4. Matematica applicata all economia opzione

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1 V. Matematica e scienze sperimentali Matematica applicata all economia opzione 4.1. Considerazioni generali Scopi L opzione ha lo scopo di evidenziare il ruolo della matematica come strumento di pensiero atto a comprendere e analizzare problematiche prevalentemente di natura economica. Alcuni temi sviluppati permettono di acquisire conoscenze e competenze che agevolino il proseguimento degli studi nelle scuole superiori universitarie o professionali (in campo economico, sociale, informatico), mentre altri permettono di integrare la formazione di base con alcune conoscenze e competenze di carattere più applicativo e professionalizzante, in modo da facilitare l inserimento nel mondo del lavoro. Rispetto al corso base, l opzione vuole essere un momento di approfondimento e di applicazione di competenze acquisite in precedenza, un opportunità di acquisire nuove competenze con relative applicazioni o ancora un occasione per introdurre attività interdisciplinari. In ogni caso l opzione deve rappresentare soprattutto un opportunità per favorire la confidenza degli studenti con la matematica. Pur riconoscendo la necessità di mantenere un certo rigore logico e formale, non si dovrà eccedere in astrazioni o tecnicismi. È auspicabile che il raggiungimento di livelli di maggior formalizzazione o generalizzazione avvenga in modo graduale. I ragazzi dovrebbero dedicare molto del loro tempo-lezione al lavoro attivo e non all ascolto del docente Indicazioni metodologiche A dipendenza del tipo di modulo e dalle scelte metodologiche del docente che lo propone, l introduzione all argomento può essere fatta: partendo dalla lettura e dalla presentazione o discussione di un testo divulgativo di matematica o storia della matematica; da attività introduttive: presentazione di problemi o situazioni che portano alla necessità di affrontare l argomento per costruire uno strumento risolutivo; dalla ripresa dei prerequisiti. Sono da prevedere esercizi ed esempi di diverso grado di difficoltà e di tipo diverso, risoluzione di problemi o presa in esame di situazioni in ambito economico ma non solo, che necessitino l utilizzo degli strumenti (conoscenze e competenze) acquisiti nel corso. Vista la dotazione oraria è auspicabile che la teoria venga ridotta all essenziale (definizioni dei concetti, proprietà e teoremi con alcune dimostrazioni accessibili agli studenti, esempi e controesempi). La teoria è da ritenere uno strumento a disposizione dell allievo per rivedere spiegazioni e per fissare i concetti fondamentali e per svolgere le applicazioni previste e non deve occupare una parte preponderante del tempo a disposizione Valutazione Per ogni modulo è comunque prevista una valutazione finale. Il conseguimento degli obiettivi e il grado di competenza sono valutati attraverso lavori scritti e interrogazioni. Nella valutazione saranno pure da considerare la partecipazione alle lezioni e il lavoro svolto in classe.

2 V. Matematica e scienze sperimentali 4.2. Classe terza Nel corso del terzo anno saranno da affrontare due dei seguenti temi: approfondimenti di matematica finanziaria; ricerca operativa e programmazione lineare; modelli matematici in economia; statistica descrittiva con software; simulazioni statistiche: serie cronologiche Approfondimenti di matematica finanziaria Saper interpretare, formalizzare e definire le operazioni di scambio fra situazioni economicofinanziarie applicando il principio di equivalenza finanziaria; conoscere e saper distinguere i vari tipi di rendita; conoscere i metodi di costituzione di un capitale e di ammortamento di un prestito e sapere elaborare un piano di costituzione di capitale o di ammortamento di un prestito; cogliere i collegamenti tra problemi relativi alla costituzione di un capitale o all ammortamento di un prestito e i problemi vari relativi alle rendite. Ripresa delle conoscenze e competenze riguardanti la capitalizzazione semplice e composta; tassi equivalenti; sconti (commerciale, razionale e composto); rendite temporanee e perpetue, immediate e differite: montante e valore attuale; problemi relativi a situazioni finanziarie nelle quali intervengono le rendite. Costituzione di un capitale mediante versamenti posticipati o anticipati; modificare un piano originario di costituzione di un capitale Ricerca operativa e programmazione lineare Conoscere la definizione di Ricerca operativa e la sua funzione; essere in grado di impostare un problema di programmazione lineare, riconoscendone le variabili, i vincoli e la funzione obiettivo; saper utilizzare il metodo grafico nella risoluzione di problemi di programmazione lineare. Definizione di ricerca operativa; presentazione della programmazione lineare a due variabili come caso specifico della ricerca operativa; sistemi di disequazioni in R2; impostazione di problemi di programmazione lineare in due (eventualmente tre) variabili: determinazione delle variabili, dei vincoli e della funzione obiettivo e relativa risoluzione grafica nel piano cartesiano. Possibile sviluppo: risoluzione di problemi di programmazione lineare con metodi algebrici e/o informatici Modelli matematici in economia Individuare il modello matematico che descrive una data situazione economica ed esprimere l equazione relativa al modello matematico individuato utilizzando funzioni affini, quadratiche, iperboliche, esponenziali e logaritmiche; interpretare dal punto di vista economico il

