0. Il processo si ripete nella fase di discesa, con valori negativi della velocità dato che qui le particelle viaggiano verso l equilibrio.

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1 Capitolo Soluzioni. La brusca pendenza del fronte dell ipulso suggerisce un repentino allontanaento dall equilibrio ed un passaggio di velocità da zero (posizione alla base) fino al valore assio positivo (posizione all incirca a età del fronte). Successivaente la velocità ricade a zero per antenersi su questo valore per tutta la durata del tetto piatto del fronte, dove non si ha allontanaento né avvicinaento all equilibrio e quindi è sepre vy 0. Il processo si ripete nella fase di discesa, con valori negativi della velocità dato che qui le particelle viaggiano verso l equilibrio Trascurando la assa della corda, la tensione equilibra la coponente del peso della assa M lungo il piano: T Mg sin 0 ( ) N 7.0 N calcoliao la velocità delle onde sulla corda: T 7.0 N 7.0 /s 8. /s / L 0.50 /.0 il tepo ipiegato dall ipulso per attraversare la corda risulta quindi: L.00 t s 0. s 8. T 60 T 6. Per rispondere occorre calcolare la tensione della corda centrale, che dipende dal valore delle asse appese, ed inserirla nella forula per la velocità degli ipulsi sulla corda. Indichiao con T le tensioni delle corde inclinate, uguali per la sietria della disposizione, con T le tensioni delle corde verticali uguali anch esse per sietria, e con T la tensione della corda orizzontale. Per l equilibrio dell anello di sinistra si ha: T 0 cos 60 0 x T x T T T 0 sin 60 0 y T y T T Dall equilibrio di una delle due asse appese si ha T g che sostituita dà: y T x

2 T g cos 60 cos 60 g T T T g sin 60 sin 60 sin 60 tan 60 Inserendo nella forula T / per la velocità delle onde sulla corda: g tan kg kg 6.5 kg tan 60 g 9.8. Anche in questo caso, si fanno avanzare i picchi degli ipulsi di un etro ogni secondo che passa e si addizionano le quote: t s t s t s t s t 5 s t 6 s. La risposta si ottiene invertendo le posizioni lungo la direzione verticale e lungo quella orizzontale. 5. La risposta si ottiene invertendo le posizioni lungo la direzione orizzontale: 6. Nel punto dove le corde sono saldate l ipulso si trasette entro la corda pesante con lo stesso verso a apiezza ridotta, e nel contepo viene riflesso indietro, capovolto ed attenuato, nella corda leggera. Seguendo l usuale convenzione per cui il pedice indica il ezzo di provenienza ed il pedice quello in cui si sta entrando, considerato che la tensione è la stessa: T / T / 7. Possiao pensare al punto di congiunzione coe ad una sorgente, la quale ipiega lo stesso tepo per creare i due ipulsi, riflesso e trasesso, che nascono dall originale. Quindi se l ipulso ipiega lo stesso tepo per attraversare un punto su abo le corde, la sua lunghezza L dev essere inore nella corda dove viaggia più lento. Indichiao con t l intervallo che occorre all ipulso per attraversare un punto: L / t T / L L 9 L / t T / L L 8. Risulta: T.50 s 0.50 s f Hz.00 Hz 0.0 T 0.50

3 Il periodo e la frequenza non cabiano nel passaggio alla seconda corda, cabia invece la sua lunghezza d onda di quel che tanto occorre a far si che a velocità diezzata il periodo non vari: Per la velocità delle onde nella corda pesante abbiao: f ( ) /s 9.00 /s Dalla forula di dinaica per la velocità delle onde si ha che essendo la densità lineare della corda leggera un quarto di quella pesante e la tensione uguale, qui la velocità sarà doppia: T T T 8.0 /s / Il tepo ipiegato dall onda a raggiungere la carrucola è la soa dei due intervalli che occorrono per passare le due corde: t t s 9.00 /s 8.0 /s Per avere la densità lineare calcoliao la tensione, coune alle due corde: T g N. N che inserita nella forula di dinaica per la velocità delle onde produce: T T. kg/ 0. kg/ kg/ 0.06 kg/. Ci occorre la lunghezza d onda, che può essere ricavata dalla velocità e dal periodo traite la forula / f. Facendo attenzione a non confondere il sibolo T per l intensità della tensione con quello T per il periodo, la velocità risulta: T 500 /s /s / L 50/ 00 da cui ricaviao: / f (/ 8.0).0 Sostituendo nella y x t A t x (, ) sin T si ha l equazione di quest onda ar- onica: y( x, t) 0.0 sin t x 0.0 sin(50t.6 x) / Lo scostaento y (8, 5 s) vale: y(8, 5 s ) [0.0 sin(50.6 8)] 0. c

