Modelli di comportamento delle banche
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- Romolo Bono
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1 Modelli di comportamento delle banche
2 INTRODUZIONE Modelli del comportamento delle banche che tengano conto delle peculiarità dell attività bancaria Occorre incorporare l incertezza sui rendimenti delle attività finanziarie utilizzando la teoria di portafoglio Assumendo avversione al rischio si troverà che esiste un premio per il rischio nel margine di intermediazione, che spiega il ruolo della diversificazione nella gestione delle attività bancarie 1. Economia della gestione delle attività e delle passività 2. Gestione della liquidità 3. Tasso attivo dei prestiti (Pricing) 4. Gestione dell attivo 5. Modello delle risorse reali nel management delle attività e passività 6. Gestione delle passività e determinazione del tasso di interesse
3 GESTIONE DELLE ATTIVITA E PASSIVITA L attività della banca è in buona sostanza semplicemente la gestione delle attività e della passività. Cioè la trasformazione di depositi liquidi e convertibili su richiesta in prestiti a medio e lungo termine La gestione del rischio è quindi parte fondamentale della gestione delle attività e passività Rischi principali del bilancio bancario: 1. Rischio di bancarotta 2. Rischio di prelievo L allocazione delle passività della banca in attività fruttifere in modo da minimizzare il rischio di bancarotta e il mantenimento di una sufficiente liquidità per ridurre il rischio di prelievo riguarda entrambi i lati del bilancio bancario. Iniziamo dal lato delle attività.
4 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (1) Si tratta di gestire le riserve per fronteggiare il deflusso prevedibile dei depositi. La banca può utilizzare: -RISERVE -ENTRATE dalla RESTITUZIONE DEI PRESTITI -PRESTITI INTERBANCARI -SCONTO DALLA BANCA CENTRALE Processo decisionale in due stadi: PRIMO STADIO: decidere l ammontare di riserve per far fronte ai prelievi giornalieri SECONDO STADIO: ciò che resta sono attività fruttifere, la banca deve decidere come allocarle tra titoli a reddito fisso (basso rischio- rendimento) e prestiti rischiosi (alto rischio-rendimento)
5 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (2) Si tratta di trovare un equilibrio tra il costo opportunità di detenere riserve piuttosto che attività fruttifere e il costo di aggiustamento di dover fronteggiare prelievi imprevisti mediante prestiti (interbancario o risconto presso la banca centrale). Il bilancio della banca: L+R=D (prestiti più riserve = depositi) Se il flusso dei prelievi è inferiore alla riserve non si ha nessuna crisi di liquidità, mentre se avviene il contrario la banca deve ricorrere ai prestiti sull interbancario. Si ipotizzi che x sia una variabile stocastica che descriva il deflusso di depositi e f(x) è la funzione di distribuzione della probabilità di x. Si avrà insufficienza delle riserve se: (R-x)<0
6 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (3) Il costo di aggiustamento per raccogliere fondi e coprire la carenza di riserve è proporzionale alla carenza per un fattore di proporzionalità p. Si dimostra che la banca sceglierà il livello di riserve liquide tale che la probabilità di avere riserve carenti sia uguale al rapporto tra il tasso di interesse su attività fruttifere e il costo di coprire la carenza di riserve: Ovvero la banca sceglie il livello di riserve tale per cui i benefici marginali (non dover sostenere costi per avere liquidità) sono uguali ai costi marginali (costo opportunità dell interesse su attività fruttifere). r = p R f (x)dx Il modello descrive il flusso di riserve in un certo periodo, ipotizzando che il processo stocastico dei prelievi segua una distribuzione normale. Alla fine del periodo i prelievi attesi sono E(x)
7 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (4) Lo stock ottimo di riserve detenute dalle banche è descritto dal grafico della distribuzione cumulativa del deflusso dei depositi: r/p Se il costo marginale di ottenere liquidità cresce, r/p diminuisce e la banca detiene più riserve. r/p può diminuire anche perché diminuisce il costo opportunità di detenere riserve (r). Se invece r aumenta detenere riserve è più costoso e quindi R si riduce. Il modello è valido anche nel caso la banca centrale imponga riserve obbligatorie R
8 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (5) Se gli aggiustamenti delle riserve carenti fossero senza costi la banca sceglierebbe in ogni periodo il livello ottimo di riserve, indipendentemente dal livello di riserve ereditate dal periodo precedente. Se esistono costi aggiustamento per raggiungere il livello ottimo di riserve R*, allora sarebbe profittevole adeguarsi solo se i benefici superano i costi di aggiustamento. Se il costo di aggiustamento è C= v R-R 0 dove R 0 sono le riserve all inizio del periodo prima dell aggiustamento, R le riserve all inizio del periodo dopo l aggiustamento e v il fattore di proporzionalità. Si può dimostrare che nel modello le riserve possono fluttuare nel periodo tra un massimo e un minimo. L aggiustamento si realizza solo se il livello delle riserve va oltre i limiti superiore ed inferiore.
