A p p e p nd n i d ce: Eq E u q a u lizzazion o e Equalizzazione

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1 APPEDICE: EQUALIZZAZIOE 1

2 Appendice: Equalizzazione Con il termine Equalizzazione si intendono tutte le tecniche di elaborazione del segnale (usate al ricevitore) che hanno come obiettivo la riduzione dell ISI (Interferenza Intersimbolica), che è un problema causato dalla dispersione nel tempo del canale (cioè dal delay spread). ota #1: Solo canali radio sono dispersivi nel tempo? In realtà è un fenomeno tipico dei mezzi guidati (come per esempio le fibre ottiche) dove segnali con frequenze diverse viaggiano a velocità diverse nel mezzo e quindi, arrivando sfasati, si combinano in modo costruttivo o distruttivo dando origine ad una distorsione del segnale ricevuto. el caso radio, abbiamo già visto che si verifica ISI se il delay spread è dello stesso ordine di grandezza del periodo di simbolo (modulato). In questo caso, le repliche del segnale ricevute dovute al fenomeno dei cammini multipli, sono distinguibili, e inoltre, succede che la replica di un simbolo si soprappone al simbolo successivo (ISI appunto). ota#: tecniche spread spectrum e multiportante sono tecniche di processamento del segnale che si applicano in trasmissione per ridurre l effetto dell ISI.

3 Appendice: Equalizzazione Per sistemi telefonici cordless per interni, dove il delay spread è piccolo e l applicazione voce è in genere caratterizzata da basse data rate, l equalizzazione non è presente. ello standard IS-136 (Americano) che è progettato per ambienti esterni dove il delay spread è maggiore e quasi uguale al periodo di simbolo, allora l equalizzazione è parte dello standard. Applicazioni con alta data rate (e minore periodo di simbolo) sono evidentemente più sensibili al delay spread (bastano piccoli delay spread per causare ISI) e quindi richiede complessi schemi di equalizzazione. Si ricorda che il fenomeno della dispersione temporale, visto nel dominio della frequenza determina il diverso comportamento del canale rispetto a frequenza diverse (selettività in frequenza). 3

4 Appendice: Equalizzazione 4

5 Appendice: Equalizzazione L equalizzazione in genere deve realizzare un compromesso tra riduzione dell ISI e aumento del rumore, poiché sia il segnale che il rumore attraversano lo stesso equalizzatore, questo può determinare un amplificazione del rumore. s(t) Canale n(t) y(t) Equalizzatore H ( f ) ( f ) H eq s ( t) + n'( t) demodulatore Y ( f ) = S( f ) H ( f ) + ( f ) Dove (f) è il rumore bianco con densità spettrale di potenza 0/. Se la banda di s(t) è B, la potenza del rumore è B0. 5

6 s(t) Canale Appendice: Equalizzazione n(t) y(t) Equalizzatore H ( f ) H eq ( f ) s ( t) + n'( t) demodulatore Esempio di equalizzatore lineare: Zero-Forcing (ZF). Lo ZF cerca di eliminare completamente l ISI senza preoccuparsi del risultante aumento del rumore nel simbolo che entra nel decisore. Zero-Forcing H eq ( f ) = 1/ H ( f [ S( f ) H ( f ) + ( f )] H eq ( f ) = S( f ) + '( f Distorsione sul segnale rimossa Questo è rumore Gaussiano colorato con densità spettrale di potenza 0.5 f 0 / H ( ) ) 6 )

7 Appendice: Equalizzazione Se H(f) ha spettro nullo per alcune frequenza ( H ( f0 ) = 0 per qualche f0) dentro lo spettro di s(t), allora la potenza del rumore dopo l equalizzatore è infinita. Gli equalizzatori lineari (come lo zero-forcing) lavorano invertendo approssimativamente il canale, e quindi presentano il problema dell aumento del rumore, al contrario di quelli non lineari (come quelli a cancellazione), che non invertono il canale. Esempio Si consideri un canale con risposta impulsiva H ( f ) = 1/ f per f < Dove B=30kHz è la larghezza di banda del canale. Supponendo un rumore con densità spettrale di potenza 0/, calcolare la potenza del rumore in ricezione nel caso di uso di un equalizzatore che inverte il canale o senza equalizzatore. B 7

8 Appendice: Equalizzazione Soluzione 4 el caso senza equalizzatore, la potenza è semplicemente 0B = 3010 W. Con l equalizzatore, la densità spettrale di potenza è: H eq ( f ) = 0.5 f per f < B E la potenza: B 0.50 f df = 0.5B 0 = B 8 W 4 ordini di grandezza maggiore! 8

9 Appendice: Equalizzazione Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) d k Canale combinato h( t) = g( t) c( t) Impulso Canale con g(t) ISI c(t) n(t) RF frontend w(t) Matched filter * g m ( t) x(t) ota: un implementazione digitale del matched filter potrebbe essere più efficiente di quella analogica (prima del campionatore), tuttavia questa implementazione riduce le dinamiche del campionatore e quindi riduce molto i costi. T s x k Equalizzatore (z) H eq Algoritmo di aggiornamento dei coefficienti dell equalizzatore digitale y k decisore - + dˆk 9

