Dato che i tre corpi non scambiano calore con l ambiente esterno, allora la somma algebrica dei calori scambiati deve essere uguale a zero: + Q 3

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1 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) ) re corpi di capacità termica,,, che si trovano alle temperature,,, vengono posti a contatto. Nell ipotesi che i tre corpi non scambino calore con l ambiente, calcolare la temperatura di equilibrio e la variazione di entropia del corpo. ( 000 cal/ ; 00 ; 500 cal/ ; 0 ; 500 cal/ ; 0 ) Dato che i tre corpi non scambiano calore con l ambiente esterno, allora la somma algebrica dei calori scambiati deve essere uguale a zero: I calori scambiati dai tre corpi sono rispettivamente: ( e - ) ( e - ) ( e - ) sostituendo: ( e - ) + ( e - ) + ( e - ) 0 ( + + ) e + + da cui si ricava la temperatura di equilibrio e raggiunta dai tre corpi: e K Il processo di scambio di calore fra i tre corpi è irreversibile in quanto la scambio di calore avviene fra corpi aventi una differenza finita di temperatura. Per calcolare la variazione di entropia del corpo consideriamo il processo reversibile di appoggio in cui il corpo scambia reversibilmente calore con un termostato a temperatura variabile da 7.5 K a e..45 K. a variazione di entropia del corpo può quindi essere calcolata come:.45 d S d f ln ln i a variazione di entropia del corpo è negativa in quanto esso si raffredda. I corpi e invece si riscaldano, quindi aumentano la propria entropia. a somma delle variazioni di entropia dei tre corpi deve essere maggiore di zero in quanto il sistema è isolato ed effettua un processo irreversibile. 49 cal

2 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) ) Un recipiente rigido a pareti metalliche di massa m 9 kg e di volume interno ed esterno approssimativamente uguali e pari a 0 litri è riempito con una massa m ar di argon monoatomico di massa atomica M 40 g/mole e immerso in una vasca contenente acqua alla temperatura 7. Si chiede quale sarà la massima pressione di riempimento del gas perché il recipiente possa galleggiare. (R 8. J/mole K) m H O m ar ffinché il recipiente riempito con argon possa galleggiare, la spinta di rchimede deve bilanciare la forza peso di recipente+gas. uindi deve essere: ρ H mg + m g O ar g Da cui si ricava la massa di gas argon: m ρ O ar H m a pressione del gas all interno del recipiente si può ricavare dall equazione di stato dei gas perfetti: Da cui p m ρ ar p nr R M ( ρ H O m) R ( 0 9) M H O m R M atm dove M 40 g/mole kg/mole, t K ed R0.08 litri atm/ (mol K).

3 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) ) Una mole di gas perfetto monoatomico, inizialmente alla temperatura i, viene raffreddata a volume costante ponendola a contatto con un unica sorgente di calore a temperatura f 00K. a variazione totale di entropia del gas è di -.6 J/K. alcolare la temperatura iniziale i del gas e la variazione di entropia della sorgente. (R 8. J/(mol K)) Il gas effettua una trasformazione irreversibile in quanto viene posto in contatto termico con una sorgente a temperatura f diversa da i (scambio di calore in presenza di differenza finita di temperatura). a variazione di entropia del gas può essere calcolata considerando una trasformazione reversibile di appoggio in cui il gas, mantenuto a cost, è posto a contatto termico con un numero molto grande ( ) di sorgenti di calore aventi temperature (che differiscono di d l una dall altra) comprese tra i e f 00K. a quantità di calore scambiata a volume costante dal gas con le sorgenti è semplicemente d n c d. a variazione di entropia del gas è quindi S gas f f d nc d d f nc nrln i i i S gas f nrln i S nr gas f ln i Da cui si ricava i : f i S exp nr gas S gas f exp nr 400 i K Risulta essere i > f come ci si poteva aspettare dal momento che la trasformazione è isocora e la variazione di entropia negativa. a quantità di calore gas ceduta dal gas (uguale in modulo alla quantità di calore sorg assorbita dalla sorgente) è gas n c (/ R) J a variazione di entropia della sorgente che assorbe una quantità di calore sorg è data da: sorgente 47 Ssorg 4.6J / K 00 sorgente a variazione di entropia dell universo (gas+sorgente) è semplicemente: S Univ S gas + S sorg -.6 J/K J/K 0.56 J/K (> 0 poiché il processo è irreversibile).

