Introduzione all assicurazione. (Dispensa per il corso di Microeconomia)

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1 Itroduzioe all assicurazioe. (Dispesa per il corso di Microecoomia) Massimo A. De Fracesco Uiversità di Siea December 18, ichiami su utilità attesa e avversioe al rischio Prima di cosiderare il cotesto assicurativo, è utile richiamare i cocetti pricipali della teoria dell utilità attesa itrodotti i altra parte del corso. (Per u aalisi più esauriete rimadiamo al Varia o al Frak ed altre dispese del corso.) Suppoiamo che le prefereze di u idividuo siao rappresetabili mediate ua fuzioe di utilità, avete per semplicità la ricchezza come uico argometo, vale a dire, U = U(W ). Suppoiamo poi che l idividuo voglia cofrotare, i termii della soddisfazioe che e trae, due diverse situazioi, che chiamiamo A e B, i ciascua delle quali la sua ricchezza è ua variabile casuale, vale a dire, ua gradezza che può assumere diverse determiazioi, ciascua co ua speci cata probabilità. I base alla teoria dell utilità attesa, il cofroto tra le due situazioi avviee cofrotado, per l idividuo, l utilità attesa di A co l utilità attesa di B: tra A e B il soggetto preferisce la situazioe caratterizzata dall utilità attesa più elevata: i termii formali, A B ("A è preferita a B") se EU(W A ) > EU(W B ), B A se EU(W B ) > EU(W A ) e A B (A e B soo idi ereti per il soggetto) se EU(W A ) = EU(W B ). U esempio servirà a chiarire quato sopra. Suppoiamo che la fuzioe di utilità dell idividuo sia U(W ) = p W dove W è la ricchezza. Suppoiamo che elle due situazioi A e B la ricchezza dell idividuo sia ua variabile 1

2 casuale co le distribuzioi di probabilità rappresetate rispettivamete dalle tue tabelle sottostati. W A A 16 1=2 36 1=2 W B B 0 1=2 64 1=2 Per il ostro soggetto l utilità attesa di A è EU(W A ) = 2p p 36 = = 5 metre l utilità attesa di B è EU(W p 2 2 B) = p 64 = 4. Vediamo che EU(W A ) > EU(W B ): quidi l idividuo preferisce A a B. Si oti che il valore atteso della ricchezza (la "ricchezza attesa") è miore i A che i B: ifatti, EW A = = 26 < EW 2 2 B = = 32. Tuttavia A B essedo EU(W A ) > EU(W B ). Ciò segala come l idividuo, el valutare due diverse situazioi, o si basi uicamete sul cofroto tra i valori attesi della ricchezza elle due situazioi ma tega ache coto della variabilità della ricchezza (del "rischio") i ciascua situazioe: egli potrebbe, come ell esempio, preferire ua situazioe i cui il valore atteso della ricchezza è miore purché i tale situazioe ache il rischio sia su cietemete miore rispetto all altra situazioe. Siamo a questo puto i grado di itrodurre il cocetto di avversioe al rischio. Avversioe al rischio: U soggetto si dice avverso al rischio quado tra ua ricchezza icerta ( W A ) e ua ricchezza certa ( W C ) pari al valore atteso della ricchezza icerta (cioè, tale che sia W C = EW A ) preferisce la ricchezza certa. Illustriamo questa de izioe per il ostro soggetto co fuzioe di utilità U = p W. Cosideriamo, per esempio, la ricchezza icerta W A sopra descritta, per la quale l utilità attesa è EU(W A ) = 5, e il cui valore atteso è EW A = 26. E cosideriamo ua ricchezza certa W C = 26, cioè pari al valore atteso della ricchezza icerta W A. L utilità attesa del soggetto per questa ricchezza certa è EU(W C ) = 1 p 26 = 5; 099. Vediamo quidi che questo soggetto è avverso al rischio: ifatti, tra la ricchezza icerta W A e la ricchezza certa W C pari a EW A, preferisce la ricchezza certa W C. Avedo de ito il cocetto di avversioe al rischio, possiamo itrodurre il cocetto di equivalete certo di ua ricchezza icerta. 2