10 Appendice: Equalizzazione Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) I simboli da trasmettere passano per un filtro di trasmissione con forma dell impulso g(t) e poi attraversi il canale che introduce ISI e con risposta impulsiva c(t). Il canale equivalente ha risposta impulsiva h( t) = g( t) c( t) L inviluppo complesso del segnale trasmesso è quindi d( t) g( t) c( t) dove d ( t) d δ ( t kt ) è il treno di simboli trasmessi. = k k S Un rumore Gaussiano bianco n(t) (equivalente in banda base) con densità spettrale di potenza 0 viene aggiunto prima del front-end. Il segnale ricevuto è passato per un matched filter il cui compito è quello di massimizzare l SR del segnale prima del campionamento e successivo processamento. Si può dimostrare che in caso di rumore AWG l SR del segnale ricevuto è massimizzato prima del campionamento da un filtro adattato alla forma dell impulso in trasmissione. Idealmente, l impulso in trasmissione del canale combinato è h(t) e quindi dovremmo scegliere g m ( t) = h( t) Tuttavia, per via della tempovarianza di c(t) e del fatto che i filtri analogici non sono facilmente adattabili, si sceglie g m ( t) = g( t) che è ottimo solo se c( t) = δ ( t) 10

11 Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) Appendice: Equalizzazione Appendice: Equalizzazione Esempio: equalizzatore lineare nel dominio del tempo basato sull algoritmo MSE (Mean Square Error) xk+ 1 c 1 1 z 1 c 1 1 z xk 1 c 1 1 z y Modulo di Informazione e Codifica a.a Modulo di Tecniche Avanzate di Trasmissione a.a Modulo di Tecniche Avanzate di Trasmissione a.a [ ] [ ] MSE k k k d y E e E J = = y k + = = = e.... dove k T k x x x c c c y x c x c Devo trovare i coefficienti c del filtro che minimizzano il MSE

12 Appendice: Equalizzazione Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) Esempio: equalizzatore lineare nel dominio del tempo basato sull algoritmo MSE (Mean Square Error) Sia: Rx(0) Rx(1). Rx( ) R x = E k k =.. Rx (0) Rx (1).. Rx ( 1) Rx (0) R * x( 1) Rx(0) R (1) T x * [ x x ] = e V E[ d x ] Matrice di autocorrelazione del segnale ricevuto campionato [ ] [ ] * T * c V + α con d * T J c R xc Re 0 0 = E dk k = α R R R x x x è è Hermitiana R Toeplitz = ha * T x = R è semidefinita positiva : x x tutte le diagonali uguali *T R x x 0 k k x 1

13 Appendice: Equalizzazione Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) Esempio: equalizzatore lineare nel dominio del tempo basato sull algoritmo MSE (Mean Square Error) c opt Il vettore dei coefficienti ottimi si trova andando a imporre che il gradiente rispetto a c del vettore complesso sia nullo, ossia: c J = c J J R + j c J I = 0 c opt = R V J = α V 1 x min 0 * T c opt 13

14 Appendice: Equalizzazione Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) Esempio: equalizzatore lineare nel dominio del tempo basato sull algoritmo MSE (Mean Square Error) Canale: h n 1 π 1 cos ( ), + n = W 0, Segnale ricevuto: x( n) 3 = k = 1 hn dn k + v( n) h n n = 1,,3 altrove h n n Filtro ottimo equalizzatore con =11 tappi n 14

15 Appendice: Equalizzazione Implementazione digitale di un equalizzatore (rappresentazione in banda base) Esempio: equalizzatore lineare nel dominio del tempo basato sull algoritmo MSE (Mean Square Error) ell esempio la matrice di autocorrelazione sarebbe: r(0) r (1) = h r() = = h + h + h + σ 1 1 h 1 h h 3 + h h 3 3 v 15

16 Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) 16

17 Definizione L OFDM è un caso particolare dei sistemi multiportante, che sono sistemi di multiplazione (combinare diversi simboli per mandarli simultaneamente) basato sull impiego di portanti equispaziate nella banda complessiva a disposizione, ciascuna delle quali trasporta una parte del flusso binario complessivo utilizzando una modulazione numerica convenzionale, per es. QAM. A differenza della classica tecnica di multiplazione in frequenza (FDD, Frequency Domain Division), il segnale numerico trasportato da ciascuna sottoportante non è separato in frequenza da quelli trasportati da sottoportanti adiacenti, e quindi non può demodularsi usando un demodulatore tradizionale (che filtra attorno alla sottobanda d interesse), ma è comunque ortogonale e quindi rivelabile tramite un ricevitore a correlazione. 17

