Lezione 5: Richiami di termomeccanica dei mezzi continui
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- Timoteo Salerno
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1 Lezione 5: Richiami di termomeccanica dei mezzi continui Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di Perugia Dottorato Internazionale Congiunto Firenze Braunschweig Firenze, Febbraio 2014
2 Sommario 1 Termodinamica dei sistemi omogenei Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale 2 Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore 3 4
3 Sistema. Ambiente Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Si definisce sistema S una parte dell universo, intesa come una regione aperta regolare dello spazio Euclideo tridimensionale R 3. Si definisce ambiente A il complemento ad S di E: A = E S
4 Sistemi aperti. Sistemi isolati Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Un sistema S è detto aperto quando può scambiare materia con l ambiente. Altrimenti è detto chiuso. Un sistema S è detto isolato quando non può scambiare energia con l ambiente, sotto forma di calore o lavoro compiuto dalle forze esterne (di volume, di superficie) su S.
5 Variabili di stato Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Si definisce variabile di stato χ α una grandezza macroscopica (scalare, vettoriale, tensoriale, etc.) caratteristica del sistema S (es.: massa; temperatura; stato tensionale). Una variabile di stato è detta estensiva se, all interno di un sistema S omogeneo, essa risulta proporzionale alla massa di S. Una variabile di stato che non dipenda dalla massa del sistema è detta intensiva. Per ciascuna variabile estensiva del sistema S, si ammette l esistenza di una corrispondente grandezza specifica i.e., per unità di massa con il carattere di variabile intensiva. Ciò consente di analizzare il comportamento del sistema utilizzando solo variabili intensive.
6 Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Stati termodinamici. Equilibrio termodinamico Lo stato termodinamico E(S, t) di un sistema S all istante t è definito dall insieme delle variabili di stato che caratterizzano univocamente il sistema in tale istante: E := {χ 0, χ 1,... χ n } t Uno stato E(S) è uno stato di equilibrio se i valori delle variabili di stato χ α (α = 0, 1,..., n) che lo caratterizzano rimangono costanti nel tempo. L insieme di tutti i possibili stati di equilibrio di S (varietà differenziale) è indicato con il simbolo V(S).
7 Trasformazioni Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Si definisce trasformazione F(E 1, E 2 ) il processo che porta il sistema S dallo stato di equilibrio E 1 allo stato di equilibrio E 2. Quando lo stato finale coincide con quello iniziale, la trasformazione è detta ciclica.
8 Trasformazioni reversibili e irreversibili Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Una trasformazione del sistema S è detta reversibile se l evoluzione del sistema in senso inverso implica l inversione delle azioni esterne agenti su S. Altrimenti la trasformazione è irreversibile.
9 Lavoro. Calore Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Un sistema S scambia energia con l ambiente attraverso: Lavoro meccanico compiuto sul sistema dalle forze esterne agenti (di volume, di contatto); Trasmissione di calore attraverso la frontiera S; Generazione di calore dovuta alla presenza di sorgenti di calore distribuite al suo interno.
10 Lavoro. Calore Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Siano: P inp = Q inp = Potenza trasmessa ad S dalle forze esterne Quantità di calore assorbita da S nell unità di tempo Il lavoro compiuto dalle forze esterne su S nella trasformazione F(E 1, E 2 ) è dato da: L inp (E 1, E 2 ) = t2 t 1 P inp dt La quantità di calore assorbita da S nella trasformazione F(E 1, E 2 ) è data da: t2 Q inp (E 1, E 2 ) = Q inp dt t 1
11 Primo principio della termodinamica Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale L esperienza mostra che, nel corso di una qualunque trasformazione ciclica F(E 1, E 1 ), si ha, in generale: P inp dt 0 Qinp dt 0 L esperienza mostra anche che, per la stessa trasformazione: (P inp + Q inp ) dt = 0
12 Primo principio della termodinamica Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Esiste pertanto una funzione di stato E tot, tale che, per una generica trasformazione F(E 1, E 2 ) (E tot ) 2 (E tot ) 1 = t2 t 1 ) (P inp + Q inp dt Primo principio della termodinamica: de tot dt = P inp + Q inp (1)
13 Primo principio della termodinamica Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale L energia totale può essere considerata somma di due contributi: l energia cinetica K e l energia interna U: E tot = K + U Il primo principio della termodinamica può dunque essere espresso nella seguente forma alternativa: du dt + dk = P inp + Q dt inp (2)
14 Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Il secondo principio della termodinamica: premesse Il primo principio della termodinamica stabilisce la convertibilità del calore in lavoro e viceversa, ma senza porre alcuna restrizione a tale processo. L esperienza mostra tuttavia che tale conversione non è sempre possibile e che non tutte le trasformazioni che un sistema può subire sono necessariamente reversibili. Il secondo principio della termodinamica stabilisce la natura delle restrizioni imposte ai trasferimenti di energia da una forma all altra, e la direzione di evoluzione delle trasformazioni irreversibili.