9 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (6) Se R<R* un incremento di R diminuisce i costi: Quando è profittevole fare un aggiustamento? il beneficio marginale di un aggiustamento > costo marginale v Se invece ogni ulteriore aggiustamento di R non è profittevole, nel senso che anche se C diminuisce, si riduce comunque di un ammontare minore di v. Ugualmente quando R>R*. Una riduzione di R è profittevole perché riduce il costo sino a che.
10 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (7) Andamento delle riserve totali al variare del tasso sui prestiti delle banche (costo opportunità di detenere riserve). Dati: bilanci bancari OCSE Riserve totali rispetto al tasso sui prestiti RT Lineare(RT) ,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
11 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (8)
12 GESTIONE DELLA LIQUIDITA (9)
13 TASSO ATTIVO SUI PRESTITI (PRICING) Il pricing di un prestito è uno degli elementi fondamentali che determinano il margine di intermediazione, cioè la differenza tra il tasso attivo sui prestiti e quello passivo sui depositi. Dipende da: caratteristiche degli affidati e dal premio richiesto per il rischio di default in base alla avversione al rischio delle banche. Si ipotizzi che la banca detenga due attività, una priva di rischio ed una con un rendimento incerto (prestiti) a fronte di depositi, anch essi dal rendimento incerto. Naturalmente i depositi possono essere visti come una attività negativa per cui il bilancio della banca sarà: L + M = D e la funzione di profitto è: π= r L L + r M M r D D dove M è lo stock di titoli privi di rischio, L quello dei prestiti e D dei depositi.
14 PRICING (1) Ipotizziamo che la funzione di utilità attesa della banca sia descritta da: Dove: e (1) (2) E{ U(π) } = E(π) 1 2 βσ 2 π E(π) = E(r L )L + r M M E(r D )D E(r L ) = E(r L +ε L ); ε L dst N(0,σ 2 L ), E(r D ) = E(r D +ε D ); ε D dst N(0,σ 2 D ) mentre β è il coefficiente di avversione al rischio della banca. Ricordiamo che cov(r L,r D ) = ρ rl r D σ rl σ rd, dove ρ rl r D è il coefficiente di correlazione dei rendimenti stocastici dei prestiti e dei depositi. Sostituendo la (2) nella (1) e calcolando la varianza dei profitti otteniamo: (3) E{ U(π) } = E(r L )L + r M M E(r D )D 1 2 β { σ 2 r L L 2 +σ 2 rd D 2 2ρ rl r D σ rl σ rd (L)(D)}
15 PRICING (2) Sostituendo a M=D-L otteniamo le seguenti condizioni per la massimizzazione dell utilità della banca: (4) (5) (6) (7) { } L E U(π) { } D E U(π) = E(r L )L r M 1 2 β [ 2σ 2 r L L 2ρ rl r D σ rl σ rd D] = 0 = r M E(r D ) 1 2 β [ 2σ 2 r D D 2ρ rl r D σ rl σ rd L] = 0 E(r L ) r M = βσ [ rl σ rl L ρ rl r D σ rd D] E(r D ) r M = βσ [ rd σ rd D ρ rl r D σ rl L] Se i rendimenti dei prestiti e dei depositi fossero indipendenti cioè E(r D,r L ) = 0 allora ρ rl r D = 0 e la (6) sarebbe sicuramente >0 e la (7)<0 rendendo possibile l intermediazione
16 PRICING (3) (8) ( 2 D) E(r L ) E(r D ) = β σ 2 rl L σ rd Lo spread dipende dalla volatilità dei tassi e dall avversione al rischio. Con ρ rl r D =1, ovvero con perfetta correlazione dei tassi, non si avrebbe intermediazione perché i termini tra parentesi della (6) e della (7) non potrebbero essere entrambi positivi. Con ρ rl r D < 0 si creano ancora una volta le condizione per l intermediazione. Che i tassi attivi e passivi debbano essere necessariamente non correlati o con correlazione negativa è una condizione troppo restrittiva. Normalmente ci aspettiamo che ci sia una correlazione positiva.