18 Definizione Vantaggi principali dei sistemi multiportante: Rispetto a sistemi a singola portante ed equalizzazione nel dominio del tempo, i sistemi multiportante, che equalizzano nel dominio della frequenza, sono un grado di contrastare l ISI e le distorsioni di un canale selettivo in frequenza con un ricevitore molto meno complesso (equalizzatore ad un tappo). Inoltre, nel caso dell OFDM, sia il TX che il RX si possono realizzare utilizzando operazioni DFT (Discrete-Fourier-Transform), oggi realizzabili attraverso VLSI (Very Large Scale Integrated) in grado di eseguire l algoritimo FFT a velocità elevate quanto occorre e a costi sufficientemente contenuti. Questo rende competitivo il sistema se non addirittura meno costoso a parità di prestazioni rispetto a sistemi a singola portante. 18

19 Definizione Applicazioni storiche dell OFDM: Sistemi di diffusione audio di altà qualità via radio (DAB, Digital Audio Broadcasting); Connessioni utente-centrale in doppino (ADSL, Asymmetric Digital Subscriber Loop) Uso dell OFDM oggi e nel futuro: WLA: Standard IEEE80.11a, WMA: Standard IEEE80.16 (Wimax) Long Term Evolution dei sistemi radiomobili di terza generazione (interfaccia radio definita dal 3GPP per i sistemi radiomobili di generazione successiva alla terza) Standard DVB-T, che è uno degli standard (quello usato in Europa) del DIGITALE TERRESTRE! 19

20 Trasmissione dati usando portanti multiple Supponiamo di avere un segnale modulato con data rate R and banda B. Supponiamo che il sistema sia a banda larga e quindi B > B c dove Bc è la banda di coerenza del canale (quindi, il canale è selettivo in frequenza). L idea dei sistemi multiportante è di trasmettere in parallelo su sottobande di larghezza B = B / e data rate R R / Il numero di sottoportanti viene scelto in modo che B = B / < B c e quindi i simboli trasmessi su ogni sottobanda non sperimentano un fading selettivo, ma bensi un fading piatto (nel dominio del tempo quella condizione sulla larghezza della sottobanda equivale a dire che il periodo di simbolo deve essere maggiore del delay spread). 0

21 Trasmissione dati usando portanti multiple Esempio #1 1

22 Trasmissione dati usando portanti multiple Schema trasmissivo che realizza la trasmissione multiportante R f n bps = ( n / ) f Modulatore QAM con portante f p + f ) ( 0 f p è la frequenza portante del segnale OFDM R bps convertitore S/P R R bps bps QUATO VALE f? Modulatore QAM con portante f p + f ) ( 1 Modulatore QAM con portante f f ) ( p Ogni simbolo è modulato su una sottoportante diversa e le sottoportanti sono distanti f

23 Trasmissione dati usando portanti multiple cos( π ( f + f ) t + ϕ ) a g m T ( ) p m α c m c = a + m m jb m Formatore d impulsi g T ( ) sin( π ( f p + f m ) t + ϕ ) b g m T ( ) Modulatore QAM con frequenza portante f + f ) ( p m 3

24 Trasmissione dati usando portanti multiple L inviluppo complesso del segnale trasmesso è: x( t) = 1 j πf cne T n= 0 g T (t) B = ( 1+ β ) / T = (1 + β ) / T = n t g ( t) con 0 t T = Supponendo che sia un impulso a coseno rialzato con un fattore di rolloff, allora, B β / Per evitare la sovrapposizione dei simboli trasmessi su sottoportanti diverse potrei semplicemente trasmettere su sottoportanti che non si sovrappongono, come mostrato di seguito. Allora l occupazione in banda sarà Btot = B = B T 4

25 Trasmissione dati usando portanti multiple Ricevitore del sistema multiportante con sottobande non sovrapposte demodulatore f p + f 0 e j ( π ( f + f 0 ) t ) p demodulatore convertitore P/S f p + f 1 e j ( π ( f + f 0 ) t ) p demodulatore f p + f 1 e j ( π ( f + f 0 ) t ) p 5

26 Trasmissione dati usando portanti multiple Sistema multiportante con sottobande non sovrapposte Lo schema multiportante con sottobande non sovrapposte riduce l ISI senza aumentare la banda e senza modificare la data rate del segnale originario Tuttavia, O è questo lo schema multiportante comunemente usato in quanto soffre di diversi svantaggi nei sistemi reali Primo svantaggio: In condizioni realistiche, i sottocanali occupano una banda maggiore di ( 1+ β ) poiché l impulso in trasmissione non sarà un T coseno rialzato, ma sarà limitato nel tempo. Se questo fatto determina una occupazione di banda maggiore di ε / T per ogni sottoportante, le sottoportanti devono essere separate di ( 1+ β + ε ) f la banda totale sarà T (1 + β + ε ) ε Btot = = B + T T maggiore di ε / T della banda di un segnale a singola portante con stessa data rate. 6

