OPZIONE SPECIFICA FISICA ED APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA

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1 Lugano, 16 giugno 007 Liceo Cantonale Lugano 1 Viale C Cattaneo 4 CH-6900 Lugano Tel +41/91/ Fax +41/91/ EAME CRITTO DI MATURITÀ 006/007 OPZIONE PECIFICA FIICA ED APPLICAZIONI DELLA MATEMATICA Durata dell esame: Tre ore (dalle 0800 alle 1100) ussidi ammessi: -Calcolatrice tascabile senza schermo grafico, non programmabile e senza calcolo simbolico -Riassunto personale manoscritto di 5 fogli A4 al massimo -Raccolte di formule (testi ufficiali) Valutazione: I quattro problemi sono considerati equivalenti Con tre esercizi risolti correttamente e integralmente si ottiene il voto 6 Qualora un candidato presentasse le soluzioni di quattro problemi, si terrà conto delle tre migliori

2 1 Determinazione della costante adiabatica con il metodo di Rückhardt Una biglia, di massa m e di raggio r, è libera di muoversi all interno di un tubo di vetro inserito in una bottiglia a tenuta ermetica contenente aria, come indicato nella figura A causa della differenza di pressione tra l esterno, p e = cost, e l interno a p i, la biglia, spostata dalla posizione di equilibrio, esegue delle oscillazioni (di cui trascuriamo lo smorzamento) caratterizzate da un periodo T osc Quando la biglia è in equilibrio il volume occupato dall aria all interno della bottiglia è V 0 e la pressione è p 0 = p e + mg dove è la l area della sezione trasversale della biglia Data la rapidità delle trasformazioni l aria all interno della bottiglia non scambia calore con l esterno e subisce una serie di compressioni e espansioni di tipo adiabatico 11 Partendo dalla relazione p = cost V γ, valida per una trasformazione adiabatica, ricava V dp γ = p dv 1 Tramite la seconda legge di Newton applicata al moto della biglia, trova l equazione differenziale in x(t) che descrive l oscillazione armonica Ricava quindi la pulsazione ω, esplicitando nell equazione il rapporto p/ V, dove p = p i p 0 e V = x In seguito, per piccole variazioni attorno a (p 0, V 0 ), la derivata dp/dv può essere rimpiazzata dal rapporto p/ V Dimostra quindi che γ = V0 4π m p T 0 osc 13 Calcola il valore della costante adiabatica γ con i seguenti valori: m = 4,59 g; r = 5,95 mm; V 0 = 1,14 litri; p e = 995,6 hpa; T osc = 0,3 s 14 All equilibrio la temperatura è T 0 =,0 C apendo che le oscillazioni della biglia nel tubo hanno un ampiezza di 7,0 cm, determina il valore massimo T Max della temperatura dell aria all interno della bottiglia utilizzando il valore di γ appena calcolato e poi con γ aria = 1,4 Calcola inoltre il valore della pressione corrispondente NB: Usando il valore γ aria = 1,4 si suppone che l aria sia un miscuglio ideale di gas biatomici 15 Ritrova il valore precedente di T Max, calcolando il lavoro compiuto dal gas V L = p(v) dv e applicando il primo principio della termodinamica V 0 Trasformazione adiabatica: pv γ = cost TV γ 1 = cost Tp (1 γ)/γ = cost x x eq = 0 1

3 Lo Jo-Jo Uno Jo-Jo è composto da due dischi di ottone di raggio R, di spessore b e di densità ottone, accoppiati da un corto mozzo di raggio R 0 Esso si muove srotolando la corda per una lunghezza l La dinamica è descritta dalle leggi di Newton F r = m a r e dalla legge dei momenti delle forze M r = I α r La condizione di rotolamento in questo sistema impone la seguente relazione tra l accelerazione a del centro di massa e l accelerazione angolare α: a = αr 0 ( α > 0, senso antiorario) y R P r T r R 0 1 Partendo dalle leggi della dinamica determina l accelerazione del centro di massa dello Jo-Jo e la tensione del filo (calcolo algebrico!) La massa e il momento d inerzia del mozzo sono trascurabili Con i seguenti valori calcola il momento di inerzia dello Jo-Jo, l accelerazione e la tensione del filo ottone = 8,6 g/cm 3 ; R =,5 cm; R 0 =,0 mm; b = 6,0 mm 3 Utilizza la conservazione dell energia per trovare la velocità del centro di massa dello Jo-Jo alla fine della sua corsa lungo la corda di lunghezza l = 78,0 cm, sapendo che viene lasciato partire con una velocità iniziale nulla La condizione di rotolamento impone v(t) = ω(t)r 0 4 Calcola la funzione velocità angolare ω(t) dello Jo-Jo partendo dalla legge dei momenti delle forze dl r = M r dt dove L r = Iω r è il momento cinetico dello Jo-Jo rispetto al suo asse, utilizzando la tensione T ricavata al punto 1 5 piega cosa succede se cerco di far ruotare lo Jo-Jo nel piano orizzontale (perpendicolare alla corda) mentre scende ruotando attorno al proprio asse