15 Teorema di Carnot (principio zero) Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Esistono una scala universale della temperatura T detta temperatura termodinamica o temperatura assoluta ed una funzione di stato S detta entropia tale che, per ogni trasformazione reversibile: ( Qinp) = T ds T > 0 inf(t) = 0 dt rev Per una trasformazione reversibile F(E 1, E 2 ) si ha: S 2 S 1 = t2 t 1 1 T Q inp dt
16 Secondo principio della termodinamica Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale Secondo principio della termodinamica: Per un sistema S soggetto ad una qualunque trasformazione F(E 1, E 2 ) (reversibile o irreversibile) si ha: ds dt 1 T Q inp S 2 S 1 t2 t 1 1 T Q inp dt (3) dove il segno di eguaglianza si applica solo alle trasformazioni reversibili. Enunciato di Clausius: In un sistema isolato ( Q inp = 0) l entropia non può diminuire: S 2 S 1 0 (4)
17 Termodinamica dei sistemi continui Definizioni Primo principio della termodinamica Teorema di Carnot e secondo principio della termodinamica Applicazione ai mezzi continui: postulato di stato locale I principi della termodinamica classica, sviluppati con riferimento a sistemi omogenei ed in evoluzione infinitamente lenta, possono essere applicati ai mezzi continui (mono o multifase) sulla base del cosiddetto: Postulato di stato locale (Rispetto al tempo). Lo stato corrente di un sistema S soggetto ad un arbitrario processo di evoluzione non dipende dalla velocità della trasformazione ed è caratterizzato dalle stesse variabili di stato che definiscono le condizioni di equilibrio. (Rispetto allo spazio).il comportamento termodinamico di un sistema continuo S è determinato da quello degli elementi materiali dv che lo costituiscono. Ciascuno di tali elementi può scambiare calore o lavoro con gli elementi contigui, e può essere considerato un sistema omogeneo caratterizzato dai valori che le grandezze di stato assumono localmente.
18 Potenza trasmessa al sistema Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore La potenza trasmessa dalle forze di volume ρbdv e di superficie tda alla generica parte = ϕ(p) di un mezzo continuo S t = ϕ(b) è data da: P inp = ρb v dv + t v da
19 Potenza trasmessa al sistema Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Sfruttando i teoremi di Cauchy e della divergenza, si ha: P inp = ρb v dv + t v da = {ρb v + div(σv)} dv Si osservi ora che: 1) div(σv) = div σ v + σ grad v = div σ v + σ d 2) (div σ + ρb) v = ρa v = 1 2 ρ d (v v) dt Mediante tali relazioni si perviene alla seguente espressione alternativa per la potenza trasmessa: P inp = σ d dv + ρa v dv = σ d dv + d 1 ρv v dv dt 2
20 Teorema della potenza trasmessa Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Definizioni: K := 1 2 P def := σ d dv ρv v dv (energia cinetica) (potenza di deformazione) Teorema della potenza trasmessa P inp = P def + dk dt (5)
21 Flusso di calore e sorgenti termiche Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Detti: i) J Q (n) il flusso di calore per unità di area che entra nel sistema attraverso l elemento di superficie da (funzione della orientazione n della normale in da); ii) r la quantità di calore prodotta per unità di massa all interno del mezzo, si ha: Q inp = ρ r dv + J Q (n) da
22 Flusso di calore e sorgenti termiche Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Teorema di Cauchy per il flusso di calore Il flusso J Q è una funzione lineare di n. Esiste un vettore flusso di calore q tale che: J Q (n) = q n Risulta dunque: Q inp = ρ r dv q n da (6)
23 Primo principio in forma Euleriana Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Sia u(x, t) l energia interna specifica (per unità di massa) del sistema. Si ha dunque: U = ρ u dv Tenendo conto delle eq. (5) e (6), il primo principio della termodinamica assume la forma seguente: ρ du dt dv = σ d dv + ρ r dv q n da (7)
24 Primo principio in forma Euleriana Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Sfruttando il teorema della divergenza, si ha: 0 = ρ du dt dv σ d dv + div q dv ρ r dv { = ρ du } dt σ d + div q ρ r dv Per l arbitrarietà del dominio, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale Euleriana del primo principio della termodinamica: ρ du dt σ d + div q ρ r = 0 (8)
25 Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Primo principio in forma Lagrangiana Trasformando gli integrali che quantificano U, P def e Q inp in integrali definiti sulla configurazione di riferimento, si ha: U = ρ u dv = U dv P P def = σ d dv = S de P dt dv Q inp = ρ r dv q n da = R dv Q N da P P Nelle precedenti espressioni: S := JF 1 σf T = F 1 P è il secondo tensore delle tensioni di Piola Kirchhoff, mentre: U := Jρ u R := Jρ r Q := JF 1 q E := 1 (C 1) 2
26 Teorema della potenza trasmessa Caratterizzazione del flusso di calore Primo principio in forma Lagrangiana Il primo principio della termodinamica, eq. (1), richiede allora che: du 0 = dt dv S de dt dv + Q N da R dv = P P P { du dt S de } + div Q R dv dt P Per l arbitrarietà del dominio P, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale Lagrangiana del primo principio della termodinamica: du dt S de + div Q R = 0 (9) dt
27 Secondo principio in forma Euleriana Sia s(x, t) l entropia specifica (per unità di massa) del sistema. Si ha dunque: S = ρ s dv Tenendo conto delle definizioni di q ed r, il secondo principio della termodinamica assume la forma seguente: ρ ds dt dv ρ r T dv 1 q n da (10) T
28 Secondo principio in forma Euleriana Sfruttando il teorema della divergenza, si ha: ρ ds dt dv ( ) ρ r 1 T dv + div T q dv = { ρ ds dt ρ r T + 1 T div q 1 } T 2 q grad T dv 0 Per l arbitrarietà del dominio, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale Euleriana del secondo principio della termodinamica: ξ := ρ ds dt ρ r T + 1 T div q 1 q grad T 0 (11) T 2 La quantità ξ è definita tasso di produzione di entropia per unità di volume.