27 Trasmissione dati usando portanti multiple Esempio # 7

28 Trasmissione dati usando portanti multiple Secondo svantaggio: Secondo svantaggio dello schema con sottoportanti non sovrapposte: sono necessari indipendenti modulatori e demodulatori! Costo e ingombro eccessivi? E possibile progettare un sistema multiportante che permetta di ridurre l ISI senza aumentare (significativamente) la banda occupata rispetto alla banda del segnale originario e che inoltre abbia una realizzazione efficiente in termini di ingombro e costi del rice/trasmettitore? 8

29 Trasmissione dati usando portanti multiple Sottoportanti sovrapposte, ma ortogonali Le sottoportanti sono distanti esattamente mentre la sottobanda può essere maggiore, quindi c e sovrapposizione non posso semplicemente filtrare fuori le sottoportanti adiacenti. Tuttavia, con questa distanza delle sottoportanti, pari all inverso del periodo di simbolo (simbolo OFDM), le sottoportanti sono ortogonali, ossia andando a demodulare una determinata sottoportante e integrando il segnale convertito in frequenza in un periodo T, ottengo il simbolo trasmesso su quella determinata sottoportante. f = 9 1 T

30 Trasmissione dati usando portanti multiple Trasmissione dati usando portanti multiple Sottoportanti sovrapposte ma ortogonali In ricezione, se la portante d interesse è la j-ma, faccio la conversione in frequenza del segnale ricevuto, rispetto alla frequenza portante e integro in secondi (supponiamo per semplicità che l impulso in TX sia una rect di durata ): T t t t t f j n t t f j e c e s s n s j + = 1 ) ( ) ( dt π π j p f f + T T L integrale viene nullo per tutte le Modulo di Informazione e Codifica a.a Modulo di Tecniche Avanzate di Trasmissione a.a Modulo di Tecniche Avanzate di Trasmissione a.a j T t t t t T n j j n n T t t n t t T n j n t t T j j t n n T c dt e c e c e s s s s s s s s + = + = = = = ) ( ) ( ) ( ) ( 0 dt π π π nullo per tutte le sottoportanti (oltre la j-ma, poiche la differenza (i-j)/t contiene un numero intero di cicli nell intervallo d integrazione

31 Trasmissione dati usando portanti multiple Sottoportanti sovrapposte ma ortogonali E facile dimostrare che: 1) la famiglia di funzioni e j ( π ( f + i / T ) t+φ ) p j 1/T (ossia di sottoportanti spaziate di forma un insieme di funzioni ortogonali nell intervallo Per ogni insieme di sfasamenti φ j ( 0, T ) ) nessun insieme di sottoportanti con separazione in frequenza minore di 1/T forma un insieme ortogonale, per un generico sfasamento. f =1/T è la minima separazione spaziale ad assicurare l ortogonalità delle sottoportanti 31

32 Trasmissione dati usando portanti multiple Sottoportanti sovrapposte ma ortogonali Essendo le sottoportanti, indipendentemente dalla loro occupazione in banda, distanti 1/T, i valori di β e ε non influenzano il valore della banda totale occupata, se non per le code iniziali e finali. Quindi, la banda occupata in questo caso è: ( β + ε ) Usando i dati Btot = + dell esempio #, viene T T T un occupazione pari a 645.5kHz 3

33 Trasmissione dati usando portanti multiple Sottoportanti sovrapposte ma ortogonali Altro modo di dimostrare l ortogonalità delle sottoportanti si ottiene applicando il criterio di yquist per la scelta delle forma dell impulso che dia una trasmissione priva da ISI, ma applicato nel dominio della frequenza piuttosto che in quello del tempo (come si fa usualmente) L inviluppo complesso del segnale trasmesso è: x ( t ) j = 1 c e = n=0 πf n t n g T ( t ) con 0 t T = T Supponendo che l impulso in trasmissione sia una rect di durata : T g T 1 ( t) = T0 0 0 t T altrove 33

34 Trasmissione dati usando portanti multiple Sottoportanti sovrapposte ma ortogonali Lo spettro del segnale trasmesso è: 1 FFT [ x( t)] = X ( f ) = ckgt ( f f k ) = G k = 0 k = 0 kδ ( ) 1 c ( f f ) G ( f ) quindi la convoluzione tra un treno di impulsi di impulsi di Dirac posizionati sulle singole sottoportanti, con lo spettro di una rect di durata T. che è: T ( f ) = sinc( π ft che ha degli zeri per tutte le frequenze f che sono un multiplo intero di 1/T. Se guardo lo spettro del simbolo OFDM, trovo che ogni sottoportante ha il massimo in corrispondenza degli zeri delle altre sottoportanti. Siccome il ricevitore non fa altro che calcolare i valori dello spettro in corrispondenza di questi punti in cui la singola sottoportante ha ampiezza massima, allora, in quei punti non c e interferenza da sottoportante ) k T 34