3 Equivalete certo. Sia U = U(W ) la fuzioe di utilità di u determiato soggetto e si cosideri ua situazioe (che idichiamo co A) ella quale la ricchezza del soggetto ( W A ) è ua variabile casuale (ua gradezza che può assumere diverse determiazioi, ciascua co ua speci cata probabilità). Per equivalete certo di W A (che idichiamo co EC WA ) itediamo quella ricchezza certa per la quale l utilità del soggetto è uguale all utilità attesa della ricchezza icerta W A : i termii formali, EC WA è tale che U(EC WA ) = EU(W A ). Illustriamo questa de izioe servedoci del ostro soggetto co fuzioe di utilità U = p W e prededo uovamete i esame la situazioe A sopra ipotizzata, i cui EU(W A ) = 5. Ci chiediamo quale sia l equivalete certo di W A. Per de izioe, EC WA deve essere tale che il soggetto, dispoedo co probabilità 1 di tale ricchezza EC WA, abbia ua utilità esattamete uguale a EU(W A ). I altri termii, il soggetto risulta idi erete tra disporre di ua ricchezza certa EC WA e disporre della ricchezza icerta W A. Ovviamete, EC WA è otteuto poedo 1 p EC WA = EU(W A ), cioè p EC WA = 5, da cui si ricava EC WA = 25: Notiamo che l equivalete certo di W A è miore di EW A = 26. Questo fatto o deve sorpredere i quato deriva dall avversioe al rischio del soggetto. Ifatti, come abbiamo visto sopra, il soggetto preferisce avere co certezza ua ricchezza di 26 piuttosto che la ricchezza W A, il cui valore atteso è 26: se è vero questo, è allora ovvio che ua ricchezza certa pari a 26 o potrebbe essere l "equivalete certo" di W A, essedo i realtà superiore all equivalete certo di EW A. Possiamo perciò a ermare che: Per u soggetto avverso al rischio, l equivalete certo di ua ricchezza icerta è miore del valore atteso della ricchezza icerta. Itroduciamo a questo puto il cocetto di premio per il rischio di ua ricchezza icerta. Premio per il rischio relativo a ua ricchezza icerta (de izioe 1). U soggetto, co data fuzioe di utilità U = U(W ), dispoga di ua ricchezza W che è ua variabile casuale. Si de isce premio per il rischio relativo alla ricchezza icerta W la di ereza tra il valore atteso della ricchezza icerta e l equivalete certo della ricchezza icerta, cioè: P W = EW EC W. 3

4 Si oti come, alla luce della precedete de izioe, il premio per il rischio può essere equivaletemete de ito el modo seguete: Premio per il rischio relativo a ua ricchezza icerta (de izioe 2). Per u soggetto, co data fuzioe di utilità U = U(W ), il quale dispoga di ua ricchezza W che è ua variabile casuale, il premio per il rischio relativo alla ricchezza icerta W è la massima somma che il soggetto è teoricamete disposto a pagare per cedere la ricchezza icerta W ed avere i cambio ua ricchezza certa pari al valore atteso della ricchezza icerta. I e etti, la somma massima che il soggetto è teoricamete disposto a pagare (che idichiamo qui co S) per e ettuare la trasazioe sopra descritta è quella somma che lo rede idi erete tra la ricchezza icerta W e ua ricchezza certa pari a EW S: Chiaramete, questa idi ereza si realizza quado la ricchezza certa i questioe è pari all equivalete certo della ricchezza icerta, quado cioè EW S = EC W ; dal che discede che, e ettivamete, S = EW EC W : vale a dire, la somma massima i questioe è proprio il premio per il rischio come era stato de ito i base alla de izioe 1. 2 Prezzo di riserva di u cotratto di assicurazioe Cosideriamo u soggetto co fuzioe di utilità U = U(W ), tale che U 0 > 0 e U 00 < 0 (il soggetto è quidi avverso al rischio). La sua ricchezza risulta iizialmete pari a W ma il soggetto è esposto al rischio di perdere parte della sua ricchezza. Più precisamete, suppoiamo che questa perdita (L) avvega co la seguete distribuzioe di probabilità L L 0 1 L o Pertato, la perdita attesa è EL = (1 ) 0 + L o = L o : Idichiamo co W a la ricchezza del soggetto quado o si assicuri. Ovviamete, W a è ua variabile casuale, che ha la distribuzioe di probabilità rappresetata dalla tabella sottostate 4