4 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 4) Un recipiente, chiuso superiormente da un pistone scorrevole verticalmente senza attrito, contiene n 0 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura 0 50 K. Il pistone e le pareti del recipiente, tranne la base inferiore che è costituita da un cattivo isolante termico, sono impermeabili al calore; la capacità termica complessiva del recipiente e del pistone è 000 cal/k. Il recipiente viene appoggiato su un corpo di capacità termica 000 cal/k e temperatura 400K. Il gas si riscalda molto lentamente e il pistone si innalza molto lentamente fino a che non si raggiunge lequilibrio termico; la quantità di calore scambiata dal corpo con latmosfera esterna è trascurabile. Si calcoli: a) la temperatura finale f del gas; b) la variazione U dellenergia interna del gas; c) il lavoro compiuto dal gas durante tale trasformazione; d) la variazione S dellentropia del corpo. (R.986 cal/mol K), 0 n, a) ll equilibrio il corpo a temperatura si raffredda e si porta ad una temperatura finale f <, cedendo il calore ced. Il sistema gas + recipiente + pistone si riscalda fino alla temperatura f acquistando un quantità di calore ass. somma del calore assorbito da recipiente+pistone e dal calore assorbito a pressione costante (la pressione atmosferica) dal gas. ll equilibrio si ha quindi: dove: ass + ced 0 ass ( f 0 ) + n c p ( f 0 ) e ced ( f )

5 Esplicitiamo i prodotti )( ) + ( ) 0 ( + ncp f 0 f nc ) f ( + ncp ) f ( + P o nc ) + ( + ncp ) o f + ( + e ricaviamo f ( ) 50 + ( + nc ) + + nc b) a variazione di energia interna del gas (monoatomico) è semplicemente: P o f P U nc con R v c v U nr cal P f K c) Il lavoro fatto dal gas durante l espansione isobara si può ricavare dal principio della termodinamica: U U ( ) nc ( ) n c c )( ) nr ( ) cal nc p f 0 v f 0 ( p v f 0 f d) a variazione di entropia del corpo è S f f d d f ln ln 76 cal / K 400

6 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 5) Si usa una pompa di calore per riscaldare un edificio. a temperatura esterna è - 5, mentre allinterno delledificio si mantiene costante la temperatura a. a pompa ha una efficienza η pari a / di quello di un frigorifero di arnot che lavori tra e, e cede alledificio 0 MJ allora. he potenza deve avere il motore della pompa? : 95 K 0 MJ K M.. η/ η 95 K η / η arnot 0 MJ 68 K a pompa di calore non è altro che una macchina frigorifera reale progettata per riscaldare un ambiente interno e non per raffreddare un corpo come un normale frigorifero. In questo caso la sorgente a bassa temperatura ( 68 K) è lambiente esterno, mentre quella ad alta temperatura è linterno delledificio ( 95 K). Un frigorifero di arnot non è altro che una macchina frigorifera realizzata con una macchina di arnot che funziona al contrario prelevando il calore freddo dal termostato freddo e cedendo il calore caldo al termostato caldo. efficienza di un frigorifero di arnot (come pure quella di una qualsiasi macchina frigorifera che lavora fra due termostati a temperature e ) è data da: η arnot freddo caldo freddo freddo

7 a pompa di calore del problema ha un efficienza η η arnot. Esprimendo l efficienza η attraverso i calori scambiati e si ha: onoscendo, è possibile ricavare : η ( η ) η + η η ( + η) η MJ all ora + η +. Possiamo quindi ricavare il lavoro necessario per far funzionare la pompa di calore: η MJ + η + η +. all ora ffinché venga prelevata la quantità di calore (5.5 MJ in un ora) dall ambiente esterno a temperatura è necessario che il motore della pompa faccia un lavoro ( 4.65 MJ in un ora). a potenza del motore della pompa di calore è quindi: P 9W. kw t 600