35 Trasmissione dati usando portanti multiple Implentazione tramite FFT del sistema con sottoportanti sovrapposte ma ortogonali el caso OFDM (portanti sovrapposte) è possibile un implementazione molto efficiente che elimina il bisogno del banco di modulatori e demodulatori. 35

36 Sequenza binaria in ingresso Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: trasmettitore Codificatore + interleaver Modulatore Inserzione simboli pilota S/P IFFT P/S Inserzione prefisso ciclico e finestratura D/A La sequenza binario all uscita del blocco di codifica e interlacciamento viene raggruppata in gruppi di bits (q=4 nell esempio specifico) q D { α α, } 0, 1,... α q D Il modulatore associa ad ogni q simboli i un simbolo complesso m e il blocco in uscita dal modulatore sarà costituito da simboli complessi α D c = a + m jb m 36

37 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante Un numero P D di simboli, detti PILOTA, inseriti dal blocco successivo, sono simboli noti che vengono usati principalmente per la stima del canale. I simboli su cui viene fatta la IFFT sono allora (trascuriamo per ora lo zero-padding che assicura che sia una potenza di ). Dopo la IFFT e la finestratura (trascuriamo per ora l inserzione del CP), il simbolo m- mo complesso in ingresso al convertitore D/A può essere scritto: x m = 1 n=0= c n e = m j π n g m con g m = g T m ff Questi simboli possono essere visti come i campioni nel tempo presi a frequenza di campionamento f del segnale: x( t) = 1 n= 0 c n e j πf t n g T ( t) con 0 che è il segnale in uscita dal banco di modulatori visto precedentemente t T f n f = n f = 1 T T f Lo schema con i modulatori e quello con la IFFT sono equivalenti 37

38 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante Attenzione: lo spettro del segnale OFDM, assumendo come impulso in trasmissione una rect, andrebbe a zero molto lentamente e la banda occupata sarebbe sensibilmente maggiore di B = f 38

39 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante L operazione di FIESTRATURA serve a garantire che lo spettro del segnale modulato decresca più velocemente fuori della banda L idea è di moltiplicare il simbolo OFDM per una impulso trasmissivo che faccia si che il simbolo mandato sul canale vada dolcemente a zero sul bordo del simbolo (non come una rect). La finestra in genere usata è il coseno rialzato: g T ( t) = ( π + tπ /( βt )) cos S t βts 1 βts t Ts cos( (t Ts )ππ/(βs )) Ts t (1 + β ) T s Dove Ts è minore del periodo di simbolo T in quanto simboli adiacenti si sovrappongono 39

40 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante Già con fattore di roll-off 0.05 si ottiene un notevole miglioramento, ma il prezzo da pagare per la minore occupazione in banda ottenuta con la finestratura è la minore tolleranza al delay spread. 40

41 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ricevitore A/D Rimozione prefisso ciclico S/P FFT P/S Equalizzatore Demapping Deinterleaving decoding 41

42 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Richiami di elaborazione dei segnali La DFT di una sequenza discreta x[n] lunga punti è definita come: 1 DFT [ x[ n]] = X [ i] = n = L inversa della DFT è: 1 IDFT [ X [ i]] = x[ n] = 1 0 x[ n] e 1 i= 0 j πni / X [ i] e j πni / per 0 per 0 i i 1 Entrambe vengono realizzate in modo HW con gli algoritmo efficienti FFT e IFFT 1 4

43 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Richiami di elaborazione dei segnali Proprietà fondamentale: Funzione che prende solo i campioni [0,-1] della convoluzione lineare tra parentesi quadre DFT [ X [ i] Y[ i]] = x[ n] y[ n] = m = 1 0 ~ x [ m] ~ y[ n m] R ( n) Convoluzione circolare su punti di due sequenze ~ x[ n] e ~ y [ n ] Sono le estensioni periodiche di x[n] e y[n], con periodo 43

44 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Supponiamo di trasmettere sul canale una sequenza lunga, e che il canale sia modellizzabile come un filtro lineare con risposta impulsiva h[n] lunga L = T m / T s (memoria del canale L-1), Tm è il delay spread e Ts è il periodo di simbolo supposto più piccolo del delay spread. Se l uscita del canale fosse la convoluzione circolare della sequenza in ingresso e la risposta impulsiva del canale, e il ricevitore prendesse la DFT del segnale ricevuto, il segnale ricevuto dopo la DFT sarebbe: Y[ i] = DFT [ y[ n]] = DFT [ x[ n] h[ n]] = X [ i] H[ i] X [ i] = Y[ i] / H[ i] Si noti che se x[n] denota la sequenza trasmessa sul canale, la sequenza di simboli trasmessi dal sistema OFDM è X[i]=DFT[x[n]] Equalizzatore nel dominio della frequenza molto semplice (ad un tappo)! 44

