Calcolo delle Probabilità Distribuzioni di probabilità

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1 Calcolo delle Probabilità Distribuzioi di probabilità Istituzioi di Matematiche Scieze Naturali Sergio Cosole Tora alla prima pagia

2 Distribuzioi di probabilità Facciamo u istogramma le cui barre rappresetao le probabilità di vari eveti per u dato esperimeto aleatorio 0,6 0,5 Esempio: lacio di ua moeta: Risultati: TT CT o TC CC Probabilità: 1/4 1/2 1/4 La probabilità può essere pesata come fuzioe dei vari risultati, che possiamo allora vedere come variabili (dette variabili aleatorie) 0,4 0,3 0,2 0,1 Probabilità Idichiamo co p(x=a) la probabilità che la variabile aleatoria X valga a 0 TT CT o TC CC Probabilit à 0,25 0,5 0,25 Tora alla prima pagia

3 La distribuzioe biomiale Suppoiamo di avere a che fare co prove ripetute che di eveti a 2 soli esiti che diciamo covezioalmete successo e isuccesso Ua tale situazioe è detta processo beroulliao se il risultato di ogi prova è u successo o u isuccesso; la probabilità p di successo è la stessa i ogi prova; le prove soo idipedeti: il risultato di ogi prova o iflueza quello delle prove successive Esempi: laci successivi di ua moeta estrazioi co reimbussolameto Tora alla prima pagia

4 Distribuzioe biomiale Biomiale: X= Numero di successi i prove INDIPENDENTI P(X=i)= i p i (1-p) -i Esempio U ura cotiee 10 pallie biache e 23 rosse. Estraggo 4 pallie CON REIMBUSSOLAMENTO. = Qual è la probabilità di estrarre 3 pallie rosse e 1 biaca? Sia p:=probabilità di estrarre ua pallia rossa = 23/33; 1-p=10/33. Devo trovare P(X=3)= 4 (23/33) 3 *(10/33) 0, Tora alla prima pagia

5 Esercizi Il semaforo posto ad u icrocio pericoloso a volte si blocca. L'assessore al traffico è a coosceza che la probabilità che si blocchi u determiato gioro è Poiché è impossibile riparare il semaforo i giorata, l'assessore decide di sistemare all'icrocio altri semafori a fiaco del primo e pertato si chiede quale sia il umero di semafori da sistemare i modo che sia quasi certo che il traffico o si itralci, ossia sia superiore a la probabilità che almeo uo dei semafori fuzioi. Quato vale? Quattro bambii vegoo vacciati cotro il morbillo. Il vaccio attecchisce co probabilità 0.8, garatedo l immuità del bambio alla malattia. Co quale probabilità tutti i bambii risultao immuizzati? Tora alla prima pagia

6 Coefficiete biomiale Teorema biomiale (a+b) = Σ i=0 i a i b -i Abbiamo bisogo di uovi mezzi di calcolo! U foglio più grade potrebbe bastare! 7 2 Triagolo di Pascal 5 3 Tora alla prima pagia

7 La distribuzioe ipergeometrica U ura cotiee b pallie biache e r rosse. Ne estraggo ( b+r) SENZA REIBUSSOLAMENTO. Calcolare la probabilità di estrarre esattamete k pallie rosse. I casi possibili soo I casi favorevoli soo C(r,k)C(b,-k)=! Tora alla prima pagia

8 Esempio Su u autobus soo preseti 25 persoe, di cui 18 sedute. 5 persoe scederao alla prossima fermata. Qual è la probabilità che si liberio esattamete 2 posti a sedere? Ho b=18 persoe sedute e r=7 persoe i piedi Ne scelgo =5 e e voglio k=2 del tipo b Tora alla prima pagia

9 Esercizi Stabilire quale delle segueti situazioi può veire descritta co u modello biomiale e quale co u modello ipergeometrico: Il cotrollore sale sull autobus, sia p=0.05 la probabilità che u passeggero o abbia il biglietto. Co quale probabilità il cotrollore trova due persoe prive di biglietto? U gruppo di 50 lampadie e cotiee 2 difettose. Scelte 5 lampadie a caso, qual è la probabilità che almeo ua sia difettosa? Ogi gioro arrivo alla fermata dell autobus alle ore 8:00. Sia p=0.2 la probabilità che l autobus arrivi etro 5 miuti. Qual è la probabilità che i u mese (30 giori) l autobus o arrivi mai etro 5 miuti? Tora alla prima pagia

10 Tora alla prima pagia Distribuzioe Ipergeometrica/Biomiale (estrazioi seza/co reimbussolameto) P(X=i)= r i N-r -i N P(X=i)= i p i (1-p) -i S e z a R e i m b u s s o l a m e t o C o R e i m b u s s o l a m e t o p r/n = 0.3