INSIEMI. (in english set)

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1 1 INSIEMI (in english set) Una flotta di navi, una squadra di operai, un stormo di uccelli, un coro a voci dispare, una scolaresca di liceali ecc. Le parole in rosso sono per la grammatica italiana nomi collettivi, cioè nomi che indicano un gruppo, un INSIEME di persone, di cose o di animali che hanno una caratteristica ben riconoscibile. L'insieme è un concetto primitivo 1, sviluppato nell'ottocento dal matematico tedesco Georg Cantor. Un insieme è un gruppo, una collezione di elementi i quali possono essere individuati con assoluta certezza. Dunque un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme in senso matematico se esiste un criterio oggettivo che permetta di decidere con assoluta certezza se un qualunque oggetto fa parte o meno del gruppo. Ciascun elemento di un insieme deve essere distinto e ben definito. Ognuno di noi deve avere assoluta sicurezza se un certo elemento appartenga o meno ad un dato insieme. Sono insiemi: l insieme delle regioni d Italia, l insieme delle lettere dell alfabeto inglese, l insieme dei numeri naturali N, ecc. Non sono insiemi: gli alunni più alti della classe 1, i libri più belli della biblioteca, ecc. perché non è possibile stabilire con chiarezza quali elementi appartengono all insieme (criterio soggettivo).,, C con le lettere maiuscole si identificano gli insiemi. a, b, c con le lettere minuscole si indicano gli elementi che formano un insieme. Prendiamo in considerazione l insieme delle lettere che costituiscono la parola cinema. Tale insieme si può raffigurare in tre modi: 1. per elencazione, scrivendo tutti gli elementi dell insieme tra due parentesi graffe, separati da un punto e virgola; = {c; i; n; e; m; a} 3. per proprietà caratteristica, l insieme viene individuato dalla proprietà caratteristica che i suoi elementi devono soddisfare. = {x/x è una lettera della parola cinema} Si legge: l insieme è formato da tutti gli elementi x tali che ogni x è una lettera della parola cinema. 2. graficamente, rappresentando tutti gli elementi dell insieme dentro una linea chiusa; questa rappresentazione è detta diagramma di Eulero-Venn. c. i. e. n. a. m ESERCIZIO 1: rappresenta l insieme formato dai giorni della settimana. 1 Si definisce concetto primitivo un ente di cui si intuisce il significato. Tali concetti costituiscono la base sulla quale costruire l edificio di tutte le altre definizioni. L insieme è un concetto non esprimibile, perché è introdotto come nozione non derivata da concetti più elementari.

2 2. z ESERCIZIO 2: rappresenta l insieme formato dalle vocali della lingua italiana. Considera l insieme = {c; i; n; e; m; a}: puoi sicuramente affermare che la lettera n appartiene all insieme, come è anche facile comprendere che l elemento z non appartiene all insieme.. c. i. e. n. a. m In matematica si scrive: n si legge l elemento n appartiene all insieme z si legge l elemento z non appartiene all insieme (in english: to belong, does not belong) Un insieme può essere: 1. finito se i suoi elementi sono in numero finito. Es. l insieme degli alunni di 1; 2. infinito se i suoi elementi sono in numero infinito. Es l insieme N dei numeri naturali; 3. vuoto se è privo di elementi (in english: empty set). Es. l insieme dei conigli che depongono le uova. Consideriamo gli insiemi: = {10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18} = {13; 14; 15; 16; 17} e rappresentiamoli graficamente. Dal diagramma di Eulero-Venn notiamo che l insieme è incluso in, in quanto tutti gli elementi di sono anche elementi di. Un insieme si dice sottoinsieme (in english: subset) di un insieme se ogni elemento di appartiene anche ad. Per indicare il sottoinsieme si usano questi due simboli che indicano l inclusione: oppure. Si dice che è incluso (o contenuto, o incluso strettamente) nell insieme quando ogni elemento di è anche elemento di, ma c è almeno un elemento di che non appartiene a. Si scrive e si legge incluso in. se. Inoltre b b cioè per ogni elemento dell insieme segue che b si trova in. Questa scrittura significa che è incluso in e può anche essere uguale ad. (nota infatti come il simbolo abbia al suo interno il simbolo = ) Esempio 1 Dati gli insiemi: = {x/x è un alunno della 1} = {x/x è un alunno della 1 che porta gli occhiali} Sicuramente è un sottoinsieme di dunque scriveremo. Può anche essere =, se nessun alunno porta gli occhiali. Poiché non si può però escludere che tutti gli alunni della 1 portino gli occhiali, non basta scrivere ma occorre scrivere. I sottoinsiemi descritti si definiscono propri. Dato un insieme, l insieme stesso e l insieme vuoto si dicono sottoinsiemi impropri. ESERCIZIO 3: Consideriamo gli insiemi: {x/x è una lettera della parola sognare }, {x/x è una lettera della parola sera }, C {x/x è una lettera della parola era } e rappresentiamoli graficamente.