45 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Tuttavia il canale non realizza una convoluzione circolare. Il canale (modellizzato come filtro lineare) realizza una convoluzione lineare: y[n] è lungo +L-1 punti y[ n] = x[ n] h[ n] ~ x [ n ] x[n] Se però trasmettessi una sequenza lunga +L-1, ottenuta da prendendo gli ultimo L-1 campioni e mettendoli in testa e all uscita del canale scartassi i primi L-1 punti, i restanti punti saranno numericamente gli stessi che otterrei da una convoluzione circolare (richiami di ES) In ricezione, prendendo la DFT del segnale ricevuto, si riesce ad equalizzare il segnale con un semplice equalizzatore ad un tappo Segue spiegazione di questa affermazione.. 45

46 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Sequenza in uscita dalla finestratura: x[ n] = x[0], x[1],..., x[ 1] L inserzione del prefisso ciclico consiste nell appendere all inizio della sequenza x[n] la sequenza costituita degli ultimi L-1 simboli della sequenza originaria, ossia { x[ L + 1], x[ L + ],..., x[ 1] }. Quindi, la sequenza mandata sul canale è ora che è lunga +L-1 simboli e per L + 1 n 1 cosi definita: ~ x[ n] = ~ x [ L + 1], ~ x [ L + ],..., ~ x [ 1] = x[ L + 1],..., x[ 1], x[0],..., x[ 1] { } { } ~ x [ n] = x[ n] L + 1 n 1 ossia per (1) e quindi anche per L + 1 n k () ~ x [ n k] = x[ n k] 1 ~ x [ n ] 46

47 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico ~ x [ n ] Se trasmettiamo sul canale, ciò che si riceve, dopo aver rimosso i primi L-1 simboli, ossia il prefisso ciclico ( R è la funzione che prende i campioni che vanno da 0 a di una sequenza più lunga), è: y[ n] = L 1 k = 0 L 1 = k = 0 = = ( ~ x[ n] h[ n]) R x[ n] h[ k] ~ x[ n h[ k] x[ n h[ n] k] R k] dove la terza uguaglianza è vera per la (). Quindi, noto il canale h[n], posso recuperare i simboli trasmessi X[i] come: X [ i] = IDFT [ x[ n]] = Y[ i] / H[ i] = DFT [ y[ n]] / DFT [ h[ n]] (3) 47

48 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico La (3) dice che i simboli trasmessi si recuperano facendo la DFT del segnale ricevuto, una volta tolto il CP, e equalizzandolo usando il guadagno di canale per la singola sottoportante, che è la componente i- ma della DFT del canale stimato. L introduzione del CP comporta una riduzione della data rate pari a /( + L 1) E anche un ridotto SR poiché il CP è proprio una ridondanza e la potenza per simbolo singolo chip trasmesso è minore. Questo è il prezzo da pagare per avere un ricevitore semplice in presenza di canale affetto da fading selettivo in frequenza 48

49 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Si noti che l introduzione del CP, che poi viene rimosso in ricezione, corrisponde ad introdurre il tempo di guardia nella trasmissione di due blocchi di simboli, e quindi ad eliminare l ISI dovuta alla memoria del canale. Vedi figura. CP Blocco di dati CP Blocco di dati x [ 0],... x[ 1] x [ 0],... x [ 1 ] ISI ISI ISI CP L-1 L-1 Ma per eliminare l ISI, non sarebbe sufficiente inserire una sequenza di tutti zeri (zero-padding) invece del CP? Lo zero-padding ridurebbe la data rate, ma non la potenza per simbolo trasmesso. 49

50 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico In realtà, se non mettessi il CP, ma la sequenza di tutti zeri, eliminerei l ISI, ma introdurrei l ICI (intercarrier interference). 50

51 Implementazione tramite FFT dei sistemi multiportante: ecessità del prefisso ciclico Se il delay spread è minore dell intervallo di guardia, le repliche ritardate dei simboli OFDM presentano sempre un numero intero di cicli nell intervallo in cui viene effettuata la FFT Per eliminare l ICI causata dallo zero padding usato al posto dell inserzione del CP, si dovrebbe prendere la coda del simbolo OFDM in ricezione e aggiungerla all inizio del simbolo per riprodurre l effetto della presenza del CP (e comportarsi come se avessi messo il CP). Lo zero padding permette di non ridurre la potenza trasmessa per simbolo utile, tuttavia di fatto sto anche aggiungendo altro rumore ai simboli iniziali della sequenza ricevuta. La potenza del rumore è di fatto aumentata di /(+L-1) e quindi la differenza di SR se scelgo il CP o lo zero padding è trascurabile. 51

52 Progetto sistema OFDM Gli elementi fondamentali da tenere presente sono: Il delay spread del canale Inserzione del CP (che riduce l efficienza spettrale) Sensibilità agli errori di di recupero della portante I sistemi OFDM sono meno sensibili agli errori di sincronizzazione nel tempo (errore nella determinazione dell istante ottimo di campionamento, ma sono molto sensibili agli errori di recupero della portante che determina: Riduzione dell ampiezza della portante desiderata ICI L errore nel recupero della portante può essere dovuto a: 1. Shift Doppler nel caso di alta mobilità tra TX e RX. Prestazioni degli oscillatori locali usati per generare le sottoportanti in ricezione 5