17 PRICING (4) Ma quanto può essere grande positivi? ρ rl r D affinchè si abbiano spread Sottraendo la (7) dalla (6) otteniamo: [ ] β[ σ 2 rd D ρ rl r D σ rl σ rd L] E(r L ) E(r D ) = β σ 2 rl L ρ rl r D σ rl σ rd D β σ 2 rl L ρ rl r D σ rl σ rd D { } [ ] + β[ σ 2 rd D ρ rl r D σ rl σ rd L] > 0 [ ] > 0 β σ 2 rl L +σ 2 rd D ρ rl r D σ rl σ rd (D + L) β (σ 2 rl L +σ 2 rd D) βρ [ rl r D σ rl σ rd (D + L) ] > 0 (9) ρ rl r D < σ 2 rll +σ 2 rd D σ rl σ rd (D + L) Il coefficiente di correlazione può essere positivo ma piccolo, ovvero i tassi non devono essere molto correlati affinchè ci sia un margine di intermediazione positivo.
18 GESTIONE DELLE ATTIVITA (1) Il modello di banca avversa al rischio è utile per mostrare come il prezzo dei prestiti rappresenti un premio per il rischio, ovvero un mark-up sul tasso privo di rischio (r M ). Tuttavia non spiega come mai una banca è in grado di sopportare rischi superiori a quelli degli individui privati. Due domande: 1. In che modo la banca alloca le sue attività tra prestiti ad altorischio e alto-rendimento e attività a basso-rischio e bassorendimento? 2. In che modo la banca alloca le sue attività tra attività prive di rischio e attività rischiose? Per rispondere si può utilizzare la teoria di portafoglio
19 GESTIONE DELLE ATTIVITA (2) Secondo la teoria di portafoglio la decisione dell allocazione delle attività può essere separata in due momenti. Primo stadio: costruzione di una attività composita, cioè una combinazione ottima di attività rischiose. Secondo stadio: comparazione tra attività composita e una attività priva di rischio. A è una attività con minor rischio Rendimento atteso e minor rendimento rispetto a B. C B Come scegliere se non conosciamo le preferenze della banca? A Rischio L attività composita C è sicuramente preferita. Come combinare A e B in modo da generare la posizione C che è superiore ad entrambe?
20 GESTIONE DELLE ATTIVITA (3) Rendimento atteso ρ=-1 B Attività ad alto-rischio -1<ρ<1 ρ=1 A Attività a basso-rischio Rischio In nero è rappresentata la frontiera efficiente che descrive la combinazione di attività che minimizzano il rischio per varie combinazioni di rendimenti attesi e rischio, espresso in termini di varianza. L attività composita è fatta dalla combinazione di prestiti che minimizzano il rischio associato ai rendimenti stocastici.