3 3 ESERCIZIO 4: Consideriamo gli insiemi: { x/x è una lettera della parola alimentare }, { x/x è una lettera della parola lena }, C { x/x è una lettera della parola ti } e rappresentiamoli graficamente. Dati due insiemi e si dice insieme unione l insieme C formato da tutti gli elementi che appartengono ai due insiemi di partenza. Si scrive si legge unione. Per elencazione C = avrà la seguente scrittura: = {1; 3; 5; 7; 9} = {0; 2; 4; 6; 8} C = = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Graficamente C = avrà la seguente rappresentazione: ESERCIZIO 5: scrivi per caratteristica l insieme unione C C Dati due insiemi e, si dice insieme intersezione l insieme C formato dagli elementi che appartengono sia ad sia a. Si scrive, si legge intersezione. = {12; 14; 16; 18; 20} = {10; 16; 18; 20; 22; 24} C = = {16; 18; 20}. 12 C Si dice differenza tra due insiemi e, considerati nell ordine, l insieme degli elementi di che non appartengono a. Si scrive si legge meno. = {x/x e x } Esempio 2 = {12; 14; 16; 18; 20} = {10; 16; 18; 20; 22; 24} = {12; 14} Esempio 3 C = {1; 3; 5; 7; 9} D = {0; 2; 4; 6; 8} C D = {1; 3; 5; 7; 9} C. 3 D

4 4 Ricorda: ESERCIZIO 6: Dati gli insiemi = {x x è una lettera della parola giro } e = {x x è una lettera della parola gara }, scrivere per elencazione e rappresentare graficamente l insieme intersezione. ESERCIZIO 7: Dati gli insiemi = {10; 20; 30; 40} e = {11; 21; 31; 41}, scrivere per elencazione e rappresentare graficamente l insieme intersezione. ESERCIZIO 8: Dati gli insiemi = {x x è una lettera della parola rotolare } e = {x x è una lettera della parola letto }, scrivere e rappresentare graficamente l insieme intersezione. = {1; 3; 5; 7; 9} = {0; 2; 4; 6; 8} I due insieme e non hanno elementi in comune, dunque si dicono disgiunti = Per eseguire alcuni esercizi ricorda questo tipo di scrittura: 3 < 5 si legge: 3 è minore di 5 5 > 3 si legge: 5 è maggiore di 3 x < 8 si legge: x è minore di 8 x 10 si legge: x è maggiore o uguale a 10 x 10 si legge: x è minore o uguale a 10 4< x < 6 si legge: x è maggiore di 4 e minore di 6 4 x 6 si legge: x è compreso tra 4 e 6 Esempio 4 Rappresenta graficamente = {x xεn e 5 x 9 } L'insieme formato dalle x tali che x appartiene all'insieme N dei naturali e x compreso tra 5 e 9 Rappresenta graficamente = {x xεn e 5 < x < 9 } L'insieme formato dalle x tali che x appartiene all'insieme N dei naturali e x è maggiore di 5 e minore di 9 ESERCIZIO 9: Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi: = {x xεn e 2 x 10} = {x xεn e 2 < x 10} C = {x xεn e 2 x < 10} D = {x xεn e 2 < x < 10} E = {x xεp e 2 < x 10} F = {x xεd e 2 < x < 10}

5 5 Studiando gli insiemi abbiamo introdotto alcuni simboli per indicare relazioni oppure operazioni fra insiemi e fra i loro elementi: Spesso utilizzeremo nello studio della matematica i simboli qui studiati come ad esempio: In quest anno scolastico studieremo alcuni numeri reali assoluti 2, esattamente l insieme N (insieme dei numeri naturali) e l insieme Q + (insieme dei numeri razionali o più semplicemente decimali). N = {0; 1; 2; 3; 4 } I numeri naturali sono tutti gli interi positivi, compreso lo 0. Q = {0,1; 3,4; 2 3 ; 5, 8 } Un numero razionale è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi, il secondo dei quali diverso da 0. 2 L aggettivo assoluto si usa per identificare solo numeri positivi.

6 6 Q = {n m : n N, m N e m 0} Si legge: Q è l'insieme dei numeri m/n tali che m è un numero intero, n è un numero intero e n è diverso da zero Entrambi sono insiemi numerici infiniti, anche se l insieme N è meno denso rispetto a Q +, infatti viene definito discreto. L insieme N è ordinato a differenza di Q + poiché per ogni elemento di N esiste un numero successivo (n + 1) ed un numero precedente (n 1) ad eccezione dello zero. perché Usain olt è l uomo più veloce del mondo? Ogni volta che mettiamo un passo in avanti andiamo a spostare il nostro busto rispetto al baricentro 3, ripristinando repentinamente l equilibrio portando in pari l altro passo. vviene così una sorta di ciclo di caduta in avanti che ci consente di spostarci senza cadere. Quindi, come si intuisce, la velocità dello spostamento è legata a dei parametri fondamentali quali l altezza dell atleta e la posizione del suo baricentro. Questi parametri sono indubbiamente correlati a fattori genetici. In media, la posizione del baricentro di un nero è circa il 3% più in alto rispetto a quella di un bianco, andando a favorire i primi negli sport della corsa. Questa differenza di posizione del baricentro la si deve al fatto che i neri in genere, rispetto ad un bianco di pari altezza, presentano arti più lunghi e snelli. Il diagramma di Eulero-Venn qui in alto riassume i vari ingredienti che formano uno sportivo. Nell intersezione, colorata in rosso, secondo i ricercatori indiani Majumder e Choudhury, si collocano i campioni. La combinazione di queste quattro caratteristiche si rivela determinante nella formazione, ad esempio, di un nuotatore professionista. Nel diagramma si vede come gli aspetti socio-culturali ed economici possano essere spesso determinati dalla provenienza etnica. Per essere un campione bisogna possedere tutti gli elementi, e se anche solo uno di essi manca si perde l equilibrio vincente. Potrebbe accadere, per esempio, che un giovane talentuoso abbia tecnica, propensione allo sport in questione e sia anche geneticamente predisposto, ma non abbia la spinta economica giusta da permettersi una palestra o un allenatore di eccellenza. E così via, a rotazione tra i vari parametri in questione. (Fonte: Gli esami SITOGRFI oad=10 3 Il punto in cui si può concentrare idealmente tutta la forza peso di un corpo umano, generalmente situato in prossimità dell ombelico.