5 W a Wa W 1 W L o Il valore atteso della ricchezza del soggetto o assicuradosi è EW a = (1 )W + (W L o ) = W L o. Cosideriamo ora la possibilità che il ostro soggetto assicuri la propria ricchezza. Prederemo qui i esame cotratti assicurativi che prevedao il risarcimeto completo da parte della compagia di assicurazioe, previo pagameto del premio assicurativo (P ) da parte dell assicurato. Per vedere se ci soo o meo le codizioi a ché u cotratto di assicurazioe possa risultare vataggioso sia per il soggetto sia per la compagia, iiziamo co il de ire il "prezzo di riserva", per il soggetto, di u cotratto di assicurazioe. Per prezzo di riserva si itede il premio massimo che il soggetto sarebbe teoricamete disposto a pagare per assicurare completamete la sua ricchezza, vale a dire, per essere itegralmete risarcito della evetuale perdita. Alla luce di questa de izioe, il prezzo di riserva è quel livello del premio per il quale il soggetto assicuradosi o ci guadaga é ci rimette. Per determiare il prezzo di riserva dobbiamo, iazitutto, determiare l utilità attesa del soggetto quado o si assicuri. Questa è EU a = (1 )U(W ) + U(W L o ). Ivece, assicuradosi, l utilità attesa del soggetto è EU a = (1 )U(W P ) + U(W P L o + L o ) = (1 )U(W P ) + U(W P ) = U(W P ): Per de izioe, il prezzo di riserva (P r ) è la soluzioe dell equazioe: EU a = EU a, cioè dell equazioe U(W P r ) = (1 )U(W ) + U(W L o ). Essedo stato chiarito il cocetto di prezzo di riserva, dovrebbe essere chiaro come, davati a ua proposta "predere o lasciare" da parte di ua compagia assicurativa, cosistete ella de izioe di u certo premio P, il soggetto accetterebbe purché il premio proposto o superi P r. 1 E di cruciale importaza compredere che il prezzo di riserva è certamete maggiore della perdita attesa del soggetto o assicuradosi, vale a dire, che P r > L o. Ifatti, se si ri ette sulla de izioe di prezzo di riserva di u cotratto di assicurazioe, ci si rederà coto che si tratta del premio per il quale la ricchezza dell assicurato (la sua ricchezza iiziale meo il premio) è uguale all equivalete certo di W a : formalmete, W P r = EC Wa. 1 Ovviamete, accetterebbe se u suo ri uto della proposta comportasse l impossibilità di assicurarsi. Stiamo cioè escludedo che il soggetto possa etrare i cotatto co altre compagie che possao o rirgli migliori codizioi. 5

6 D altro cato, sappiamo ache che EC Wa < EW a (il soggetto è avverso al rischio) e che EW a = W L o. Si ha perciò che W P r < W L o, da cui P r > L o. Questo risultato o deve sorpredere. Suppoiamo che il soggetto pagasse u premio pari a L o : i tal caso, assicuradosi starebbe meglio che o assicuradosi. Ifatti, pagado u premio pari a L o la sua ricchezza risulterebbe stabilizzata a W L o, che è esattamete il valore atteso della sua ricchezza o assicuradosi. Ciò sigi ca che il soggetto è disposto a pagare u premio ache superiore i ua certa misura a L o se questo fosse ecessario per potersi assicurare: i altri termii, L o è miore del suo "prezzo di riserva". 3 Co molti soggetti esposti a rischi idipedeti si creao i presupposti per l attività assicurativa Suppoiamo ora che ci siao idividui, tutti ella situazioe descritta ella precedete sezioe. Vale a dire: ogi idividuo i ha ua stessa fuzioe di utilità, U i = U(W i ), tale che U 0 > 0 e U 00 < 0, dove W i idica la ricchezza dell idividuo i; la ricchezza iiziale di ogi soggetto è W e ogi soggetto è esposto ad ua perdita L che ha la seguete distribuzioe di probabilità L L 0 1 L o cosicché la ricchezza di ogi soggetto o assicuradosi (W a ) è ua variabile casuale co la distribuzioe di probabilità qui sotto riportata W a L W 1 W L o Sulla base di quato ipotizzato, il prezzo di riserva è lo stesso per ogi soggetto e, come sappiamo, P r > L o. 6