4 9. Calcoliao la frazione del ciclo copleto che corrisponde ad una differenza di fase di / ed iponiao che la distanza fra i due punti corrisponda alla stessa frazione della lunghezza d onda: / 0.0 c 60.0 c 6 6 da cui abbiao la velocità dell onda: f ( ) /s.0 /s 0. Calcoliao la frazione del periodo dell onda corrispondente a s, oltiplicandola per avreo la differenza di fase in radianti: s.57rad ( / 5.00) s. Portando le unità di lunghezza in etri si ha: A 0.0,.0 0, T / f / 50s.00 s per t 0.0 s si ha scostaento dall equilibrio nullo cioè y Asin(0 0 ) 0 0 quindi la fase in quel oento deve valere 0. 0 y( x, t) 0.0 sin t x 0.0 sin(t x) Trattandosi della terza aronica, nella lunghezza L della corda devono entrare esattaente tre ezze lunghezze d onda, da cui: 90.0 L L c 60.0 c La velocità delle onde su quella corda vale dunque: f ( ) /s 6 /s Assuendo per la velocità del suono a teperatura abiente c /s otteniao la lunghezza dell onda nell aria: aria cs aria c corda 6 corda S 0. Nell aronica fondaentale la corda vibra in un unico occhiello con due nodi agli estrei, quindi la lunghezza della corda corrisponde alla età di : 80.0 c 60 c nella seconda aronica si ha un nodo centrale oltre a quelli negli estrei, cioè sulla corda si osservano due occhielli di ezza lunghezza d onda ciascuno: 80.0 c 80.0 c nella terza aronica si generano sulla corda tre occhielli di ezza lunghezza d onda ciascuno: 80.0 c (80.0) c 5. c

5 . Calcoliao la frequenza fondaentale, che è la più bassa di tutte, e poi le altre coe sue ultiple: 50 /s f Hz 50 Hz L f f 500 Hz f f 750 Hz. Per avere la serie delle frequenze aesse occorre la velocità delle onde sulla corda: T Mg /s 56 /s.000 che per la terza aronica produce: 56 f Hz 0 Hz L.50. Calcoliao la velocità dell onda dalla forula per l aronica fondaentale: f Lf Hz 9 /s L e da questa la tensione: T.000 kg T (9 /s ) 69 N La quarta aronica ha frequenza quadrupla della fondaentale: f f (9) Hz.8 0 Hz e è tale da far entrare esattaente nella corda quattro occhielli di ezza lunghezza d onda ciascuno: L L 5.0 c 0.50 Passando nell aria, indicando con c la velocità del suono, si ha: S c c aria S S c aria corda 9 corda Dovendo infatti la frequenza rianere uguale, poiché la velocità auenta deve auentare anche la lunghezza d onda.. La tensione dichiarata dalla fabbrica corrisponde al valore della assa che appesa alla corda ne produce il giusto tiro, quindi: T g ( ) N 76.5 N calcoliao la velocità dell onda dalla forula per l aronica fondaentale: f Lf Hz 8 /s L e quindi la densità lineare di assa: 5

6 T T 76.5 N kg/.8 0 kg/ (8 /s) La quinta aronica ha lunghezza d onda tale per cui nella corda sono contenuti cinque occhielli di 5 / ciascuno: Passando nell aria, indicando con c la velocità del suono, si ha: S c c 5 8 aria S S c 5aria 5corda 5corda Dovendo infatti la frequenza rianere uguale, poiché la velocità diinuisce deve diinuire anche la lunghezza d onda. 50. Indicando con f la frequenza col tasto preuto e con f quella a vuoto: T / f L f f 6 Hz 96 Hz f T / L Sapendo che ogni fa fare un salto di un seitono, che corrisponde a oltiplicare la frequenza per, indichiao con n il nuero del tasto: n n 6 Hz 96 Hz 6 Hz Hz n 5 Si tratta quindi del SOL 96 Hz. 5. Coe si è detto le note separate da un intervallo di terza aggiore hanno frequenze il cui rapporto è 5 / quindi: 5 5 f f 0 Hz 8 Hz 5 Che sostituita nella forula delle aroniche superiori: nf f f Che così coe è scritta non è soddisfatta a nessun valore intero per n. Tuttavia sappiao che l ottava superiore suona all orecchio coe la stessa nota, pertanto l aronica con n 5 produce una nota due ottave sopra alla terza aggiore (ogni ottava oltiplica per ), l aronica con n 0 una nota quattro ottave sopra ecc. La quinta separa due note in rapporto di frequenze / : III f f 0 Hz 65 Hz nf f f L aronica con n produce una nota due ottave sopra alla quinta (ogni ottava oltiplica per ), l aronica con n 6 una nota quattro ottave sopra ecc. 5. La lunghezza della corda è legata alla frequenza fondaentale eessa a vuoto è legata alla lunghezza dalla forula: 6

7 T T f L L f Sapendo che fra un tasto ed il successivo si deve avere il salto di un seitono, la frequenza della corda a vuoto va oltiplicata per tante volte quante il nuero k del tasto successivo al prio: T Lk L L L k k k k k f ( ) L ( ) ( ) 65.0 c 65.0 c 65.0 c L 6. c, L 57.9 c, L 5.7 c, ( ) ( ) 65.0 c 65.0 c 65.0 c L 5.6 c, L 8.7 c, L 6.0 c ( ) ( ) ( ) Coe si vede, i tasti non sono egualente spaziati a anzi la distanza fra loro diinuisce quanto più acute sono le note (frequenza aggiore), dato che il salto di un seitono corrisponde ad una differenza di frequenze che è tanto più grande quanto più le note sono acute. 7