8 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 6) Una macchina di arnot (M) lavora fra due sorgenti rispettivamente a temperatura e 5 (con < ) producendo in un ciclo un lavoro 0 J. uesto lavoro viene utilizzato per fare compiere un ciclo ad una macchina frigorifera () che opera fra la sorgente a temperatura e un altra sorgente a temperatura 0. Determinare la quantità di calore che la macchina frigorifera sottrae in un ciclo dalla sorgente a temperatura nei seguenti due casi: a) è una macchina irreversibile ed è noto che la variazione di entropia delle tre sorgenti, in un ciclo di funzionamento di M + è S tot 5 0 cal /K ; b) è una macchina reversibile. 9.5 K M 0 J 4.78cal 78.5 K a) Essendo M una macchina di arnot, le variazioni di entropia delle due sorgenti sono uguali in modulo, ma di segno opposto: S e S S a variazione di entropia della sorgente in un ciclo di funzionamento della macchina frigorifera irreversibile è: S Il calore ceduto da al termostato a temperatura è legato al lavoro fatto sulla macchina dalla relazione: + a variazione di entropia della sorgente in un ciclo della macchina frigorifera è quindi: S +

9 a variazione di entropia totale delle tre sorgenti è quindi : S OE S + S + S + S cal/k I primi due termini della somma sono uguali in modulo e di segno opposto (variazione di entropia delle sorgenti in un ciclo della macchina M). vremo quindi S tot S S S cal b) Se è reversibile allora le variazioni di entropia delle sorgenti con cui lavora devono essere uguali in modulo ma di segno opposto S e S S uindi avremo Se la macchina frigorifera è reversibile la sua efficienza η è legata alle temperature delle due sorgenti con cui lavora dalla relazione: η da cui cal η.

10 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 7) Una macchina irreversibile opera tra due sorgenti alle temperature 550 K e 50 K, con un rendimento ρ del 5%. In ogni ciclo, la quantità di calore 00 J viene sottratta alla sorgente a temperatura e fornita al fluido di lavoro nella macchina. a quantità di calore viene ceduta dalla macchina alla sorgente a temperatura. a) Determinare la variazione di entropia dell universo per ogni ciclo di funzionamento. b) uanto lavoro in più potrebbe compiere una macchina reversibile operante tra queste sorgenti che assorbisse in ogni ciclo la stessa quantità di calore? c) acoltativo: dimostrare che, per ogni ciclo, la quantità di lavoro che si rende indisponibile a causa del processo irreversibile è pari a S. a) univ 550 K 550 K 50 K ρ 00 J K Nella risoluzione del problema le quantità di calore scambiate sono considerate quantità positive. a variazione di entropia dell universo è: S univ S macchina + S ma Smacchina 0 perché la macchina lavora ciclicamente, mentre S sorgenti la sorgente calda cede la quantità di calore, mentre la sorgente fredda riceve la quantità di calore. Inoltre conosciamo il rendimento ρ della macchina irreversibile sorgenti ρ 0.5 ρ J + in quanto quindi Ssorgenti K J

11 b) Una macchina reversibile che lavora fra 550K e 50K ha un rendimento ρ rev % 550 onoscendo il rendimento e la quantità di calore assorbita dal termostato caldo possiamo ricavare la quantità di calore ceduta al termostato freddo: 00J ρ rev da cui 76. 6J < a quantità di calore ceduta dalla macchina reversibile al termostato freddo è inferiore a quella ceduta al termostato freddo dalla macchina irreversibile. ρ 0 rev rev ρ 0 irr rev irr J uesta quantità rappresenta il lavoro in più che potrebbe compiere una macchina reversibile che assorbisse in ogni ciclo la stessa quantità di calore di una macchina irreversibile. a variazione di entropia dell universo in un ciclo della macchina irreversibile è: S S 0. univ sorgenti 896 J J K J Per la macchina reversibile vale la relazione: cioè a differenza fra rev e irr può essere riscritta in questo modo: rev irr rev irr S univ Infatti S univ a quantità di lavoro rev - irr che si rende indisponibile a causa del processo irreversibile è chiamata energia inutilizzabile ed è pari a E inutilizzabile S univ