53 Progetto sistema OFDM Per l effetto 1., l OFDM viene in genere usato (almeno nell sue prima applicazioni) per scenari con bassa mobilità del terminale (WLA, BFWA) Per l effetto., la regola d oro è che l errore dell oscillatore sia l 1% di f Questo definisce un limite inferiore per f. Un f troppo piccola è vantaggiosa perché corrisponderebbe ad avere un grande e se è grande la riduzione dell efficienza spettrale di /(+L-1) è trascurabile. Tuttavia, una f troppo piccola richiederebbe degli oscillatori di prestazioni tali che risulterebbero eccessivamente costosi (non commerciali) 53

54 Progetto sistema OFDM Si voglia progettare un sistema OFDM con i seguenti requisiti: Velocità binaria = 0Mbps Delay spread tollerabile = 00ns Banda <15MHz Soluzione: Il primo passo è le determinazione del tempo di guardia TG (ossia la lunghezza del CP) e f=1/t Tenendo conto del seguente compromesso: 1) TG =(-4) volte il delay spread ) La durata totale del simbolo OFDM T deve essere molto maggiore della lunghezza del CP, una scelta adeguata potrebbe essere T>=5TG e T=T-TG Come già osservato, il limite nello scegliere un arbitrariamente grande valore di T è il fatto che poi f=1/(t-tg)=1/t non può essere troppo piccolo per la sensibilità agli errori di sincronizzazione. 54

55 Quindi, scegliamo: TG=4Tm=800ns T=6TG=4.8µs T=4µs f=50khz Progetto sistema OFDM Per avere una data rate Rs=0Mbps, ogni simbolo OFDM deve portare 96bit (infatti, 96/4.8*10(-6)=0*10^(6)) 1. Configurazione: 16QAM con codifica di canale a Rc=1/ e quindi con 48 sottoportanti, ognuna che porta 4/= bit, ottengo la data rate richiesta. QPSK con Rc=3/4, in questo caso ho bisogno di 64 sottoportanti per portare i 96bit per simbolo OFDM, tuttavia la banda occupata sarebbe B= f*64=16mhz>15mhz requisito sulla banda non è verificato La configurazione 1. invece mi da una occupazione in banda B= f*48=1mhz<15mhz 55

56 Progetto sistema OFDM La configurazione 1. si può realizzare usando una FFT/IFFT su 64 punti (le 48 sottoportanti utili vengono estese con 4 zeri per raggiungere la lunghezza di 64 in ingresso alla IFFT. Si noti che al contrario del CP o dello zero padding usato al posto del CP, questo zero padding non riduce la potenza per simbolo trasmesso nè comporta una riduzione della data rate. 56

57 Sample rate: 0MHz Parametri 80.11a Chip duration: 50ns umber of FFT points: 64 umber of sub-carriers: 5 umber of data sub-carriers: 48 umber of pilot sub-carriers: 4 OFDM symbol period: 4µs (80 chips) Cyclic prefix 0.8µs: (16 chips) FFT symbol period: 3.µs (64 chips) Modulation scheme: BPSK, QPSK, 16QAM, 64QAM Coding 1: convolutional, constraint length 7, optional puncturing Data rate: 6, 9, 1, 18, 4, 36, 48, 54 Mbps 57

58 Mitigare l effetto del fading piatto ei sistemi multiportante, si riduce l effetto del fading selettivo in frequenza perché ogni sottoportante sperimenta un fading piatto, tuttavia sperimenta un fading (un attenuazione) che può essere a volte profonda e determinare la completa perdita del simbolo trasmesso su quella determinata sottoportante. Questo può risultare in elevate BER. Per mitigare questo effetto si usano le seguenti tecniche: Codifica e interleaving Precoding Adaptive loading 58

59 Mitigare l effetto del fading piatto: codifica e interleaving Questa tecnica non richiede la conoscenza del canale in trasmissione come invece le altre due tecniche. Se si codifica la sequenza di simbolo prima della IFFT in TX, si sta di fatto applicando la codifica (che in genere si usa per sfruttare la diversità temporale del canale) nel dominio della frequenza: si aggiunge ridondanza nel dominio della frequenza per aumentare la capacità di recuperare i simboli trasmessi anche quando alcuni simboli sono ricevuti fortemente attenuati. L interleaving sparpaglia le sottoportanti su un intervallo maggiore di frequenze in modo che la codifica di canale possa vedere un canale con errori uniformemente distribuiti e non bursty. L interleaving è necessario quando la banda di coerenza è elevata (tipicamente si applica nel dominio del tempo quando il canale è molto correlato ossia il tempo di coerenza è elevato). La codifica di canale di fatto utilizza la selettività in frequenza del canale che un sistema OFDM non codificato non è in grado di utilizzare 59