21 GESTIONE DELLE ATTIVITA (4) Il rendimento atteso del portafoglio totale include l attività composita e l attività priva di rischio. Rendimento atteso totale del portafoglio: (2) E(R ) = ωe(r) + (1 ω)r T dove ω è la propozione di attività con rischio della banca, mentre r T è il rendimento dell attività priva di rischio. La varianza dei rendimenti del portafoglio è: σ R 2 = ω 2 2 σ R (3) La (2) può essere riscritta nel seguente modo: (4) E(R ) = E(R) r T ω 2 + r ω T moltiplicando il primo termine per ω/ω Ricavando ω 2 dalla (3) e sostituendolo nella (4) otteniamo:
22 GESTIONE DELLE ATTIVITA (5) (5) E(R ) = E(R) r T 2 σ ωσ R R 2 + r T = θ σ R 2 + r T La (5) rappresenta l insieme dei punti che costituisce un trade-off tra rendimento atteso e rischio per il portafoglio che comprende una attività priva di rischio e l attività composita. La scelta della banca tra E(R) attività rischiosa e quella priva di rischio, cioè il valore di ω, Attività composita dipenderà dalle preferenze della banca rispetto al rischio. r T Linea delle opportunità di investimento Queste sono rappresentate come una funzione di utilità tangente alla linea delle opportunità di investimento. σ 2 R
23 GESTIONE DELLE ATTIVITA (6) Incremento della rischiosità della attività composita. U(R, σ2r ) E(R) C B B A rt Linea delle opportunità di investimento C L allocazione iniziale delle attività in attività rischiose è data da AB/AC, mentre la proporzione detenuta in attività prive di rischio è data da BC/AC. L incremento della rischiosità è rappresentato dallo spostamento di AC in AC. Il punto C a destra di C ha lo stesso rendimento di C ma σ maggior rischio 2 R Il nuovo equilibrio è in B. La quota di attività composita rischiosa è diminuita a AB /AC e la quota di attività priva di rischio è aumentata a B C / AC.
24 GESTIONE DELLE ATTIVITA (7) C U(R, σ2r ) E(R) C B B Incremento del tasso dell attività priva di rischio. Spostamento della linea delle opportunità di investimento da AC in A C. A Quota attività non rischiose: B C/ A C (aumenta) A rt Linea delle opportunità di investimento Quota attività rischiose: A B /A C (diminuisce) σ 2R Anche se questo appare sensato non è realistico perchè un incremento del tasso delle attività prive di rischio accresce tutti i tassi, con uno spostamento di AC parallelamente a sinistra
25 GESTIONE DELLE ATTIVITA (8) Risultati del modello: 1. La banca cerca di diversificare i suoi prestiti tra attività ad altorischio e alto-rendimento (nuove imprese, PMI, settori tecnologici, etc.) e quelle a basso-rischio e basso-rendimento (grandi imprese, imprese quotate, mutui fondiari con garanzie reali, etc.) 2. La banca detiene parte delle proprie attività in investimenti privi di rischio a basso rendimento e prontamente liquidabili 3. A parità di altre condizioni un incremento della rischiosità del portafoglio fa spostare le banche verso le attività liquide prive di rischio 4. Un incremento del rendimento dei prestiti fa ridurre la quota di attività liquide 5. Un incremento del rendimento delle attività prive di rischio fa aumentare la quota detenuta in portafoglio dalle banche.
26 GESTIONE DELLE ATTIVITA (9) Limiti del modello: 1. I risultati dipendono dalla specificazione della funzione di utilità, che è stata ipotizzata quadratica o esponenziale negativa, con il vantaggio di poter esprimere l utilità in termini di media e varianza della distribuzione dei rendimenti delle attività. Ciò implica anche che i rendimenti delle attività siano distribuiti come una normale. I portafogli dei prestiti non hanno di solito rendimenti distribuiti secondo una normale. I contratti di prestito prevedono una restituzione con una quota capitale ed una quota interessi. Gli interessi non sono distribuiti normalmente. Gli affidati possono restituire meno o non restituire affatto, ma non pagano di più di quanto è stabilito nel contratto. In questo senso il prestito prevede un rischio negativo (fallimento) che non è compensato da un rischio positivo.