12 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 8) In un recipiente in cui si trova una massa M kg di ghiaccio alla temperatura - 0 si versa una massa M 00 g di acqua alla temperatura 0. a capacità termica del recipiente e la quantità di calore ceduta dal sistema allambiente esterno sono trascurabili. Si calcoli la temperatura E del sistema allequilibrio termico. (c cal/g ; c 0.5 cal/g ; λ 80 cal/g) G M M ffinché la massa M di ghiaccio possa incominciare a fondere è necessario innanzitutto portare la sua temperatura da 0 a 0. a quantità di calore necessaria è: ( -0 fus 0 ) M c G ( fus - ) cal a massima quantità di calore che la massa M di acqua a temperatura può cedere al blocco di ghiaccio M è ( 0 sol 0 ) M c ( sol - ) 00 (0-0) -000 cal uesta quantità di calore non è quindi sufficiente a portare M fino a 0 (servirebbero infatti 0000 cal). a massa M di acqua a 0, in contatto con un blocco di ghiaccio a temperatura inferiore, cede calore al blocco M e comincia a solidificarsi. ffinché l intera massa M passi dallo stato liquido allo stato solido è necessario che essa ceda una quantità di calore,sol pari a:,sol - λ M cal Dopo avere ceduto una quantità di calore pari a +,sol la massa M di acqua inizialmente a 0 si è trasformata in 00 g di ghiaccio a 0. Essendo M (diventata ghiaccio) in contatto termico con il blocco M a temperatura inferiore, entrambi raggiungeranno una temperatura di equilibrio E da determinare. a massa M di ghiaccio per portarsi alla temperatura di equilibrio E cede al blocco M una quantità di calore data da:

13 ( sol 0 E ) M c G ( E -0 ) E 00 E Il blocco M inizialmente a temperatura -0 per portarsi alla temperatura di equilibrio E più alta assorbe (da M ) una quantità di calore data da ( -0 E ) M c G ( E - ) ( E + 0) 500 ( E + 0) Essendo trascurabili le quantità di calore scambiate dal sistema con lambiente esterno (sistema isolato), la somma algebrica delle quantità di calore scambiate da M ed M deve essere nulla: ( -0 E ) + ( 0 sol 0 ) +,sol + ( sol 0 E ) ( E + 0) E E + 00 E E E -000/

14 isica (.. 004/005) Esercizi ( a parte) 9) Una mole di gas perfetto biatomico è sottoposta a un ciclo reversibile costituito da tre trasformazioni: una espansione isoterma da a nella quale, una trasformazione a volume costante da a in cui la pressione è ridotta, una compressione adiabatica da ad. a) Determinare,, U, S per ciascuna trasformazione del ciclo. b) Determinare il rendimento del ciclo e confrontarlo con quello di una macchina di arnot che lavora fra le temperature estreme. (R 8. J/mole K; p 4 x 0 N/m, 0. m ) p n 5 c v R p p isoterma 7 c p R adiabatica isocora c γ c p v 7 5 R R a) Punto : Punto : p nr p 4 x 0 N/m 0. m p K nr m 96.7 K nr p 0. m m 4 N N

15 Punto : 0.6 m Il punto sta nella stessa adiabatica del punto per cui, essendo: p γ costante si ha: p γ p γ γ N da cui p p p γ m p K nr 8. quindi: 0.6 m p N/m 6.04 K γ.4 rasformazione (isoterma): U ( ) 0 perché U dipende solo da, quindi U nr d ( ) pd d nr nr ln ln J ( ) ( ) J S( ) nc ln + nr ln ln 9.J / K rasformazione (isocora): ( ) 0 perché costante uindi U U ( ) n c v n c v ( ) 5/ * 8. ( ) - 7. J U - 7. J calore ceduto S nc ln + nr ln 6.04 ( ) 8. ln J / K

16 rasformazione (adiabatica): ( ) 0 uindi perché adiabatica U ( ) n c v n c v ( ) n c v ( ) - U ( ) 5/ 8. ( ) + 7. J U - ( ) - U ( ) - 7. J S ( ) 0 perchè adiabatica reversibile U S Isoterma Isocora diabatica J J 0 9. J/K - 7. J 0-7. J - 9. J/K 0-7. J 7. J 0 ciclo J J 0 0 b) alcolare il rendimento del ciclo ρ ass ( ) + ( ) ( ) % e temperature estreme sono: 96.7 K 6.04 K ρ % 96.7 ρ < ρ come ci si aspettava