60 Mitigare l effetto del fading piatto: precoding Ipotesi: canale noto in TX. L equalizzazione fatta con uno schema zero-forcing inverte il canale in ricezione (e quindi aumenta il rumore). Il precoding consiste nel fare l inversione del canale in trasmissione invece che ricezione. oti al trasmettitore I guadagni di canale per ogni sottoportante αi i (i = 0,..., 1), Se la potenza ricevuta dell i-ma sottoportante è Pi, allora applicando il precodiing, la potenza trasmessa sull i-ma sottoportate è Pi / α i Questo segnale arriva poi attenuato da ai e la potenza totale ricevuta sarà: P α = i i /α i P i 60

61 Mitigare l effetto del fading piatto: precoding Si noti che se l inversione del canale avviene al trasmettitore invece che al ricevitore, allora la potenza di rumore rimane la stessa ob. Tuttavia presenta due principali svantaggi: 1) on è efficiente in potenza perchè in teoria ho bisogno di una quantità di potenza infinita per invertire il canale in presenza di fading alla Rayleigh ) Richiede stime molto accurate del canale in trasmissione, che non è facile da ottenere in canali che variano velocemente. Il precoding è piuttosto comune in sistemi multiportante cablati come le linee ad alta velocità HDSL. 61

62 Mitigare l effetto del fading piatto: adaptive loading Ipotesi: canale noto in TX L idea è di mettere gran parte della potenza o della data rate sulle portanti che lo specifico canale attenua di meno La potenza e la velocità di trasmissione per ogni sottoportante vengono variate per massimizzare la velocità di trasmissione totale del sistema multiportante Potenza e velocità vengono variate usando la modulazione adattativa, come per esempio variable-rate variable-power MQAM (questo concetto verrà ripreso ed esteso analizzando come case study lo WiMAX). Il concetto di adaptive loading è legato al concetto di teoria dell informazione di waterfilling 6

63 Peak-to-Average-Power-Ratio (PAPR) Per un segnale continuo, è definito come: PAPR = max E t t x( t) [ ] x( t) Un segnale ad ampiezza costante (onda quadra), ha un PAPR=0dB Un segnale sinusoidale ha un PAPR=3dB perché: max E t sin( t / T ) [ sin ( t / T )] = = 1 PAPR = 1/ 0.5 = T 0 sin ( v / T ) dv =

64 Peak-to-Average-Power-Ratio (PAPR) Se il PAPR è elevato gli amplificatori devono lavorare con un elevato back-off per evitare comportamenti non lineari e quindi PAPR elevati corrispondono a bassa efficienza in potenza. Inoltre complica il progetto dei convertitori A/D e D/A. I segnali OFDM, che consistono nella somma di indipendenti sottoportanti modulate, può avere elevati PAPR quando si combinano coerentemente. Il calcolo può essere complicato. Per fare un conto approssimato, lavoriamo nel discreto (anche se è più corretto lavorare nel continuo). I campioni in uscita dalla IFFT sono: 1 x[ n] = 1 i= 0 X [ i] e πin j 1 Se è grande, si può applicare il teorema del limite centrale e x[n] si possono approssimare come v.a. Gaussiane complesse a media nulla., 0 n 64

65 Peak-to-Average-Power-Ratio (PAPR) Quindi, l inviluppo del segnale OFDM è una Rayleigh e si può mostrare che la: P0 p ( PAPR P0 ) = 1 (1 e ) E Come cresce PAPR con? Supponiamo che le v.a. siano a potenza unitaria 1 E x0 + E x E x 1 x0 + x x 1 = = 1 Il massimo del segnale OFDM si ha quando si sommano coerentemente: max 1 x0 + x x 1 = = 65

66 Peak-to-Average-Power-Ratio (PAPR) Quindi, il massimo PAPR è pari al numero di sottoportanti. In genere, la somma coerente è poco probabile quindi il PAPR è minore, ma cresce linearmente con. Questo è un ulteriore limite al valore di, che quindi non può essere troppo grande, per quanto ciò sia desiderabile. 66

67 OFDM in breve L informazione viene modulata su sottoportanti a banda stretta (ortogonali nel dominio della frequenza) La trasformazione tra dominio del tempo e frequenza viene fatta tramite inserzione e rimozione del CP e IDFT/DFT. Questo comporta un overhead (ridondanza) in termini di potenza e tempo (data rate) La diversità in frequenza si può ottenere codificando su sottoportanti affette da fading indipendente (problema della codifica identico al caso nel dominio del tempo) La complessità legata alle operazioni DFT e IDFT è condivisa tra TX e RX. Inoltre, questa complessità O dipende dalla memoria del canale (dispersione temporale del canale), cresce moderatamente al crescere del numero di portanti ed è perfettamente gestibile con la più recenti tecnologie di implementazione Elevato PAPR è uno dei principali problemi nell uso dell OFDM. 67