27 GESTIONE DELLE ATTIVITA (10) 2. Il modello non tiene conto della relazione banca-impresa e delle relazioni di lungo periodo che si possono instaurare tra banca e suoi affidati. L esigenza di instaurare e mantenere relazioni di lungo periodo può indurre la banca a prestare ad un cliente meno affidabile (es. uno studente) per costruire un rapporto di lungo periodo. 3. Le caratteristiche del contratto di mutuo riguardano anche altre dimensioni oltre il rendimento e il rischio, come ad esempio, la scadenza del prestito (maturity), la concessione di garanzie reali (collateral), il merito di credito (rating).
28 IL MODELLO DELLE RISORSE REALI PER LA GESTIONE DELL ATTIVO E DEL PASSIVO Si può immaginare l attività bancaria come un attività produttiva con input (i depositi e altri fattori) e un output (i prestiti). In questo modello si spiega l allocazione e la gestione delle risorse e la scala produttiva in termini di acquisizione di depositi per far fronte ad una certa offerta di prestiti. Il bilancio della banca è: L+R=D prestiti+riserve= depositi Le riserve sono una frazione k, mentre i fattori della produzione sono il lavoro, il capitale fisico etc. indicati con I. La funzione di produzione descrive la combinazione di input I per produrre prestiti L e depositi : f(l,d, I)=0 In tal modo è possibile calcolare il margine di intermediazione con una funzione dei costi operativi.
29 MARGINE DI INTERMEDIAZIONE FUNZIONE DEI COSTI OPERATIVI (1) Dato che il tasso di riserve è pari a k, il bilancio della banca diventa: L= (1-k)D (1) Si supponga che ci sia un solo input e cioè il lavoro N. Il lavoro è utilizzato per produrre i depositi: D=f(N) f >0, f <0 (2) L obiettivo della banca è massimizzare il profitto. Il lavoro è retribuito al salario w. Il profitto della banca è: π=r L L-r D D-wN (3) Sostituendo la (1) e la (2) nella (3) otteniamo: π=r L (1-k)f(N)-r D f(n)-wn derivando rispetto al fattore lavoro: r L (1-k)f -r D f -w=0 che rappresenta la condizione di massimizzazione del profitto.
30 MARGINE DI INTERMEDIAZIONE FUNZIONE DEI COSTI OPERATIVI (2) r L f -kr L f -r D f -w=0 (r L -r D )f = kr L f +w r L -r D = kr L +w/f L elasticità dei depositi rispetto al fattore lavoro è: ε N =f (N/D) da cui: f =ε N (D/N) sostituendo otteniamo il margine di intermediazione in termini di elasticità e costi operativi della banca: r L -r D = kr L +(1/ε N )(wn/d) Data l elasticità il margine di intermediazione aumenta al crescere del rapporto tra costi operativi e valore dei depositi.