7 Suppoiamo poi che i rischi froteggiati dai diversi soggetti siao statisticamete idipedeti: vale a dire, la probabilità che u soggetto icorra ella perdita L o è idipedetemete dal fatto che la perdita si veri chi o meo per gli altri soggetti. Nell esposizioe che segue supporremo per semplicità che gli uici costi sosteuti dalla compagia cosistao dei risarcimeti dovuti ai soggetti che icorroo elle perdite. Chiaramete, l etità di tali risarcimeti, e quidi il costo totale della compagia, è ua variabile casuale. Suppoiamo che gli soggetti si assicurio. Il ricavo totale della compagia è ua gradezza certa, pari a = P, il umero degli assicurati moltiplicato per il premio pagato da ciascu assicurato. Il costo totale (C) sosteuto dalla compagia può essere scritto come C = L o, vale a dire, il umero totale di risarcimeti,, moltiplicato per l etità di ciascu risarcimeto, L o. Si oti che il umero totale di risarcimeti può essere scritto + ::: + (i) + ::: + (), dove co (i) idichiamo il umero di risarcimeti e ettuato al soggetto i. Ovviamete, (i) è ua variabile casuale beroulliaa, co la seguete distribuzioe di probabilità come = (1) (i) (i) Si ha perciò E (i) = (1 ) =. icordado che = (1) + :::+ (i), si ha che il umero atteso di risarcimeti per la compagia +:::+() è E = E( (1) +:::+() ) = E(1) +:::+E() = +:::+ =. Possiamo a questo puto scrivere l espressioe del pro tto della compagia e da quella ricavare il pro tto atteso. Il pro tto è = C = P L o. Il pro tto atteso è E = E(P L o ) = P L o E = P L o = (P L o ). I altre parole, il pro tto atteso della compagia è pari a ; il umero di assicurati, moltiplicato il pro tto atteso per assicurato (P L o ), pari a sua volta alla di ereza tra il ricavo per assicurato (P ) e il costo atteso per assicurato (L o ). Si è sopra osservato come il prezzo di riserva di ciascu idividuo sia maggiore di L o (la perdita attesa per ciascu idividuo o assicuradosi). Ciò mostra che esiste u itervallo di valori per P tale che la compagia di assicurazioe abbia u pro tto atteso positivo e ogi idividuo tragga u vataggio dall assicurarsi: si tratta dell itervallo (L o ; P r ). Tuttavia, il fatto che P r > L o, cosicché il pro tto atteso risulta pos- 7

8 itivo per ogi P 2 (L o ; P r ), è codizioe ecessaria ma o su ciete a ché l attività assicurativa appaia redditizia ad ua compagia. E vero che ella ostra aalisi assumiamo eutralità al rischio della compagia di assicurazioe: tuttavia, pur cocededo tale ipotesi, l attività assicurativa o viee cosiderata redditizia semplicemete per il fatto che il pro tto atteso è positivo. Ciò i quato la positività del pro tto atteso di per sé o esclude l evetualità di perdite ache igeti, le quali potrebbero addirittura determiare ua situazioe di isolveza della compagia e quidi il suo fallimeto. Laddove ua tale situazioe di isolveza fosse altamete probabile, l attività assicurativa certamete o potrebbe apparire redditizia. Approfodedo ulteriormete questo aspetto, ci si rederà coto che ua ulteriore codizioe, ecessaria per la redditività dell attività assicurativa, è che il umero degli assicurati sia su cietemete "grade", i quato cià rede molto poco probabile il veri carsi di perdite igeti per la compagia. I e etti, discede dalla "legge dei gradi umeri" che, per u umero di assicurati su cietemete elevato, il costo per assicurato e ettivamete sosteuto dalla compagia risulterà, co probabilità prossima all uità, assai vicio al suo valore atteso, L o : pertato, co u umero di assicurati su cietemete elevato, il pro tto e ettivo della compagia risulta positivo (essedo P 2 (L o ; P r ), dove P è il ricavo per assicurato). Tutto questo sarà illustrato qui sotto co u esempio umerico. 3.1 U esempio umerico Ci siao soggetti, ciascuo co fuzioe di utilità U = p W. La ricchezza di ogi soggetto è W = 100 e ogi soggetto è esposto ad ua perdita L (dimiuzioe della ricchezza) che ha la seguete distribuzioe di probabilità L L 0 3=4 64 1=4 La ricchezza di ciascu soggetto o assicuradosi ha perciò la seguete distribuzioe di probabilità: W a Wa 100 3=4 36 1=4 8