17 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica 0) Un pezzo di materiale solido di massa m s 0. kg viene riscaldato a s 00 e poi immerso in un contenitore a pareti adiabatiche, contenente due litri di acqua inizialmente a a 0. Se la temperatura finale del sistema è di f., si determini il calore specifico c s del solido, assumendo i calori specifici indipendenti dalla temperatura. m s 0. kg a litri x 0 - m m a s 00 m s a 0 f. c s? Il corpo di massa m s, inizialmente alla temperatura s 00, è immerso in un volume di acqua a litri che si trova inizialmente alla temperatura a 0. Il corpo a temperatura maggiore cede calore all acqua a temperatura inferiore. Il recipiente è adiabatico (non ci sono dispersioni di calore), quindi la somma algebrica del calore s ceduto dal solido e del calore a assorbito dall acqua deve essere nulla, cioè: e quindi s + a 0 s - a () a quantità di calore s ceduta dal corpo solido è pari a: s m s c s ( f - s ) a quantità di calore a assorbita dall acqua è data dalla: a m a c a ( f - a ) ρ a a c a ( f - a ) dove ρ a 000 kg/m e c a cal/(g ). 000 cal/(kg ) Sostituendo nella (), si ottiene: da cui m s c s ( f - s ) - ρ a a c a ( f - a ) c s ρ c a m ( s a f a ( f a ) ) s 000 (. 0) 0. (. 00) cal 9.9 kg 90.5 J. kg

18 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) ) engono fatti espandere adiabaticamente m 00 g di azoto (N ) fino a compiere un lavoro 50 J. onsiderando il gas perfetto, si calcoli la temperatura finale sapendo che quella iniziale è di 40. (a massa molare dell azoto N è M o 8 g/mole; R 8. J/(mol K)) N 40 50J m 00 g M o 8 g/mole 40.5 K 50 J R 8. J/mole K Per il primo principio della termodinamica si ha che: U Il gas effettua una trasformazione adiabatica, allora 0, quindi: U n c - n c ( ) - quindi Il gas N è biatomico quindi n c n c - () nc 5 c R. Il numero di moli n si ricava dividendo la massa m del gas N per la massa molare M o cioè: Sostituendo nella () si ottiene: n m 00. moli M K nc

19 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) ) Una macchina irreversibile funziona scambiando calore con due sorgenti alle temperature 00 K e 50 K. In un ciclo essa produce un lavoro 0 cal e la variazione totale di entropia dell universo è S 0.0 cal/k. alcolare il rendimento ρ della macchina. M.. 00 K 50 K 0 cal S universo 0.0 cal/k ρ? Nella risoluzione del problema le quantità di calore e assorbita e ceduta dalla macchina sono considerate come quantità positive. on questa scelta il lavoro fatto dalla macchina è pari semplicemente alla differenza fra il calore assorbito e il calore ceduto : - Per calcolare il rendimento ρ della macchina è necessario ricavare il calore assorbito. Una relazione fra e si ottiene osservando che il lavoro fatto dalla macchina è pari a 0 cal: 0 cal Una seconda relazione fra e si può ottenere calcolando la variazione di entropia dell universo in un ciclo della macchina, visto che la traccia fornisce il suo valore S universo 0.0 cal/k. a variazione di entropia dell universo S universo è semplicemente la somma delle variazioni di entropia della macchina e delle due sorgenti. S universo S macchina + S + S a variazione di entropia della macchina S macchina in un ciclo è nulla in quanto l entropia è funzione di stato (lo stato finale della macchina è identico a quello iniziale). a sorgente a temperatura cede una quantità di calore alla macchina, quindi la sua variazione di entropia S è negativa. a sorgente a temperatura, al contrario, acquista dalla macchina una quantità di calore, quindi la sua variazione di entropia S è positiva. uindi S universo S + S

20 Otteniamo così la seconda relazione fra e : Mettendo a sistema le due relazioni ricavate sopra si ottengono i valori di e : Dalla prima equazione si ottiene: - 5 ( + 0) cal Sostituendo nella seconda si ottiene il valore di : cal Il rendimento cercato è quindi ρ %