31 Bilanci delle banche. Andamento del margine di intermediazione e dei costi operativi sul totale attivo ITALIA-Anni ,03 0,025 0,02 0,015 costi operativi margine intermediazione 0,01 0, Fonte:OECD ( stats.oecd.org/index.aspx)
32 Bilanci delle banche. Andamento del margine di intermediazione e dei costi operativi sul totale attivo GERMANIA-Anni ,016 0,014 0,012 0,01 0,008 costi operativi margine intermediazione 0,006 0,004 0, Fonte:OECD ( stats.oecd.org/index.aspx)
33 Bilanci delle banche. Andamento del margine di intermediazione, dei costi operativi sul totale attivo USA-Anni ,06 0,05 0,04 0,03 costi operativi margine intermediazione reddito da interessi e non interessi 0,02 0, Fonte:OECD ( stats.oecd.org/index.aspx)
34 Bilanci delle banche. Andamento del margine di intermediazione, dei costi operativi, del reddito da interessi e del reddito totale sul totale attivo ITALIA-Anni ,04 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 costi operativi margine intermediazione reddito da interessi e non interessi reddito non da interessi 0,01 0, Fonte:OECD ( stats.oecd.org/index.aspx)
35 GESTIONE DEL PASSIVO E DETERMINAZIONE DEL TASSO (1) La gestione del passivo si riferisce alla ricerca di depositi per fronteggiare la domanda di prestiti. Dall incontro tra offerta e domanda di depositi (che è parte della domanda di moneta) si determina il tasso. Tuttavia, il tasso sui prestiti e quello sui depositi non sono indipendenti. La funzione di costo della produzione di prestiti e quella dei depositi non sono separabili. E verosimile ipotizzare che l incremento del costo marginale dei prestiti aumenta quello dei depositi: la banca (in monopolio) richiede un incremento del margine di intermediazione per far fronte all incremento marginale dei depositi.
36 GESTIONE DEL PASSIVO E DETERMINAZIONE DEL TASSO (2) Cosa succede alla banca in concorrenza? Un incremento delle domanda di prestiti viene finanziata con un prestito sul mercato interbancario. La banca è price-taker, la funzione del profitto è: π=r L L+r T T-r D D-r I I dove, r T è il tasso delle attività prive di rischio T, mentre r I è il tasso di interesse interbancario e I lo stock di prestiti interbancari. La copertura di un incremento dei prestiti avviene interamente attraverso un prestito sull interbancario: dl + dt=di.
37 GESTIONE DEL PASSIVO E DETERMINAZIONE DEL TASSO (3) Se la quota di attività liquide (T) rispetto a L (α) è data dai tassi relativi attuali, T=αL, il profitto marginale di un incremento dei prestiti è: π L = r L + αr T (1+ α)r I > 0 Se i redimenti combinati delle attività (prestiti e liquidità) sono maggiori del costo del prestito interbancario, allora la banca ricorre al prestito interbancario per finanziare l incremento della domanda di prestiti. Cosa succede se si ha un incremento della domanda di prestiti per tutte le banche? Se tutte le banche hanno deficit di fondi e non ci sono banche con surplus allora si determina un eccesso di domanda di prestiti. Quali sono le implicazioni di questa situazione?
38 GESTIONE DEL PASSIVO E DETERMINAZIONE DEL TASSO (4) Niehans (1978) e De Grauwe (1982) L offerta di depositi dipende positivamente dal margine di intermediazione: D s = h(r L -r D ) h >0 Il vincolo dell equilibrio di bilancio per la banca è: L+T+R=D Sostituendo l offerta di depositi nell equilibrio di bilancio si ottiene l offerta di prestiti: L s =g(r L -r D,k,r T ) g 1 >0, g 2 <0, g 3 <0 La domanda di depositi è data da: D d =D(r D, X). Quella di prestiti da: L d =L(r L, Z), dove X e Z sono i vettori delle altre variabili che influenzano i depositi e i prestiti rispettivamente.
39 GESTIONE DEL PASSIVO E DETERMINAZIONE DEL TASSO (5) L equilibrio nel mercato dei prestiti: L(r L,Z)=g(r L -r D,k,r T ) e in quello dei depositi: D(r D,X)= h(r L -r D ) r L r 1L r* L r* D r 2D DD LL LL r D DD rappresenta l equilibrio nel mercato dei depositi mentre LL in quello dei prestiti. L incrocio definisce i tassi attivi e passivi di equilibrio. Un incremento esogeno nella domanda Il tasso sui di prestiti prestiti aumenta fa slittare e la quindi LL in l offerta LL di prestiti e depositi. Il tasso sui depositi aumenta per attrarre fondi, ma l incremento di r L ha aumentato il costo marginale dei depositi: r L cresce più di r D per compensare la banca assicurando un maggior margine di intermediazione
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