECONDO PREMESS Finor simo cpci di risolvere solo equzioni di primo e di secondo grdo. imo imprto che isogn prim condurle form cnonic e poi procede
τ yz =τ zx =0 (14.3)
G. Perui Leioni di Cosruione di Mine 14. MECCANCA DELLA FRATTURA Spesso gli elemeni sruurli sono soggei roure improvvise per solleiioni sie inferiori ll ensione di rour del merile sen e si verifiino deformioni
Equazioni Differenziali (5)
Equazioni Differenziali (5) Daa un equazione differenziale lineare omogenea y n + a n 1 ()y n 1 + a 0 ()y = 0, (1) se i coefficieni a i non dipendono da, abbiamo viso che le soluzioni si possono deerminare
Cinematica ed equilibrio del corpo rigido
inemtic ed equilirio del corpo rigido Spostmenti virtuli Lvori virtuli ed equilirio Determinzione sttic Numero dei vincoli e determinzione pprofondimenti: lvoro virtule pprofondimenti: forze e momenti
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Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 Domde di eori. Vedi p. 399. Vedi pp. 399-400 3. Vedi pp. 40-404 4. Vedi p. 405 5. Vedi pp. 408-4 6. Vedi pp. 4-4 7. Vedi pp. 44-46 8.
Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).
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OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll
Teoria in pillole: logaritmi
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v 0 = 2,4 m/s T = 1,8 s v = 0 =?
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COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione
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