21 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) ) Una mole di azoto (N ) occupa inizialmente un volume 0 0 l alla temperatura K. Il gas compie una espansione adiabatica irreversibile a seguito della quale il volume raddoppia. Il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione è 50 J. Determinare: a) la temperatura e la pressione del gas quando si è stabilito di nuovo lequilibrio termodinamico; b) la variazione di entropia nel processo. R 8. J/(mol K) 0.08 litri atm (mol K) azoto (N ) è biatomico, quindi il calore specifico molare a volume costante è 5 c v R. Il gas compie una espansione adiabatica irreversibile durante la quale compie un determinato lavoro esterno. pplicando il primo principio della termodinamica alla trasformazione effettuata dal gas si ha: U in quanto 0 in una trasformazione adiabatica. D altra parte la variazione di energia interna U in un gas perfetto che effettua una trasformazione qualsiasi tra due stati che differiscono di in temperatura è sempre data da U n c v. uindi n c v n c v ( f i ) da cui si ricava la temperatura finale di equilibrio: ncvi f i 40K ncv nc 5 v 8. Dall equazione di stato dei gas perfetti, possiamo ricavare il valore della pressione nel nuovo stato di equilibrio termodinamico: p f f n R f p nr f f. 4 f 0 a variazione di entropia del processo può essere calcolata utilizzando l espressione generale per la variazione di entropia di un gas perfetto fra due stati termodinamici I ( i, i ) ed ( f, f ) S nc atm f f ln + nr ln 8. ln + 8. ln J / K i i

22 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 4) Si considerino due macchine termiche che funzionano con le stesse due sorgenti di calore alle temperature 50K e 500K. a prima macchina opera secondo un ciclo di arnot assorbendo una quantità di calore 400J dalla sorgente alla temperatura. a seconda macchina descrive invece un ciclo irreversibile il cui rendimento è ρ 0.5. Il lavoro prodotto dalle due macchine è il medesimo. Determinare : a) il lavoro prodotto in un ciclo; b) la variazione di entropia dell universo che accompagna ogni ciclo della macchina irreversibile. RNO 500K 50K 400J (calore assorbito arnot)? a) Il rendimento della macchina di arnot è dato da: ρ arnot % da cui si ricava immediatamente la risposta al quesito a): ρ arnot J

23 b) ρ 0.5 Macchina irreversibile Indichiamo con l apice tutte le grandezze relative alla macchina irreversibile. Il lavoro fatto dalla macchina irreversibile è uguale a quello (700 J) fatto dalla macchina di arnot. Per calcolare la variazione di entropia che accompagna ogni ciclo della macchina irreversibile abbiamo bisogno di conoscere il calore assorbito dal termostato a temperatura e il calore ceduto al termostato a temperatura. onoscendo il rendimento ρ della macchina irreversibile possiamo calcolare il calore assorbito dalla macchina: 700 ρ 000J ρ 0.5 Il calore ceduto dalla macchina irreversibile al termostato a temperatura più bassa sarà quindi dato da: J a variazione di entropia dell universo per ogni ciclo della macchina irreversibile è data solamente dalla variazione di entropia delle sorgenti, in quanto la variazione di entropia della macchina in un ciclo è nulla (l entropia è una funzione di stato) S sorg + +.J / K

24 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 5) Un gas perfetto descrive un ciclo reversibile costituito dalle trasformazioni: adiabatica, isoterma e isocora. alcolare il rendimento del ciclo sapendo che. p isocora adiabatica isoterma isocora adiabatica isoterma (poiché isocora) (poiché isoterma) Il rendimento del ciclo è dato dalla: ρ ass ass ass ced si devono quindi calcolare ass e ced. In questo ciclo: 0 (poiché trasformazione adiabatica) ass n c v n c v ( - ) n c v ( ) n c v ( ) n c v nr ced d nr d nr ln nr ln quindi, essendo

25 ced nr ln Il rapporto / si può calcolare considerando la trasformazione (adiabatica) per la quale vale la seguente: da cui e quindi, essendo n ed R costanti: nr P γ cost γ cost γ - cost pplicata alla trasformazione si ha: da cui e: γ γ γ γ c p Sapendo che γ e che c p - c v R (relazione di Mayer) si ha: c v c p c p cv R γ oppure c c c v v v R c v γ ced nr ln nr ln γ nr ln cv R cv nr R ln ncv ln uindi il rendimento ρ risulta essere: ρ ass ced ncv ln + ln 0. nc ass v