9 Quidi, la perdita attesa per ogi soggetto è EL = (1=4) 64 = 16 e la ricchezza attesa è EW a = 84. Per determiare il prezzo di riserva (P r ), dobbiamo iazitutto determiare l utilità attesa di ogi soggetto o assicuradosi: EU a = 4p p 36 = 9. Il prezzo di riserva è tale che EU a = EU a, cioè p 100 P r = 9, da cui P r = 19. Nel prosieguo assumeremo che la compagia ssi u premio pari a P r = 19 (ma potremmo ache supporre u premio alquato miore di 19, cosicché gli idividui abbiao u vataggio etto dall assicurarsi). Per compredere come sia cruciale la gradezza di ai i dello sviluppo dell attività assicurativa, suppoiamo iizialmete = 2. I tal caso, il umero dei risarcimeti che la compagia dovrà e ettuare risulta dato dalla distribuzioe di probabilità riportata qui sotto. 0 9=16 1 6=16 2 1=16 (Applicado i pricipi delle probabilità totali e composte, il umero dei risarcimeti è ifatti 0 co probabilità (3=4)(3=4) = 9=16, è 1 co probabilità (3=4)(1=4)+(1=4)(3=4) = 6=16 ed è 2 co probabilità (1=4)(1=4) = 1=16:) Di cosegueza, il costo totale e il costo per assicurato hao le distribuzioi di probabilità elle due tabelle qui sotto: C = 64 C 0 9= = =16 C= = 64 C 0 9= = =16 Ora, è ovviamete vero, come già sappiamo i geerale, che il costo atteso per assicurato è 16 ( EC = = 16) e quidi miore del premio, cosicché il valore atteso del pro tto della compagia è E = (P EC ) = 2 (19 16) = 6. Tuttavia, vi è ua elevata probabilità che i costi della compagia superio i ricavi (pari a 38): tale probabilità è 6=16+1=16 = 7=16. Acora più importate è l etità delle evetuali perdite. Voledo poi apprezzare l ordie di gradezza, potremmo rapportarle al fatturato della compagia, cioè al totale dei premi riscossi: i questo modo vediamo che la compagia subisce ua perdita, pari o superiore al 68% dei propri ricavi, co probabilità 7=16. 9

10 Le cose stao molto diversamete per su cietemete grade. icordiamo che = (1) + ::: + (i) + ::: + () e che E = E (i). Nel ostro esempio, E (i) = = 1000, E = 250. = 1 4 e quidi E =. Per esempio, se 4 I base alla legge dei gradi umeri, per! 1;! P E = 1 4 (si legge: "la frequeza relativa dei risarcimeti e ettuati coverge i probabilità a E "). Ciò sigi ca che, per su cietemete grade, la frequeza relativa dei risarcimeti risulterà, co probabilità molto vicia ad uo, assai prossima E. La cosegueza è che il pro tto della compagia risulterà quasi certamete positivo. Ifatti, il pro tto della compagia è C = 19 C = 19 = : quidi, co probabilità molto prossima ad uo, il pro tto per assicurato della compagia risulta molto vicio a 19 64E = = = 3 > 0. 4 Vediamo di illustrare questo puto suppoedo, per esempio, = I particolare, determiiamo, per = 1000, la probabilità che risulti compreso ell itervallo [0; 204; 0; 296], vale a dire, la probabilità che risulti compreso ell itervallo [204; 296] (u itervallo, si oti, che è "cetrato" sul umero atteso di risarcimeti, pari a E = 250). Si oti ache che l estremo superiore di questo itervallo è stato scelto i maiera tale che per u umero di risarcimeti appea superiore ad esso (pari cioè a 297) il pro tto e ettivo della compagia risulti egativo (quado P = P r = 19). 2 La probabilità cercata è facile da determiare o appea ci si reda coto che è ua variabile casuale biomiale. La probabilità cercata è duque la seguete: Pr ( 2 [204; 296]) = X296 = Utilizzado u software matematico (per esempio, Maple) si trova che Pr ( 2 [204; 296]) = 0; Quidi la compagia è praticamete certa di o subire perdite. 2 Per = 296 il pro tto è = = 56 > 0 metre per = 297 il pro tto è = = 8 < 0. 10

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