Prestazione e equalizzatori frazionari

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1 Prestazione e equalizzatori frazionari libro

2 Prestazioni degli equalizzatori ZF Supponendo la situazione ideale (infiniti pesi, step-size piccolo, fase di tracking, decisioni corrette), rimarrebbe solo il rumore... che è quello termico passato attraverso l equalizzatore. Quindi: ( ) = $ p l n( k " l) v k se non c è ISI l equalizzatore si riduce ad un passatutto e il rumore è solo quello termico; se c è ISI il rumore può essere maggiore di quello termico # l="# Il Motivo è che l equalizzatore ZF minimizza l errore di decisione, non il Mean Square Error. MSE = 2N 0 T 1/2T # "1/2T P( f ) 2 df

3 Equalizzatori LMS Per minimizzare l MSE si deve lavorare su MSE = E( 2 y( k) " c ) k che è una funzione quadratica dei coefficienti dell equalizzatore e quindi ha un minimo assoluto. Ricordando che i pesi sono numeri complessi p l = p l (R) + jp l (I) e derivando rispetto alle due componenti: [ ( ( ))] "MSE = 2 Re E e (R) ( k)x * k # l "p l [ ( ( ))] "MSE = 2 Im E e (I) ( k)x * k # l "p l

4 Coefficienti L annullamento delle derivate corrisponde a N $ m="n ( ( )) = E c k x * ( k " l) p m E x * ( k " l)x k " m ( ) " N # l # N o, in modo compatto, a Rp = d e R si chiama matrice di covarianza, con elementi ( ( )) [ R] l,m = E x * ( k " l)x k " m Infine: p = R "1 d

5 Algoritmo ricorsivo Assumendo che la funzione quadratica sia un paraboloide, la ricerca del minimo si fa andando nella direzione opposta a quella della pendenza p l ( k +1) = p l ( k) " #E e k " N $ l $ N ( ( )x * ( k " l) ) e nuovamente γ è lo step-size. k k+1 Il valore medio viene eliminato per rendere l utilizzo della formula possibile p l ( k +1) = p l ( k) " # e( k)x * ( k " l) " N $ l $ N detto algoritmo del gradiente stocastico.

6 Prestazioni degli equalizzatori LMS Per questi equalizzatori si dimostra che MSE = 1+ T 1/2T # "1/2T 2N 0 P f [ P( f ) 2 H( f ) 2 ] + ( ) 2 " 2 Re P f [ ( )H( f )]df MSE = 2N 0 T 1/2T # "1/2T df H( f ) 2 + 2N 0 da confrontarsi con l analogo risultato per equalizzatori ZF MSE = 2N 0 T Si vede che: LMS ha MSE più basso di ZF il vantaggio scompare per alti SNR ambedue tendono ad esaltare il rumore 1/2T # "1/2T df H( f ) 2

7 Equalizzatori frazionari Si può supporre di avere più campioni per simbolo. Ad es., se il filtro di ricezione è un RRC, il passo di campionamento sarebbe In questo caso i campioni sono t k,l = kt " lt /2 + t 0 x l ( k) = x( kt " lt /2 + t 0 ) e l uscita dell equalizzatore diviene ( ) = # p l x( kt " lt /2 + t 0 ) y k N l="n

8 Schemi a blocchi Equalizzatore a spaziatura intera Equalizzatore a spaziatura frazionaria (T/2)

9 Equalizzatori a T/2 La funzione di trasferimento dell equalizzatore è dunque P T /2 ( f ) = $ p l e l="n " j 2#lfT /2 che non è più periodica di periodo 1/T, ma 2/T. N Quindi la banda dell equalizzatore è più grande; poiché H(f) ha banda 1/T, campionando a T/2 non c è aliasing H T / 2 2 T " j2% ( f " 2k / T ) ( f ) = $ H( f " k( 2/ T ) e 2 = T # k="# H ( f ) e " j2% ft 0 f 1! T t 0 =

10 Algoritmo equalizzatori a T/2 In maniera analoga al caso di equalizzatori a spaziatura intera, l algoritmo di definizione dei pesi si basa sulla minimizzazione iterativa dell MSE: p l ( k +1) = p l ( k) " # e( k)x * l ( k) In fase di acquisizione, mentre in fase di tracking si avrà p l ( k +1) = p l ( k) " # y( k) " ˆ ( ) ( c k )x * l k N.B.: x(k) non è necessariamente l uscita del filtro adattato, perché si può mettere assieme il filtro e l equalizzatore in un unico oggetto, visto che hanno la stessa banda (non si può con gli equalizzatori ad una sola presa per campione).

11 Prestazione equalizzatori a T/2 L equazione per il calcolo della MSE richiede un equalizzatore che soddisfi W ( f ) = H( f ) P ( f ) " # m=!# W T / 2 ( f! m / T ) 2N + H e 0 T ( f )! j2$ ft 2 2 W 0 ( f ) = T L equazione risulta più comprensibile nel caso di SNR elevati:... o nel caso di SNR molto piccoli " # m=!# W ( f! m / T ) = T ( f ) K H( f ) 2 W =

12 Equalizzatori a reazione (DFE) Utilizzano le decisioni già prese ( ) = # p l x( k " l) + # p l c k"l y k 0 l="n N l=1

13 Algoritmo di stima per DFE Si applica LMS MSE = E{ 2 y( k) " c } k Le equazioni di aggiornamento dei pesi sono p l ( k +1) = p l ( k) " #E{ e( k)x ( k " l) } " N $ l $ 0 * p l ( k +1) = p l ( k) " #E{ e( k)c k"l } 1 $ l $ N e l uscita diviene 0 ( ) = p l h( k " l) + p k 1 # l # N ' % q k l="n ( ) = $ c i q( k " i) + #( k) y k i $ & 0 altrove

14 Prestazioni * MSE = 2N 0 exp + "T, 1/ 2T ) "1/ 2T # ln H f $ % ( ) 2 + 2N 0 & '( df -. /