26 isica ( ) Esercizi ermodinamica 6) Una macchina di arnot ha un rendimento ρ %. e due sorgenti a temperatura costante differiscono di 75 K. Sapendo che il lavoro prodotto in un ciclo è 00 J calcolare: a) le due temperature e ( con > ); b) la quantità di calore assorbita dalla macchina di arnot dalla sorgente a temperatura e la quantità di calore ceduta dalla macchina di arnot alla sorgente a temperatura ; c) le variazioni di entropia (con il loro segno) S e S di ciascuna delle due sorgenti d) la variazione di entropia dell universo Suniv. p ρ % K 00 J a)?? b)? D c)? d) S? S? e) S UNI? a) onsideriamo le quantità di calore e come quantità positive. on questa scelta il rendimento ρ della macchina di arnot è: ρ quindi e ρ K 4K ρ 0. ( ) K b) Essendo e quantità positive, il lavoro prodotto in un ciclo è pari alla differenza fra e : Inoltre 00 J

27 bbiamo quindi le seguenti due relazioni nelle due incognite e : Risolvendo da cui 909J 709J d) a variazione di entropia della sorgente è: a variazione di entropia della sorgente è: 909 S.66 J / K S +.66 J / K 66 e) a variazione di entropia dell universo in un ciclo della macchina di arnot (o di una qualunque macchina termica reversibile che lavori fra e ) risulta quindi essere: S UNI S + S

28 isica ( ) Esercizi ermodinamica 7) Un gas perfetto monoatomico compie, a partire da un certo stato iniziale, una trasformazione isocora fino a una pressione doppia di quella iniziale, assorbendo una quantità di calore 45 cal. Si calcoli il lavoro compiuto dal gas se, a partire dallo stesso stato iniziale, esso compie invece una trasformazione isobara che ne fa raddoppiare il volume. p 0 p 0 I G 0 0 Il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione isobara da I a G è semplicemente ( 0 0 ) p0 0 p 0 p0 a quantità p 0 0 entra nell equazione di stato dei gas perfetti: p 00 nr0 Nella trasformazione isocora da I ad il gas passa da una pressione iniziale p i p 0 a una pressione finale doppia p f p 0. a temperatura finale f sarà quindi doppia di quella iniziale. Infatti ( p nr f nr nr f ) f 0 Passando da I ad il gas monoatomico ( c v R ) assorbe una quantità di calore 45 cal: ( f 0 ) ncv ( 0 0 ) ncv0 ncv ncv n R 0 nr 0 Possiamo quindi ricavare la quantità cercata p 0 0 : p 0 0 p Il lavoro compiuto dal gas nella trasformazione isobara da I a G è quindi p00 45cal. 0cal. 0 0

29 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 8) Un blocco di ghiaccio di massa m g alla temperatura -0 è immerso in 00g di acqua alla temperatura 7. alcolare la temperatura finale di equilibrio e la quantità di ghiaccio sciolta nei due casi: a) m g 00g; b) m g 0g; (c a cal/g ; c g 0.5 cal/g, λ fus 80 cal/g) m g m a a) Nel primo caso una massa m g 00g di ghiaccio viene immersa in m a 00g di acqua. Per ricavare la quantità di ghiaccio sciolta, osserviamo che affinché il ghiaccio inizi a sciogliersi deve innanzitutto portarsi dalla temperatura iniziale -0 alla temperatura fus 0, assorbendo calore dall acqua circostante. a quantità di calore necessaria per il riscaldamento del ghiaccio da - 0 a 0 è: g ( -0 fus 0 ) m g c g cal a massa m a di acqua con cui il ghiaccio è in contatto termico può fornire al ghiaccio al massimo una quantità di calore a,max che corrisponde a un raffreddamento dell intera massa d acqua m a fino alla temperatura di solidificazione dell acqua sol 0 : a,max ( 7 sol 0 ) m a c a cal Essendo a,max > g allora il ghiaccio può assorbire dall acqua circostante il calore necessario a passare da -0 a 0. ssorbendo ulteriormente calore il ghiaccio comincia a fondere. a quantità di calore necessaria affinché l intera massa m g di ghiaccio si fonda può essere ricavata dalla relazione: fus λ fus m g cal a quantità di calore necessaria per la fusione dell intera massa di ghiaccio è superiore alla massima quantità di calore che l acqua circostante può fornire fus > a,max. Non tutta la massa di ghiaccio può quindi passare allo stato liquido, con il risultato che coesisteranno in equilibrio acqua e ghiaccio. a temperature di equilibrio e risulterà quindi essere la temperatura di fusione fus 0.

