Es. 1: 6 punti Es. 2: 12 punti Es. 3: 6 punti Es. 4: 6 punti Es. 5: 3 punti Totale. sin x arctan x lim. 4 x 2. f(x) = x 2

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Violetta Raimonda Pozzi
6 anni fa
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1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo appello, 1 Luglio 010 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Es. 1: 6 punti Es. : 1 punti Es. 3: 6 punti Es. 4: 6 punti Es. 5: 3 punti Totale 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del ite. Studiare la funzione definita da sin x arctan x x 0 + e x 1 + x α. fx = x 4 x. Dominio di f, eventuali simmetrie, segno di f, iti agli estremi, eventuali asintoti, derivata prima, derivabilità di f, dire se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI, derivata seconda, convessità e concavità, grafico di f. 3. Si consideri l equazione differenziale, dipendente dal parametro reale, y t = 3tyt + t. a Determinare la soluzione che si annulla nell origine. b Relativamente a questa soluzione, determinare in modo che yt t 0 t = Studiare, al variare del parametro reale β, la convergenza dell integrale improprio + 3 x x arctan x I = + x β dx Domanda di teoria Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Punteggio minimo per superare la prova = 18 punti. Tempo: due ore.

2 Soluzioni del compito A 1. Utilizzando gli sviluppi di MacLaurin opportuni, si hanno le relazioni di asintoticità sin x arctan x x x x3 6 x3 = x3 3 6 e x 1 + x 1 x + x 1 + x = x per x 0. Di conseguenza, si ha sin x arctan x x 0 + e x 1 + x α = α 6 x 0 x3 α = + 0 +, se α < 3, 3, se α = 3, +, se α > 3.. a Dominio di f: Df = [, ]. Si osservi che la funzione dispari, restringiamo quindi lo studio all intervallo [0, ]. b Limiti agli estremi: f0 = f = 0 c Eventuali asintoti: Nessun asintoto. d Derivata prima: f x = 1 4 x 4 x = x 4 x e Discutere la derivabilit di f: Df = [0,. Inoltre, x f x =. f Studio del segno di f: f > 0 in 0,, f0 = f = 0. g Si dica se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI: f ha un punto di massimo assoluto in x =. h Derivata seconda: f xx 6 x = 4 x x [0,. 4 x i Studio della convessità e della concavità: f x < 0 per ogni x 0, e f 0 = 0. Quindi f concava in 0, e x = 0 un punto di flesso per f. j Grafico di f: x 1 0 1

3 3. Si tratta di un equazione differenziale lineare, il cui integrale generale è y = e 3 tdt e 3 tdt tdt = 3 + ce 3 t c R. Imponendo la condizione y0 = 0, si ha 0 = 3 + c, da cui c = /3. La soluzione cercata è quindi yt = 3 1 e 3 t. Utilizzando lo sviluppo della funzione esponenziale, oppure il ite notevole si ha yt t 0 t = t 0 3 Quindi, 1 e 3 t 3 t = t 0 e x 1 = 1, x 0 x 3 1 e 3 t 3 t yt t 0 t = 1 =. = t 0 e 3 t 1 3 = t. 4. La funzione integranda è continua e positiva sul dominio di integrazione 0, +. Inoltre, non presenta singolarità per x 0 +. Di conseguanza è possibile applicare il criterio del confronto asintotico, nel caso x +. Utilizzando la relazione 1+t α 1+αt per t 0 e per ogni α, abbiamo x 3 x = x 1/3 [ x Poiché valgono anche le relazioni 1/3 1] x 1/ x 1 = 1 3 x /3. + x β x β e arctan x π per x +, infine si ha 3 x x arctan x + x β π 6 x /3 β per x +. Tale integrale converge se, e solo se, β > 1 3.

4 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Terzo appello, 1 Luglio 010 Cognome: Nome: Matricola: Compito B Es. 1: 6 punti Es. : 1 punti Es. 3: 6 punti Es. 4: 6 punti Es. 5: 3 punti Totale 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del ite. Studiare la funzione definita da x 0 + e x 1 x α sin x arctan x. fx = x 3 9 x Dominio di f, eventuali simmetrie, segno di f, iti agli estremi, eventuali asintoti, derivata prima, derivabilità di f, dire se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI, derivata seconda, convessità e concavità, grafico di f. 3. Si consideri l equazione differenziale, dipendente dal parametro reale, y t = 5tyt + t. a Determinare la soluzione che si annulla nell origine. b Relativamente a questa soluzione, determinare in modo che yt t 0 t = Studiare, al variare del parametro reale β, la convergenza dell integrale improprio + 4 x x arctan x I = 3 + x β dx Domanda di teoria Enunciare e dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Punteggio minimo per superare la prova = 18 punti. Tempo: due ore.

5 Soluzioni del compito B 1. Utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, si hanno le relazioni di asintoticità e x 1 x 1 + x + x 1 x = x sin x arctan x x x x3 6 x3 = x3 3 6 per x 0. Di conseguenza, si ha x 0 + e x 1 x α sin x arctan x = 6 α x 0 + x 3+α = +, se α < 3, 3, se α = 3, 0 +, se α > 3.. a Dominio di f: Df = [ 3, 3]. Si osservi che la funzione dispari, restringiamo quindi lo studio all intervallo [0, 3]. b Limiti agli estremi: f0 = f3 = 0 c Eventuali asintoti: Nessun asintoto. d Derivata prima: f x = 1 9 x x. = x x e Discutere la derivabilit di f: Df = [0, 3. Inoltre, x 3 f x = +. f Studio del segno di f: f < 0 in 0, 3, f0 = f3 = 0. g Si dica se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI: f ha un punto di minimo assoluto in x = 3/. h Derivata seconda: f x7 x x = 39 x x [0, 3. 9 x i Studio della convessità e della concavità: f x > 0 per ogni x 0, 3 e f 0 = 0. Quindi f è convessa in 0, 3 e x = 0 è un punto di flesso per f. j Grafico di f: x

6 3. Si tratta di un equazione differenziale lineare il cui integrale generale è yt = e 5 tdt e 5 tdt tdt = 5 + ce 5 t c R Imponendo la condizione y0 = 0 si ha 0 = 5 + c, da cui c = /5. La soluzione cercata è quindi yt = 5 1 e 5 t. Utilizzando lo sviluppo della funzione esponenziale, oppure il ite notevole si ha yt t 0 t = t 0 5 Quindi, 1 e 5 t 5 t = t 0 e x 1 = 1, x 0 x 5 1 e 5 t 5 t yt t 0 t = 1 =. = t 0 e 5 t 1 5 = t. 4. La funzione integranda è continua e positiva sul dominio di integrazione 0, +. Inoltre, non presenta singolarità per x 0 +. Di conseguanza è possibile applicare il criterio del confronto asintotico nel caso x +. Utilizzando la relazione 1 + t α 1 + αt per t 0 e per ogni α, si ha x 4 x = x 1/4 [ x Poiché valgono anche le relazioni 1/4 1] x 1/ x 1 = 1 4 x 3/ x β x β e arctan x π per x +, infine si ha 4 x x arctan x 3 + x β π 8 x 3/4 β per x +. Tale integrale converge se, e solo se, β > 1 4.

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