4 3 Modello ipotetico per gli stati oscillanti di un gas econdo un ipotetico modello, ogni molecola di un determinato gas G cambia, di minuto in minuto, casualmente tra tre stati oscillanti A, B o C La matrice di transizione corrispondete è data da T 0,8 0 0, = 0, 0,7 0,4 0 0,3 p 31 Determina il valore di p R affinché la matrice T risulti essere una matrice stocastica 3 Considera il caso in cui una molecola del gas G si trova nello stato A Determina il corrispondente vettore di stato u r 0 e interpreta il significato geometrico e fisico di T u r 0 33 Rappresenta il diagramma di transizione relativo al cambiamento degli stati oscillanti delle molecole di G 34 Verifica che r x = 1 1 e 1 r y = 3 sono due dei tre vettori propri della matrice T (associata all applicazione lineare τ : R spazi propri di T R ) e rappresenta in un sistema di riferimento cartesiano tutti gli Calcola il vettore della distribuzione limite (stazionaria) 36 Descrivi geometricamente, tramite una rappresentazione grafica, come un arbitrario vettore di stato iniziale v r 0 evolve con il passare del tempo 37 Determina la matrice limite T : = limt n e descrivine l azione geometrica n La domanda seguente è facoltativa (bonus) Nella valutazione globale si terrà conto soltanto dell eventuale risposta corretta 38 upponi ora che una molecola si trovi inizialmente nello stato B e che nel modello considerato lo stato C sia assorbente Esplicita la corrispondente matrice di transizione T % e calcola il tempo medio di attesa (in minuti) per raggiungere lo stato oscillante assorbente C 3

5 4 Caduta di una sfera in un liquido viscoso Una sfera omogenea di raggio r e di densità è completamente immersa in un liquido viscoso L di densità L e di viscosità µ Lasciata cadere da ferma in x = 0, la sfera scende verticalmente subendo la uur spinta di Archimede e la forza di attrito viscoso di tokes F = 6πµ rv velocità in funzione del tempo t L equazione differenziale per la velocità v ( t ) nel liquido viscoso è data da A, dove v = ( ) v t rappresenta la d v t dt ( ) β v ( t ) + = α t 0 (1) L 9 µ con α = g e β = r ur r 41 Ricava l equazione differenziale (1) dalla legge di Newton Σ F = m a, utilizzando la relazione 4 3 m = V = π r per la massa della sfera 3 4 Risolvi il problema alle condizioni iniziali, ossia trova la curva integrale particolare dell equazione differenziale (1) 43 Determina la velocità massima che la sfera potrà raggiungere e rappresentala qualitativamente in un grafico, unitamente alla soluzione ottenuta al punto 4 44 Rappresenta la tangente in t = 0 alla curva integrale particolare trovata e calcola il punto d intersezione con l asintoto che indica la velocità limite Qual è il significato fisico dell ascissa di questo punto? 45 Rappresenta graficamente per i valori α = 5 m s e β = 1 [ 1 s ] * il campo direzionale dell equazione differenziale (1), utilizzando almeno sei opportune isocline Inserisci nel campo direzionale ricavato graficamente la curva integrale corrispondente ai valori precedenti di α e β L 9 µ 46 Determina, nuovamente per il caso generale α = g e β = r della sfera in funzione del tempo, tenendo conto delle condizioni iniziali 47 Verifica che il comportamento asintotico della legge oraria ( ), la posizione x( t ) x t, ossia per t +, è approssimativamente lineare e rappresenta x( t ) e il suo asintoto per i valori α e β del punto 45 * Per facilitare i calcoli è consentita l omissione delle unità di misura 4