30 a quantità m g di ghiaccio fusa può essere ricavata dalla conservazione dell energia. a quantità di calore massima a,max che l acqua circostante può fornire serve ad innalzare la temperatura del ghiaccio da -0 a 0, e a fondere solo una parte m g di ghiaccio: a,max g ( -0 fus 0 ) + m g λ fus da cui: m g 00 m g 7. 5g 80 b) Nel secondo caso una massa m g 0g viene immersa in m a 00g di acqua. a quantità di calore necessaria adesso per il riscaldamento di soli 0 grammi di ghiaccio da -0 a 0 è: g ( -0 fus 0 ) m g c g cal a quantità di calore necessaria per fondere i 0 grammi di ghiaccio è pari a: fus λ fus m g cal a quantità di calore massima a,max 700 cal che l acqua circostante può fornire è adesso sufficiente per innalzare la temperatura di m g 0g di ghiaccio da -0 a 0 (servono infatti solo 50 cal)e per fondere l intera massa di ghiaccio (servono infatti solo ulteriori 800 cal). ssorbendo quindi solo 850cal dall acqua circostante l intera massa m g 0g di ghiaccio fonde e si ottengono 0 grammi di acqua a 0. ssorbendo ulteriormente una quantità di calore (0 t e ) dalla massa m a 00g di acqua circostante a più alta temperatura, i 0 grammi di acqua a 0 e la massa m a 00g si porteranno a una temperatura intermedia di equilibrio t E. Se si indica a la quantità di calore ceduta dalla massa m a 00g di acqua che si porta dalla temperatura 7 alla temperatura di equilibrio t e, il bilancio dei calori scambiati può essere scritto come: a ( 7 t e ) g (-0 0 ) + fus + (0 t e ) m a c a (7 - t e ) m g c a ( t e - 0 ) 00 (7 - t e ) ( t e - 0 ) t e t e da cui t e t e 0 t e 850 e quindi 850 t e

31 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 9) Una kmole di gas perfetto biatomico è contenuta in un recipiente adiabatico munito di pistone di volume i 0.5m. on il pistone bloccato il contenitore viene posto in un ambiente la cui pressione è mantenuta costante al valore p Pa. d un certo istante si sblocca il pistone e il gas si espande fino a raggiungere l equilibrio meccanico con l ambiente. Si osserva una diminuzione di temperatura - 0 K. alcolare il volume finale f del gas. n m p Pa Il recipiente è adiabatico, quindi il calore scambiato con l esterno è nullo ( 0 ). Il lavoro fatto dal gas sull ambiente esterno a pressione p 0 costante è semplicemente: Dal primo principio della termodinamica: U 0 p a variazione di energia interna del gas perfetto biatomico (c 5/ R) è 5 U nc 000 R ( 0) 50000R f i p 0 U p m m f i

32 isica (.. 004/005) Esercizi ermodinamica ( a parte) 0) Un gas perfetto biatomico subisce una trasformazione a seguito della quale la pressione varia da p o Pa a p Pa. Il calore netto scambiato durante la trasformazione è 608 J. Sapendo che il volume finale è uguale a quello iniziale ( o l) determinare: a) la variazione di energia interna U subita dal gas; b) il lavoro fatto dal gas. Il fatto che i volumi iniziale e finale sono uguali non è sufficiente per dedurre che il lavoro è nullo (la trasformazione, cioè, non è isocora); infatti il lavoro dipende dalla trasformazione subita dal gas ed il suo valore può essere determinato dal primo principio della termodinamica: - U a variazione di energia interna di un gas perfetto risulta essere: U n c v ( - 0 ) e temperature iniziale e finale si determinano dall equazione di stato del gas perfetto: 0 p00 p p e nr nr nr 0 a variazione di energia interna risulta: p p cv J nr nr R U n c v ( p p ) Il lavoro del gas risulta quindi: - U J.