3 4. Matematica applicata all economia opzione 173 grafico di funzioni o intersezione dei grafici di funzioni; risolvere problemi di massimo e di minimo in campo economico (senza l uso di derivate). Modellizzazione affine ed iperbolica; modellizzazione quadratica; modellizzazione esponenziale e logaritmica; funzione offerta e funzione domanda; prezzo di equilibrio; funzione costo e funzione ricavo; ricavo massimo, profitto massimo, costo minimo Statistica descrittiva con software applicativi Fornire un adeguata conoscenza dei metodi e delle procedure statistiche; saper applicare le tecniche statistiche a fenomeni legati a situazioni economico-aziendali e sociali utilizzando un software applicativo. Presentazione dei dati in tabelle e grafici; indici sintetici che descrivono la distribuzione dei dati (indici di posizione, di dispersione e di forma); correlazione tra variabili (diagramma a dispersione e indici di variazione bidimensionali); retta di regressione Analisi delle serie cronologiche Saper riconoscere una serie a carattere cronologico da una serie di dati generati da un altro tipo di rapporto funzionale; saper rappresentare correttamente un fenomeno temporale; saper applicare alcuni modelli base per il calcolo della tendenza e delle altre componenti cronologiche; saper costruire una previsione, con le componenti fondamentali; saper individuare, con l ausilio di alcuni metodi empirici, l esistenza di cicli particolari; saper individuare la componente residuale a carattere aleatorio. Raccolta di dati relativi a fenomeni a carattere temporale; rappresentazione grafica di variabili temporali; individuazione delle componenti fondamentali di una serie cronologica; riflessione sul modo di concepire una previsione: caratterizzazione delle serie fondamentali in economia.

4 V. Matematica e scienze sperimentali 4.3. Classe quarta Nel corso del quarto anno saranno da affrontare due fra i temi seguenti: approfondimenti di analisi; matematica e economia; programmazione 1: algoritmi; programmazione 2: linguaggi; introduzione alla statistica inferenziale; matematica (analisi) con applicativi informatici Approfondimenti di analisi Approfondire il concetto di limite di una funzione reale e di derivata di una funzione; utilizzare il calcolo differenziale per rappresentare il grafico di funzioni; conoscere il concetto di integrale definito e indefinito e saper utilizzare le primitive delle funzioni elementari per applicare i vari metodi di integrazione; applicare gli integrali al calcolo dell area. Derivata di funzioni composte; derivate successive. Il Teorema di de l Hôpital; le serie di Taylor e Mc Laurin. Applicazioni della derivata (funzioni crescenti e decrescenti; massimi e minimi di una funzione). Rappresentazione di grafici di funzioni. Integrale indefinito: integrazioni immediate, integrazioni di semplici funzioni razionali fratte; integrazione per parti. Integrale definito di una funzione continua e sue proprietà. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Area di trapezoidi Applicazione delle derivate in economia Riconoscere e saper interpretare semplici modelli di domanda e offerta utilizzando anche il concetto di elasticità; saper individuare il prezzo di equilibrio e saper valutare le conseguenze relative a un mutamento delle curve di domanda e/o offerta; saper costruire la funzione costo (totale, medio, marginale), ricavo (totale, marginale), profitto; risolvere e interpretare semplici problemi dell economia. Funzione domanda e funzione offerta. Concetto di elasticità. Prezzo d equilibrio. Costo totale, costo medio e costo marginale. Ricavo totale e ricavo marginale e profitto. Determinazione del minimo costo medio, del massimo ricavo e massimo profitto Introduzione alla statistica inferenziale Completare le conoscenze di statistica; sperimentare un metodo di indagine di carattere induttivo; acquisire nuove conoscenze paradigmatiche, attraverso la conoscenza di nuove categorie di analisi, prime conoscenze del principio dell inferenza: concetto di campione; natura aleatoria (e quindi probabilistica) degli elementi del campione.

5 4. Matematica applicata all economia opzione 175 Organizzare i dati in distribuzioni di frequenze; i parametri fondamentali delle distribuzioni di frequenze; campioni semplici; intervalli di fluttuazione dei campioni; concetto di errore della stima e valutazione sulla previsione sull inferenza fatta; valutazione della probabilità dell avverarsi di un ipotesi formulata sulle caratteristiche di una popolazione (principio del test) Matematica (analisi) con applicazioni informatiche Far conoscere un sistema di algebra computerizzata. Saper usare un ambiente interattivo di risoluzione dei problemi per creare documenti strutturati interattivi. Saper utilizzare il software applicativo per risolvere gli argomenti proposti nel corso base di matematica. Introduzione all applicazione: i fogli di lavoro, il sistema di aiuto in linea. La matematica con l applicazione informatica: il calcolo numerico, il calcolo simbolico, la manipolazione delle espressioni, la ricerca delle soluzioni. La grafica: grafici in due dimensioni, le animazioni in due dimensioni. Analisi matematica: le funzioni matematiche e le funzioni definite dall utente; il limite di una funzione; la derivata; l approssimazione in serie di Taylor; l integrale. Esempi di risoluzione di problemi legati alle scienze economiche e sociali.