29 Secondo principio in forma Lagrangiana Trasformando gli integrali che compaiono nell eq. (10) in integrali definiti sulla configurazione di riferimento, si ha: d d ds ρ s dv = (Jρ s) dv = dt P dt P dt dv dove: ρ r T dv = Jρ r P T dv = R P T dv 1 T q n da = P 1 T Q N da S := Jρ s R := Jρ r Q := JF 1 q
30 Secondo principio in forma Lagrangiana Il secondo principio della termodinamica, eq. (10), impone che: P ds dt dv P P ( ) R 1 T dv + div P T Q dv = { ds dt R T + 1 T div Q 1 } T 2 Q grad T dv 0 Per l arbitrarietà del dominio P, il teorema di localizzazione fornisce la seguente forma locale Lagrangiana del secondo principio della termodinamica: Ξ := ds dt R T + 1 T div Q 1 Q grad T 0 (12) T 2 La quantità Ξ è definita tasso di produzione di entropia per unità di volume nella configurazione di riferimento.
31 Funzione di dissipazione Si definisce funzione di dissipazione D la grandezza scalare: D := Tξ = ρ T ds dt ρ r + div q 1 T q grad T 0 La funzione di dissipazione rappresenta l energia dissipata nel sistema (per unità di volume) a causa di processi di natura irreversibile che avvengono al suo interno (es.: sviluppo di deformazioni plastiche; flusso di calore in presenza di gradienti termici, etc.).
32 Funzione di dissipazione Una espressione alternativa più utile per D si ottiene tenendo conto della prima legge della termodinamica, per la quale: div q ρ r = ρ du dt + σ d Si ha: ( du D = ρ dt T ds ) + σ d 1 dt T q grad T 0
33 Diseguaglianza di Clausius Duhem Definizione: Si definisce energia libera di Helmholtz la funzione di stato: Tenendo conto di tale definizione, si ha: ψ := u Ts (13) du dt T ds dt = dψ dt + sdt dt Dalla espressione della funzione di dissipazione si ottiene dunque la seguente diseguaglianza di Clausius Duhem: ( ) dψ D = ρ dt + sdt + σ d 1 q grad T 0 (14) dt T
34 Diseguaglianza di Clausius Duhem La funzione di dissipazione può essere considerata somma di due contributi: ( ) dψ D intr := ρ dt + sdt + σ d (dissipazione intrinseca) dt D th = 1 T q grad T (dissipazione termica) Nel seguito, seguendo Truesdell & Noll (1965), si assumerà che: D intr 0 ; D th 0 (15)
35 Funzione di dissipazione Si definisce funzione di dissipazione Lagrangiana D 0 la grandezza scalare: D 0 := TΞ = T ds dt R + div Q 1 T Q grad T 0 La funzione di dissipazione rappresenta l energia dissipata nel sistema (per unità di volume nella configurazione di riferimento) a causa di processi di natura irreversibile che avvengono al suo interno (es.: sviluppo di deformazioni plastiche; flusso di calore in presenza di gradienti termici, etc.).
36 Funzione di dissipazione Una espressione alternativa più utile per D 0 si ottiene tenendo conto della prima legge della termodinamica, per la quale: div Q R = du dt + S de dt Si ha: ( du D 0 = dt T ds ) + S de 1 dt dt T Q grad T 0
37 Diseguaglianza di Clausius Duhem Definizione: Si definisce energia libera di Helmholtz la funzione di stato: Tenendo conto di tale definizione, si ha: Ψ := U TS (16) du dt T ds dt = dψ dt + SdT dt Dalla espressione della funzione di dissipazione si ottiene dunque la seguente diseguaglianza di Clausius Duhem in forma Lagrangiana: ( ) dψ D 0 = dt + SdT + S de 1 Q grad T 0 (17) dt dt T
38 Diseguaglianza di Clausius Duhem La funzione di dissipazione D 0 può essere considerata somma di due contributi: ( ) dψ D 0,intr := dt + SdT + S de (dissipazione intrinseca) dt dt D 0,th = 1 T Q grad T (dissipazione termica) Nel seguito, seguendo Truesdell & Noll (1965), si assumerà che: D 0,intr 0 ; D 0,th 0 (18)
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